9.2.3 第2课时 平面向量数量积的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

第2课时　平面向量数量积的应用[教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 1.进一步掌握平面向量数量积的运算，能求平面几何中的数量积问题. 2.能运用数量积的运算性质和运算律解决模、垂直、夹角问题. 题型(一)　数量积的运算 [例1]　(1)如图，在平行四边形ABCD中，已知==，||=2，||=2，则·= (　　) A.-9 B.-6 C.6 D.9 (2)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|=4，·(2a-3b)=12，则b在a上的投影向量为 (　　) A.a B.2b C.a D.2b 解析：(1)由题意可得，=+=+=+=+=+=+，∴=+·+=4，　① =+·+=12，② ①-②得-=-8，即-=-9， ∴·=(+)·(-)=-=-9. (2)由·(2a-3b)=12， 得a2+a·b-3b2=|a|2+|a||b|cos 45°-3|b|2=16+×4|b|×-3|b|2=12，解得|b|=(舍负). 从而b在a上的投影向量为|b|cos 45°=a. 答案：(1)A　(2)A |思|维|建|模| 求平面向量数量积的步骤 (1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]； (2)分别求|a|和|b|； (3)求数量积，即a·b=|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去. [针对训练] 1.如图，在△ABC中，AD⊥AB，=，||=2，则·= (　　) A.2 B.4 C.3 D. 解析：选B　根据向量的线性运算，结合平面向量数量积的定义可得·=(+)·=·+·，由AD⊥AB，可知·=0，又因为= ，||=2，所以·=·=||·||·cos∠ADB=×2×||×=4.故选B. 2.设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|=1，|b|=3，则(2a+b)·b=　　　　.  解析：(2a+b)·b=2a·b+b2=2|a||b|cos<a，b>+|b|2=2×1×3×+32=11. 答案：11 题型(二)　平面向量的夹角与模 [例2]　已知|a|=，|b|=1，a与b的夹角为45°. (1)求|a+2b|的值； (2)若向量2a-λb与λa-3b的 夹角是锐角，求实数λ的取值范围. 解：(1)因为a·b=|a||b|cos 45°=×1×=1， 所以|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=2+4+4=10， 则|a+2b|=. (2)由向量2a-λb与λa-3b的夹角是锐角， 可得(2a-λb)·(λa-3b)>0，且2a-λb与λa-3b不共线，即2λa2+3λb2-(6+λ2)a·b=7λ-(6+λ2)>0，解得1<λ<6.由2a-λb与λa-3b共线，可得2×(-3)=-λ·λ，解得λ=±.故实数λ的取值范围为(1，)∪(，6). [变式拓展] 　本例(2)条件“锐角”变为“钝角”，求实数λ的取值范围. 解：由题意得(2a-λb)·(λa-3b)<0，则2λa2-λ2a·b-6a·b+3λb2=4λ-λ2-6+3λ<0，即λ2-7λ+6>0，解得λ<1或λ>6.当2a-λb与λa-3b共线时，2×(-3)=-λ2，则2×(-3)≠-λ2时，2a-λb与λa-3b不共线，所以λ≠±.所以实数λ的取值范围为(-∞，-)∪(-，1)∪(6，+∞). |思|维|建|模| (1)求解向量的模时要灵活应用a2=|a|2，即|a|=，勿忘记开方. (2)求向量夹角的基本步骤及注意事项 ①步骤： ②注意事项：在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元计算cos θ的值. [针对训练] 3.(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b-2a)⊥b，则|b|= (　　) A. B. C. D.1 解析：选B　因为(b-2a)⊥b，所以(b-2a)·b=0，即b2=2a·b.又因为|a|=1，|a+2b|=2，所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4，解得|b|=. 4.已知平面向量a，b满足|a|=3，|b|=1，并且当λ=-4时，|a+λb|取得最小值，则sin<a，b>= (　　) A. B. C. D. 解析：选B　由题意，得a·b=3cos<a，b>，|a+λb|2=|a|2+2λa·b+λ2|b|2 =λ2+6λcos<a，b>+18. 当λ=-3cos<a，b>时，|a+λb|2取得最小值，即|a+λb|取得最小值，故-3cos<a，b>=-4，则有cos<a，b>=.又<a，b>∈，所以sin<a，b>==. 题型(三)　向量的垂直 [例3]　已知a，b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角. 解：设a与b的夹角为θ， ∵非零向量a，b满足a+3b与7a-5b互相垂直， a-4b与7a-2b互相垂直， ∴(a+3b)·(7a-5b)=0，(a-4b)·(7a-2b)=0，∴7|a|2-15|b|2+16a·b=0， 7|a|2+8|b|2-30a·b=0. ∴|b|2=2a·b，|a|2=2a·b， ∴|b||a|=2a·b， ∴cos θ==.又θ∈[0，π]， ∴θ=.即a与b的夹角为. |思|维|建|模| 解决有关垂直问题时，利用a⊥b⇔a·b=0(a，b为非零向量). [针对训练] 5.已知向量a，b，|a|=5，|b|=4，a与b的夹角为120°，若(ka-2b)⊥(a+b)，则k= (　　) A.- B.- C. D. 解析：选C　因为|a|=5，|b|=4，a与b的夹角为120°，所以a·b=|a||b|cos 120°=5×4×=-10.由(ka-2b)⊥(a+b)，得(ka-2b)·(a+b)=ka2-2b2+(k-2)a·b=25k-2×16-10(k-2)=15k-12=0，解得k=. 6.已知△ABC中，∠A=120°，且AB=3，AC=4，若=λ+，且⊥，求实数λ的值. 解：因为=λ+，且⊥，所以·=(λ+)·(-)=λ·-λ+-·=0，即(λ-1)||·||cos A-λ+=0.因为AB=3，AC=4，∠A=120°，所以-6(λ-1)-9λ+16=0，解得λ=. 学科网（北京）股份有限公司 $