9.3.2 向量坐标表示与运算（第1课时 向量及其线性运算的坐标表示）分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 本同步练习按A、B、C三层设计，题量6:8:2，梯度从基础运算到几何应用再到创新情境，构建“概念理解-综合应用-拓展探究”的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|向量坐标表示、线性运算（加减、数乘）、平移不变性|直接应用公式，如向量坐标计算（第1-5题），简单参数求解（第6题），夯实运算能力| |B层|向量几何应用（平行四边形、正方形）、共线条件、坐标综合运算|结合图形情境，如正方形中点向量表示（第9题），三角形顶点坐标判断（第8题多选题），发展几何直观与推理能力| |C层|向量旋转、含角度的复杂几何情境|创新问题设计，如向量顺时针旋转坐标求解（第15题），120°角平行四边形顶点坐标（第16题），培养空间观念与创新意识|

9.3.2　向量坐标表示与运算 第1课时　向量及其线性运算的坐标表示 A层 基础达标练 1.已知M(2,3),N(3,1),则的坐标是(　　) A.(2,-1) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(1,-2) 2.已知平面向量a,b满足b=2a,如果a=(1,2),那么b=(　　) A.(-2,-4) B.(-2,4) C.(2,-4) D.(2,4) 3.已知A(3,7),B(5,2),把向量按向量a=(1,2)平移后,所得向量的坐标是(　　) A.(-1,7) B.(1,-7) C.(2,-5) D.(3,-3) 4.已知A(-2,1),B(4,-5),点P满足,则点P的坐标是(　　) A.(-3,3) B.(-8,7) C.(1,-2) D.(10,-11) 5.已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为　　　　.  6.设a=(1-k,2),b=(-1,-k),c=(2-k,1),k∈R. (1)若k=2且a=xb+yc,求x,y的值. (2)若a=xb+yc成立,是否存在唯一的x,y满足上述条件?若存在,写出x,y的值;若不存在,请说明理由. B层 能力提升练 7.已知平行四边形ABCD,B(-1,2),C(2,4),则=(　　) A.(-2,2) B.(3,3) C.(4,6) D.(6,4) 8.(多选题)已知向量=(1,-3),=(-2,1),=(t+3,t-8),若点A,B,C能成为三角形的顶点,则实数t可以为(　　) A.-2 B. C.1 D.-1 9.在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若=λ+μ,则λ+μ=(　　) A. B. C.2 D. 10.已知点A(,1),B(0,0),C(,0),∠BAC的平分线AE与BC相交于点E,设=λ,则实数λ等于(　　) A.2 B. C.-3 D.- 11.在正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是AB上靠近点B的三等分点,若=m+n,则6m-n=(　　) A.2 B.-2 C.8 D.-8 12.(多选题)在平面直角坐标系xOy内,O为坐标原点,已知=(-1,4),=(8,-5),若P是线段AB的三等分点,则点P的坐标是(　　) A.(2,1) B.(3,0) C.(4,-1) D.(5,-2) 13.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为　　　　　.  14.在平面直角坐标系中,点A(-1,2),B(4,3),C(3,6),+λ(λ∈R). (1)试求实数λ为何值时,点P在第二、四象限的角平分线上; (2)若点P在第三象限内,求实数λ的取值范围. C层 拓展探究练 15.已知对任意平面向量=(x,y),把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角度得到向量=(xcos θ-ysin θ,xsin θ+ycos θ),叫做把点B绕着A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.则=(1,)沿顺时针方向旋转得到的向量=　　　　.  16.如图,已知O是平面直角坐标系的原点,∠OAB=∠ABC=120°,||=||=2||=4. (1)求的坐标; (2)若四边形ABCD为平行四边形,求点D的坐标. 参考答案 1.B　=(2,3)-(3,1)=(-1,2).故选B. 2.D　因为平面向量a,b满足b=2a,且a=(1,2),所以b=2a=(2,4).故选D. 3.C　=(2,-5),把向量按向量a=(1,2)平移后, 所得向量仍然为(2,-5). 4.C　由题意得=(4,-5)-(-2,1)=(6,-6),设点P的坐标为(x,y),则=(x,y)-(-2,1)=(x+2,y-1),因为,而=(6,-6),所以(x+2,y-1)=(6,-6),即解得x=1,y=-2,所以点P的坐标为(1,-2).故选C. 5.-3　由向量a=(2,1),b=(1,-2),ma+nb=(9,-8),可得解得m=2,n=5,∴m-n=-3. 6.解 (1)当k=2时,a=(-1,2),b=(-1,-2),c=(0,1), 因为a=xb+yc,所以(-1,2)=(-x,-2x)+(0,y)=(-x,-2x+y),则解得x=1,y=4. (2)不存在.理由如下: 因为a=xb+yc,所以(1-k,2)=(-x,-kx)+(2y-ky,y)=((2-k)y-x,y-kx),则所以(k2-2k+1)x=3-k.当k=1时,等式(k2-2k+1)x=3-k不成立.当k≠1时,x=因为k∈R,所以x的值不唯一,即x,y的值不唯一,即不存在唯一的x,y,使a=xb+yc成立. 7.D　由B(-1,2),C(2,4),有=(3,2),在平行四边形ABCD中,有,即=0,=2=(6,4).故选D. 8.ABD　∵向量=(1,-3),=(-2,1),=(t+3,t-8),=(-2,1)-(1,-3)=(-3,4),=(t+3,t-8)-(1,-3)=(t+2,t-5).∵点A,B,C能成为三角形的顶点,,∴-3(t-5)≠4(t+2),解得t≠1.∴实数t可以为-2,,-1.故选ABD. 9.B　以AB,AD为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形边长为1,则=(1,),=(-,1),=(1,1).因为=+,所以解得所以λ+μ=故选B. 10. C　如图,由已知得,∠ABC=∠BAE=∠EAC=30°,∠AEC=60°,||=1,∴||= =, ∴|λ|==3.又∵λ<0,∴λ=-3.故选C. 11.A　建立如图所示的直角坐标系,设正方形的边长为2,则A(0,2),B(0,0),D(2,2),F,E(2,1), 则=(2,0),=(0,-2), =m+n, =m(0,-2)+n(2,0)=(2n,-2m), 解得 ∴6m-n=1+1=2.故选A. 12.AD　=(-1,4),=(8,-5), =(9,-9), ∵P是线段AB的三等分点, , 则(9,-9)=(3,-3)或(9,-9)=(6,-6). ∴P(2,1)或(5,-2).故选AD. 13.(0,2)　因为a在基底p,q下的坐标为(-2,2), 所以a=-2p+2q=(2,4). 令a=xm+yn(x,y∈R),则a=(-x+y,x+2y). 所以解得 所以a在基底m,n下的坐标为(0,2).故答案为(0,2). 14.解 (1)设P(x,y), 因为+, 所以++=(4,3)+λ(4,4)=(4+4λ,3+4λ). 因为点P在第二、四象限的角平分线上, 所以4+4λ=-(3+4λ),解得λ=- 所以当λ=-时,点P在第二、四象限的角平分线上. (2)因为点P在第三象限内,所以解得λ<-1, 所以实数λ的取值范围是(-∞,-1). 15.(,1)　把=(1,)沿顺时针方向旋转,相当于沿逆时针方向旋转θ=-,由题意得=(xcos θ-ysin θ,xsin θ+ycos θ)= (1×cossin,1×sincos)=(,1).故答案为(,1). 16.解 (1)过点B作BE⊥x轴于点E,如图①所示. 因为∠OAB=120°,所以∠EAB=60°. 又||=2,所以在Rt△ABE中,AE=1,BE= 又||=4,所以A(4,0),B(5,),所以=(1,). 图① (2)过点C作CF⊥x轴于点F,过点B作BM⊥CF于点M,过点A作AN⊥BM于点N,如图②所示. 图② 在Rt△CMB中,||=4,∠CBM=60°, 所以BM=2,CM=2 在Rt△ANB中,||=2,∠ABN=60°, 所以BN=1,AN=,即MN=AF=1,MF=, 所以CF=3,OF=3,即C(3,3).设点D(x,y), 因为四边形ABCD为平行四边形,所以, 又=(1,),=(3-x,3-y), 所以解得 所以点D的坐标为(2,2). 7 学科网（北京）股份有限公司 $