9.3.2第2课时 向量数量积的坐标表示分层同步练习 2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

9.3.2　向量坐标表示与运算 第2课时　向量数量积的坐标表示 A层 基础达标练 1.已知向量a=(0,2),b=(,1),(a-kb)⊥(ka+b),则实数k的值为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.-1或1 2.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则三角形ABC的形状是(　　) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 3.已知向量a=(-2,2),b=(1,),则向量b在向量a方向上的投影向量为(　　) A.a B.-a C.-b D.b 4.设平面向量a=(-2,1),b=(1,λ),若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是　　　　　　.  5.已知单位向量a,b满足a·b=0,则a,b的夹角大小为　　　　;若a=(),写出一个满足题意的向量b的坐标　　　　.  6.已知a=(1,),b=(-,-1). (1)求a和b的夹角; (2)若a⊥(a+λb),求λ的值. B层 能力提升练 7.已知向量=(2,1),=(3,t),||=1,则=(　　) A.2 B.3 C.7 D.8 8.已知向量a=(,1),b=(1,),则|λa-b|(λ∈R)的最小值为(　　) A.2 B. C.1 D. 9.已知向量a=(5,5),b=(λ,1),若a+b与a-b的夹角是锐角,则实数λ的取值范围为(　　) A.(-7,1) B.(1,7) C.(-7,7) D.(-7,1)∪(1,7) 10.在正方形ABCD中,AB=1,点P在射线CD上运动,则的取值范围为(　　) A.[0,1] B.[1,+∞) C.[,1] D.[,+∞) 11.(多选题)已知向量a=(1,3),b=(2,y),(a+b)⊥a,则下列结论中正确的是(　　) A.b=(2,-3) B.向量a,b的夹角为 C.|a+b|= D.a在b方向上的投影向量是(-1,2) 12.如图,正方形ABCD的边长为2,E为边BC的中点,F为边CD上一点,若=||2,则||=(　　) A.3 B.5 C. D. 13.(多选题)已知△ABC是边长为2a(a>0)的等边三角形,P为△ABC所在平面内一点,则·()的值可能是(　　) A.-2a2 B.-a2 C.-a2 D.-a2 14.在四边形ABCD中,已知=(4,-2),=(7,4),=(3,6),则四边形ABCD的面积是　　　　.  15.如图,设Ox,Oy是平面内相交成45°角的两条数轴,e1,e2分别是与x轴,y轴正方向同向的单位向量.若向量=p=xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫做向量p在斜坐标系xOy中的坐标.设向量a,b在斜坐标系xOy中的坐标分别为(3,-),(1,). (1)求a·b; (2)求向量a在向量b上的投影向量在斜坐标系xOy中的坐标. C层 拓展探究练 16.如图,已知正六边形的边长为1,点M满足),则||=　　　　;若点P是线段BC上的动点(包括端点),则的最小值是　　　　.  17.在平面直角坐标系中,A(3,0),C(1,4),B(x,1),四边形ABCD是矩形且||≠||. (1)求点B,D的坐标; (2)点M与点A,B,C,D在同一平面直角坐标系中,当点M到A,B,C,D的距离的平方和最小时,求点M的坐标. 参考答案 1.D　由已知可得a2=02+22=4,b2=()2+12=4,a·b=2.因为(a-kb)⊥(ka+b),所以(a-kb)·(ka+b)=0,即ka2+(1-k2)a·b-kb2=0,即4k+2(1-k2)-4k=0,解得k=±1. 2.A　由题设知=(8,-4),=(2,4),=(-6,8),所以=2×8+(-4)×4=0,即所以∠BAC=90°,故三角形ABC是直角三角形.故选A. 3.A　由a=(-2,2),b=(1,),得|a|==4,a·b=-2×1+2=4,所以向量b在向量a方向上的投影向量为a=a=a. 4　因为a与b的夹角为钝角, 所以a·b<0且不反向.a·b=-2+λ,即-2+λ<0,解得λ<2.当两向量反向时,存在m<0使a=mb,即(-2,1)=(m,mλ),解得λ=-,所以λ的取值范围是故答案为 5.90°　(-,1)(答案不唯一)　∵单位向量a,b满足a·b=0,∴a,b的夹角大小为90°,设b=(x,y),∵a=(), ∴a·b=x+y=0,即x+y=0, ∴b可以为(-,1). 6.解 (1)因为a=(1,),b=(-,-1), 所以|a|==2,|b|==2, a·b=1×(-)+(-1)=-2 设a,b的夹角为θ,则cos θ==- 又θ∈[0,π],故θ= (2)由a⊥(a+λb)得a·(a+λb)=0,即|a|2+λa·b=0, 又|a|2=4,a·b=-2,故λ=- 7.C　由题意可得=(1,t-1),因为||=1,所以=1,解得t=1,即=(3,1),所以=2×3+1×1=7.故选C. 8.C　由题意可得λa-b=λ(,1)-(1,)=(-1,λ-),所以|λa-b|2=(-1)2+(λ-)2=4λ2-4+4=4+1,故当λ=时,|λa-b|取得最小值1.故选C. 9.D　由题意得(a+b)·(a-b)>0,即a2-b2>0,52+52>λ2+12,∴-7<λ<7.若a+b=k(a-b),则解得综上,实数λ的取值范围是(-7,1)∪(1,7).故选D. 10.D　以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,由已知得点A(0,0),B(1,0),P(x,1)(x≤1),所以=(-x,-1),=(1-x,-1),所以=(-x)(1-x)+(-1)×(-1)=x2-x+1=(x-)2+(x≤1),所以当x=时,取得最小值,所以的取值范围为[,+∞).故选D. 11.BD　由a=(1,3),b=(2,y),得a+b=(3,3+y).因为(a+b)⊥a,所以3×1+3×(3+y)=0,解得y=-4,所以b=(2,-4),故A错误;设向量a,b的夹角为θ,则cos θ==-,又θ∈[0,π],所以θ=,即向量a,b的夹角为,故B正确;因为a+b=(1,3)+(1,-2)=(2,1),所以|a+b|=,故C错误;a在b方向上的投影向量为=(-1,2),故D正确.故选BD. 12.D　以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,0),E(2,1).设||=x,0≤x≤2,则F(x,2),故=(x,2),=(2,1). =||2,∴(x,2)·(2,1)=2x+2=5,解得x=,∴||=故选D. 13.BCD　建立如图所示的平面直角坐标系.设P(x,y), 又A(0,a),B(-a,0),C(a,0),则=(-x,a-y),=(-a-x,-y),=(a-x,-y). 所以() =(-x,a-y)·[(-a-x,-y)+(a-x,-y)] =(-x,a-y)·(-2x,-2y)=2x2+2y2-2ay =2x2+2a2≥-a2.故选BCD. 14.30　=(4,-2),=(7,4),=(3,6), =4×3-2×6=0,=(3,6)==(4,-2)=, ,∴四边形ABCD为矩形, ∵||=,||=,∴四边形ABCD的面积为=30. 故答案为30. 15.解 (1)由题可知a=3e1-e2,b=e1+e2,e1·e2=,则a·b=(3e1-e2)·(e1+e2)=3+2e1·e2-2=3. (2)|b|=, 记a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的投影向量为|a|cos b=b=e1+e2,所以向量a在向量b上的投影向量在斜坐标系xOy中的坐标为 16　-　建立如图所示的平面直角坐标系,则A(-,-),B(,-),C(1,0),D,E,F(-1,0),=(1,0),, )=, ∴||= 设=(0≤λ≤1),则=, +, , , =λ2-λ=, ∴当λ=时,取得最小值,最小值为- 17.解 (1)由题意得,=(x-3,1),=(x-1,-3), 因为四边形ABCD为矩形,所以=0,得(x-3)(x-1)-3=0,得x=0或4, 当x=0时,||=||,不合题意; 当x=4时,||≠||,则B(4,1). 设D(m,n),由BD,AC相互平分得,m+4=3+1,n+1=0+4,故m=0,n=3,故D(0,3). (2)设M(x0,y0),则(x0-3)2++(x0-4)2+(y0-1)2+(x0-1)2+(y0-4)2++(y0-3)2=4+4-16x0-16y0+52=4(x0-2)2+4(y0-2)2+20, 当x0=2,y0=2时,上式取最小值,此时M(2,2). 7 学科网（北京）股份有限公司 $