精品解析：重庆市 江津二中联盟十校 2025-2026学年七年级下学期5月期中联考数学试题

2025-2026学年度下期期中测试 初2028届数学题卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 在下列各数中：，，，，，（每两个3之间增加1个0）中是无理数的共有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，先化简可开方的数，再逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴，都是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； （每两个3之间增加1个0）是无限不循环小数，属于无理数； 综上，无理数共有3个． 2. 若点在平面直角坐标系中的第二象限，则关于a，b符号，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据第二象限点的坐标符号规律可判断结果． 【详解】解：∵ 在平面直角坐标系中，第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正， 又∵ 点在第二象限，是点的横坐标，是点的纵坐标， ∴ ． 3. 已知一个正数的平方根分别为和，则这个正数是（ ） A. 25 B. 16 C. 8 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．根据正数的两个平方根互为相反数列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据题意知， 解得：， ∴， ∴这个正数是， 故选：A． 4. 如图，下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 利用平行线的判定方法对各选项逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，不能判定，故选项符合题意； B、，根据同位角相等两直线平行，可判定，故选项不符合题意； C、，根据同位角相等两直线平行，可判定，故选项不符合题意； D、，根据同位角相等两直线平行，可判定，故选项不符合题意； 故选：A． 5. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平方根和算术平方根．根据平方根和算术平方根的定义逐一判断即可得． 【详解】解：A、，此选项不符合题意； B、，此选项不符合题意； C、，此选项符合题意； D、无意义，此选项不符合题意； 故选：C． 6. 对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将①中的表达式代入②式，去括号整理即可得到结果． 【详解】解：，将其代入②式， 得， 去括号得． 7. 下列命题中，真命题的个数有（ ） ①同旁内角互补；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题、平行线的性质、垂直、平行公理、垂线段最短，熟练掌握性质和公理是解题关键．根据平行线的性质、垂直、平行公理、垂线段最短逐项判断即可得． 【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，则原命题是假命题； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，则原命题是假命题； ③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，则原命题是假命题； ④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，则原命题是真命题； 综上，真命题的个数有1个， 故选：A． 8. 如图，长方形的两边，分别在轴、轴上，点与原点重合，点的坐标为，将长方形沿轴向右翻滚，经过1次翻滚，点对应点记为，经过2次翻滚，点对应点记为，…依次类推，经过2025次翻滚后点对应点的坐标为（ ）    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给变换方式发现每翻滚四次为一个周期，横坐标的变化规律是分别加3，1，0，2，每一个周期，点A的横坐标加6，且其纵坐标按1，0，0，2循环出现是解题的关键． 根据所给运动方式，依次求出点A的对应点坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：点的坐标为，四边形是长方形， ，，即长方形的长为2、宽为1． 观察题中图形翻滚规律可知点的坐标为，点，的坐标相同，均为，点的坐标为，点的坐标为，， 由上可知，点的纵坐标按照1，0，0，2的顺序为一个循环组依次循环；长方形每翻滚4次为一个周期，横坐标的变化规律是在周期内，每次翻滚分别加3，1，0，2，即每一个周期结束，点A的横坐标加6， ，即点A经过了506个周期后，再翻滚一次， 点的横坐标为，纵坐标为1，即点的坐标为． 9. 《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺，不变的是井深，据此即可得方程组．正确理解题意，找准等量关系解题的关键． 【详解】解：设绳长x尺，井深y尺， 依题意，得：． 故选：C． 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得，再分类讨论得到答案即可． 【详解】解：∵为自然数，为正整数，且， ∴， 当时，则， ∴，， 满足条件的整式有， 当时，则， ∴，，，， 满足条件的整式有：，，，， 当时，则， ∴，，，，，， 满足条件的整式有：，，，，，； 当时，则， ∴，，，， 满足条件的整式有：，，，； 当时，， 满足条件的整式有：； ∴满足条件的单项式有：，，，，，故①符合题意； 不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；故②符合题意； 满足条件的整式共有个．故③符合题意； 故选D 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 若，且、为连续正整数，则= _______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的估算与大小比较的能力，先估算出的取值范围，得出，的值，进而可得出结论．根据题意求出，的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，为两个连续整数， ∴，， ∴． 故答案为：． 12. 如图，为直线上一点，射线平分，射线平分，且，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算问题，角平分线的有关计算，利用邻补角互补求角度等知识点，熟练掌握几何图形中的角度计算问题是解题的关键． 由邻补角互补可得，由射线平分可得，由邻补角互补可得，由射线平分可得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：， ， 射线平分， ， ， 射线平分， ， ， 的度数为， 故答案为：． 13. 2025年哈尔滨亚洲冬季运动会，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，将于2025年2月7日在哈尔滨市举行．如图，将本次运动会的会徽放入正方形网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，B两点的坐标建立好坐标系，即可确定点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴建立坐标系如下： ∴点B的坐标为． 故答案为： 14. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组；得，得出，结合已知可得，解一元一次方程，即可求解． 【详解】解： ①+②得， ∴ ∵， ∴ 解得： 故答案为：． 15. 如图1，为巡视夜间水面情况，在笔直的河岸两侧（）各安置一探照灯A，B（A在B的左侧），灯A发出的射线从开始以a度/秒的速度顺时针旋转至后立即回转，灯B发出的射线从开始以1度/秒的速度顺时针旋转至后立即回转，两灯同时转动，经过55秒，射线第一次经过点B，此时，则________，两灯继续转动，射线与射线交于点E（如图2），在射线到达之前，当，的度数为________． 【答案】 ①. 2 ②. 或或 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的分析题意，作出辅助线，运用分类讨论的思想进行解题． ①由平行线的性质，得到角之间的关系，然后列出方程，解方程即可； ②由题意，根据旋转的性质，平行线的性质，可对运动过程分成三种情况进行分析：一种情况为射线没到达时，；另两种情况为射线到达后，返回旋转的过程中，；分别求出答案即可． 【详解】解：①如图，射线第一次经过点B， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 故答案为：2． ②设射线的转动时间为t秒， ①当在到达之前时，如图，作， 由题意，，则， ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当在到达之后返回途中时，如图，作， 由题意，，则， ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∴； 当在到达之后返回途中时，如图，作， 由题意，， ， ， ∴，， ∵， ∴， 解得：； ∴； 综合上述，的度数为：或或； 故答案为：或或． 16. 任意一个正整数都可以表示为（为正整数），在的所有表示结果中，当最小时，规定，例如．因为，所以，_________．已知一个正整数，（是自然数），如果与其各个数位上的数字之和能被整除，那么我们称这个数为“希望数”，则所有“希望数”中的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据新定义求出，再根据“希望数”的定义找出所有满足条件的，分别计算各对应的，即可得到最小值． 【详解】解：将分解为（为正整数），可得， 计算得：，，， ∵， ∴， ∵，，，为自然数， 分两种情况讨论： ①当时，为两位数，十位数字为，个位数字为， ∴与其数位数字之和为：， ∵该和能被整除，且， ∴是的倍数， 又，可得或， 当时，解得，得； 当时，解得，得； ②当时，为三位数，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ∴与其数位数字之和为：， ∵该和能被整除，， ∴是的倍数， 又，可得，即， 解得或，得或； 因此所有“希望数”为，分别计算： 对于：，，； 对于：，； 对于：，，； 对于：，，，， ∵， ∴当时最小，． 三、解答题：（本大题9个小题，第17、18题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）． 17. 计算题 （1）； （2）解方程组：. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用有理数的乘方、算术平方根、立方根的定义，以及化简绝对值的方法计算即可. （2）利用加减消元法求解即可. 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得： ∴原方程组的解为： 【点睛】本题考查有理数的乘方、算术平方根、立方根的定义，化简绝对值的方法，解二元一次方程组等知识，掌握相关公式和方法是解题的关键. 18. 若，且的平方根是它本身，是的整数部分． （1）分别求出的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据，得出，求出，根据的平方根是它本身，得出，得出答案；根据，得出的整数部分，即可得出答案； （2）先求出，再根据平方根定义得出答案即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴， 解得：， ∵的平方根是它本身，只有0的平方根是它本身， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为2， ∵是的整数部分， ∴； 【小问2详解】 解：把代入得： ， 的平方根是． 19. 如图，已知，垂足分别为点、，，试说明：．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由． 解：，（已知） （垂直的定义）， ①______（②______）， ∴（③______）． 又（已知）， （④______）， （⑤______）， （两直线平行，同位角相等）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行线的判定和性质，垂直的定义，同角的补角相等知识作答即可． 【详解】解：∵，（已知） ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 20. 如图，直线，交于点O，平分，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用角平分线性质得出，进而求出，再结合得到，最后根据平角关系算出． （2）先由求出，再依据与的比例关系算出，利用对顶角相等得到，最后根据角平分线性质求出． 【小问1详解】 解：由条件可知， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由条件可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中有三个点、、，是三角形的边上一点，三角形经平移后得到三角形，点M的对应点为． （1）画出平移后的三角形； （2）写出点、、的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 三角形如下图： （2）、、 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点坐标平移规律以及相关三角形面积计算． （1）通过点M的对应点为，找出该题平移规律为向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度，从而画出平移后的三角形； （2）根据该题平移规律以及点A、B、C的坐标，求出点、、的坐标； （3）作正方形，运用割补法，根据，进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵经过平移，点M的对应点为， ∴三角形向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度后得到三角形， 作出平移后的 【小问2详解】 解：∵三角形向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度后得到三角形， 又∵、、， ∴、、； 【小问3详解】 解：如图，作正方形， 则 ． 的面积为3.5． 22. 定义一种新运算“⊕”：⊕，比如：1⊕． （1）求4⊕的值； （2）若⊕，求x的值． （3）若关于x的方程2 ⊕的解为正整数，求整数k的值． 【答案】（1） （2） （3）1，2，3，6 【解析】 【分析】本题主要考查新定义，有理数的运算以及解一元一次方程，准确理解新定义是解题的关键． （1）根据定义得到4⊕，即可得到答案； （2）根据定义得到⊕，解一元一次方程即可得到答案； （3）2 ⊕，根据解为正整数且为整数即可求出答案． 【小问1详解】 解：4⊕； 【小问2详解】 解：⊕， 解得； 【小问3详解】 解：2 ⊕， ， ， 由于方程的解为正整数，即x为正整数，且为整数， 故当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故整数的值为1，2，3，6． 23. 某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． （1）求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ （2）已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】（1）A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒 （2）完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．掌握二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用是解本题的关键． （1）设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步，根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【小问1详解】 解：设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒． ， 解得， 答：A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒． 【小问2详解】 解：设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步． ， ， 均为正整数， 或或， ①秒， ②秒， ③秒， 答：完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒． 24. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、 分别在x轴、y轴上，B点在第一象限，点A的坐标是，． （1）直接写出点B、点C的坐标． （2）点P从原点O出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒，探究下列问题： ①当t为多少时，直线轴？ ②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求t的值． ③在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形面积的？若能，请求出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由． 【答案】（1） （2）①；②；③能，点P的坐标是，点Q的坐标是 【解析】 【分析】本题是四边形综合题．考查了长方形的性质以及四边形的面积，解题的关键是化动为静，用含t的代数式表示线段的长． （1）根据给定点的坐标和线段长，再利用长方形的性质求出点B和点C的坐标； （2）①根据题意得，，则，可知，根据题意有，列方程求解即可； ②根据题意可知，则有，求解t即可； ③根据题意求得，有题意知，，可求得，，则，结合题意求得t，即可知点的坐标． 【小问1详解】 解：∵四边形是长方形， ∴， ∵点A的坐标是，， ∴， ∴， 故点； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， ∴， ①∵直线轴， ∴ ∴， ∴， ∴当t值为秒时，直线轴； ②∵点Q到y轴的距离为2个单位长度， ∴， 由①知，则，解得， ③∵，， ∴， 由运动知，，， ∴，， ∴， ∵四边形的面积是长方形的面积的， ∴，解得， ∴， ∴，． 25. 如图1：已知直线，，平分． （1）求的度数； （2）如图2，点M是线段上一点，连接，且．点N是线段上一点，且．点K是线段上一点满足，求的值； （3）在（2）的条件下，如图3，当时，将绕点G每秒逆时针旋转到，同时，绕点K以每秒顺时针旋转得到．记第一次与平行时的时间为，第二次与垂直的时间为．当，请直接写出所在直线与一边所在直线平行时的所有时间t． 【答案】（1） （2） （3）当所在直线与一边所在直线平行时，或40 【解析】 【分析】（1）由题意易得，，然后根据平角的定义可进行求解； （2）由题意可设，则有，然后可得，，，进而可得，最后问题可求解； （3）由（2）可得当时，则有，，，，，，由题意易得，然后可分当时，当时，当时，进而分类进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即； 【小问2详解】 解：由可设，则有， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可得：当时，则有，，，，，， 当第一次与平行时的时间为时，即， ∴， ∴， 此时旋转的度数为， ∵， ∴此时的边与直线重合； 当第二次与垂直的时间为时，延长，则有，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴可把和从当第一次与平行时的时间（此时的边与直线重合）算起， ①当时，延长，分别交直线、于点O、P、R，由题意知，如图所示： ∴，，， 由旋转可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当时，如图所示： ∴， 由①可得：， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴此时、都与重合，不符合题意，舍去； ③当，如图所示： ∴， 由②可知：，， ∴， 解得：； 综上所述：当所在直线与一边所在直线平行时，或40． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下期期中测试 初2028届数学题卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 在下列各数中：，，，，，（每两个3之间增加1个0）中是无理数的共有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 若点在平面直角坐标系中的第二象限，则关于a，b符号，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个正数的平方根分别为和，则这个正数是（ ） A. 25 B. 16 C. 8 D. 2 4. 如图，下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，真命题的个数有（ ） ①同旁内角互补；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，长方形的两边，分别在轴、轴上，点与原点重合，点的坐标为，将长方形沿轴向右翻滚，经过1次翻滚，点对应点记为，经过2次翻滚，点对应点记为，…依次类推，经过2025次翻滚后点对应点的坐标为（ ）    A. B. C. D. 9. 《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 若，且、为连续正整数，则= _______ 12. 如图，为直线上一点，射线平分，射线平分，且，则的度数为______． 13. 2025年哈尔滨亚洲冬季运动会，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，将于2025年2月7日在哈尔滨市举行．如图，将本次运动会的会徽放入正方形网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______． 14. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_____． 15. 如图1，为巡视夜间水面情况，在笔直的河岸两侧（）各安置一探照灯A，B（A在B的左侧），灯A发出的射线从开始以a度/秒的速度顺时针旋转至后立即回转，灯B发出的射线从开始以1度/秒的速度顺时针旋转至后立即回转，两灯同时转动，经过55秒，射线第一次经过点B，此时，则________，两灯继续转动，射线与射线交于点E（如图2），在射线到达之前，当，的度数为________． 16. 任意一个正整数都可以表示为（为正整数），在的所有表示结果中，当最小时，规定，例如．因为，所以，_________．已知一个正整数，（是自然数），如果与其各个数位上的数字之和能被整除，那么我们称这个数为“希望数”，则所有“希望数”中的最小值为______． 三、解答题：（本大题9个小题，第17、18题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）． 17. 计算题 （1）； （2）解方程组：. 18. 若，且的平方根是它本身，是的整数部分． （1）分别求出的值； （2）求的平方根． 19. 如图，已知，垂足分别为点、，，试说明：．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由． 解：，（已知） （垂直的定义）， ①______（②______）， ∴（③______）． 又（已知）， （④______）， （⑤______）， （两直线平行，同位角相等）． 20. 如图，直线，交于点O，平分，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 21. 如图，在平面直角坐标系中有三个点、、，是三角形的边上一点，三角形经平移后得到三角形，点M的对应点为． （1）画出平移后的三角形； （2）写出点、、的坐标； （3）求的面积． 22. 定义一种新运算“⊕”：⊕，比如：1⊕． （1）求4⊕的值； （2）若⊕，求x的值． （3）若关于x的方程2 ⊕的解为正整数，求整数k的值． 23. 某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． （1）求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ （2）已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、 分别在x轴、y轴上，B点在第一象限，点A的坐标是，． （1）直接写出点B、点C的坐标． （2）点P从原点O出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒，探究下列问题： ①当t为多少时，直线轴？ ②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求t的值． ③在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形面积的？若能，请求出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由． 25. 如图1：已知直线，，平分． （1）求的度数； （2）如图2，点M是线段上一点，连接，且．点N是线段上一点，且．点K是线段上一点满足，求的值； （3）在（2）的条件下，如图3，当时，将绕点G每秒逆时针旋转到，同时，绕点K以每秒顺时针旋转得到．记第一次与平行时的时间为，第二次与垂直的时间为．当，请直接写出所在直线与一边所在直线平行时的所有时间t． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $