精品解析：2026年宁夏银川市兴庆区初中学业水平模拟考试数学试题

2026年初中学业水平模拟考试 数学试卷 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 某摄像机逆时针旋转记为，则顺时针旋转记为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定已知旋转方向的表示规则，再推导相反方向的表示即可． 【详解】∵题目规定逆时针旋转记为，即逆时针旋转用正数表示，顺时针旋转与逆时针旋转是一对具有相反意义的量， ∴顺时针旋转应记为． 2. 图形变换是指对基本图形的几何信息进行一系列操作，从而产生新的图形，包括图形的平移、旋转、轴对称、相似等．下列图形的形成过程，可以用“平移现象”解释的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、可以由“平移”的过程得到，符合题意； B、可以由“旋转”的过程得到，不符合题意； C、可以由“旋转”的过程得到，不符合题意； D、可以由“旋转”或“轴对称”的过程得到，不符合题意． 3. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方及合并同类项的运算，解题的关键是牢记法则并熟记计算．根据幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，可得答案． 【详解】解：A、，符合题意； B、，此选项不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； 故选：A． 4. 在实践活动中，李明和王刚进行角的探究，他们将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的两边互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角板中的角度计算、三角形的外角性质，如图（见解析），先根据三角板可得，再根据角的和差可得，然后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】：如图，由题意可知，， ∵两个三角板中有刻度的边互相垂直， ∴， ∴， 故选：D． 5. 氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ） 水的质量 氢气的质量 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求函数关系式，由表格数据可得是的正比例函数，进而即可求解，由表格数据判断出函数关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与成正比例，即是的正比例函数， ∴， 故选：． 6. 如图，在四边形草坪内选取一点修建凉亭，并用小路将其与，，，四个顶点相连接，要使它到四边形四个顶点的距离之和最小，则凉亭修建地点一定在（ ） A. 线段与的交点 B. 线段的中点 C. 线段的中点 D. 四边形草坪内任意一点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了两点之间线段最短和三角形三边关系，解题的关键是将四条线段分成两组，分别利用共线取等号求最小值．先分析最小时的位置，再分析最小时的位置，取两者公共点． 【详解】解：(当在线段上时取等号)， 当在线段上时，取最小值， 同理(当在线段上时取等号)， 当在线段上时，取最小值， 要使取最小值，需同时满足上述两个条件， 必须在线段上，且同时在线段上， 是线段与的交点， 故选：A． 7. 购买甲、乙两种笔记本共用26元．若甲种笔记本单价为4元，乙种笔记本单价为6元，则购买两种笔记本（两种都要购买）的方案有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 【答案】A 【解析】 【分析】设购买甲、乙两种笔记本的数量分别为，根据总费用列出二元一次方程，结合均为正整数，枚举找出所有符合条件的方案，得到方案数量． 【详解】解：设购买甲种笔记本本，购买乙种笔记本本，其中均为正整数， 根据题意得 ， 整理得 ， ∴ ， ∵为正整数， ∴ ，解得 ， 又∵是奇数，是偶数， ∴为奇数，即为奇数， ∴的可能取值为， 当时， ，符合要求； 当时， ，符合要求； ∴符合条件的方案共种． 8. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于的方向走到E，再从E沿着垂直于的方向走到F，C为上一点，其中3位同学分别测得三组数据：①；②、；③．其中能根据所测数据求得A、B两树距离的有（　　） A. 0组 B. 一组 C. 二组 D. 三组 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质及解直角三角形的应用，解答的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．根据三角函数的定义及相似三角形的判定定理及性质对各选项逐一判断即可得答案． 【详解】第①组中，因为知道和的长，所以可利用的正切来求的长； 第②组中因为可利用，求出； 第③组中可利用和的正切求出． 故选：D． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 计算的结果为_____． 【答案】 1 【解析】 【分析】本题可观察式子结构，符合平方差公式的特征，运用平方差公式化简后，再根据二次根式的性质计算即可 【详解】解： 10. 计算的结果是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据同分母分式的减法法则计算． 先对分子因式分解，再约分得到结果． 【详解】解：原式． 11. 2026年3月14日是全球的第七个“国际数学日”，其主题为“数学与希望”．为了让同学们更好地领略数学的魅力，某校在活动日策划了“数阵寻宝”“方程追击”“连数成画”三个挑战游戏．每人随机选择参与其中一个游戏，则小陈和小赵选择的游戏相同的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再找出小陈和小赵选择游戏相同的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：记三个挑战游戏分别为，，． 根据题意，画出树状图： 所有等可能的结果总数为9种．其中小陈和小赵选择相同游戏的结果有种． 所以小陈和小赵选择的游戏相同的概率为． 12. 如图，点在反比例函数（为常数，，）的图象上，轴于点，点在轴上，连接、，平分，若，点的坐标为，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可证得，由平行线的性质结合角平分线的性质等量代换即可证得，由等角对等边可得 ， 然后在中，根据勾股定理可得，从而可得点的坐标，代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】解：轴，轴轴  轴，即， ，  平分，  ，  ，  ，  点的坐标为，  ，  在中，，  点的坐标为，  ，点在第二象限，  点的坐标为，  点在反比例函数的图象上，  ． 13. 若方程的两个根是和，则的值为______． 【答案】2025 【解析】 【分析】根据方程根的定义得到与a的等量关系，再结合根与系数的关系得到两根之和，整体代入化简即可求解． 【详解】解：∵a是方程的根， ∴，即． ∴． ∵a，b是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得． ∴原式． 14. 如图，在菱形中，对角线、交于点，过点作，交的延长线于点，连接．若菱形的面积为，，则的长为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，，，根据菱形的面积公式计算得出，再由直角三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵菱形的面积为， ∴， ∴， ∵，， ∴． 15. 如图，分别以正六边形的顶点，，为圆心、边长为半径作弧，构成了阴影部分的“三叶草”图案．若该正六边形的边长是2，则“三叶草”的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了正六边形和圆以及扇形面积求法，注意圆与多边形的结合得出阴影面积是解题关键．连接，，，根据正六边形的性质得到，，得到，同理，推出四边形是菱形，过作于，得到，根据勾股定理得到，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接，，， 正多边形是正六边形， ，， ， 是等边三角形， ， 同理， ， 四边形是菱形， 过作于， ， ， “三叶草”的面积（扇形的面积-菱形的面积）， 故答案为：． 16. 如图1，点从等边三角形的顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点．设点运动的路程为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则等边三角形的边长为______． 【答案】6 【解析】 【详解】本题考查了动点问题的函数图象，如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点，结合图象可知，当点在上运动时，，，易知，当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，可知，过点作，根据的直角三角形的性质和勾股定理求出长，进而得出等边三角形的边长． 【解答】解：如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点， \ 结合图象可知，当点在上运动时，， ，， 又为等边三角形， ，， ， ， 当点在上运动时，可知点到达点时的路程为， ，即， ， 过点作，垂足为， ，则， ∴， ， 即等边三角形的边长为6． 故答案为： 三、解答题（本题共10小题，其中17~22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键，先计算零次幂，化简二次根式，代入锐角三角函数，化简绝对值，再合并即可． 【详解】解： ； 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 由①，得； 由②，得； ∴不等式组的解集为. 19. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1．A、B、C都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． （1）如图1，点E是边上一点，请画出，并在边上画点F，使得平分的面积； （2）如图2，点M为与网格线的交点，请画出线段，使得． 【答案】（1） 如图：和点F即为所求． （2） 如图：线段即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查格点作图、平行四边形的性质等知识点，理解相关性质是解题的关键． （1）先根据格点的特点作出，再根据过对角线交点的直线平分面积即可解答； （2）根据格点的特点以及平行四边形的性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 下图是2026年1月的月历表．在月历表上，可以用一个正方形框任意圈出相邻的4个数（例如：2，3，9，10）． （1）若圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为_____．（用含的代数式表示） （2）小丽计算得到圈出的4个数之和为45．小丽算对了吗？说明理由． （3）对于任意一组这样圈出的四个数，一定能整除它们之和的最大整数是_____． 【答案】（1） （2） 小丽算错了，理由如下： 设圈出的4个数中最小的数为x，则其他三个数分别为， ∵圈出的4个数之和为45， ∴， 解得：， 根据题意得：x为整数， ∴不符合题意， ∴小丽算错了； （3）4 【解析】 【分析】（1）根据月历表的特点列式即可． （2）设圈出的4个数中最小的数为x，则其他三个数分别为，根据题意列出方程，解方程即可得到答案． （3）设圈出的4个数中最小的数为x，则其他三个数分别为，进一步求和，结合分配律即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设圈出的4个数中最小的数为x，则其他三个数分别为， ∴， ∴对于任意一组这样圈出的四个数，一定能整除它们之和的最大整数是． 21. 如图，在中，D，E分别为的中点．M是上一定点，按以下步骤尺规作图： ①以点D为圆心，为半径作弧，交于另一点N； ②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线，交于点F，点G在的延长线上，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵D，E分别为的中点， ∴，即， ∵． ∴四边形是平行四边形， ∵根据作图可知：， ∴四边形是矩形；； （2）1 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据作图痕迹可知：，进而即可得到结论； （2）根据等腰直角三角形的性质和矩形的性质得，结合中位线的性质可得，进而即可求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵D，E分别为的中点， ∴， ∴． 22. 随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． （1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． （2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】（1）甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元 （2）购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【解析】 【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． 【小问2详解】 解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数， 根据题意，得， 由，得随a的增大而减小， 故当时，取得最小值，且最小值为（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 23. 某种饮品由浓缩咖啡、牛奶和糖浆三种成分调制而成，不同的配比会带来不同的口味．为了解不同配比对口味的影响，某咖啡店进行了“糖浆加入量对口味影响”的试验：保持浓缩咖啡30毫升和牛奶150毫升不变，分三个方案改变糖浆的加入量（方案A：10毫升；方案B：30毫升；方案C：50毫升），并从300位品尝嘉宾中随机抽取10位嘉宾对每种方案的甜度和整体口感评分（以1至10的整数评分，分值越高对应甜度越高或整体口感越好）． 【数据处理】根据收集到的数据，绘制了下列统计图表． 三个方案整体口感评分折线图 甜度、整体口感评分统计表 项目 评分 方案 甜度 整体口感 平均数 中位数 平均数 中位数 A 2.1 2 2 B 6.5 5 7.1 7.5 C 8.5 8 5 甜度、整体口感评分平均数复合统计图 【数据应用】 （1）在表1中，_____，_____． （2）结合图1，估计300位嘉宾在三个方案中最喜爱方案C的人数． （3）补全图2，并简单分析糖浆的加入量对饮品口味的影响． （4）调查显示，嘉宾对饮品的甜度和整体口感的关注度占比为，现按照这个占比计算三种方案的综合得分，得分大于6.5分的方案即可推出，请结合数据分析，推断该店将会推出哪种方案． 【答案】（1）， （2） （3） 补全图2如下： 随着糖浆的加入量的增多，饮品甜度不断增加，整体口感得分先增高后降低 （4）该店将会推出方案 【解析】 【分析】（1）根据平均数的计算公式和方案的得分即可计算出方案的平均分；把方案的整体口感得分从小到大排列，中间的两个数据的平均数即为方案的中位数； （2）由折线统计图可知抽查的位嘉宾中最喜欢方案的有位，占抽查总人数的，利用样本估计总体求出位嘉宾在三个方案中最喜爱方案的人数； （3）根据表1补全图2，再根据图2进行分析即可解答； （4）分别计算出三个方案的综合得分，根据综合得分判断推出哪一个方案． 【小问1详解】 解：方案的整体口感平均数是， 方案的整体口感得分从小到大排列为：、、、、、、、、、， 第五个和第六个数据都是， 方案的整体口感中位数． 【小问2详解】 解：由图可知，号、号、号嘉宾给方案打分最高， 抽查的位嘉宾中最喜欢方案的有位，占抽查总人数的， 估计位嘉宾在三个方案中最喜爱方案的人数大约有：（人）； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：方案综合得分：（分）， 方案综合得分：（分）， 方案综合得分：（分）， 该店将会推出方案． 24. 如图，为的直径，为圆弧上一点，为的中点，过点作的切线交射线于点，连接，D． （1）求证：； （2）若，，求长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是的切线，为切点， ∴，即， ∵为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，得到，再结合弧中点所对圆周角相等及等腰三角形底角相等的性质推导出内错角相等，进而证明与平行，最终由垂直的传递性得到； （2）连接，利用弧中点的性质得到，结合（1）的结论用勾股定理求出的长度，再通过圆内接四边形的外角等于内对角及同角的余角相等证明与相似，借助相似三角形的比例关系求出的长度，最后通过线段的差计算出的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵为的中点， ∴． 由（1）知， 在中，由勾股定理得． ∵为的直径， ∴， ∴． ∵四边形内接于， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴，即，解得， ∴． 25. 某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出数据为已知条件）在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，此时距离点O的水平距离为，运动员在距水面高度为5米前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误． （1）求这条抛物线解析式； （2）求入水点B距池边的距离； （3）在某次跳水中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由． 【答案】（1） （2）4 （3）会失误；理由 解：已知运动员调整姿势时距池边水平距离为米， 因此运动员此时横坐标为， 将代入抛物线解析式得：， 此时运动员距水面高度为， 即调整姿势时距水面高度已经低于5米， 因此，此次跳水会失误． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据已知条件得到二次函数的图象是解题的关键． （1）根据题意，设抛物线顶点式为，利用待定系数法求出解析式即可； （2）根据题意求出点B的纵坐标为，将代入抛物线解析式，据此求出入水点B距池边的距离即可； （3）运动员此时横坐标为，将代入抛物线解析式得到，此时运动员距水面高度为，据此判断是否会发生失误． 【小问1详解】 解：根据题意得：原点是起跳点，抛物线顶点（最高处）距水面米，跳台原点距水面10米，因此顶点纵坐标为， 则抛物线顶点坐标为， 设抛物线顶点式为， 将代入得：， 解得， 因此，这条抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意得：点B的纵坐标为， 当时，， 解得或（舍去）， 因此，入水点B距池边的距离为米； 【小问3详解】 略 26. 在，中，，，，连接、，取的中点 （1）【观察猜想】 如图1中，若O、C、A在一条直线上，线段与的数量关系是______，位置关系是______． （2）【探究证明】 若将旋转到图2的位置，判定中（1）的结论是否仍然成立，并说明理由． （3）【拓展延伸】 设交与G，若将由图1的位置绕O顺时针旋转，且，，是否存在角度使得？若存在，请直接写出此时的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2） 解：（1）的结论仍然成立，理由如下： 如图2中，延长到，使得，设交于，交于， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ∵， ， ， ， ， ∴． 综上，（1）的结论，仍然成立． （3）或． 【解析】 【分析】（1）先由证得，得到和，再结合是的中点得出，进而得，最后通过角的等量代换证明． （2）通过延长至使，先由证得且，进而推出，再由证，最后通过角的关系证明结论． （3）分两种情况，通过作于，利用解直角三角形和直角三角形中角的性质求出相关线段长度，再根据不同情况的面积和差关系计算的面积． 【小问1详解】 解：，，， ， ，， 点是的中点， ， ，， ， ， ． 故答案为：，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图，当，作于，连接， ，，， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ， ； ②如图，过点作的延长线于，连接， 同①可知，，， ∵， ∴， ∴， ． 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、直角三角形的性质（角所对直角边是斜边的一半）、三角形面积的计算、解直角三角形及分类讨论思想；掌握通过角的等量代换证明两条线段垂直、通过延长中线构造全等三角形转化线段和角的关系、根据不同位置关系分类讨论并利用角度关系转化线段长度是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟考试 数学试卷 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 某摄像机逆时针旋转记为，则顺时针旋转记为（ ） A. B. C. D. 2. 图形变换是指对基本图形的几何信息进行一系列操作，从而产生新的图形，包括图形的平移、旋转、轴对称、相似等．下列图形的形成过程，可以用“平移现象”解释的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 4. 在实践活动中，李明和王刚进行角的探究，他们将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的两边互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 5. 氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ） 水的质量 氢气的质量 A. B. C. D. 6. 如图，在四边形草坪内选取一点修建凉亭，并用小路将其与，，，四个顶点相连接，要使它到四边形四个顶点的距离之和最小，则凉亭修建地点一定在（ ） A. 线段与的交点 B. 线段的中点 C. 线段的中点 D. 四边形草坪内任意一点 7. 购买甲、乙两种笔记本共用26元．若甲种笔记本单价为4元，乙种笔记本单价为6元，则购买两种笔记本（两种都要购买）的方案有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 8. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于的方向走到E，再从E沿着垂直于的方向走到F，C为上一点，其中3位同学分别测得三组数据：①；②、；③．其中能根据所测数据求得A、B两树距离的有（　　） A. 0组 B. 一组 C. 二组 D. 三组 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 计算的结果为_____． 10. 计算的结果是______． 11. 2026年3月14日是全球的第七个“国际数学日”，其主题为“数学与希望”．为了让同学们更好地领略数学的魅力，某校在活动日策划了“数阵寻宝”“方程追击”“连数成画”三个挑战游戏．每人随机选择参与其中一个游戏，则小陈和小赵选择的游戏相同的概率为___________． 12. 如图，点在反比例函数（为常数，，）的图象上，轴于点，点在轴上，连接、，平分，若，点的坐标为，则的值为____________． 13. 若方程的两个根是和，则的值为______． 14. 如图，在菱形中，对角线、交于点，过点作，交的延长线于点，连接．若菱形的面积为，，则的长为___________． 15. 如图，分别以正六边形的顶点，，为圆心、边长为半径作弧，构成了阴影部分的“三叶草”图案．若该正六边形的边长是2，则“三叶草”的面积是______． 16. 如图1，点从等边三角形的顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点．设点运动的路程为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则等边三角形的边长为______． 三、解答题（本题共10小题，其中17~22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17. 计算： 18. 解不等式组：． 19. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1．A、B、C都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． （1）如图1，点E是边上一点，请画出，并在边上画点F，使得平分的面积； （2）如图2，点M为与网格线的交点，请画出线段，使得． 20. 下图是2026年1月的月历表．在月历表上，可以用一个正方形框任意圈出相邻的4个数（例如：2，3，9，10）． （1）若圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为_____．（用含的代数式表示） （2）小丽计算得到圈出的4个数之和为45．小丽算对了吗？说明理由． （3）对于任意一组这样圈出的四个数，一定能整除它们之和的最大整数是_____． 21. 如图，在中，D，E分别为的中点．M是上一定点，按以下步骤尺规作图： ①以点D为圆心，为半径作弧，交于另一点N； ②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线，交于点F，点G在的延长线上，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，，求的长． 22. 随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． （1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． （2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 23. 某种饮品由浓缩咖啡、牛奶和糖浆三种成分调制而成，不同的配比会带来不同的口味．为了解不同配比对口味的影响，某咖啡店进行了“糖浆加入量对口味影响”的试验：保持浓缩咖啡30毫升和牛奶150毫升不变，分三个方案改变糖浆的加入量（方案A：10毫升；方案B：30毫升；方案C：50毫升），并从300位品尝嘉宾中随机抽取10位嘉宾对每种方案的甜度和整体口感评分（以1至10的整数评分，分值越高对应甜度越高或整体口感越好）． 【数据处理】根据收集到的数据，绘制了下列统计图表． 三个方案整体口感评分折线图 甜度、整体口感评分统计表 项目 评分 方案 甜度 整体口感 平均数 中位数 平均数 中位数 A 2.1 2 2 B 6.5 5 7.1 7.5 C 8.5 8 5 甜度、整体口感评分平均数复合统计图 【数据应用】 （1）在表1中，_____，_____． （2）结合图1，估计300位嘉宾在三个方案中最喜爱方案C的人数． （3）补全图2，并简单分析糖浆的加入量对饮品口味的影响． （4）调查显示，嘉宾对饮品的甜度和整体口感的关注度占比为，现按照这个占比计算三种方案的综合得分，得分大于6.5分的方案即可推出，请结合数据分析，推断该店将会推出哪种方案． 24. 如图，为的直径，为圆弧上一点，为的中点，过点作的切线交射线于点，连接，D． （1）求证：； （2）若，，求长． 25. 某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出数据为已知条件）在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，此时距离点O的水平距离为，运动员在距水面高度为5米前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误． （1）求这条抛物线解析式； （2）求入水点B距池边的距离； （3）在某次跳水中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由． 26. 在，中，，，，连接、，取的中点 （1）【观察猜想】 如图1中，若O、C、A在一条直线上，线段与的数量关系是______，位置关系是______． （2）【探究证明】 若将旋转到图2的位置，判定中（1）的结论是否仍然成立，并说明理由． （3）【拓展延伸】 设交与G，若将由图1的位置绕O顺时针旋转，且，，是否存在角度使得？若存在，请直接写出此时的面积；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $