9.1 向量概念课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第9章　平面向量 9.1　向量概念 苏教版 必修第二册 【课标要求】 1.通过向量的实际背景理解向量的概念. 2.掌握向量的表示方法,理解向量的模的概念. 3.理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量等概念. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　向量的定义与表示 1.定义:既有大小又有方向的量叫作向量. 2.表示: (1)有向线段:具有方向的线段.它包含三个要素:起点、方向、长度. (2)向量的表示: 知识点二　向量的有关概念 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量,记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量.向量a与b平行,记作a∥b.规定:零向量与任一向量平行,即对于任一向量a,都有0∥a 相等向量 长度相等且方向相同的向量.向量a与b相等,记作a=b 相反向量 把与向量a长度相等,方向相反的向量叫作a的相反向量,记作-a,并规定零向量的相反向量仍是零向量 知识点三　向量的夹角 1.定义:对于两个非零向量a和b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫作向量a与b的夹角. 2.三种特殊情况 a与b的夹角θ a与b的关系 0 a与b同向 π a与b反向 a与b垂直,记作a⊥b 名师点睛 向量的夹角和直线的夹角是不同的,首先向量夹角的范围是[0,π],直线夹角的范围是[0,];其次向量的夹角是有指向性的,比如等边三角形ABC中,的夹角是120°,而直线AB和BC的夹角是60°. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)零向量没有方向.(　　) (2)若|a|=|b|,则a=b.(　　) (3)若四边形ABCD是平行四边形,则.(　　) × × × 题型分析·能力素养提升 【题型一】向量的概念辨析 例 1 [链接教材练习,T1]下列说法正确的是(　　) A.向量与向量的长度相等 B.两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同 C.若a∥b,b∥c,则a∥c D.若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等 A 解析 对于B,两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的方向不一定相同,终点也不一定相同,故B错误;对于C,当b=0时,a与c可能不平行,故C错误;对于D,当两个单位向量平行时,这两个单位向量可能方向相反,此时不相等,故D错误.故选A. 题后反思　1.向量的概念辨析要抓住向量的两重性,即大小与方向. 2.对于单位向量,它的模是1,方向不确定. 3.注意零向量和任何向量共线. 跟踪训练1 (多选题)下列说法中错误的是(　　) A.若向量是共线向量,则A,B,C,D四点必在一条直线上 B.零向量与零向量共线 C.若a=b,b=c,则a=c D.单位向量的起点都相同 AD 解析 向量是共线向量,则A,B,C,D四点不一定在一条直线上,故A错误;零向量与任一向量共线,故B正确;若a=b,b=c,则a=c,故C正确;单位向量的起点不一定相同,故D错误.故选AD. 【题型二】相等向量与共线向量 例 2 [链接教材例2](多选题)如图所示,网格的每个小正方形的边长都是1,在其中标出了6个向量,则下列说法正确的是(　　) A.向量的模相等 B.图中所示的向量中没有与共线的向量 C.向量共线 D.互为相反向量 BC 解析 对于A,因为||=,||==2,所以||≠||,所以A错误;对于B,图中所示的向量所在的直线中没有与AE平行的,所以B正确;对于C,因为∠CDG=∠CFH=45°,所以DG∥HF,所以向量共线,所以C正确;对于D,因为共线,且方向相反,但是模不相等,所以D错误.故选BC. 规律方法　相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向的. (2)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再确定同向与反向的向量.注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点、起点为终点的向量. 跟踪训练2 如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,在以A,B,C,D,E,F为起点和终点的向量中, (1)找出与向量相等的向量; (2)找出与向量共线的向量. 解 (1)∵E,F分别为BC,CA的中点, ∴EF∥BA,且EF=BA. 又∵D是BA的中点,, ∴与向量相等的向量有 (2)∵D,F分别为BA,AC的中点, ∴DF∥BC,且DF=BC.∴与向量共线的向量有 【题型三】向量的表示及应用 例 3 已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地,再从B地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达C地,再从C地按西南方向飞行 1 000 km到达D地. (1)作出向量; (2)D地在A地的什么方向?D地距A地多远? 解 (1)由题意,作出向量,如图所示. (2)依题意知,△ABC为正三角形,所以AC=2 000 km,又因为∠ACD=45°,CD=1 000 km,所以△ACD为等腰直角三角形,即AD=1 000 km,∠CAD=45°,所以D地在A地的东南方向,距A地1 000 km. 规律方法　用有向线段作向量的方法 (1)在画图时,向量是用有向线段来表示的,用有向线段的长度表示向量的大小,用箭头所指的方向表示向量的方向. (2)具体步骤如下: 跟踪训练3 在如图所示的方格纸上,已知向量a,每个小正方形的边长为1. (1)试以B为起点画一个向量b,使b=a; (2)在图中画一个以A为起点的向量c,使|c|=,并说出向量c的终点的轨迹是什么? 解 (1)图形如下: (2)图形如下: C的终点的轨迹是以A为圆心,为半径的圆. 【题型四】向量的夹角 例 4 如图,已知在平行四边形ABCD中,||=||,且向量的夹角为60°,则的夹角为多少?的夹角又是多少? 解 因为在平行四边形ABCD中,||=||,所以四边形ABCD为菱形,又因为∠BAD=60°,所以△ABD为等边三角形,所以向量的夹角为∠BAC=30°. 向量的夹角即为向量的夹角,又∠CDB=∠DBA=60°,所以向量的夹角为60°. 题后反思　求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合,作两个向量的夹角,然后按照“一作二证三算”的步骤求出夹角. 跟踪训练4 若非零向量是共线向量,则它们的夹角是　　　 　.  0°或180° $