9.4 向量应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（苏教版）

9.4　向量应用 [课时跟踪检测] 1.某人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为 (　　) A.v1-v2 B.v1+v2 C.|v1|-|v2| D. 解析：选B　由向量加法法则可知，人骑自行车逆风行驶的速度为v1+v2. 2.已知平面内作用于点O的三个力f1，f2，f3，且它们的合力为0，则三个力的分布图可能是 (　　) 解析：选D　因为f1+f2=-f3，所以f1与f2的合力与f3方向相反，长度相等，则由平行四边形法则可知，只有D项满足.故选D. 3.共点力F1=(lg 2，lg 2)，F2=(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生位移s=(2lg 5，1)，则共点力对物体做的功W为 (　　) A.lg 2 B.lg 5 C.1 D.2 解析：选D　因为F1+F2=(1，2lg 2)，所以W=(F1+F2)·s=(1，2lg 2)·(2lg 5，1)=2lg 5+2lg 2=2. 4.在四边形ABCD中，若+=0，·=0，则四边形为 (　　) A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 解析：选D　由题可知∥，||=||，所以四边形ABCD是平行四边形.又⊥，故四边形为菱形. 5.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，=2，则·的值是 (　　) A.- B.- C.- D.- 解析：选B　因为=+=+，且=-，所以·=(+)·(+)=-=-1=-. 6.在梯形ABCD中，∥⊥，||=2，||=2||.若点P在线段BC上，则|+3|的最小值是 (　　) A. B.4 C. D.6 解析：选D　如图所示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系.则B(0，0)，A(0，2)，C(2d，0)，D(d，2)，P(p，0)(0≤p≤2d)，所以=(2d-p，0)，=(d-p，2).所以+3=(5d-4p，6).所以|+3|=≥6(当且仅当5d=4p时等号成立).所以|+3|的最小值是6.故选D. 7.若非零向量与满足·=0，且·=，则△ABC为 (　　) A.三边均不等的三角形 B.直角三角形 C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.等边三角形 解析：选C　∵·=0，∴A的角平分线与BC垂直.∴AB=AC.∵cos A=·=，∴∠A=30°，则△ABC是顶角为30°的等腰三角形，故选C. 8.(5分)坐标平面内一只小蚂蚁以速度v=(1，2)从点A(4，6)处移动到点B(7，12)处，其所用时间长短为　　　　.  解析：由题意得，速度的大小为|v|==， 又||==3，故所用时间t==3. 答案：3 9.(5分)已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB=2，DC=1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD=　　　　.  解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0).设AD=a，则C(1，a)，=(1，a)，=(-1，a).因为AC⊥BC，所以⊥.所以·=-1+a2=0，解得a=1(舍负). 答案：1 10.(5分)如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·=2，则·的值是　　　　.  解析：建立如图所示的坐标系，设DF=x，由图可得A(0，0)，B(2，0)，E(2，)，F(x，2)，·=(2，0)·(x，2)=2x=2，即有x=1.即F(1，2)，=(-1，2)，则·=(2，)·(-1，2)=2×(-1)+×2=-2+4=2. 答案：2 11.(5分)已知=a+b，=a-2b，|a|=2|b|=2，a，b的夹角为，则△ABC的BC边上中线的长为　　　　.  解析：设D为BC的中点，则2=+， 所以(2)2=(+)2. 所以4=(2a-b)2. 所以||== =. 答案： 12.(10分)已知两个力F1=5i+3j，F2=-2i+j，F1，F2作用于同一质点，使该质点从点A(8，0)移动到点B(20，15)(其中i，j分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m).试求： (1)F1，F2分别对质点所做的功;(6分) (2)F1，F2的合力F对质点所做的功.(4分) 解：(1)根据题意，F1=5i+3j=(5，3)，F2=-2i+j=(-2，1)，=(12，15)，故F1对该质点做的功W1=F1·=60+45=105(J); F2对该质点做的功W2=F2·=-24+15=-9(J). (2)根据题意，F1，F2的合力F=F1+F2=(3，4)， 故F1，F2的合力F对该质点做的功W=F·=3×12+4×15=96(J). 13.(10分)(1)已知某人在静水中游泳的速度为4 km/h，河水的流速为4 km/h，现此人在河中游泳.如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进?实际前进的速度为多少?(5分) (2)在▱ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长.(5分) 解：(1)如图1，设此人在静水中游泳的速度为，水流的速度为， 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为+=.由题意，⊥且||=4，||=4， 所以||==8. 在Rt△OAC中，tan∠AOC==，所以∠AOC=60°. 故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8 km/h. (2)如图2，设=a，=b，则|a|=2，|b|=1， 从而=a-b，所以=(a-b)2=a2-2a·b+b2，即4=5-2a·b. 所以a·b=.又=a+b，所以=(a+b)2=a2+2a·b+b2=5+1=6. 所以||=，即对角线AC的长为. 14.(10分)如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，四边形PECF是矩形，用向量证明：PA⊥EF. 证明：设正方形边长为a，由于P是对角线BD上的一点，可设=λ(0≤λ≤1). 则=-=-λ=-λ(+) =(1-λ)-λ. 又因为=-=(1-λ)-λ，所以·=[(1-λ)-λ]·[(1-λ)-λ]=(1-λ)2·-(1-λ)λ·-λ(1-λ)·+λ2·=-λ(1-λ)a2+λ(1-λ)a2=0.因此⊥，故PA⊥EF. 学科网（北京）股份有限公司 $