宁夏回族自治区银川一中2026届高三数学全真模拟卷（五）

**基本信息** 2026年高考数学全真模拟卷（五）以经典几何问题与生活情境为载体，覆盖函数、立体几何、概率等核心知识，梯度设计合理，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、复数、概率、立体几何|第7题米勒问题渗透数学文化，第6题比赛名次问题强化逻辑推理| |多选题|3/18|统计图表、三角函数、空间向量|第9题结合2025年零售额数据考查数据分析，第11题正方体动态问题提升空间观念| |填空题|3/15|函数奇偶性、等差数列、椭圆性质|14题椭圆焦点弦问题深化解析几何应用| |解答题|5/77|概率统计、解三角形、立体几何折叠、导数与数列|15题外卖准时送达情境培养应用意识，19题导数与等比数列结合考查综合思维|

2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（五） 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若且，则“”是“为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知复数满足，是的共轭复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 4．若事件满足，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 6．甲、乙、丙、丁、戊共名同学进行比赛，决出第名到第名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“祝贺，你排在前两名.”对乙说：“遗憾，你不是第一名.”从这两个回答分析，这人名次排列的所有可能情况共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 7．一个经典的几何问题“米勒问题”，其核心是：在定直线上找一点，使该点对两定点的张角最大，该点称为“米勒点”.已知平面直角坐标系中，定点，定直线的方程为，点是直线上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．定义在上的函数满足：若函数有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．如图，这是全国2025年下半年商品零售额和餐饮收入同比增长速度图，则全国2025年下半年（    ） A．商品零售额同比增长速度的极差为 B．商品零售额同比增长速度逐渐降低 C．餐饮收入同比增长速度的分位数为 D．餐饮收入同比增长速度的平均数小于 10．已知函数，的部分图象如图所示，下列选项正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则m的范围是 11．在棱长为4的正方体中，点是侧面（含边界）上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．存在点，使得 B．若平面，则线段的最小值为 C．若与所成的角为，则点的轨迹长度为 D．若以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，若函数为奇函数，则________． 13．在等差数列中，已知，，，则的前项和为________． 14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与交于点，连接并延长与交于点，连接.若，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为，选择乙餐厅的概率为，甲餐厅的准时送达率为，乙餐厅的准时送达率为．已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立． (1)求该用户每次外卖点餐准时送达的概率． (2)在该用户的次外卖点餐中，记准时送达的次数为，若的方差大于，求的最小值． (3)平台推出“准时保”，每单需支付元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付．该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由． 16．（15分） 在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围. 17．（15分） 在梯形中，，，，AB的中点为E，将A点沿DE折起到P点位置，使得，如图所示． (1)证明：平面； (2)求平面和平面夹角的正弦值． 18．（17分） 已知椭圆，双曲线分别为的离心率，且． (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的上顶点为，经过上焦点的直线与的上支相交于两点，直线分别与轴相交于两点，求的最小值． 19．（17分） 设函数，，数列的各项都是正数． (1)讨论的单调性； (2)已知是的极小值点． （i）若，且，求数列的通项公式； （ii）若数列是等比数列，求的取值范围． 绝密★启用前 数学试题 第1页（共4页） 试卷第2页，共5页 数学试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（五） 数学参考答案及评分标准 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D B D B A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BC CD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．26 14．3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 解：（1）令事件“外卖点餐准时送达”，“选择甲餐厅”，“选择乙餐厅”， 1分 依题意，，， 2分 由全概率公式得， 4分 所以该用户每次外卖点餐准时送达的概率为0.93. 4分 （2）依题意，的所有可能取值为，， 5分 则，由的方差大于，得， 6分 解得，所以的最小值为11. 8分 （3）他愿意购买“准时保”. 9分 设他购买“准时保”的净收益为元，则的所有可能取值为， 9分 ，， 11分 显然，即亏损期望不超过元， 13分 所以他愿意购买“准时保”. 13分 16．（15分） 解：（1）因为，由正弦定理可得 ， 1分 则 ，即， 2分 又因为， 则， 3分 即， 4分 且，则，即，可得， 5分 又因为，则， 6分 可得，所以. 7分 （2）由正弦定理得，则， 8分 由余弦定理得，即， 9分 可得， 10分 又因为 11分 ， 12分 因为为锐角三角形，则，解得， 13分 则，可得， 14分 则，可得，即， 15分 所以的取值范围为. 15分 17．（15分） 解：（1）在梯形中，由，为的中点，得， 1分 则四边形为平行四边形，，而，因此， 2分 ，又平面，则平面， 3分 所以平面. 4分 （2）由（1）得平面平面，在平面内过作，则平面， 直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 5分 令，又，则， 6分 ， 7分 设平面和平面的法向量分别为， 则，取，得， 9分 ，取，得， 11分 设平面和平面夹角为，则， 13分 所以平面和平面夹角的正弦值为. 15分 18．（17分） 解：（1）由题可知，， 1分 ， 3分 解得或（舍）， 4分 ∴双曲线的标准方程为． 5分 （2）由题可知，直线斜率存在，设直线的方程为，设． 6分 由，消去，得， 7分 ，由韦达定理，得．． 9分 直线AM的方程为，令，即， 11分 同理，得． 12分 13分 14分 ， 15分 当即时，取最小值为1， 16分 的最小值为1． 17分 19．（17分） 解：（1）的定义域为， 1分 ， ，其中， 2分 当时，或时，；时，， 3分 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为； 4分 当时，，所以的单调递增区间为，没有递减区间； 5分 当时，或时，；时，， 6分 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． 7分 （2）（i）因为，所以，所以由（1）知是的极小值点，所以， 8分 因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列， 9分 所以． 10分 （ii）当时，，由（1）知是的极小值点，所以，即，由（1）知在上单调递增，没有极值点，与是的极小值点矛盾；当时，，由（1）知在上单调递增，没有极值点，与是的极小值点矛盾； 11分 当时，，由（1）知的极小值点，因为是等比数列，所以公比，所以. 12分 令，则，当时，，， 13分 因为，所以时，，，， 14分 又，，所以，，时，， 15分 故当时，对任意均有，由（1）知是的极小值点，这与的递推关系一致， 16分 所以的取值范围是． 17分 2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（五） 数学部分试题解析部分 1．B 解：因为，则． 3．D 解：由复数满足，可得，则，其虚部为． 4．B 解：由，得， 又，所以， 由，得，所以. 5．D 解：因为，所以，可得， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以， 因为点、分别为、的中点，所以，， 所以， 因为、、不共面，所以，所以，故. 6．B 解：若甲是第一名，则剩下名同学名次排列共有种，若甲是第二名，则剩下名同学名次排列共有种， 所以人名次排列的所有可能情况共有种. 7．A 解：当以为弦的圆与相切时，切点即为米勒点．如图： 以为弦的圆与相切于点，此时最大，作于点， 则，因为，，则，设， 由得：，解得：，则， 又因为，所以， 故的最大值为． 8．C 解：令，则恒过定点，将和的大致图象画在同一直角坐标系，有3个零点等价于与图象有3个交点，设， 由图可知，，即． 9．BC 解：商品零售额同比增长速度的极差为，A错误． 商品零售额同比增长速度逐渐降低，B正确． 因为，所以由图可知餐饮收入同比增长速度的分位数为，C正确． 因为，所以餐饮收入同比增长速度的平均数大于，D错误． 10．CD 解：由题意得，最小正周期满足，即，则，即， 代入得，即，由此可得，解得，因为，令，则，综上，， 对A，若为对称轴，则或， 代入得， 因为或，故A错误； 对B，若的图象关于点对称，则， 代入得， 因为，故B错误； 对C，故C正确； 对D，若，则，设，， ，即， 则与在上有两个交点， 即，解得，故D正确. 11．ABD 解：以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系. 因为正方体棱长为4，则，，，，； 又因为点在侧面（含边界）上，设. 选项A：因为，，若， 则，即，化简得. 在，范围内， 当，（即与重合）时满足，故存在点，故A正确； 选项B：作出过与平面平行的平面， 则点的轨迹为平面与侧面的交线，即线段， 因为为边长为的等边三角形，所以线段的最小值即为等边三角形的高， 即，故B正确； 选项C：因为，所以与所成的角等于与所成的角，即. 在中，，，所以， 则点的轨迹为以为圆心，为半径，圆心角为的圆弧， 所以点的轨迹长度为，故C错误； 选项D：因为，， 故可设球面与的交点为，球面与的交点为， 可得交线为以为圆心的的弧长. 由题知平面，则为直角三角形， 所以，则； 同理可得，所以，所以， 所以弧.故D正确. 12.解：， 由奇函数性质得二次项系数为0，即，解得， 验证：，为奇函数，故． 13.解：设的公差为，则，解得， 又，所以， 所以，解得， 所以的前项和为. 14.解：如图：不妨考虑位于第一象限， 则， 故. 答案第12页，共12页 数学试题答案 第10页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $绝密★启用前 2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（五） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x∈Nx2-x-12<0},B={x2<8,则A∩B=() A.{-2,-1,0,1,2}B.{0,1,2} C.1,2} D.（-3,3) 2.若m,n,p,q∈N且+n=p+q,则“ama=a2ag”是“{a}为等比数列”的（) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 3.已知复数z满足(1-i)z=2+3i,三是z的共轭复数，则三的虚部为() B月 c D. 2 4.若事件M,N满足P(M）P(网)-子PMUN)g,则PaM-=() 8 A 5,如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E、F分 别为PB、PD的中点，若PG=GC,且AG=xAE+AF,则x+y=() A.2 B.月 D.3 6.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩， 回答者对甲说：“祝贺，你排在前两名”对乙说：“遗憾，你不是第一名”从这两个回答分析， 这5人名次排列的所有可能情况共有() A.36种 B.42种 C.48种 D.54种 7.一个经典的几何问题“米勒问题”，其核心是：在定直线1上找一点P,使该点对两定点A,B 的张角∠APB最大，该点P称为“米勒点”.已知平面直角坐标系中，定点A(0,6),B(0,12), 数学试题第1页（共4页） 定直线I的方程为y=x,点P是直线I上的动点，则si∠APB的最大值为() A.② B.5 C.2 2 2 3 D. 2-1-1,xe[0,2), 8.定义在[0，+∞)上的函数f(x)满足：f)= 5f-2)xe[2+o, 若函数g(x)=f(x)-a(x+1)有 且仅有3个零点，则实数α的取值范围是() A.品 B.品副 (11 C.20) [11 D.10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.如图，这是全国2025年下半年商品零售额和餐饮收入同比增长速度图，则全国2025年 下半年() 全国2025一下半午商品家售额 和整饮收入可化培长速近图 A.商品零售额同比增长速度的极差为2.9% B.商品零售额同比增长速度逐渐降低 40353 C.餐饮收入同比增长速度的30%分位数为1.1% /28 21 D.餐饮收入同比增长速度的平均数小于2% 7万8月9月10月11月12月 女向零售额。餐饮收入 函数f(G)=Asin(or+p,A>0,ω>0,9)的部分图象如图所示，下 正确的是() A.f(x)的图象关于直线x= 对称 12 B.的图象关于女（骨0对将 3 C.将函数)y=V5sm2x-os2x的图象向左平移牙个单位得到函数f国的图象 D.若方程()=m在[后]上有两个不相等的实数根，则m的范围是[-2，-刂 11.在棱长为4的正方体ABCD-AB,CD中，点P是侧面CDDG(含边界)上的动点，则 下列结论正确的是() A.存在点P,使得AP⊥BD B.若AP∥平面ABC,则线段AP的最小值为2√6 C.若4P与AD所成的角为石，则点2的轨迹长度为号 D.若以4为球心，为半径的球面与侧面CDD,G的交线长为5m 3 9 数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知函数f(x)=x3+3x2-2,若函数f(x+t)为奇函数，则t= 13.在等差数列{4}中，已知4=6，am=8,4m+4=12,则{a}的前m项和为」 14.已知椭圆c号三->6>0)的左、右焦点分别为名，月，过点R且垂直于x轴的直线 与C交于点M,连接并延长与C交于点V,连接N3若N4a+,则- 3a N 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为0.6， 选择乙餐厅的概率为0.4，甲餐厅的准时送达率为0.95，乙餐厅的准时送达率为0.9.已知 该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立. (1)求该用户每次外卖点餐准时送达的概率。 (2)在该用户的N次外卖点餐中，记准时送达的次数为X,若X的方差大于0.7，求N的 最小值。 (3)平台推出准时保”，每单需支付0.5元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3 元：若外卖准时送达，则平台不赔付.该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过03 元，试问他是否愿意购买“准时保？说明你的理由. 16.(15分) 在△ABC中，内角AB,C的对边分别为a,b,c,且满足cosB-?=) (1)求角A的大小： (②若△4BC为锐角三角形，且外接圆的半径为5，求+C的取值范围 数学试题第3页（共4页） 17.(15分) 在梯形ABCD中，AB/CD,AB=2BC=2CD,AB⊥BC,AB的中点为E,将A点 沿DB折起到P点位置，使得∠PBB=L,如图所示. 3 (1)证明：BC⊥平面PBE: (2)求平面PBC和平面PDC夹角的正弦值. 18.(17分) 已短题C若-=0：s同双佳线G若苦14分别为CG的离心率 且ee= 2√6 3 (1)求双曲线C2的标准方程： (2)若双曲线C的上顶点为A,经过C,上焦点F的直线1与C,的上支相交于M,N两点， 直线AM,AN分别与x轴相交于P,Q两点， SA的最小值. S APO 19.(17分) 设函数大(x)x-20+a)x-4，nEN,数列{a}的各项都是正数. (I)讨论f(x)的单调性： (2)已知41是f(x)的极小值点 (i)若a>n,且a4=2,求数列{an}的通项公式： (ii)若数列{a}是等比数列，求a的取值范围. 数学试题第4页（共4页） 2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（五） 数学参考答案及评分标准 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题号 1 3 4 5 6 7 8 答案 B D B D B A Q 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 10 11 答案 BC CD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-1 13.26 14.3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：(1)令事件B=“外卖点餐准时送达”，A=“选择甲餐厅”，A=“选择乙餐厅”，1分 依题意，P(A)=0.6,P(A)=0.4,P(B|)=0.95,P(B|A)=0.9,2分 由全概率公式得P(B)=P(A)P(B1A)+P(A)P(B|A)=0.6×0.95+0.4×0.9=0.93,.4分 所以该用户每次外卖点餐准时送达的概率为0.93.4分 (2)依题意，X的所有可能取值为0,12，…，N,X-B(N,0.93),5分 则D(X)=N×0.93×1-0.93)=0.0651N,由X的方差大于0.7，得0.0651N>0.7,.6分 解得.V>05108,所以N的最小值为1 .8分 (3)他愿意购买“准时保”... 9分 设他购买准时保的净收益为Y元，则Y的所有可能取值为-0.5,2.5,9分 P(Y=-0.5)=0.93,PY=2.5)=1-0.93=0.07,E(Y=0.93×(-0.5)+0.07×2.5=-0.29,11分 显然E()=-0.29>-0.3,即亏损期望不超过0.3元， .13分 所以他愿意购买“准时保”.… .13分 数学试题答案第1页（共10页） 16.(15分) 解：)因为ao(8-否)-2，由正弦定理可狗21oB-四 =sinB+sinC,1分 3 则sin4cosB+V3sinB)）=sinB+sinC，即sinAcosB+√3 sinAsinB=sinB+sinC,2分 又因为sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 则sinAcosB+√3 sinAsinB=sinB+sin Acos B+cos Asin B,.3分 即√5 sinAsinB-c0 sAsinB=sinB,4分 且B∈(0，)，则sinB≠0，即V3sinA-cosA=l,可得sinA- .5分 又因为A∈(0，，则A-∈”，5如） 6(6’6 .6分 可得4石所以4-骨 37分 （2)由正弦定理得a-b-c=2V5,则a=3.b=2V5mB,c=25sinC,…8分 sinA sinB sinC 由余弦定理d=b2+c2-2 bccos4得9=b2+c2-bc,即b2+c2=9+bc,9分 可得+c_9+bc-1+ 9 bc bc bc y10分 又因为bc=12 sinBsinC=12 sinBsin(A+B)=12sinB 3 11分 =63 sin Bcos B+6sinB=33 sin 2B-3c0s 2B+3=6sin2B +3,.12分 6 0<B< 2 因为△ABC为锐角三角形，则 2I-B 解得<B<π 兀 6 2 .13分 0< 3 则匹<2B-亚<5π 6 66 可得sm2B-乃 ≤1，.14分 6 则6<c≤9，可得1s93, bc2,即2s1+ 9 15分 所以尽+c的取值范围为2 5 bc 15分 17.(15分) 解：(1)在梯形ABCD中，由AB/CD,AB=2CD,E为AB的中点，得BEI1CD,BE=CD, 1分 则四边形BCDE为平行四边形，DE∥BC,而AB⊥BC,因此DE⊥AB,.2分 数学试题答案第2页（共10页） DE⊥BE,DE⊥PE,又BEPE=E,BE,PEC平面PBE,则DE⊥平面PBE,3分 所以BC⊥平面PBE. 4分 (2)由(I)得平面PBE⊥平面BCDE,在平面PBE内过E作Ez⊥EB,则E⊥平面BCDE, 直线EB,ED,Ez两两垂直，以E为原点，直线EB,ED,Ez分别为x,y,z轴建立空间直角坐标 ，5分 令BC=2,又∠PEB=2,则P-1,0.V5,.B2.0,0,C2,2.0.D0.2,0),…6分 BC=(0,2,0),DC=(2,0,0),PC=(3,2,-3), 7分 设平面PBC和平面PDC的法向量分别为m=(ab,c),n=(x,y,z), m.BC=2b=0 则 m-Pc=30+2b-Vc=0取a=1,得m=0.05),9分 i.DC=2x=0 i-PC=3x+2y-V52=0取z=2,得n=(0,5,2),1分 设平面PBC和平面PDC夹角为6，则cos0=m-。25-V5 |mln2×V7√7 .13分 所以平面PaC和平面PDC夹角的正弦值为sin0=-cos0=2 > 15分 18.(17分) 分 3f-1= .ee,=1+-3 3b226 b+8b2-9=0, Vb233 .3分 解得b2=1或b2=-9(舍)， 4分 双曲线℃的标准方程为y_ =1. 5分 3 (2)由题可知，直线1斜率存在，设直线1的方程为y=x+2,设M(,乃)，N(x2,乃). .6分 数学试题答案第3页（共10页） [y=+2 yr-号=1消去卫，得(6g-+12+9-0,…7分 3 3k2-1≠0 d36+少>0由韦达定理，得气+=戏3欢0.0兮 -12k 9 9分 0直线4M的方程为=己x+1,令y=0,即，点：当 片-1+1’11分 -X2 同理，得gx,+1 12分 S.AMN= 2h啡-xl 压- -x3 S.APO kal xp-xg x1-x2 13分 (+1)(,+1) =k2x3+k(飞+x)+1 9k2 12k2 3k2-13k2-1 3k2-l14分 -1≤32-1<0， 0sk2<1 15分 当3k2-1=-1即k=0时， 3k2-1取最小值为1， 16分 S的最小值为1.… SAAPO .17分 19.(17分) 解：(1)()=-20+a,)nx-4的定义域为(0，+o）,1分 f(x)=1-20+a+4g--2n+a)k+4题-c-2mc-2a) x x2 f(2n)=f(20)=0,其中a.>0, 2分 当0<a<n时，0<x<2a或x>2n时，f(x)>0;2a<x<21时，f(x)<0,3分 所以(x)的单调递增区间为(0,2)和(2，+o),单调递减区间为(2a,2n);4分 数学试题答案第4页（共10页） 当a.=n时，(x)≥0，所以f(x)的单调递增区间为(0，+o),没有递减区间；5分 当a>n时，0<x<2n或x>2a时，f(x)>0;21<x<2a时，f(x)<0,6分 所以(x)的单调递增区间为(0,2n)和(2a,+o),单调递减区间为(2n,2g)..7分 (2)(i)因为a>n,所以2a>2n,所以由(1)知2a是jn(x)的极小值点，所以aH=2a, 8分 因为4=2，所以{a}是首项为2，公比为2的等比数列， .9分 所以an=2”. .10 (i)当0<a<1时，24<2，由(1)知2是(x)的极小值点，所以a=2,即2a=4,由 (1)知方(x)在(0，+∞)上单调递增，5(x)没有极值点，与4是5(x)的极小值点矛盾：当 4=1时，24=2，由(1)知(x)在(0+o)上单调递增，(x)没有极值点，与a是(x) 的极小值点矛盾；11分 当4>1时，24>2，由(1)知(x)的极小值点凸=24，因为{a}是等比数列，所以公 比g=2-2,所以a=2ra .12分 令cn=21-n,则cnH-Cn=2”-n-1-2-1+n=2-1-1,当n>1时，2时-1>0，CH>C, 13分 因为c3=221-3=1>0,所以n≥3时，0m=2-1-n>0,2-1>n,2”>21>0,14分 又c1=c2=0,4>1,所以24-2>0,242-4=44-4>0，n≥3时，20=2"4>21%>21， 15分 故当a>1时，对任意neN均有a>n,由(1)知aH是f(x)的极小值点，这与aH=2a. 的递推关系一致， .16分 所以a的取值范围是(1，+0).… .17分 数学试题答案第5页（共10页） 2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（五） 数学部分试题解析部分 1.B 解：因为A={x∈Nx2-x-12<0}={0,1,2,3},B={2<8={xx<3},则A∩B={0,1,2}, 3.D 解：由复数：满足Q-z-2+,可得：-2+1-（2++国-+，则z=-}1. 1-i(1-i)1+i)22 22 其应部为 4.B 解：由P-P可列号得P)-号P(- 又PU+Pe0P0)号})8，所以P) 由P网=PN)PU-分得Pm)-;;后所ad-号 P(MN)2 5.D 解：因为G=Gc,所以4G-AP-4c-AG),可得4G-}4C+号p. 因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC=AB+AD, 所以4G-4c+-(a+AD列子P-A5-4D+P, 3 3 3 3 因为点B、F分别为PB、PD的中点，所以A正=，AB+AP,AF=AD+AP, 2 2 所以4G=--}-小-专0+兮+0+P, 2 2 2 1 2 因为AB、AD、AP不共面，所以 号·所以=子故+少 x+y 2 23 6.B 解：若甲是第一名，则剩下4名同学名次排列共有A=24种，若甲是第二名，则剩下4名同 学名次排列共有CA=18种， 数学试题答案第6页（共10页） 所以5人名次排列的所有可能情况共有24+18=42种. 7.A 解：当以AB为弦的圆与1相切时，切点即为米勒点P,如图： 以AB为弦的圆M与I相切于点P,此时∠APB最大，作MC⊥AB于点C, 则∠APB号MB=∠CB,因为4Q6).B(012,则w=9,设Mm,9, 由MP=MA得： m-9=Vm+9-6,解得：m=3,则c=3, √2 又因为BC=3,所以∠BMC=45°， 故sim∠APB的最大值为sin45=5 8.C 解：令h(x)=a(x+1),则h(x)恒过定点（←1,0），将f(x)和h(x)的大致图象画在同一直角坐 标系，g)有3个零点等价于)与M图象有3个交点：设4〔10)，B2号c4》 由图可知，ae(ku,kac,即a∈】 12'10 y=h(x) f(x) 48大B 012:34:56x 9.BC 解：商品零售额同比增长速度的极差为4%-0.7%=3.3%，A错误. 商品零售额同比增长速度逐渐降低，B正确， 因为6×30%=1.8，所以由图可知餐饮收入同比增长速度的30%分位数为1.1%，C正确. 因为11+21+09+3.8+32+22_133>2，所以餐饮收入同比增长速度的平均数大于29%， 6 6 D错误. 数学试题答案第7页（共10页） 10.CD 解：由题意得A=2,最小正周期r满足？=正=，即T=兀，则π=2亚，即0=2， 43124 0 代入合得2n合p-2,即m[倍1，由比可得gp子cz,解得 -+2a,因为小令=0，则-骨综上，=2m2x+到 对A、老=侣为对称辑，则（设=2诚水设2 12 代沿指原-引n】- 因为-1≠2或-1≠2，故A错误： 对B,若（的图象关于点（零0对称，则（孕=0， 代入-得m到引2()6， 因为-√5≠0，故B错误： y=v3sin2(+)-cos2(+) =v3sin(2z+)-cos(2x+) 对C, =vSms2z+血2z(利用诱导公式：血0+)=6ms8,cs0+》=-血)故C正确： =2(号sin2x+9cos2x）=2sin(2x+)=f(x) 对D,若xe江3] 64」 则+导限-+“[任 f(y=2sin2x+）=m,即snt=, 3 则y=与y=sint在 2π11π 2 3’6 上有两个交点， 即-1<，解得2<m51,故D正确 1 11.ABD 解：以D为坐标原点，DA、DC、DD所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标 系 数学试题答案第8页（共10页） 因为正方体棱长为4，则D(0,0,0),A(4,0,0),C(0,4,0),A1(4,0,4),B(4,4,4): 又因为点P在侧面CDDG(含边界)上，设P(0,y,z)(0≤y≤4,0≤z≤4). 选项A:因为AP=(-4,,z-4),BD=（-4,-4,-4),若AP⊥BD, 则AP.B,D=0,即16-4y-4(z-4)=0,化简得y+z=8. 在0≤y≤4,0≤二≤4范围内， 当y=4,二=4（即P与C1重合）时满足，故存在点P,故A正确： 选项B:作出过A与平面ABC平行的平面ACD, ZA D PB 则点P的轨迹为平面ACD与侧面CDDC的交线，即线段DC, 因为△AC1D为边长为4√2的等边三角形，所以线段AP的最小值即为等边三角形的高， 即5x4N5=2V6,故B正确； 选项C:因为4D/A0,所以4P与4D所成的角等于AP与4A所成的角，即<P4Q-名 在Rt△4AP中，4D=4,tan∠P4n=DP-D2-5 4D4=3,所以DP=4 3 圆点P的轨迹为以A为圆心，3为半径，圆心角为的圆弧 所以点P的轨迹长度为×4W5_25m,故C错误 3 3 选项D:国为49-个+不=45,49=F+网=45， 3 故可设球面与CC的交点为G,球面与CD的交点为F, 数学试题答案第9页（共10页） 可得交线为以D为圆心的FG的弧长 B 由题知AD⊥平面CDDC1,则△DAG为直角三角形， 所以GDl=V4Gf-D4 421)2 3 -85,则<G09 3 同理可得D=45 3 人，所以∠FDD三5，所以一BG=E 6 所以弧FG= 85亚_4W3r故D正确， 369 12.解：f(x+t)=(x+)3+3(x+t)2-2=x3+3t+1)x2+3tt+2)x+t+3t2-2, 由奇函数性质得二次项系数为0，即t+1=0,解得t=-1, 验证：f(x-1)=x3-3x,为奇函数，故t=-1. 13.解：设{an}的公差为d,则am+4=am+4d=8+4d=12,解得d=1, 又43=6，所以4=5， 所以am=5+(m-1)×1=8,解得m=4, 所以{a,}的前m项和为3，-4(a+a_4(5+8)-26. 2 2 14解：如图：不妨考虑M位于第一象限， 则-a么闲江， 3a b2 MR 2a- 3(2a2-b2） 故 2a-4r+b2-b =3 N 3a 数学试题答案第10页（共10页）