9.2.3 第1课时 向量数量积的概念、运算及投影向量-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

第1课时　向量数量积的概念、运算及投影向量 1 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积（数学抽象、数学运算）. 2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义（数学抽象）. 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系（逻辑推理）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产 生位移s，那么力F所做的功W＝｜F｜｜s｜ cos θ，其中θ是F与s的 夹角. 　　功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定.这给我们一种启示， 能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向 量“数量积”的概念. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【问题】　两个向量的数量积与这两个向量的哪些量有关？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　向量的数量积 1. 定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，把数量 ⁠ 叫作向量a和b的数量积，记作 ，即a·b＝ ⁠ ⁠. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝ ⁠. 　　提醒：（1）数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略 不写；（2）向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、 可为0. ｜a｜｜ b｜ cos θ　 a·b　 ｜ a｜｜b｜ cos θ　 0　 2. 两个非零向量a和b的夹角θ，可以由 cos θ＝ 求得. 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向 量.则 （1）a·e＝e·a＝｜a｜ cos θ； （2）a⊥b⇔a·b＝0； （3）当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝ ； （4）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 　已知非零向量a，b，a与b的夹角为θ，若a·b＜0，则θ是钝角对吗？ 提示：不对.若θ＝π时，a·b＜0. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　投影向量 1. 定义：设a，b是两个非零向量，如图， 表示向量a， 表示向量 b，过点A作 所在直线的垂线，垂足为点A1，我们将上述由向量a得到 向量 的 称为向量a向向量b投影，向量 　 　称为向量a在 向量b上的投影向量. 变换　 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 对于向量a，b，向量a在向量b上的投影向量为 ⁠ ⁠. 3. 向量数量积的几何意义：向量a和b的数量积就是向量a在向量b上 的 与向量b的数量积. （｜a｜ cos θ） 　 投影向量　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 　　提醒：（1）向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量； （2）如果向量a与向量b平行，向量a 在向量b上的投影向量等于a或－a，当a与b垂直时，a在b上的投影向量 为0；（3）向量a在向量b上的投影向量与向量b在向量a上的投影向量不 是同一个向量；（4）如图， · ＝±｜ ｜｜ ｜，符号由θ的范 围确定. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A. 对任意向量a，都有a2＝｜a｜2 B. 若a≠0，且a·b＝a·c，则b＝c C. 若a·b＝｜a｜｜b｜，则a∥b D. 若a∥b，则a·b＝｜a｜｜b｜ √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知｜a｜＝4，｜b｜＝2，当它们之间的夹角为 时，a·b＝（　　） A. 4 B. 4 C. 8 D. 8 解析： 　根据向量数量积的定义得a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞＝ 4×2× cos ＝4. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，a与b的夹角为135°，则b在a方向上的投 影向量为 ⁠. 解析：b在a方向上的投影向量为｜b｜ cos ＜a，b＞· ＝ ×（－ ）a＝－ a. － a　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜平面向量数量积的有关概念 【例1】　〔多选〕下列叙述正确的是（　　） A. a·0＝0 B. a·0＝0 C. 若a≠0，则对任一非零向量b，有a·b≠0 D. 若a与b是两个单位向量，则a2＝b2 解析： 　A中，a·0＝0，故A错误；B中，a·0＝0，故B正确；C中，设 a与b的夹角为θ，a与b均为非零向量，当 cos θ＝0时，a·b＝0，故C错 误，D正确.故选B、D. √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 　　两个平面向量的数量积是一个全新的运算，最后的结果是一个实数， 它是由两个向量的模与两个向量夹角的余弦值相乘所得的结果，所以最后 的值由｜a｜，｜b｜及 cos ＜a，b＞所决定.即有以下结论：设两个非零 向量a与b的夹角为θ，则 （1）当θ＝0时， cos θ＝1，a·b＝｜a｜｜b｜； （2）当θ为锐角时， cos θ＞0，a·b＞0； （3）当θ为直角时， cos θ＝0，a·b＝0； （4）当θ为钝角时， cos θ＜0，a·b＜0； （5）当θ＝π时， cos θ＝－1，a·b＝－｜a｜｜b｜. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　〔多选〕已知a，b，c是三个非零向量，则下列选项中正确的是 （　　） A. a·b＝±｜a｜｜b｜⇔a∥b B. a与b同向⇔a·b＝｜a｜｜b｜ C. ｜a｜＝｜b｜⇔｜a·c｜＝｜b·c｜ D. 若a·b＝0，则＜a，b＞＝ √ √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ，所以由a·b＝±｜a｜｜b｜且 a，b为非零向量可得 cos θ＝±1，所以θ＝0或θ＝π，所以a∥b，反 之也成立，故A正确；若a，b同向，则a，b的夹角为0，所以a·b＝｜ a｜｜b｜ cos 0＝｜a｜｜b｜，反之也成立，故B正确；当｜a｜＝｜ b｜，但a与c的夹角和b与c的夹角不相等时，就有｜a·c｜≠｜b·c｜， 反之由｜a·c｜＝｜b·c｜也推不出｜a｜＝｜b｜，故C错误；若a·b＝0 且a，b为非零向量，所以a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞＝0，即 cos ＜a，b＞＝0，又因为＜a，b＞∈[0，π]，所以＜a，b＞＝ ，故D正确. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜向量数量积的运算 【例2】　（链接教科书第22页例1）（1）已知向量a与b的夹角为 120°，且｜a｜＝4，｜b｜＝2，求：①a·b；②a·a－a·b－2b·b； 解： ①由已知得a·b＝｜a｜｜b｜· cos θ＝4×2× cos 120°＝－4. ②a·a－a· b－2b·b＝｜a｜2－a·b－2｜b｜2＝16－（－4）－2×4＝ 12. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）已知正三角形ABC的边长为1，求：① · ；② · ；③ · . 解： ①∵ 与 的夹角为60°，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos 60°＝1×1× ＝ . ②∵ 与 的夹角为120°，∴ · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos 120°＝ 1×1×（－ ）＝－ . ③∵ 与 的夹角为60°，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜· cos 60°＝ 1×1× ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 定义法求平面向量的数量积 　　若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的 起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 设｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为（　　） A. B. C. D. π 解析： 　设a，b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ，∵θ∈[0， π]，∴θ＝ . √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知平面上三点A，B，C满足｜ ｜＝3，｜ ｜＝4，｜ ｜＝ 5，则 · ＋ · ＋ · ＝（　　） A. －7 B. 7 C. 25 D. －25 解析： 　由题得｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2，所以∠ABC＝90°， 所以原式＝0＋4×5 cos （180°－C）＋5×3 cos （180°－A）＝－20 cos C－15 cos A＝－20× －15× ＝－16－9＝－25.故选D. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜投影向量 【例3】　（链接教科书第24页练习5题）已知｜a｜＝3，｜b｜＝1，向 量a与向量b的夹角为120°，求： （1）a在b上的投影向量； 解： ∵｜b｜＝1，∴b为单位向量. ∴a在b上的投影向量为｜a｜ cos 120°·b＝3× b＝－ b. （2）b在a上的投影向量的模. 解： 由投影向量的定义知，向量b在a上的投影向量的模为｜b｜ ｜ cos 120°｜＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 投影向量的求解方法 　　任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于｜a｜ cos θ e （θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量），其中｜a｜｜ cos θ｜为a在b上投影向量的模. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 若｜a｜＝2，｜b｜＝4，a·b＝－4，则向量a在向量b上的投影向量 为（　　） A. － b B. － b C. b D. － b 解析： 　因为a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ，所以 cos θ＝ ＝ ＝ － ，则a在b上的投影向量是｜a｜ cos θ ＝2×（－ ）× ＝－ b.故选D. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. （2025·南京期末）已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，若a在b上的投影向量 为－ b，则a与b的夹角为（　　） A. 60° B. 120° C. 135° D. 150° √ 解析： 　设a，b的夹角为θ，则a在b上的投影向量为（｜a｜ cos θ）· ＝－ b，即 ＝－ ，则 cos θ＝－ · ＝－ ， 所以a与b的夹角为120°.故选B. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 已知｜a｜＝ ，｜b｜＝2 ，a与b的夹角是120°，则a·b＝ （　　） A. 3 B. －3 C. －3 D. 3 解析： 　由平面向量数量积的定义得a·b＝｜a｜｜b｜ cos 120°＝ ×2 ×（－ ）＝－3.故选B. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 〔多选〕对于任意向量a，b，c，下列命题中正确的是（　　） A. 若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 B. ｜a－b｜＝｜a｜－｜b｜ C. 若a⊥b，则a·b＝0 D. ｜a｜＝ 解析： 　对于A，a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误；对于 B，｜a－b｜≥｜a｜－｜b｜，所以B错误；对于C，由数量积的性质 知，C正确；对于D，因为a·a＝｜a｜｜a｜ cos 0＝｜a｜2，所以｜a｜ ＝ ，所以D正确.故选C、D. √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝ ，则 · ＝ ⁠. 解析： · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ∠ABC＝2× × cos 45°＝2. 2　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 已知｜a｜＝6，e为单位向量，当向量a，e的夹角θ分别等于45°， 90°，135°时，求向量a在向量e上的投影向量. 解：当θ＝45°时，a在e上的投影向量为｜a｜ cos 45°·e＝6× e＝ 3 e； 当θ＝90°时，a在e上的投影向量为｜a｜ cos 90°·e＝6×0×e＝0； 当θ＝135°时，a在e上的投影向量为｜a｜ cos 135°·e＝6×（－ ） e＝－3 e. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. （2025·南通期中）若a，b是两个单位向量，则下列结论中正确的是 （　　） A. a＝b B. a∥b C. a·b＝1 D. a2＝b2 解析： 　a，b是两个单位向量，则｜a｜＝｜b｜＝1，但a，b方向不 能确定，故A、B错误；设a，b夹角为θ，则a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ＝ cos θ，只有a，b同向共线时，才有 cos θ＝1，故C错误；∵a2＝｜a｜2 ＝1，b2＝｜b｜2＝1，∴a2＝b2，故D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知m，n为非零向量，则“m·n＞0”是“＜m，n＞为锐角”的 （　　） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析： 　易知，若m·n＞0，则｜m｜｜n｜ cos ＜m，n＞＞0，故 cos ＜m，n＞＞0，结合＜m，n＞∈[0，π]，得＜m，n＞＝0或＜m，n ＞∈（0， ），反之，若＜m，n＞∈（0， ），则必有m·n＞0，故 “m·n＞0”是“＜m，n＞为锐角”的必要不充分条件，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知e1，e2是夹角为45°的两个单位向量，则e1·e2＝（　　） A. 1 B. －1 C. D. － 解析： 　因为e1，e2是夹角为45°的两个单位向量，所以e1·e2＝ · cos 45°＝1×1× ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 在边长为1的等边△ABC中，设 ＝a， ＝b， ＝c，则a·b＋ b·c＋c·a＝（　　） A. － B. C. － D. 解析： 　a·b＝ · ＝－ · ＝－｜ ｜·｜ ｜ cos 60°＝－ .同理b·c＝－ ，c·a＝－ ，∴a·b＋b·c＋c·a＝－ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 如图所示的是一个圆形，圆心为O，A，B是圆O上的两点，若｜ ｜＝4，则 · ＝（　　） A. 4 B. 8 C. 8 D. 16 解析： 　法一　依题意，｜ ｜ cos ＜ ， ＞＝ ｜ ｜，则 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ＜ ， ＞＝｜ ｜× ｜ ｜＝4×2 ＝8. √ 法二　结合圆的性质易得 在 上的投影向量为 ，所以 · ＝ ＝ ×42＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕若｜a｜＝1，｜b｜＝2，则｜a·b｜的值可能是（　　） A. 0 B. C. 2 D. 3 解析： 由向量的数量积性质｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜，可知A、B、 C正确.故选A、B、C. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. 在四边形ABCD中， · ＝0， ＝ ，则四边形ABCD的形状 是 （填“平行四边形”“矩形”“菱形”或“正方形”）. 解析：由 · ＝0，知AB⊥BC. 由 ＝ ，知BC􀱀AD，所以四边 形ABCD是矩形. 矩形　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 已知b为一个单位向量，若a在b上的投影向量为－ b，｜a｜＝2， 则a与b的夹角为 ⁠. 解析：设a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]，由题意知｜a｜ cos θ＝－ ，所以 cos θ＝－ ＝－ ，所以θ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1， 则 · ＝ ⁠ ⁠. 解析：法一　 · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos （180°－∠B）＝－｜ ｜ ｜ ｜· cos B＝－｜ ｜｜ ｜· ＝－｜ ｜2＝－1. －1　 法二　｜ ｜＝1，即 为单位向量， · ＝－ · ＝－｜ ｜ ·｜ ｜ cos B，而｜ ｜· cos B＝｜ ｜，所以 · ＝－｜ ｜2 ＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 在△ABC中，AC＝3，向量 在 上的投影向量为－2 ， S△ABC＝3，求BC的长度. 解：因为向量 在 上的投影向量为－2 ，故 ∠BAC为钝角， 如图，过B作AC的垂线，垂足为E，则E在CA的延长线上， 而向量 在 上的投影向量为 ＝｜ ｜× cos ∠BAC× ＝－｜ ｜× ，故｜ ｜＝2. 又S△ABC＝3，所以 ×BE×3＝3，故BE＝2，故BC＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 定义：｜a×b｜＝｜a｜｜b｜ sin θ，其中θ为向量a与b的夹角， 若｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－6，则｜a×b｜＝（　　） A. 8 B. －8 C. 8或－8 D. 6 √ 解析： 　 cos θ＝ ＝ ＝－ ，∵θ∈[0，π]，∴ sin θ＝ .∴｜a×b｜＝2×5× ＝8.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列说法正确的是 （　　） A. cos θ＞0⇔e1·e2＞0 B. 若e1∥e2，则e1·e2＝1 C. 若e1∥e2，则e1·e2＝－1 D. ｜e1·e2｜≤1 解析： 　∵e1·e2＝｜e1｜｜e2｜ cos θ＝ cos θ，∴若 cos θ＞0，则 e1·e2＞0；若e1·e2＞0，则必有 cos θ＞0，故A正确；e1∥e2，需分两种情 况，当e1，e2同向时，e1·e2＝1；当e1，e2反向时，e1·e2＝－1，故B、C错 误；｜e1·e2｜≤｜e1｜｜e2｜＝1，故D正确.故选A、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝ 3，则 · ＝ ⁠. 解析：设AC与BD相交于点O，则O为AC的中点， · ＝ · ＝ 2 · ，因为 在 上的投影向量为 ，则 · ＝ · .所以 · ＝2 · ＝2｜ ｜2＝2×32＝18. 18　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且 ＝x ＋y . （1）若 ＝ ，求x，y的值； 解： 若 ＝ ，则 ＝ ＋ ， 故x＝y＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）若 ＝3 ，｜ ｜＝4，｜ ｜＝2，且 与 的夹角为 60°，求 · 的值. 解： 因为｜ ｜＝4，｜ ｜＝2，∠BOA＝60°， 所以∠OBA＝90°，所以｜ ｜＝2 . 又因为 ＝3 ，所以｜ ｜＝ . 所以｜ ｜＝ ＝ ， cos ∠OPB＝ . 设 与 的夹角为θ，所以 与 的夹角θ的余弦值为－ . 所以 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos θ＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且 OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°. （1）若点D是线段OB上靠近点O的四等分点，用 ， 表示向量 ； 解： 由已知可得 ＝ ， ＝ － ， 易得OAMB是菱形（图略），则 ＝ ＋ ， 所以 ＝ － ＝ －（ ＋ ）＝－ － . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）求 · 的取值范围. 解： 易知∠DMC＝60°，且｜ ｜＝｜ ｜， 那么只需求MC的最大值与最小值即可. 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝ ， 则 · ＝ × × cos 60°＝ ；当MC与MO重合时，MC最大， 此时MC＝1，则 · ＝ cos 60°＝ ，所以 · 的取值范围为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $