9.2.3 第2课时 平面向量数量积的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（苏教版）

平面向量数量积的应用 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 1.进一步掌握平面向量数量积的运算，能求平面几何中的数量积问题. 2.能运用数量积的运算性质和运算律解决模、垂直、夹角问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　数量积的运算 题型(二)　平面向量的夹角与模 题型(三)　向量的垂直 4 课时跟踪检测 题型(一)　数量积的运算 01 [例1]　(1)如图，在平行四边形ABCD中，已知==，||=2，||=2，则·=(　　) A.-9 B.-6 C.6 D.9 √ 解析：由题意可得，=+=+=+=+=+=+，∴=+·+=4，　① =+·+=12，② ①-②得-=-8，即-=-9， ∴·=(+)·(-)=-=-9. (2)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|=4，·(2a-3b)=12，则b在a上的投影向量为(　　) A.a B.2b C.a D.2b √ 解析：由·(2a-3b)=12， 得a2+a·b-3b2=|a|2+|a||b|cos 45°-3|b|2=16+×4|b|×-3|b|2=12，解得|b|=(舍负). 从而b在a上的投影向量为|b|cos 45°=a. |思|维|建|模| 求平面向量数量积的步骤 (1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]； (2)分别求|a|和|b|； (3)求数量积，即a·b=|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去. 针对训练 1.如图，在△ABC中，AD⊥AB，=，||=2，则· =(　　) A.2 B.4 C.3 D. √ 解析：根据向量的线性运算，结合平面向量数量积的定义可得·=(+)·=·+·，由AD⊥AB， 可知·=0，又因为= ，||=2， 所以·=·=||·||·cos∠ADB=×2×||× =4.故选B. 2.设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|=1，|b|=3，则(2a+b)·b=___.  解析：(2a+b)·b=2a·b+b2=2|a||b|cos<a，b>+|b|2=2×1×3×+32=11. 11 题型(二)　平面向量的夹角与模 02 [例2]　已知|a|=，|b|=1，a与b的夹角为45°. (1)求|a+2b|的值； 解：因为a·b=|a||b|cos 45°=×1×=1， 所以|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=2+4+4=10， 则|a+2b|=. (2)若向量2a-λb与λa-3b的夹角是锐角，求实数λ的取值范围. 解：由向量2a-λb与λa-3b的夹角是锐角， 可得(2a-λb)·(λa-3b)>0，且2a-λb与λa-3b不共线， 即2λa2+3λb2-(6+λ2)a·b=7λ-(6+λ2)>0，解得1<λ<6. 由2a-λb与λa-3b共线，可得2×(-3)=-λ·λ，解得λ=±. 故实数λ的取值范围为(1，)∪(，6). 解：由题意得(2a-λb)·(λa-3b)<0，则2λa2-λ2a·b-6a·b+3λb2= 4λ-λ2-6+3λ<0，即λ2-7λ+6>0，解得λ<1或λ>6.当2a-λb与λa-3b共线时，2×(-3)=-λ2，则2×(-3)≠-λ2时，2a-λb与λa-3b不共线，所以λ≠±.所以实数λ的取值范围为(-∞，-)∪(-，1)∪(6，+∞). [变式拓展] 本例(2)条件“锐角”变为“钝角”，求实数λ的取值范围. |思|维|建|模| (1)求解向量的模时要灵活应用a2=|a|2，即|a|=，勿忘记开方. (2)求向量夹角的基本步骤及注意事项 ①步骤： ②注意事项：在个别含有|a|，|b|与a·b的 等量关系式中，常利用消元计算cos θ的值. 针对训练 3.(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b-2a) ⊥b，则|b|= (　　) A. B. C. D.1 √ 解析：因为(b-2a)⊥b，所以(b-2a)·b=0，即b2=2a·b.又因为|a|=1，|a+2b|=2，所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4，解得|b|=. 4.已知平面向量a，b满足|a|=3，|b|=1，并且当λ=-4时，|a+λb|取得最小值，则sin<a，b>=(　　) A. B. C. D. √ 解析：由题意，得a·b=3cos<a，b>，|a+λb|2=|a|2+2λa·b+λ2|b|2 =λ2+6λcos<a，b>+18. 当λ=-3cos<a，b>时，|a+λb|2取得最小值，即|a+λb|取得最小值，故-3cos<a，b>=-4，则有cos<a，b>=.又<a，b>∈， 所以sin<a，b>==. 题型(三)　向量的垂直 03 [例3]　已知a，b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角. 解：设a与b的夹角为θ， ∵非零向量a，b满足a+3b与7a-5b互相垂直， a-4b与7a-2b互相垂直， ∴(a+3b)·(7a-5b)=0，(a-4b)·(7a-2b)=0， ∴7|a|2-15|b|2+16a·b=0， 7|a|2+8|b|2-30a·b=0. ∴|b|2=2a·b，|a|2=2a·b， ∴|b||a|=2a·b， ∴cos θ==.又θ∈[0，π]， ∴θ=.即a与b的夹角为. |思|维|建|模| 解决有关垂直问题时，利用a⊥b⇔a·b=0(a，b为非零向量). 针对训练 5.已知向量a，b，|a|=5，|b|=4，a与b的夹角为120°，若(ka-2b)⊥ (a+b)，则k= (　　) A.- B.- C. D. √ 解析：因为|a|=5，|b|=4，a与b的夹角为120°，所以a·b=|a||b|cos 120° =5×4×=-10.由(ka-2b)⊥(a+b)，得(ka-2b)·(a+b)=ka2-2b2+(k-2) a·b=25k-2×16-10(k-2)=15k-12=0，解得k=. 6.已知△ABC中，∠A=120°，且AB=3，AC=4，若=λ+，且⊥，求实数λ的值. 解：因为=λ+，且⊥，所以·=(λ+)· (-)=λ·-λ+-·=0，即(λ-1)||·||cos A-λ+=0.因为AB=3，AC=4，∠A=120°，所以-6(λ-1)-9λ+16=0，解得λ=. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.已知向量a，b，|a|=1，|b|=2，a⊥(b-a)，则|2a+b|= (　　) A.4 B.2 C.3 D.12 √ 15 解析：∵a⊥(b-a)，∴a·(b-a)=a·b-a2=a·b-1=0， ∴a·b=1，|2a+b|2=(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=12，∴|a+b|=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知菱形ABCD的边长为2，·=2，则||=(　　) A. B.2 C.1 D.2 √ 15 解析：根据题意可得=+=-， ∵·=2，即·(+)=+·=2，∴·=-2， ||2==-2·+=12，即||=2，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(+-2)·(-)=0，则△ABC的形状是(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 √ 15 解析：∵(+-2)·(-)=0，∴(+)·(-)=0， ∴-=0，即||=||，∴△ABC是等腰三角形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知非零向量m，n满足4|m|=3|n|，m与n夹角的余弦值为，若n⊥(tm+n)，则实数t的值为(　　) A.4 B.-4 C. D.- √ 15 解析：由题意知==，所以m·n=|n|2=n2.因为n⊥(tm+n)，所以n·(tm+n)=0，所以tm·n+n2=0，即tn2+n2=0，所以t=-4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知单位向量a，b满足a·b=0，若向量c=a+b，则sin<a，c>=(　　) A. B. C. D. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：因为a，b是单位向量，所以|a|=|b|=1. 又a·b=0，c=a+b， 所以|c|== =3，a·c=a·=a2+a·b=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 所以cos<a，c>==. 因为<a，c>∈， 所以sin<a，c>==. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=1，∠BAD=，若·= 2·，则·=(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：∵·=2·，∴·-·=·， 即·=·.∵AB∥CD，CD=1，∠BAD=，∴||=||·||cos ，∴||=2，∴·=·(+)=||2+·=22+2×1×cos =5. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知向量a≠e，|e|=1，对任意实数t，恒有|a-te|≥|a-e|，则 (　　) A.a⊥e B.e⊥(a-e) C.a⊥(a-e) D.(a-e)⊥(a-e) 15 解析：由|a-te|≥|a-e|，两边平方得a2+t2-2ta·e≥a2+1-2a·e. 设a·e=m，则t2-2mt+2m-1≥0对任意实数t恒成立，所以Δ=4m2 -8m+4≤0，即(m-1)2≤0，所以m=1，即a·e=1，e·(a-e)=a·e -1=0，所以e⊥(a-e). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(多选)设a，b，c是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是 (　　) A.若|a+b|=|a-b|，则a⊥b B.若|a|=|b|，则(a+b)⊥(a-b) C.若a·c=b·c，则a-b不与c垂直 D.(b·c)a-(a·c)b不与c垂直 √ 15 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由|a+b|=|a-b|，平方可得a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b⇒a·b =0⇒a⊥b，故A正确；若|a|=|b|，则(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0，所以(a+b)⊥(a-b)，故B正确；若a·c=b·c，则(a-b)·c=a·c -b·c=0⇒(a-b)⊥c，故C错误；[(b·c)a-(a·c)b]·c=(b·c)a·c -(a·c)b·c=(b·c)(a·c)-(a·c)(b·c)=0， 所以[(b·c)a-(a·c)b]⊥c，故D错误. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知|a|=2，|b|=3，且a⊥b，则(a+b)·(2a-b)=_____.  15 -1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为，且a+b+c=0，则|c|=_____.  15 解析：因为a+b+c=0，所以c=-a-b，所以c2=(-a-b)2=a2+2a·b+b2 =22+2×2×3cos+32=4-6+9=7，所以|c|=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，|a-b|=，则a与b的夹角为_____.  15 解析：|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2a·b+4=5-2a·b=7，∴a·b=-1，又θ∈[0，π]， cos θ==-，∴θ=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)已知e1，e2是互相垂直的两个单位向量，若向量a=te1+e2与向量b=e1+te2的夹角是钝角，则实数t的取值范围是__________________.  15 (-∞，-1)∪(-1，0) 解析：∵向量a与向量b的夹角是钝角，∴a·b<0，且<a，b>≠π. 由(te1+e2)·(e1+te2)<0，且|e1|=|e2|=1，e1·e2=0，得t<0. 令te1+e2=λ(e1+te2)，λ<0，λ∈R， 则于是t=-1.故t<0，且t≠-1， 即实数t的取值范围是(-∞，-1)∪(-1，0). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，BC=4， A是线段EF的中点，EF=2.若与的夹角为60°， 求·. 15 解：·=(+)·(+)=·+·+·+ ·.∵∠BAC=90°，∴·=0. 又A是线段EF的中点，∴=-，∴·=·-·-=·-1=4×1×cos 60°-1=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且a，b的夹角为60°. (1)若(2a+3b)⊥(a-kb)，求实数k的值；(5分) 15 解：因为(2a+3b)⊥(a-kb)，所以(2a+3b)·(a-kb)=2a2+(3-2k)a·b -3kb2=2|a|2+(3-2k)a·b-3k|b|2=0， 即2+(3-2k)×1×2×cos 60°-3k×4=0，解得k=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求a+b与a-b的夹角的余弦值.(10分) 15 解：因为|a+b|====， |a-b|====， 所以cos<a+b，a-b>====-， 故a+b与a-b的夹角的余弦值为-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)已知向量a，b，c满足|a|=2，c=a-tb(t∈R)，<a，b>=. (1)若a·b=1，求b在a方向上的投影向量(用a表示)；(5分) 解：由数量积的定义可知|b|cos<a，b>=，所以b在a方向上的投影向量为|b|cos<a，b>=·=·=a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求|c|的最小值.(10分) 解：因为|c|=|a-tb|==， 又|a|=2，<a，b>=，所以|c|=. 令x=t|b|∈R，所以|c|==. 所以当x=t|b|=1时，|c|取到最小值为. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $