2025-2026学年高二上学期数学期末复习卷人教A版

、 2025-2026学年高二第一学期期末数学复习卷参考答案 1.D 【详解】设直线与曲线相切于点， 由所以，整理得 解得或（舍去），所以. 2.D 【详解】由题意可得与同向的单位向量 点到直线的距离． 3.A 【详解】设等比数列的公比为，由可得， 整理可得，即，解得，所以. 4.C 【详解】    由树状图可知， ，故C正确，D错误. 对于A：由于只从甲罐中取一个球，故只能取出红球或白球，故是互斥的，故A错误； 对于B：，故事件B与事件不相互独立，故B错误； 5.B 【详解】易知圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，结合圆的半径为，到直线的距离为的直线有两条， 可得一条与圆相离，一条与圆相交，因此圆上有且仅有2个点到直线的距离等于. 6.D 【详解】设椭圆右焦点为（其中）， 过椭圆中心，则与关于原点对称，设，则， 将分成和，由于与关于原点对称，，所以， 以为底，到轴的垂直距离为高，，因此， 点在椭圆上，故，所以，即面积最大值为. 7.A 【详解】由， 则，，， 因此等差数列为递增数列，而， ，则时，，，即； 当时，，要使最小，则，此时，数列为递增数列， 则随着的增大，增大，减小，增大，但，，则增大， 因此，当时，最小. 8.D 【详解】如图，设平面与线段交于点，连接， 又平面平面，平面平面，平面平面， 所以，又，所以，则，所以， 当与重合时，截面为，，不合题意； 同理，与重合时，也不合题意； 如图，以点为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，则，，，， 故，，， 所以三棱台的体积， 所以，化简整理得，解得， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离. 9．AB 【详解】因为平面，则，可得，解得，即. 对于选项A：若与共线，则存在实数，使得， 可得，解得：，所以，故A正确； 对于选项B：在上的投影向量为，故B正确； 对于选项C：点到平面的距离，故C错误； 对于选项D：因为直线与平面所成角为， 则，可得， 所以直线与平面所成角的余弦值为，故D错误. 10.ABC 【详解】对于A：由双曲线：，可得， 所以，所以，所以双曲线：的左、右焦点分别为、， 所以，若，则， 所以或，又在右支时，， 在左支时，，所以或，故A对； 对于B：若的周长为20，则，又， 由对称性，不妨设，所以， 由余弦定理可得， 所以， 所以的面积为，故B正确； 对于C：设，则， 所以， 当且仅当时，取等号，故C正确； 对于D：设，由，可得， 所以，则可得， 所以，当且仅当取等号， 又时，三点共线，由题意，三点不能共线，故D错误. 11.BCD 【详解】A.由题意可知为等边三角形，如图，，则， 因为点在曲线上，可得，解得或（舍）， 又由题意可知为边长为的等边三角形，则， 则，可得，解得或（舍），故A错误； B.由为边长为的等边三角形，可得，故B正确； C.由点在曲线上，则，整理得， 可知，故C正确； D.当时，可得，所以， 可化为，因为，则，所以，， 又因为，符合上式，故， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以数列的通项公式为，所以，故D正确. 12. 【详解】因为，所以， 所以，所以. 13.9 【详解】在等差数列中，，，所以，， 故构成公差为2的等差数列， 所以，即. 14. 【解析】设，则，. 由椭圆定义，又，故. 在中，， 得，则，离心率. 15．【详解】（1）圆：的圆心为，半径为， 圆：即，圆心为，半径为， 则，可知，故圆与圆相交； （2）（i）联立，解得或， 则不妨取，设圆心在直线上的圆的圆心为， 则，即，解得， 则圆心为，半径为，故所求圆的方程为； （ii）圆：，求其在处的切线方程， 而，则切线斜率为，则切线方程为，即； 同理可求得在点B处的切线方程为. 16．【详解】（1）设事件是第1次抛掷骰子向上的点数为奇数，对立事件为； 事件是第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数，对立事件为； 事件是第3次抛掷骰子向上的点数为6，对立事件为； 可知抛掷一次骰子所有结果有6种，分别是， 符合事件的样本点有，所以，； 符合事件的样本点有，所以，； 第1，2次抛掷中至少成功一次的概率为， 所以游戏者有机会第3次抛掷骰子的概率为. （2）易知， 可知至少能得6分的所有情况有：，则至少能得6分的概率， 所以至少能得6分的概率是. 17． 【详解】（1）证明：连接，因为在直三棱柱中， 四边形是平行四边形，点为的中点.所以点为的中点， 又因为点为的中点，所以， 又平面，平面 所以平面 （2）因为，为中点，所以，且， 过作平面，以为原点，分别为轴的正方向， 则， ，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为 （3）设，则，， 由在平面内可知，即，解得， 所以存在点，当时，点在平面内. 18．【详解】（1）在数列中，①，又因为②,， 所以得． 又因为，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． 当时，，当时，，也满足上式， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）知，，因为对于任意恒成立，所以恒成立． 设，则， 当和时，，即；当时，， 所以，所以数列的最大项是，所以， 即实数的取值范围为． （3）由（1）知，所以． 所以， 所以 . 由，得，即．因为，所以当时，； 当时，．所以当时，，所以使的的最小值是4． 19．【详解】（1）由已知条件知，点到点的距离与到直线的距离相等，由抛物线的定义可知点的轨迹为以点为焦点，为准线的抛物线． 设抛物线的方程为，则，得，所以点的轨迹方程． （2）设直线的方程为，则． 由消去得，由韦达定理得． 直线的方程为，化简、整理得． 又，所以直线的方程为．所以直线经过定点． （3）（法一） 由（2）知：， 且． 当时，，直线． 设线段的中点为，则． 所以，所以． 从而，即． 上述方程代入得：，① 因为是的垂直平分线，所以线段是圆的直径． 所以，解得． 所以直线，此时． 当时，，方程①化简为：， 求得，圆． 当时，同理求得， 圆． 综上，直线，圆． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二第一学期期末数学复习卷 班级： 姓名： 座号： 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，仅有一项符合题目要求. 1．若直线与曲线相切，则m的值为（    ） A．-5 B． C．3 D．5 2．在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（   ） A． B． C．3 D． 3．已知为等比数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 4. 甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（    ） A．事件不互斥 B．事件B与事件相互独立 C． D． 5．已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 6.已知F是椭圆的一个焦点，PQ是过其中心的一条动弦，则面积的最大值是（ ） A． B． C． D． 7．已知等差数列的前项和满足：，则数列的最小项是第（    ）项. A．2026 B．2027 C．4048 D．4049 8．已知正方体的棱长为1，平面α过点A，C，且与棱交于点E，若平面α将该正方体分成体积之比为的两部分，则点E 到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分. 9．已知平面的一个法向量为，，，则（    ） A．若与共线，则 B．向量在向量上的投影向量为 C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成角的余弦值为 10．已知双曲线：的左、右焦点分别为、，、、是上的三个互不相同的动点，且与关于原点对称，则下列结论正确的有（    ） A．若，则有或 B．若的周长为20，则的面积为 C．的最大值为5 D．设，的斜率分别为、，则的最小值为 11．如图，曲线下有一系列正三角形，设第个正三角形（为坐标原点）的边长为，则（    ） A． B．记为数列的前项和，则为 C．记为数列的前项和，则 D．数列的前项和为 三、填空题：共3小题，每题5分，共15分. 12．已知，则 . 13．已知等差数列的前项和为，，，则 . 14.如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足，且，则椭圆C的离心率为        ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知圆：与圆：. (1)求证：圆与圆相交； (2)设两圆的交点为A，B，求 （i）过点A，B，且圆心在直线上的圆的方程； （ii）求圆在点A或点B处的切线方程（任选一条求之即可）. 16．在一场抛掷骰子的游戏中，游戏者最多有三次机会抛掷一枚骰子，游戏规则如下：第1次抛掷骰子，若向上的点数为奇数，则为抛掷成功；第2次抛掷骰子，若向上的点数为3的倍数，则为抛掷成功；第3次抛掷骰子，若向上的点数为6，则为抛掷成功．游戏者每次抛掷骰子相互独立，且在第1，2次抛掷中至少成功一次才可以进行第3次抛掷． (1)求游戏者有机会第3次抛掷骰子的概率； (2)若第1次抛掷成功记3分，第2次抛掷成功记3分，第3次抛掷成功记4分，各次抛掷骰子不成功都记0分，求游戏者在一场抛掷骰子的游戏中至少得6分的概率． 17．如图，在直三棱柱中，，，点分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 18．已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和. (1)求数列的通项公式； (2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，，求数列的前n项和及使的n的最小值. 19．已知动点到点的距离与点到直线的距离相等，过点的直线交点的轨迹于点，点关于轴的对称点为，其中直线与轴不垂直． (1)求点的轨迹方程； (2)求证：直线过定点，并求出定点的坐标； (3)线段的垂直平分线交点的轨迹于，若以为直径的圆的圆心的横坐标为19，求直线和圆的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $