9.4 向量应用分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 本同步练习通过A、B、C三层设计，实现从向量基础运算到综合应用再到空间拓展的梯度进阶，强化数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|向量运算、三角形性质|基础题型为主，如力的平衡（题1）、坐标运算（题4），巩固概念理解| |B层|综合应用、多知识点结合|多选题（题8、12）、几何与向量综合（题15），提升推理与运算能力| |C层|空间向量应用|实际情境探究（题17探测器运动），培养创新意识与数学建模能力|

9.4　向量应用 A层 基础达标练 1.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于(　　) A.(-1,-2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(1,2) 2.设O是△ABC所在平面内一定点,M是平面内一动点,若()·()=()·()=0,则点O是△ABC的(　　) A.垂心 B.内心 C.重心 D.外心 3.设O为△ABC的外心,OD⊥BC,垂足为点D,且||=,||=1,则·()的值是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 4.在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E在边CD上运动(包含端点),则的取值范围为(　　) A.[] B.[2,4] C.[2] D.[,4] 5.一条河宽为8 000 m,一艘船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处,船速为20 km/h,水速为12 km/h,则船到达B处所需的时间为　　　　h.  6.已知正方形OABC的边长为1,点D,E分别为AB,BC的中点,则cos∠DOE的值为　　　　. 7.在四边形ABCD中,已知A(0,0),B(4,0),C(3,2),D(1,2). (1)判断四边形ABCD的形状; (2)若=2,求向量夹角的余弦值. B层 能力提升练 8.(多选题)设作用于同一点的三个力F1,F2,F3处于平衡状态,若|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为.如图所示,下列说法正确的是(　　) A. B. C.F2与F3的夹角为 D.F2与F3的夹角为 9.如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,点E为AB的中点,且,则||=(　　) A. B.2 C.3 D.2 10.已知向量a=(cos 58°,sin 58°),b=(cos 13°,sin 13°),利用a·b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2,计算cos 58°cos 13°+sin 58°sin 13°的值为(　　) A.cos 58° B.cos 13° C. D. 11.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足3=0,则△ABM与△ABC的面积之比为(　　) A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.2∶5 12.(多选题)两个粒子A,B从同一发射源发射出来,在某一时刻,它们的位移分别为sA=(4,3),sB=(-1,2),则(　　) A.在该时刻,sA⊥sB B.在该时刻,两个粒子的距离为 C.在该时刻,粒子B相对于A的位移为s=(5,1) D.在该时刻,sA在sB上的投影向量为(-) 13.(多选题)已知点O在△ABC所在的平面内,则下列命题中正确的有(　　) A.若=0,则点O为△ABC的重心 B.若||=||=||,则点O为△ABC的外心 C.若()·=()·=()·=0,则点O为△ABC的内心 D.若,则点O为△ABC的垂心 14.(多选题)如图所示,一条河两岸平行,河的宽度为400 m,一艘船从河岸的A地出发,向河对岸航行.已知船的速度v1的大小为|v1|=8 km/h,水流速度v2的大小为|v2|=2 km/h,船的速度与水流速度的合速度为v,当航程最短时,下列说法错误的是(　　) A.船头方向与水流方向垂直 B.cos<v1,v2>=- C.|v|=2 km/h D.该船到达对岸所需时间为3 min 第14题图 15.如图,在平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,则对角线AC的长为　　　　　.  第15题图 16.如图,△ABC的三个顶点是三个战略岛屿,各岛屿之间建有资源补给站,在图中的点D,E,F上.岛屿A到补给站D的距离为岛屿A到岛屿B的距离的,岛屿A和岛屿C到补给站E的距离相等,补给站F在靠近岛屿C的BC的三等分点上.设=a,=b. (1)用a,b表示; (2)如果∠ACB=60°,AC=20 n mile,且CD⊥EF,求岛屿C到补给站D的距离以及岛屿A到岛屿B的距离. C层 拓展探究练 17.如图为一个空间探测器的示意图,P1,P2,P3,P4是四台喷气发动机,P1,P3的连线与空间一个固定坐标系的x轴平行,每台发动机开动时,都能向探测器提供推力,但不会使探测器转动,开始时,探测器以恒定的速率|v0|向正x方向平动,要使探测器改为正x偏负y60°的方向以原来的速率|v0|平动,则可(　　) A.先开动P1适当时间,再开动P4适当时间 B.先开动P3适当时间,再开动P2适当时间 C.开动P4适当时间 D.先开动P3适当时间,再开动P4适当时间 参考答案 1.D　由题意得F1+F2+F3+F4=0,故F4=-(F1+F2+F3)=-[(-2,-1)+(-3,2)+(4,-3)]=-(-1,-2)=(1,2).故选D. 2.A　由题意,()·()=()·()=0, 即()·()=()·()=0, 即=0,则OA⊥CB,OC⊥AB, 故点O是△ABC的垂心.故选A. 3.A　由已知得,D为BC的中点,故),则()=)·()=(||2-||2)=1.故选A. 4.D　以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,由AB=,BC=2,得B(,0),C(,2),D(0,2).又点E在边CD上运动(包含端点),则可设E(a,2),0≤a,所以=(a,2),=(a-,2),故=a(a-)+2×2=a2-a+4=(a-)2+因为0≤a,所以(a-)2+[,4],即的取值范围为[,4]. 5.0.5　如图,v实际=v船+v水, |v船|=20 km/h,|v水|=12 km/h, ∴|v实际|==16(km/h). ∴所需时间t==0.5(h). ∴该船到达B处所需的时间为0.5 h.故答案为0.5. 6　以O为坐标原点,以OA,OC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示, 由题意知, 故cos∠DOE= 即cos∠DOE的值为故答案为 7.解 (1)因为=(2,0),=(4,0),所以=2 又因为||=,||=, 所以四边形ABCD是等腰梯形. (2)设E(x,y),则=(x,y),=(3-x,2-y). 因为=2,所以解得 所以 设向量的夹角为θ,则 cos θ=, 故向量夹角的余弦值为 8.AC　由题意知|F3|=|F1+F2|,因为|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为,所以|F3|=|F1+F2|= 设F2与F3的夹角为θ,因为F3=-(F1+F2),所以F3·F2=-F1·F2-F2·F2,所以2×cos θ=-1×2-4,所以cos θ=-,所以θ=故选AC. 9.B　以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系. 设||=a(a>0),则A(0,0),C(4,a),D(0,a),E(2,0), 所以=(2,-a),=(4,a). 因为,所以=0, 所以2×4+(-a)·a=0,即a2=8. 所以a=2,所以=(2,-2), 所以||==2故选B. 10.D　由题意知a·b=|a||b|cos θ,|a|=|b|=1,若将两向量的起点定为坐标原点,则两向量的终点均落在单位圆上,且a在58°角的终边上,b在13°角的终边上,所以θ=58°-13°=45°.又|a|=|b|=1,所以原式=a·b=|a||b|·cos 45°=cos 58°cos 13°+sin 58°sin 13°=1×1 11.B　如图,D为边BC的中点, 则).因为3=0,所以3=2,所以,所以S△ABM=S△ABD=S△ABC. 所以S△ABM∶S△ABC=1∶3.故选B. 12.BD　选项A,因为sA·sB=-4+6=2≠0,所以sA与sB不互相垂直,故A错误;选项B,由两点间距离公式可得两个粒子的距离为,故B正确;选项C,在该时刻,粒子B相对于A的位移为s=sB-sA=(-5,-1),故C错误;选项D,sA在sB上的投影向量为sB=(-),故D正确.故选BD. 13.ABD　对于A,如图,设边BC,AC,AB的中点分别为D,E,F,则=2又=0,所以+2=0,即=-2,可得A,O,D三点共线,所以点O在中线AD上,同理可得点O在中线BE,CF上,则点O是△ABC的重心,故A正确;对于B,若||=||=||,则点O为△ABC的外心,故B正确;对于C,设边BC,CA,AB的中点分别为D,E,F,由()=0,得2=0,所以OF为线段AB的垂直平分线,同理可得OE,OD分别为线段AC,BC的垂直平分线,则O为三角形三条边垂直平分线的交点,所以点O为△ABC的外心,故C错误;对于D,由已知可得()==0,即OB⊥CA,所以点O在边AC的高上,同理可得点O在边AB的高上,点O在边BC的高上,所以点O是△ABC的垂心,故D正确.故选ABD. 14.ACD　由题意可知,v=v1+v2,当船的航程最短时,v⊥v2,而船头的方向与v1同向,由v·v2=(v1+v2)·v2=v1·v2+=0,可得v1·v2=-=-4,∴cos <v1,v2>==-,故A选项错误,B选项正确;|v|=|v1+v2|==2(km/h),故C选项错误;该船到达对岸所需时间为60(min),故D选项错误.故选ACD. 15　, +2 ① 又, -2 ② ①+②,得=2(). 又AD=1,AB=2,BD=2,∴AC=故答案为 16.解 (1)由题意,得=- 又=a,=b,所以=-a-b, )=a+b. (2)由题意,得CD⊥EF,|b|=||=AC=20, 所以=(a+b)·(a-b)=0, 即a2-b2=0, 所以|a|2-202=0,解得|a|=30. 又∠ACB=60°,所以a·b=20×30=300, 则||==12 因为=a-b,所以||==10 综上,岛屿C到补给站D的距离为12 n mile,岛屿A到岛屿B的距离为10 n mile. 17.A　先开动P1适当时间,探测器受到的推力沿负x方向,探测器沿正x方向做减速运动,再开动P4适当时间,又产生沿负y方向的推力,探测器的合速度可以沿正x偏负y 60°的方向,并以原来的速率|v0|平动,故A正确;先开动P3适当时间,探测器受到的推力沿正x方向,将沿正x方向加速运动,再开动P2适当时间,又产生沿正y方向的推力,探测器的合速度在第一象限,故B错误;先开动P4适当时间,探测器受到沿负y方向的推力,将获得沿负y方向的速度,沿x轴方向的速率不变,故C错误;先开动P3适当时间,探测器受到的推力沿正x方向,将沿着正x方向加速运动,速率大于v0.再开动P4适当时间,探测器又受到沿负y方向的推力,将获得沿负y方向的速度,合速度的大小大于v0,故D错误.故选A. 10 学科网（北京）股份有限公司 $