精品解析：2024年宁夏回族自治区银川市 兴庆区银川英才学校九年级 第一次模拟数学试题

银川英才学校初三年级第一次模拟考试数学试题 （考试时间120分钟，全卷总分120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列计算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的乘法，合并同类项，同底数幂的乘法，零指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用同底数幂的乘法的法则，合并同类项的法则，二次根式的乘法的法则，零指数幂对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 2. 已知点的坐标为，点与点关于轴对称，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题的关键． 利用关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点关于轴的对称点的坐标是，进而得出答案． 【详解】解：∵的坐标为，点与点关于轴对称， ∴点的坐标为：． 故选：D． 3. 在显微镜下，人体的一种细胞形状可以近似地看成圆形，它的半径约为米，还原为原数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，解答此题的关键是判断出要把的小数点向左移动七位．根据用科学记数法表示较小的数的方法，把7.8的小数点向左移动七位，判断出原数为多少即可． 【详解】解：． 故选：B． 4. 为了保护环境，加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池的活动，随机抽取班上30名学生进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图，请根据学生收集到的废旧电池数，判断下列说法正确的是（ ） A. 样本为30名学生 B. 众数是11节 C. 中位数是5.5节 D. 平均数是6.5节 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数、中位数、平均数及样本的定义列式计算即可． 【详解】解：A．样本为30名学生收集到的废旧电池数，故选项A错误； B．众数是6节，故选项B错误； C．中位数是从小到大排序后第15和16名学生收集电池数的平均数，即，故选项C正确； D．平均数为，故选项D错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查众数、中位数、加权平均数以及样本，解题的关键是掌握众数、中位数及加权平均数的定义． 5. 如图，菱形的对角线相交于点，连接，点为的中点，若，则线段的长为（　　） A. 5 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、中位线的判定与性质；熟练掌握菱形性质，并能结合勾股定理、中位线的相关知识点灵活运用是解题的关键． 先根据菱形的性质找到和，然后利用勾股定理计算出菱形的边长的长，再根据三角形中位线性质，求出的长． 【详解】解：已知菱形，对角线互相垂直平分， ∴，即， 在中，， ∴根据勾股定理得， ∵， ∴， 在中，， ∴菱形的边长为， ∵点为的中点，点为中点， ∴． 故选：B． 6. 直线与抛物线在同一坐标系中大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中b和c的正负情况和二次函数图象中a、b、c的正负情况，注意a＞0，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意． 【详解】解：选项A中，由一次函数的图象可知b＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＜0，b＞0，c＞0，故选项A不符合题意； 选项B中，由一次函数的图象可知b＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，b＜0，c＞0，故选项B符合题意； 选项C中，由一次函数的图象可知b＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，b＜0，c＜0，故选项C不符合题意； 选项D中，由一次函数的图象可知b＞0，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，b＜0，c＞0，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 7. 如图，在中，，以点O为圆心的半圆分别与边、相切于点D、E，连接．已知，，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质可得，从而可得四边形是矩形，然后利用矩形的性质可得，从而可得，再根据，从而可得四边形是正方形，再根据正方形的性质可得，最后证明，从而利用相似三角形的性质可求出，再根据阴影部分的面积的面积正方形的面积（扇形的面积扇形的面积）进行计算即可解答． 【详解】解：如图：连接， 以点O为圆心的半圆分别与边、相切于点D、E， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， 解得：， 阴影部分的面积的面积正方形的面积（扇形的面积+扇形EOG的面积） ， 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，扇形面积公式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8. 对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法，以方程为例，公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：将原方程变形为，然后构造如图，一方面，正方形的面积为；另一方面，它又等于，因此可得方程的一个根，根据阿尔花拉子米的思路，解方程时构造的图形及相应正方形面积（阴影部分）正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用配方法将原方程变形，结合图形即可解答． 【详解】解： ∴正方形面积（阴影部分）＝21＋4＝25 故选：C 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用配方法和解方程的一般步骤． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 分解因式：=____. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可． 【详解】． 故答案为： 10. 的算术平方根是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义的定义解答即可． 【详解】解：， ∵4的算术平方根是2， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 11. 在一个不透明的暗箱中装有红、黄、蓝三种除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黄球7个，蓝球a个．若每次将球充分搅匀后，随机摸出一个小球记下颜色后，放回盒子里，经过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%左右，则a的值约为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：由题意可得： ×100%＝25%， 解得，a＝8， 经检验a＝8是原方程的解， 则a的值约为8； 故答案为：8． 【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率.关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 12. 如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 _____． 【答案】##144度 【解析】 【分析】先求解 再利用圆的内接四边形的性质求解 再利用圆周角定理可得的大小. 【详解】解：∠DCE＝72°， 四边形ABCD是⊙O内接四边形， 故答案为： 【点睛】本题考查的是邻补角的含义，圆的内接四边形的性质，圆周角定理的应用，熟练掌握圆中的圆周角定理与圆的内接四边形的性质是解本题的关键. 13. 对于实数，定义一种运算“”为：，则不等式组的解集为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，一元一次不等式组，关键是掌握求不等式组的运算． 先运算，，化简关于的一元一次不等式组，再求不等式组可得的解集． 【详解】解：∵， ∵， ∴解时， 即为解：， 解得：， 故答案为：． 14. 如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应增加_______度． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于，根据三角形的内角和可求，进而可得，再根据外角定理即可求解． 【详解】解：延长交于 ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 故应增加 故答案： 【点睛】本题考查了三角形的内角和、外角等知识点．熟记相关结论即可． 15. 下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第n个图形中菱形的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解决问题的关键．根据图形规律得出第个图形中菱形的个数即可． 【详解】解：第①个图形中一共有3个菱形，； 第②个图形中共有7个菱形，； 第③个图形中共有13个菱形，； ， 第个图形中菱形的个数为：； 故答案为：． 16. 如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，线段、可分别绕点A，B转动，已知．当转动到，转动到与垂直，点C恰好落在上；当转动到，转动到，点C到的距离为 ________．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，，） 【答案】7.1 【解析】 【分析】当转动到，转动到与垂直时，点C恰好落在上，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，当转动到，转动到时，过点B作，垂足为F，过点C作，垂足为G，过点C作，垂足为E，根据题意可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【详解】解：当转动到，转动到与垂直时，点C恰好落到上，如图： 在中，， 当转动到，转动到时， 过点B作，垂足为F，过点C作，垂足为G，过点C作，垂足为E， 则，， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴点C到的距离为， 故答案为：7.1． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 三、解答题（本题共6小题，每小题6分，共36分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】首先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式的混合运算和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解：原式： ∴ ∴ ∴ 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式的混合运算和绝对值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18. 平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点逆时针旋转后的图形． 【答案】（1）见解析， （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查作图-旋转变换和轴对称变换，解题的关键是 （1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得； （2）分别作出点A、B、 C绕点顺时针旋转后得到的对应点，再首尾顺次连接即可得． 【小问1详解】 解∶如图，即为所求， ∴； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 19. 先化简，再从中选择一个值代入求值． 小陈同学在进行分式化简时，过程如下： 解：原式＝① ＝② ＝③ …… （1）上述过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ． （2）请完成正确的完整解题过程． 【答案】（1）②，除法没有分配律； （2）解题过程见解析，当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据分式的除法法则判断； （2）根据分式除法法则、减法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算得到答案． 【小问1详解】 解：上述过程中，从第②步开始出现错误，因除法没有分配律， 故答案为：②，除法没有分配律； 【小问2详解】 （2）原式 ， 由题意得：， 当时，原式， 20. 如图，在中，点E，F分别是，的中点，连接，，是的一个外角． （1）用尺规完成以下基本作图：作角平分线，交的延长线于点G，连接．（只保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，若，证明：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质、三角形中位线定理和矩形的判定． （1）利用基本作图作的平分线即可； （2）先利用角平分线的定义得到，再利用三角形中位线性质得到，则，所以，于是得到，接着利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可判断四边形是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形为矩形得到四边形是矩形． 【小问1详解】 解：如图，、为所作； 【小问2详解】 证明：平分， ， 点，分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是矩形． 21. 如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计．） （1）求y关于x的函数表达式． （2）当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ （3）小明若想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不能，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，正确的根据反比例函数得出y与x之间的关系是解题的关键． （1）根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得出y关于x的函数表达式； （2）将代入（1）中所求解析式，即可得出y的值； （3）根据以及（1）中所求解析式，可得出y的范围，进而与300进行比较即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 则， 即y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，代入得 故当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力； 【小问3详解】 解：他不能撬动这块石头，理由如下： ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴他不能撬动这块石头． 22. 创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，购买5个A型垃圾桶和1个B型垃圾桶共需要400元． （1）求每个A型垃圾桶和每个B型垃圾桶各为多少元； （2）若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15200元，至少需购买A型垃圾桶多少个？ 【答案】（1）A型垃圾桶单价为60元，B型垃圾桶单价为100元 （2）至少需购买A型垃圾桶120个 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用． （1）设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，根据购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，购买5个A型垃圾桶和1个B型垃圾桶共需要400元，列出二元一次方程组，即可求解； （2）设A型垃圾桶a个，根据总费用不超过15200元，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：（1）设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元， 由题意可得， 解得， 答：A型垃圾桶单价为60元，B型垃圾桶单价为100元； 【小问2详解】 设A型垃圾桶a个， 由题意可得∶ ， 解得：， 答：至少需购买A型垃圾桶120个． 四、解答题（本题共4小题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分） 23. 自2024年起，排球垫球成为了银川中考体育的重要考试项目之一．下列图表中的数据是甲，乙，丙三名同学每人10次垫球测试的成绩 运动员丙测试成绩统计表 测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（分） 7 6 8 7 7 5 8 7 8 7 三人成绩的方差分别为，利用以上数据完成下列问题： （1）若在三名队员中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的同学作为某场排球比赛的自由人，你认为选谁更合适？请用你所学过的知识加以分析说明； （2）甲、乙、丙三人之间进行随机传球游戏，先由甲传出球，再经过三次传球，球回到甲手中的概率是多少？请利用树状图或列表法分析作答． 【答案】（1）乙更合适．见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，折线统计图，平均数，中位数，方差，用列表法或树状图法求等可能事件的概率，能从统计图表中获取数据，掌握用列表法或树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键． （1）分别求出甲，乙，丙三名同学成绩的平均数，中位数，利用平均数，中位数和方差的意义即可作出选择； （2）利用树状图或列表法即可求出球回到甲手中的概率． 【小问1详解】 解：选乙更合适，理由如下， 甲成绩的平均数为：（分），中位数为：6分， 乙成绩的平均数为：（分），中位数为：7分， 丙成绩的平均数为：（分），中位数为：7分， 从平均数和中位数看：乙和丙成绩较优秀， ∵， ∴乙成绩波动较小， ∴选乙更合适． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 一共有8种可能，最后球传回到甲手中的情况有5种可能， ∴第二轮结束时球到甲手中的概率为． 24. 如图，在中，，以为直径作交于点D，连接，恰好平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长； （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（112）连接，利用角平分线的定义，同圆的半径相等的性质，等腰三角形的性质和平行线的判定与性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用勾股定理求得，设的半径为x，则，则，利用相似三角形的判定与性质求得x值，可得，则； （3）利用同角的余角相等的性质得到，利用相似三角形的判定与性质求得，利用勾股定理求得，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴． 设的半径为x，则， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵为直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，角平分线的定义，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 25. 民以食为天．我们常见的炒菜锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆形面．经过锅心和盖心的纵断面是一段拋物线和圆弧线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深为，锅盖高为（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立平面直角坐标系如图1所示（单位：），如果把锅纵断面的抛物线的记为，把锅盖纵断面所在的圆记作． （1）求抛物线解析式和弧所在的半径； （2）锅中原有水的最大深度为（如图2），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高，求此时的水面宽度； （3）如果将底面直径，高度为的圆柱形蒸笼若干个叠加起来（如图3）放入锅中蒸食物（不考虑叠加缝隙），为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个？ 【答案】（1）；的半径为 （2）水面宽度为 （3）为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的蒸笼4个 【解析】 【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为：，代入求出的值即可；圆心为，连接，设，则，由垂径定理出，根据勾股定理求出半径即可； （2）根据题意把代入（1）中抛物线的解析式，求出即可； （3）先在抛物线中求出时，的值，即的值，再借助图形在中，求出距轴的距离，即的值，再用，求出其整数值即可． 【小问1详解】 由题意知抛物线的顶点为，且过，， 设抛物线解析式为：， ，解得：， 抛物线解析式为：， 如图：圆心为，连接， 设，则， ， ， 在中， 由勾股定理可得：， ， 解得：， 的半径为； 【小问2详解】 锅中原有水的最大深度为，又重新加入一定量的水，水位升高， 加水后水面水的最大深度为 水面距锅沿的竖直高度为， 当时，， 解得， 水面宽度为； 【小问3详解】 对于抛物线，如图所示： 当时，， ； 对于，如图所示： 当时，， ， ， ， ， ， 为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的蒸笼4个． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，垂径定理，勾股定理，解题的关键是求出抛物线的解析式和的半径，采用数形结合的思想解题． 26. 如图1，在中，，点D、E分别在边、上，．将绕点A逆时针旋转，直线，相交于点． （1）观察猜想：若，将绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段与的数量关系是_____，位置关系是_____； （2）探究证明：如图3，若，将绕点A逆时针旋转．（1）中的结论是否仍成立2？若成立，加以证明；否则，请写出正确结论，并说明理由． （3）拓展延伸：在（2）的条件下，若，E是的中点在旋转过程中，当以A、D、E、P为顶点的四边形是矩形时，直接写出的长． 【答案】（1）， （2）不成立，结论：，，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）易证，都是等腰直角三角形，再证明，可得结论； （2）易证，，从而证明，可得结论； （3）分两种情形：当点在线段上时，四边形是矩形，此时，分别求出和即可得解；当点在线段的延长线上时，四边形是矩形，此时与重合，，即可得解． 【小问1详解】 解：如图，设交于， 当时，，都是等腰直角三角形， ，，， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：结论不成立．结论：，， 理由：如图，设交于， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，当点在线段上，四边形是矩形时， 在中，，，， ， ， ， ， ， ， ； 如图，当点在线段的延长线上时，四边形是矩形，此时与重合，， ； 综上所述，满足条件的的值为：或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，正确寻找全等三角形或相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 银川英才学校初三年级第一次模拟考试数学试题 （考试时间120分钟，全卷总分120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列计算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知点的坐标为，点与点关于轴对称，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 3. 在显微镜下，人体的一种细胞形状可以近似地看成圆形，它的半径约为米，还原为原数为（　　） A. B. C. D. 4. 为了保护环境，加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池的活动，随机抽取班上30名学生进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图，请根据学生收集到的废旧电池数，判断下列说法正确的是（ ） A. 样本为30名学生 B. 众数是11节 C. 中位数是5.5节 D. 平均数是6.5节 5. 如图，菱形的对角线相交于点，连接，点为的中点，若，则线段的长为（　　） A. 5 B. C. D. 6 6. 直线与抛物线在同一坐标系中大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，以点O为圆心的半圆分别与边、相切于点D、E，连接．已知，，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 8. 对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法，以方程为例，公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：将原方程变形为，然后构造如图，一方面，正方形的面积为；另一方面，它又等于，因此可得方程的一个根，根据阿尔花拉子米的思路，解方程时构造的图形及相应正方形面积（阴影部分）正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 分解因式：=____. 10. 的算术平方根是__________． 11. 在一个不透明暗箱中装有红、黄、蓝三种除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黄球7个，蓝球a个．若每次将球充分搅匀后，随机摸出一个小球记下颜色后，放回盒子里，经过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%左右，则a的值约为_____． 12. 如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 _____． 13. 对于实数，定义一种运算“”为：，则不等式组的解集为______________． 14. 如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应增加_______度． 15. 下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第n个图形中菱形的个数为______． 16. 如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，线段、可分别绕点A，B转动，已知．当转动到，转动到与垂直，点C恰好落在上；当转动到，转动到，点C到的距离为 ________．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，，） 三、解答题（本题共6小题，每小题6分，共36分） 17. 计算：． 18. 平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点逆时针旋转后的图形． 19. 先化简，再从中选择一个值代入求值． 小陈同学在进行分式化简时，过程如下： 解：原式＝① ＝② ＝③ …… （1）上述过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ． （2）请完成正确完整解题过程． 20. 如图，在中，点E，F分别是，的中点，连接，，是的一个外角． （1）用尺规完成以下基本作图：作角平分线，交的延长线于点G，连接．（只保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，若，证明：四边形是矩形． 21. 如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计．） （1）求y关于x的函数表达式． （2）当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ （3）小明若想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 22. 创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，购买5个A型垃圾桶和1个B型垃圾桶共需要400元． （1）求每个A型垃圾桶和每个B型垃圾桶各为多少元； （2）若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15200元，至少需购买A型垃圾桶多少个？ 四、解答题（本题共4小题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分） 23. 自2024年起，排球垫球成为了银川中考体育的重要考试项目之一．下列图表中的数据是甲，乙，丙三名同学每人10次垫球测试的成绩 运动员丙测试成绩统计表 测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（分） 7 6 8 7 7 5 8 7 8 7 三人成绩的方差分别为，利用以上数据完成下列问题： （1）若在三名队员中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的同学作为某场排球比赛的自由人，你认为选谁更合适？请用你所学过的知识加以分析说明； （2）甲、乙、丙三人之间进行随机传球游戏，先由甲传出球，再经过三次传球，球回到甲手中的概率是多少？请利用树状图或列表法分析作答． 24. 如图，在中，，以为直径作交于点D，连接，恰好平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长； （3）在（2）条件下，求的值． 25. 民以食为天．我们常见的炒菜锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆形面．经过锅心和盖心的纵断面是一段拋物线和圆弧线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深为，锅盖高为（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立平面直角坐标系如图1所示（单位：），如果把锅纵断面的抛物线的记为，把锅盖纵断面所在的圆记作． （1）求抛物线解析式和弧所在的半径； （2）锅中原有水的最大深度为（如图2），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高，求此时的水面宽度； （3）如果将底面直径，高度为的圆柱形蒸笼若干个叠加起来（如图3）放入锅中蒸食物（不考虑叠加缝隙），为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个？ 26. 如图1，中，，点D、E分别在边、上，．将绕点A逆时针旋转，直线，相交于点． （1）观察猜想：若，将绕点A逆时针旋转至如图2所示位置，则线段与的数量关系是_____，位置关系是_____； （2）探究证明：如图3，若，将绕点A逆时针旋转．（1）中的结论是否仍成立2？若成立，加以证明；否则，请写出正确结论，并说明理由． （3）拓展延伸：在（2）的条件下，若，E是的中点在旋转过程中，当以A、D、E、P为顶点的四边形是矩形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$