精品解析：2025届高三年级港澳台学生8月月考数学试卷

8月考试数学 一、单选题 1. 若一个扇形的半径为1，圆心角为，则该扇形的面积为（ ） A. 15 B. 30 C. D. 2. 已知角α的终边过点P(4，－3)，则sinα＋cosα的值是（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 函数图象在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 用“五点法”作函数在一个周期内的图像时，第四个关键点的坐标是 A. B. C. D. 6. 已知函数与互为反函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知与是方程的两个根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9 若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数是偶函数，将的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象．若曲线的两个相邻对称中心之间的距离为，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点对称 D. 若，则在区间上的最大值为 12. 若函数是定义域为的奇函数，且，，则下列说法不正确的是（ ） A. B. 的图象关于点中心对称 C. 图象关于直线对称 D. 二、填空题 13. ，的单调减区间是______. 14. 若，则________. 15. 已知，若幂函数在上单调递增，则______. 16. 若是一次函数，且，则__________． 17. 已知函数（）的一段图象如图所示，则函数的解析式为_________ 18. 函数存在唯一的极值点，则实数t的最大值为________． 三、解答题 19. 已知. （1）化简求值：； （2）若是第一象限角，，且，求的值. 20. 端午节赛龙舟是我国的传统习俗，一共有8支龙舟队伍，其中专业组2支，业余组6支，从中随机取出3支队伍． （1）求既有专业组又有业余组概率； （2）设X表示取到业余组的个数，求随机变量X的分布列与数学期望． 21 已知函数 （1）求函数的单调递增区间； （2）先将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，若函数在上的值域是，求实数的取值范围． 22. 设函数，其中． （Ⅰ）若，求函数的单调区间； （Ⅱ）若方程恰有两个不等实数根，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8月考试数学 一、单选题 1. 若一个扇形的半径为1，圆心角为，则该扇形的面积为（ ） A. 15 B. 30 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合扇形的面积公式，即可求解. 【详解】由一个扇形的半径为1，圆心角为，即为，所以该扇形的面积为. 故选：C. 2. 已知角α的终边过点P(4，－3)，则sinα＋cosα的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的定义可求得sinα与cosα，从而可得sinα+cosα的值 【详解】∵知角α的终边经过点P（4，-3）， ∴sinα，cosα， ∴sinα+cosα． 故选：A． 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式即可. 【详解】. 故选：D. 4. 函数图象在点处切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的几何意义得出斜率，进而由点斜式得出方程. 【详解】由题意可得，则， 则所求切线方程为，即. 故选:：C 5. 用“五点法”作函数在一个周期内的图像时，第四个关键点的坐标是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦函数的五点作图求解即可 【详解】令，得.∴该点坐标为. 故选A 【点睛】本题考查”五点法”作函数y＝Acos（ωx+φ）的图象，y＝cosx的第一个周期内五个关键点：（0，1），（，0），（π，-1），（，0），（2π，1）． 6. 已知函数与是互为反函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先得到的解析式，再代入计算可得. 【详解】因为函数与是互为反函数， 所以，则，， ，，即正确的只有D. 故选：D 7. 已知，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再根据补集的定义即可得解. 【详解】， 所以. 故选：A. 8. 已知与是方程的两个根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系及同角三角函数基本关系式求解． 【详解】与是方程的两个根， ，两边平方得：， ，得． 即． 故选：D． 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两角和与差的正切公式即可求解. 【详解】． 故选：D. 10. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】参变分离可得恒成立，结合基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为恒成立，即恒成立， 所以恒成立，又由（当且仅当时取等号）， 所以． 故选：A． 11. 已知函数是偶函数，将的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象．若曲线的两个相邻对称中心之间的距离为，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点对称 D. 若，则在区间上的最大值为 【答案】CD 【解析】 【分析】首先利用三角函数的性质求出和的关系，根据对称点距离和周期关系即可判断A；求出正弦型函数的对称轴和对称中心即可判断BC；利用整体法即可求出的最值. 【详解】由于函数是偶函数，所以， 由于将的图象向左平移个单位长度， 再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到的图象，则， 对于A，因为曲线的两个相邻对称中心之间的距离为， 故，解得，故A不正确； 所以函数，则或， ，则或， 对于B，令，解得，， 令，解得，则的图象不关于直线对称，故B错误； 对于C,令，解得，， 所以当时，所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D，由A可得， 当时，即为偶数时，为奇数时， 故，此时时， 当时，， 所以在上单调递减，故函数的最大值为，故D正确； 故选：CD. 12. 若函数是定义域为的奇函数，且，，则下列说法不正确的是（ ） A. B. 的图象关于点中心对称 C. 的图象关于直线对称 D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A：根据，赋值令，即可得结果；对于C：根据结合奇函数定义可得，即可得结果；对于B：根据选项B中结论分析可得，即可得结果；对于D：分析可知：4为的周期，结合周期性分析求解. 【详解】因为，， 对于选项A：令，可得，故A正确； 对于选项C：因为函数是定义域为的奇函数，则， 则，所以的图象关于直线对称，故C正确； 对于选项B：因为，可得， 则， 即，所以的图象关于点中心对称，故B正确； 对于选项D：因为， 令，可得， 令，可得， 又因为，则， 可知4为的周期，可得，即， 因为，所以，故D错误； 故选：D 二、填空题 13. ，单调减区间是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，直接写出函数的单调减区间. 【详解】，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以所求单调减区间是. 故答案为： 14. 若，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据特殊角的正弦值以及反正弦函数的定义，即可得出答案. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 15. 已知，若幂函数在上单调递增，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据单调性可得，则可得出所求. 【详解】在上单调递增，， ，，则， . 故答案为：2. 16. 若是一次函数，且，则__________． 【答案】或 【解析】 【分析】设，利用待定系数法求出的值即可. 【详解】设，则， 又，， 解得或 或. 故答案为或. 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式.若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可先设出函数解析式的一般形式，再利用已知条件求其中的系数. 17. 已知函数（）的一段图象如图所示，则函数的解析式为_________ 【答案】 【解析】 【分析】由最值求，由周期求，由图象过求，从而可得结果. 【详解】由图可知，， 所以， 所以，又因为图象过， 所以， 可得，因为，所以, 所以， 故答案为：. 【点睛】本题主要通过已知三角函数图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点. 18. 函数存在唯一的极值点，则实数t的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意存在唯一的变号正实根，当符合题意，当时参变分离可得没有除之外的正实根，构造函数，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而求出的取值范围. 【详解】因为，， 所以， 依题意可得存在唯一的变号正实根， 即存在唯一的变号正实根， 当时，方程只有唯一变号正实根，符合题意， 当，方程，即没有除之外的正实根， 令，则， 所以当时，，即在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，所以， 则实数t的最大值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 三、解答题 19. 已知. （1）化简求值：； （2）若是第一象限角，，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先用诱导公式化简，再弦化切求值； （2）先求出、的正弦、余弦，再利用两角和与差的三角函数求值. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 由为第一象限角，且，故：，； 又，且，故. 所以：. 20. 端午节赛龙舟是我国的传统习俗，一共有8支龙舟队伍，其中专业组2支，业余组6支，从中随机取出3支队伍． （1）求既有专业组又有业余组的概率； （2）设X表示取到业余组的个数，求随机变量X的分布列与数学期望． 【答案】（1）； （2）分布列见解析，数学期望 【解析】 【分析】（1）根据古典概型以及组合数的计算求得正确答案； （2）根据超几何分布的知识求得的分布列并求得数学期望． 【小问1详解】 依题意，既有专业组又有业余组的概率为． 【小问2详解】 的可能取值为1，2，3， 则，，， 所以的分布列如下： 1 2 3 ． 21. 已知函数 （1）求函数的单调递增区间； （2）先将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，若函数在上的值域是，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用三角恒等变换化成正弦型函数，再整体代换即可求出单调递增区间； （2）运用图象变换得到解析式，再根据得到值域，建立不等式求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以增区间，由不等式，即， 所以的单调递增区间为：. 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位，得到， 再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得到， .当， 因为的值域为 所以， 所以 ， 即 故. 22. 设函数，其中． （Ⅰ）若，求函数的单调区间； （Ⅱ）若方程恰有两个不等实数根，求实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）单调递减区间，单调递增区间；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）代入,求得，分别求得导数的正负情况，进而可得单调性； （Ⅱ）可化为，构造函数，有两个不等的实数根，即与有两个交点，利用导数研究的单调性求得最值，数形结合即可得解. 【详解】（Ⅰ）当，,则， 的定义域为 ,,单调递减区间，,,单调递增区间. （Ⅱ），即，则 令，则， 令， 因为在恒成立，所以在为单调递减函数， 又因为，所以,,,， 所以,为增函数,,为减函数，，且在恒大于0， 有两个不等的实数根，即与有两个交点， 所以，实数的取值范围 【点睛】关键点睛：本题考查根据方程根的个数求参数，解题的关键是参数分离，构造函数利用导数讨论单调性，根据函数交点个数判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$