数学试题-【1号卷·A10联盟】2026届高三上学期2月学情检测

2026届高三2月学情检测 数学 满分150分，时间120分钟。请在答题卡上作答。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一项是最符合题目要 A.(-1,0) B.(0,1) C. D. 求的 1.已知集合A={xx2<6,B={-2,-1,2,3},则AnB=（） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. A.{-1,2 B.{-2,-1,2} C.{-2,-1,3} D.{-2,-1,2,3 9.已知a<b<0,c>d>0,则( ) 则 2设：=2+i A.a-c>b-d B.ac<bd C.3,1. C.a'e>b'd D. +c> 2+ a 3.如下一组数据：85,105,94,96,102,98,89,99,98,100，则这组数据的第80百分位数是 10.设Sn为数列{a}的前n项和，且Sn1+(-1)”a,=n,则() A.a2=1 B.S=2 A.102 B.101 C.100 D.99 C.S3029-S3026=1 D.a2a3+a226=1 4.在等差数列{a,}中，a+a=7,a。=11,则ao=（ 11.在三棱锥P-ABC中，AB=BC=CA=1,则下列说法正确的有(） A.23 B.21 C.19 D.17 A.若PA=PB=PC=2,则三棱锥P-ABC是正三棱锥 5.已知某圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则该圆锥的体积与其外接球的体积之比为( B.若△PAB,△PBC,△PCA的周长均为4，则三棱锥P-ABC是正三棱锥 4, 2 B.5 3 C若△PAB,△PBC△PCA的内切圆的面积均为5，则三棱锥P-ABC是正三棱锥 6.已知圆C与直线x+y=1相切，且经过坐标原点和A(2,-1),则圆C的半径为( D.若∠APB=∠BPC=∠CPA=交，则三棱锥P-ABC是正三棱锥 3 A52 B.5/3 C. 5W2 D.55 3 2 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 7.已知函数f(x)=si2,将fx)的图象向右平移石个单位长度，得到函数g(x)的图象。若 12.已知log2a+log:a=,则a= 12 13.已知向量e是单位向量，向量a在e上的投影向量为2e,向量b在e上的投影向量为3e,则 Vae24恰存在三个不同的实数Be[0,m,使得g(a四+8A)=0,则实数m的取 a-的最小值为 值范围为( 14已知椭圆C:等+存1(>6>0)的左，右焦点为F,5,且5是抛物线G2:y=2四 +[侣割 B. D. 5π17π 412 (P>0)的焦点，记C与C,的一个交点为P,若直线PF与C只有一个公共点，则C的离心 8、若函数f)=e“-sinx在0，内不单调，则实数a的取值范围为() 率为 2026届高三2月学情检测·数学第1顶共4页 2026届高三2月学情检测·数学第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(15分) 15.(13分) 如图几何体是圆锥PO的一部分，且AO=√2PO=2,点C是AB上一点（不与A,B重合）， 某校积极推进“五育并举”有人实践，计划开设围棋选修课程，随机调查了100名学生，得到如 二面角P-AB-C的大小为135 下列联表。 (1)求证：OA⊥PB: 是否喜欢围棋 (2)取PB的中点D,连接CD,若CD∥平面POA 性别 是 西 合计 (i)求∠AOC的度数： (ⅱ)求点C到平面PAB的距离 男生 20 女生 20 50 合计 100 (1）补充完整列联表，根据=0.01的独立性检验，能否认为性别与喜欢围棋有关联？ (2)为推动围棋课程开设，该校举办了围棋比赛，最后甲、乙两人晋级决赛，决赛规则如下：五局 三胜，没有平局，已知每局甲胜乙的概率为，在甲第一局失败的条件下，求甲最终获胜的概率 n(ad-bc) 18.(17分) 附：X2= 其中n=a+b+c+d (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 已知双曲线C:女-y :云厅=1(a>0,b>0)的渐近线方程为：y=x和：y=-x,右焦点为 a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 F(2,0) (1)求C的方程： Xa 2.706 3.8416.635 7.879 10.828 (2)过F的直线1交C的右支于P,Q两点 (1)求直线1倾斜角的取值范围： (i)过P作L的平行线交L于M,过Q作l的平行线交L于V,求证：MNPQ. 16.(15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且sin2A+cos Bsin C=-sin BcosC. 19.(17分) (1)求A的大小： 已知a,k∈R,f(x)=xlnx,g(x)=(x+a)e,直线y=壳与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切. (2)若a=2N5,AQ为△ABC的角平分线，且AQ=1,求△ABC的面积. (1)求a,k的值： (2)若f(x)=f(x)=g(x)=g(x)=b,其中x≠x2,为3≠x4 (i)求实数b的取值范围： ()求证： 1卫 2026届高三2月学情检测·数学第3顶共4页 2026届高三2月学情检测·数学第4页共4页2026届高三2月学情检测 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 题号 1 3 4 J 6 7 8 答案 B C B A D 0 D B 1. BA={xV6<x<V6,B={-2,-1,2,3},所以A∩B={-2,-1,2}.故选B. 2.C Z= 2+i_(2+1-边_3-1，所以2=3+i.故选C 1+i 2 3.B将数据由小到大排序为：85,89,94,96,98,98,99,100,102,105，又10×80%=8，故这 组数据的第80百分位数是100+102=101.枚选B 2 4.A由题意得， [2a+5d=7m∫a=-4 a+5d='则d=3所以a=a+90=-4+27=2万.放选A 5D设轴截面的斜边为2，则R张=1，所以=专，=π，所以连= 1 。故选D. 3 3 V球4 6.C注意到点A(2,-1)在直线x+y=1上，新以圆心落在直线x-y=3上，又圆C过O(0,0)和 A(2,-1),所以圆心落在直线4x-2y=5上，联立 x-y=3 ts、1 (4x-2y=5得 > 所以圆心为 y=- 2 所以半径r=OC= 2 故选C ,则 g(a)e 因为存在三个实数B∈[0，ml,使得g(侧+g()=0,所以0，y5 是g(B) 的子集，由y=nx图象知，7≤2m元<8红，解得5年≤m<17 故选D. 3 63 12 8.B由题意得，f(x)=aer-cosx,f”(x)=aem+sinx,当0<x<时，f(x)>0,所以f(x) a-1<0 在0，上单酒递增，所以由在0， f'(0)<0 内不单调得 f()>0 ,即 解得 ae2>0 0<a<1.故选B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 BCD AC ABD 9.BCD由a<b,-c<-d得a-c<b-d,故A错误；由-a>-b>0,c>d>0得-ac>-bd,即 2026届高三2月学情检测·数学参考答案第1页共6页 ac<bd,故B正确；由a2>b2>0,c>d>0,得a2c>bd,故C正确；由a<b<0,得 >方又c>d,版+e>言d,放DE晚放宝m 10.AC令n=1,得S2-a=1,即a2=1,故A正确；令n=2,得S3+a2=2,所以S3=1,故B 错误；令n=2027,得S2028-a2027=2027①，令n=2028,得S2029+a2028=2028②，则 ②-①，得a2027+a2028+42029=1,所以S2029-S2026=1,故C正确：令n=2023,得 S2024-a2023=2023③，令n=2025,得S2026-4025=2025④，则④-③，得 a2023+a2026=2,故D错误.故选AC. 11.ABD作PD⊥平面ABC,垂足为D,则D为△ABC的外心，又△ABC为等边三角形，所以D为 △ABC的中心，故A正确；如图，有1+a+b=1+b+c=1+c+a=4,化简得a=b=c=1.5, 由A知B正确：内切的半径约为号所以S心=言红+6+).Sx=君6+e+)小. e=名e+a+,考球到Smw.Sarw.S.me不全相，等所U末必有a=6=c,放C结：误 由∠4PB=∠BPC=∠CPA=元得，a2+b-ab=b2+c2-bc=c2+a2-ac=1, (a-c)(a+c-b)=0 即(b-a)(b+a-c)=0,解得a=b=c=1,故D正确. (c-b)(c+b-a)=0 故选ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.√2 由题意得，og,a+og,a=子，即l6g,a= 3 ，所以a=5。 13.1 令OA=2e,OB,=3e,过A作OA的垂线1，在l上任取一点A, 则a=OA,过B,作OB的垂线l2,在l2上任取一点B,则b=OB, B 则a-bl=OA-08=BA≥BA=1. ￥B 14.√2-1 设P(x,）,则=2m。,对y2=2x求导得y'=,所以k=卫，又k=为。，所以 yo xo+c =卫，即=p(x+c),所以p(+c)=2pm,所以x=c,所以P5上x轴.在C中， xo+c yo 1PF=p=2c,在C中，P5=b,所以=2c,所以a2-c2=2ac,所以e2+2e-1=0, 解得e=√2-1. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分) （1)由题意得，2×2列联表如下： 2026届高三2月学情检测·数学参考答案第2页共6页 性别 是否喜欢围棋 合计 是 否 男生 30 20 50 女生 20 30 50 合计 50 50 100 …（2分) 零假设H。:性别与喜欢围棋无关联 根据列联表，得父= 100(30×30-20×20)2 =4<6.635,…(5分) 50×50×50×50 根据小概率值a=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H。不成立， 因此可以认为H。成立，即性别与喜欢围棋无关联， …（7分) (2)在甲第一局失败的条件下，甲最终获胜的概率有两种情况： 甲31胜乙，其概率P …（9分） 2 128 甲3：2胜乙，其概率乃=C 2 …（12分) 3327 故甲最终获胜的概率P=P+P2= 8.816 …（13分) 27'2727 16.（15分) (1)由sin2A+cos BsinC=--sin Bcos C得， -2sin Acos 4=sin BcosC+cos BsinC=sin(B+C),..................(2) 所以-2 sin AcosA=sin(π-A),即-2 sin AcosA=sinA, 因为1e(0网)，所以si血A≠0，则c0s4=,所以A= …（6分) (2y△1c巾，面余定理2-+c2-2c(》】 即(b+c)2-bC=20①，…(8分) 因为A0为△ABC的角平分线，所以cx5_1。 22 x1x3 +bx1x 2 2 即bc=c+b②，…（11分) 联立①②，解得bC=5,…（13分) 所以Sc=csnA-号X5×5_55 1」 …（15分) 2 2 24 P 17.（15分) (1)由题意得二面角P-AB-O的大小为45°， 如图1，取AB的中点Q,连接P9,O9, 则P9⊥AB,OQ⊥AB,所以∠PQO为二面角P-AB-O的平面角， 所以∠PQ0=45°.…(2分) 所以P0=00,又A0=V2P0=2,所以Q0=QA=√2， B 图1 所以∠0OAB=45°，所以∠AOB=90°，即OA⊥OB.…(4分) 又OA⊥OP,且OB,OPc平面POB,OB∩OP=O, 所以OA⊥平面POB,所以OA⊥PB.…(5分) 2026届高三2月学情检测·数学参考答案第3页共6页 (2)(i)如图2，取OB的中点E,连接DE,CE, 显然DE/∥平面POA,因为CD∥平面POA,CD∩DE=D,所以平面CDE∥平面POA, 又平面CDE∩平面ABC=EC,平面POA∩平面ABC=OA,所以EC/OA.…(7分) 由（1)知，EC⊥OE,又OC=OB=2OE,所以∠AOC=∠OCE=30°.…(9分) (i)如图3，以O为坐标原点，分别以OB,OA,OP为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则P(0,0,V2),A(0,2,0),B(2,0,0),C1,V5,0 所以PA=(0,2,-V2),PB=(2,0,-V2),PC=(1,V5,-V2) …（11分) 设平面PAB的法向量为n=(x,y,2), npi=0a2y-2z=0,令2=反，得x=l1y=1, 由 得 n.PB=02x-2z=0 所以平面PAB的一个法向量为n=(1,l2) …（13分) 所以点C到平面PAB的距离d= mpd_h+3-2-3-I …（15分) W1+1+2 A D E B B 图2 图3 18.(17分) (1)由题意得，a=b,c=2,所以a=b=√2， 所以C的方程为女y =1.…(3分)》 22 (2)(i)当直线1斜率存在时，此时直线1与C的右支有2个交点，满足题意.…(4分) 当直线1斜率不存在时，设直线：y=k(x-2),P(x,y),Q(x2,y2), 二得图=4x+42+2=0,…(5分) 联立 △=8(k2+1)>0 由P,Q两点均在C的右支，得xx2= 4k2+2 k2-1 72 x+ 4k2 >2W2 k2-1 解得k<-1或k>1.…(7分) 综上，直线1倾斜角的取值范围为 π3π …(8分) 4’4 2026届高三2月学情检测·数学参考答案第4页共6页 [y=-x (ⅱ)联立 y=x-x+y ，得xM=古-上 2 y=x 联立 得xw=占+上 …（9分) y=-x+x2+y2 2 当直线l斜率存在时，x=x2,乃=-y2,此时xM=xw,所以MN/P2.…(10分) 当直线斜率不存在时.w---+2,=寸业=0+5-2 2 2 2 2 则kw=-L=+=1+为+-k)西=（任+）-k(x-) xw-xMxw-xM(1+)x2-(1-k)x-4kk(x,+2)-(x-x2)-4k …（13分) 要证明MNP2,只需证kw=k,…(14分) 只需证，（任+)--）=k,只若证（化-1(5+为）-4状2=0(*。 k(x1+x2)-（x1-x2)-4k …(15分) 4k2 由(i)知，+=二，则()成立，所以MW2. 综上，NIIPO.…(17分) 19.（17分) (1)由题意得，f'(x)=1+lnx,g(x)=（x+1+a)e. …(1分)》 设y=k与f(x)=xlnx的切点为(xo,f(xo), …（2分)》 由y=k与g(x)=(x+a)e*相切，同理得k=-e1a 所以-e1a=-1,即a=0. …(4分) (2)(i)由f(x)=f(x)=g(x)=g(x4)=b得直线y=b与y=f(x)有两个不同的交点，与 y=g(x)有两个不同的交点，…(5分) 由(1)知，)在(0日单别递藏，在仁） 上单调递增；…（6分) e g(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，+∞）上单调递增，…(7分) 又0=0，f日-。且x→0)→0： ty 8(x) (x) g(0)=0,g(-1)=-1,且x→%，g()→0， 作出函数f(x)和g(x)的图象， 由图象知，b的取值范围为 (9分) e 2026届高三2月学情检测·数学参考答案第5页共6页 (ii)不妨设x1>x2,x3>x4, 由(i)知，0<x2<二<x<1,x4<-1<x3<0,…(10分) e 显然x,e5=xlnx=ne,且-l<lnx<0,-1<x3<0,所以x3=lnx, 同理，x4=nX2.…(12分) 要证1上1 只需证1-1、1-1 X1 x2 x3 X4 X2 X1 X4 X3 只需证1-1>1 1 …(13分) x2 x Inx2 Inx 又x1lnx1=x2lnx2<0,只需证lnx2-x2<nx1-x1（*).…(15分) 令函数h()=nx-x(0<x<1),则H(m)=】-1>0,所以函数h()在(0，).上单调递增， 由0<x2<x1<1得h(x2)<h(x),所以（*)显然成立 …（17分) 以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分 2026届高三2月学情检测·数学参考答案第6页共6页