9.1 向量概念课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

9.1 向量概念 第9章 平面向量 高一下学期数学苏教版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 向量的实际背景与概念 1 数量与向量 我们把只有大小的量（如距离、身高、质量等）叫作数量，把既有大小又有方 向的量（如力、速度、加速度、位移等）叫作向量. 6 2 向量的二要素 向量由大小与方向两个要素组成，向量的大小是代数特征，方向是几何特征. 辨析比较 向量与数量 数量只有大小没有方向，其大小可以用正数、负数、零来表示，所以数量可以 比较大小，如长度、质量、面积、体积等；向量既有大小又有方向，因为方向不能 比较大小，所以向量不能比较大小. 向量与矢量 数学中的向量是从物理中的矢量（如位移、力、速度、加速度等）抽象出来的， 但在这里我们仅考虑它的大小和方向；而物理中的这些量，既同时具备大小和方向 这两个属性，又具备其他属性（如“力”是由大小、方向、作用点共同决定的）. 7 典例详解 【问题质疑】 问题1： 给出下列物理量：①质量；②路程；③密度；④功;⑤时间.它们是向量吗？ 为什么？ 提示 它们不是向量，因为质量、路程、密度、功、时间只有大小没有方向，所以 是数量. 问题2： 海平面以上的高度（海拔）用正数表示，海平面以下的高度用负数表示， 那么海拔是向量吗？温度也有正负之分，那么它是向量吗？为什么？ 提示 海拔不是向量，它只有大小没有方向.温度也是只有大小没有方向，不是向量. 海拔的正负、温度的零上或零下都只是相对规定的标准来说的，不是指方向. 8 知识点2 向量的几何表示 1 向量的表示 向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的 方向表示向量的方向.用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如以 为起 点、为终点的向量记为.（注意起点写在终点的前面）向量也可用小写字母 , ， 来表示.（图9.1-1） 图9.1-1 . . 9 辨析比较 有向线段与向量的区别和联系 区别 （1）从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方 向、长度三个要素.因此，这是两个不同的量. （2）在平面内，有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的. 联系 向量可以用有向线段来表示，但向量不是有向线段，也不能说有向线段是向 量.一条有向线段对应着一个向量，但一个向量对应着无数多条有向线段. 10 2 向量的长度（模） 向量的大小称为向量的长度（或称为模）,记作.向量 的长度在数值 上等于线段 的长度,因此向量的长度是非负实数.（向量的长度可以比较大小） . . 11 3 两种特殊的向量 （1）长度为0的向量称为零向量,记作 ，零向量的方向是任意的. （2）长度等于1个单位长度的向量，叫作单位向量. 特别提醒 向量相关概念的注意点 1.用小写字母表示向量时,印刷用粗体，书写用 . 2.零向量、单位向量的定义中都是只限制长度,不确定方向. 3.当有向线段的起点与终点重合时, . 4.要注意0与的区别及联系,0是一个实数,是一个向量,且有 . 12 典例详解 例2-1 如图9.1-5，，是线段 的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点， 可以写出____个向量． 12 图9.1-5 【解析】可以写出12个向量，它们分别是,,,,,,,,,,, . 13 例2-2 [多选题](2025·湖南省长沙市期中)下列说法正确的是( ) AC A.向量与向量 的长度相等 B.有向线段就是向量，向量就是有向线段 C.零向量的方向是不确定的 D.单位向量的方向是任意的 【解析】向量与向量的长度都等于线段 的长度，故A正确； 有向线段是向量的几何表示，二者并不相同，故B不正确； 零向量的方向是任意的，因此零向量的方向是不确定的，故C正确； 单位向量有无数个，它们的长度相等，但方向不一定相同（单位向量的方向并不是 任意的），每个方向上都有单位向量，故D不正确． . . 14 【教材链接】 教材第5页【思考】：平面上起点在定点 的单位向量，其终点的集合是什么图形？ 提示 一个半径为1的圆. 知识点3 相同的向量、平行（共线）向量与相反向量 1 平行向量 方向相同或相反的非零向量叫作平行向量，向量与向量平行,记作 .我们 规定零向量与任一向量平行. 2 相同的向量 所有长度相等且方向相同的向量都看作相同的向量，而不管它们的起点位置如 何.向量与是相同的向量，也称与相等,记作 . 15 3 共线向量 如图9.1-2，向量,，两两平行，可以通过平移使得,， 落在同一直线上， 所以，任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上.因此平行向量又称为共线向量. 图9.1-2 提示POINT 表示平行（共线）向量的有向线段可以在同一条直线上，也可以在平行的直线上. 16 4 相反向量 我们把与向量长度相等,方向相反的向量叫作的相反向量，记作,与 互 为相反向量.并且规定零向量的相反向量仍是零向量.于是,对任意一个向量 ，总有 . 特别提醒 对共线（平行）向量的四个提醒 1. 理解平行向量的概念时，需注意，平行向量和平行直线是有区别的，平行直 线不包括重合的情况，而平行向量是可以共线的．#1.1.1.1 . . 17 2. 共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含 义．实际上，共线（平行）向量有以下四种情况：#1.1.1.2 显然共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量. 3.对共线向量的讨论，要考虑方向、长度，尤其不能忘记对零向量的讨论 . 4.向量相等具有传递性，即若,,则 .而向量的平行不具有传递性， 若,,未必有.因为零向量平行于任意向量，那么当时，, 可以是 任意向量，所以与不一定平行.但若，则必有, .因此，解答 问题时要看清题目中是任意向量还是任意非零向量.#1.1.1.4 . . . . 18 典例详解 例3-3 (2025·河北省保定市期中)下列命题中是真命题的是( ) D A.向量，均为非零向量就是所在的直线平行于 所在的直线 B.长度相等的向量叫作相同的向量 C.共线向量是在一条直线上的向量 D.相同的向量一定是平行向量 【解析】向量包含所在的直线与 所在的直线平行或重合两种情况，故 A是假命题. 相同的向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B是假命题. 共线向量可以是在同一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故C是 假命题. 相同的向量方向相同，因此相同的向量一定是平行向量，故D是真命题. 19 例3-4 ［教材改编P7 T1］ (2025·湖北省部分高中期中)下列说法中正确的是( ) D A.若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B.若向量与都是单位向量，则 C.模相等的两个平行向量是相等向量 D.若两个向量相等，则它们的模相等 【解析】对于A， 向量是可以移动的，两个向量相等时，它们的起点和终点不一 定相同， 错误； 对于B，与都是单位向量，则，但它们的方向不一定相同， 错误； 对于C，模相等的两个平行向量的方向可能相同，也可能相反，即模相等的两个平行 向量是相等向量或相反向量， 错误； 对于D，两个向量相等，则它们的模相等，D正确． 20 知识点4 向量的夹角 对于两个非零向量和，在平面内任取一点，作， ， 叫作向量与 的夹角，如图9.1-3.#1 图9.1-3 图9.1-4 如图9.1-4（1），当 时，与 同向； 如图9.1-4（2），当 时，与 反向； 如图9.1-4（3），当 时，则称向量与垂直，记作 .#1.4 . . 21 典例详解 例4-5 在锐角三角形 中，下列说法正确的是( ) B A.与的夹角是锐角 B.与 的夹角是锐角 C.与的夹角是钝角 D.与 的夹角是锐角 【解析】由两向量的夹角的定义知，与的夹角等于,与 的夹 角等于,与的夹角等于,与的夹角等于 ,因为三角 形 为锐角三角形,所以只有B正确. 22 重难拓展 知识点5 用共线（平行）向量或相同的向量刻画几何关系 利用向量可以判断图形的形状（如平行四边形、等腰三角形等）、证明多点共 线等．常通过下面三点实现. （1）利用向量的模相等可以证明线段相等; （2）利用向量平行（共线）可以证明（判断）直线与直线平行，但证明直线与 直线平行时需说明向量所在的直线无公共点; （3）利用向量相等可以证明线段平行且相等． （4）利用向量可以判断图形的形状（如平行四边形、等腰三角形等）、证明多 点共线（【小结论】若,则,, 三点共线）等． . . . . . . 23 典例详解 例5-6 “向量，共线”是“直线 ”的____________条件.（填“必要不充分” “充分不必要”“充要”“既不充分也不必要”） 必要不充分 【解析】因为向量，共线,所以直线，平行或重合；因为直线 ， 所以向量，共线.因此“向量，共线”是“直线 ”的必要不充分条件. 24 题型解析 03 题型1 向量的几何表示 例7 (2025·甘肃省陇南市月考)飞机从地按北偏西 的方向飞行到达 地， 再从地按南偏东 的方向飞行到达 地，求该飞机飞行的路程和位移. 26 图9.1-6 【解析】如图9.1-6所示，表示飞机从地按北偏西 方向飞 行到地的位移，则 . 表示飞机从地按南偏东 方向飞行到 地的位移， 则 . 所以该飞机飞行的路程为 . 表示飞机从地到地的位移，在中， ，且 ,则为等边三角形，所以 , ，则 . 因为 ,所以地在地北偏东 方向上，且距离地 . 27 易错警示 路程是指物体运动轨迹的长度，只有大小，没有方向，是一个标量；而 位移只与物体移动的起点和终点有关，既有大小又有方向，是一个向量.因此不能将 位移与路程等同起来. 28 作向量的思路 用有向线段表示向量时,先确定起点,再确定方向,最后依据向量模的大小确定向量的 终点.必要时,需依据直角三角形的相关知识求出向量的方向或长度,选择合适的比例 关系作出向量. 理解位移的关键点 1.位移表示质点位置的变化，表示起点与终点间的位置关系，而与质点实际运动的 路线无关. 2.从两个不同点出发的位移，只要方向相同，大小相等，我们就把它们看成相等的位移. 29 【学会了吗丨变式题】 图9.1-7 新情境 象棋 ［教材改编P16 T16］中国象棋中规 定：马走“日”字.图9.1-7是中国象棋的半个棋盘，若 马在处，可跳到处，也可跳到 处，用向量 或 表示马走了“一步”.试在图中画出马在 ， 处各走“一步”的所有情况. 图D 9.1-1 【答案】马在 处走“一步”的所有情况如图D 9.1- 1（1）所示; 马在 处走“一步”的所有情况如图D 9.1-1（2）所示. 30 题型2 考查向量相等、共线 例8 ［教材改编P6例1］如图9.1-8所示，的三边长均不相等，,, 分别是 ，， 的中点. 图9.1-8 （1）写出与 共线的向量; 【解析】,分别是，的中点， , 与共线的向量为,,,,,, （找一个向量的共线向量时，切勿忽 视与其方向相反的向量）. . . . . . . . . . . . . . . . . 31 （2）写出与 长度相等的向量； 【解析】,,分别是,, 的中点， , , ,, 均不相等， 与长度相等的向量为,,,, （切勿忽视与其长度相等但方向相反的 向量）. （3）写出与 相等的向量. 【解析】与相等的向量为， （相等向量必须满足两个条件：方向相同，长 度相等）. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 在平面图形中寻找共线、相等向量的方法 1.在平面图形中寻找共线向量时，应逐个列举，做到不重不漏，可先找在同一条直 线上的共线向量，然后找平行直线上的共线向量，要注意一条线段对应两个共线向 量，方向相同但长度不等的有向线段表示不同的共线向量． 2.相等向量一定是共线向量，因此在找相等向量时，可以从共线向量中筛选，找出 长度相等且方向相同的共线向量即可． 注意:判断两向量是否共线的关键是看两向量所在的直线是否平行或重合；判断两向 量是否相等不仅要看两向量所在的直线是否平行或重合，还要看两向量的模是否相 等、方向是否相同． 在平面图形中找相等向量、共线向量时，要注意利用三角形的中位线定理、平行四 边形的性质等平面几何知识寻找线线之间的相等或平行关系.#2.1.4 33 题型3 向量模的问题 例9 如图9.1-9，已知，，分别是等边各边的中点，且 的边长为2， 连接，, . 图9.1-9 （1）在图中已标出的向量中，写出模为2的向量； 【解析】由图中向量及，可知模为2的向量有，， . 34 （2）试求，， . 【解析】，分别为，的中点，， .由勾股定理， 得.同理，得.， . 35 求平面图形中所给向量的模的方法 利用三角形（等边三角形等）、四边形（梯形、平行四边形、菱形、矩形等）等平 面图形的性质，通过证明三角形全等或相似，结合三角形中位线的性质，勾股定理 等相关知识求出所给向量对应的有向线段的长度. 36 题型4 向量的夹角的应用 图9.1-10 例10 ［教材改编P7例2］图9.1-10是由两个边长为1的正方 形拼接而成的长方形，则在以,,,,, 为起点和终点 的向量中，与向量的夹角为 的单位向量有___个. 7 【解析】与向量有相同起点且夹角为 的单位向量 有,.与向量共线且同向的单位向量有， ， ，与向量共线且同向的单位向量有，,这几个向量与的夹角也为 . 所以与向量的夹角为 的单位向量有7个. 37 在求两个向量的夹角时，一定要明确夹角的定义，当表示两个向量的有向线段的起 点或终点重合时，所形成的角才是向量的夹角；当表示两个向量的有向线段的起点 与终点重合时，所形成的角是向量的夹角的补角. 38 题型5 用向量关系研究几何图形的性质 图9.1-11 例11 ［教材改编P9 T8］如图9.1-11，已知四边形 中，，分别是,的中点，且 .求证： . 39 40 【解析】由可知且 ， 所以四边形 为平行四边形， 所以且 ， 又,分别是, 的中点， 所以且 ， 所以四边形是平行四边形,故 . 名师点评 若，且,,,四点不共线，则四边形 为平行四边形;若四 边形为平行四边形,则.因此“”是“四边形 为平行四边形” 的必要不充分条件. 41 利用向量关系证明或判断线段平行或相等的方法 （1）证明或判断线段相等,只需证明或判断相应向量的长度（模）相等. （2）证明线段平行,先证明相应的向量共线,再说明线段不共线. 42 知识测评 04 建议时间：25分钟 1.正边形有条边，它们对应的向量依次为,,， ，，则这 个向量( ) D A.都相等 B.都共线 C.都不共线 D.模都相等 【解析】正边形的边长相等，故这 个向量的模相等. 2.(2025·广东省深圳市段考)设是正六边形的中心，则下列选项中与 相等 的向量为( ) D A. B. C. D. 【解析】四个选项中只有向量与 的长度相等且方向相同. 44 3.下列结论中正确的是( ) B A.已知,都为单位向量，则 B.若是直线上的一点，单位长度已选定，则上有且只有两个点，，使得 ， 是单位向量 C.方向为北偏西 的向量与方向为南偏东 的向量不可能是平行向量 D.一人从点向东走到达点，则向量不能表示这个人从点到 点的位移 【解析】单位向量,的方向不确定，故A不正确；B显然正确；方向为北偏西 的向量与方向为南偏东 的向量是一对方向相反的向量，因此是平行向量，故C不 正确；根据位移的定义可知向量表示这个人从点到 点的位移，故D不正确. 45 4.(2025·江苏省镇江市质检)如图9.1-1,等腰梯形中，对角线与交于点 ， 点，分别在两腰，上，过点，且 ，则下列等式成立的是( ) 图9.1-1 D A. B. C. D. 46 【解析】A中,与的方向不同，故A错误;B中，与 的方向不同，故B错误;C 中，与的方向相反，故C错误;D中,与的方向相同，且长度都等于线段 长度的一半，故D正确. 47 5.［多选题］下列说法正确的是( ) CD A.两个终点相同的向量是平行向量 B.任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点 C.向量与不共线，则与 都是非零向量 D.若，，则 【解析】两个终点相同的向量，它们起点的位置不确定，所以它们不一定是平行向 量，故A错误； 任意两个相等的非零向量的起点与终点可能是一平行四边形的四个顶点或都在一条 直线上，故B错误； 若与中有一个为零向量，则与 共线，故C正确； 长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性，故D正确． 48 6.给出下列命题： ①向量和向量 的长度相等； ②方向不同的两个向量一定不平行； ③向量 是有向线段； ④向量大于向量 ; ⑤若向量与向量是共线向量，则点,,, 必在同一直线上； ⑥单位向量相等； ⑦若四边形是平行四边形，则 ; ⑧共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. 以上命题正确的是______.（填序号） ①⑦ 49 【解析】 序号 正误 原因 ① √ . ② 平行向量的方向包括相同和相反两种情况. ③ 向量可以用有向线段来表示，但不能把二者等同起来. ④ 向量不能比较大小，这是向量与数量的显著区别. ⑤ 因为向量可以自由平移，所以共线向量所在的直线可以平行，也可 以重合，所以点,,, 不一定在同一条直线上. ⑥ 单位向量的模均为1，但方向不一定相同. ⑦ √ 若四边形是平行四边形，则，且,故 . ⑧ 共线的向量，当起点不同时，终点可以相同. 50 7.如图9.1-2，点在的边上，且与,不重合，,分别在, 上， . 图9.1-2 求证： . 【答案】，且 ， 四边形是平行四边形，， . 由,得 . 51 图9.1-3 8.［教材改编P8 T3］如图9.1-3所示，是正六边形 的中 心，且，，.在以点,,,,,, 为起点或 终点的向量中: （1）与 长度相等且方向相反的向量有哪些？ 【答案】与长度相等且方向相反的向量有，，， . （2）与 共线的向量有哪些？ 【答案】与共线的向量有，，，，，，，， . （3）请一一列出与，， 相同的向量. 【答案】与相同的向量有，，；与相同的向量有，，；与 相 同的向量有，， . 52 高考模拟 05 建议时间：25分钟 9.(2025·安徽省宿州市期中)“向量，共线”是“直线 ”的( ) A A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】向量，共线 直线， 平行或重合； 直线 向量， 共线. 因此“向量，共线”是“直线 ”的必要不充分条件. 54 10.［多选题］(2025·广东省梅州市期中)已知与共线的向量，与 长度相 等的向量，与长度相等且方向相反的向量，其中 为非零向量，则下列说法 中正确的是( ) ACD A. B.} C. D. } 【解析】因为中含有与长度相等、方向相反的向量，所以B选项错误 ，C， D正确. 55 图9.1-4 11.如图9.1-4,是正三角形的中心，四边形和 均为平 行四边形,则与向量相等的向量为____;与向量 共线的向量为 ________;与向量 的模相等的向量为_________________；与向量 垂直的向量为_______.（填图中所画出的向量） , ,,,, , 【解析】因为是正三角形的中心，所以, ,易知四边形 和四边形均为菱形，所以与相等的向量为，与 共线的向量为 ,，与的模相等的向量为,,,,,与垂直的向量为, . 56 图9.1-5 12.如图9.1-5，在中，的平分线交于点.若 的模 为2，的模为3，的模为1，则 的模为__. 图D 9.1-1 【解析】如图D 9.1-1，过点作的平行线,交 的延长线于点 . 易知,所以 . 易知 , 所以，故 . 57 图9.1-6 13.如图9.1-6所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成， 方格纸中有两个定点,，点 为小正方形的顶点，且 . （1）画出所有的向量 ; 58 【答案】画出所有的向量，如图D 9.1-2中,,,,,,, 所示. 图D 9.1-2 59 （2）求 的最大值与最小值. 【答案】由图D 9.1-2可知， ①当点位于点或处时，取得最小值，为 ; ②当点位于点或处时，取得最大值，为 . 故的最大值为,最小值为 . 60 谢谢观看 高一下学期数学苏教版必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 61 $