精品解析：宁夏回族自治区银川一中2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟数学试卷（三）

2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（三） 数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆，则“”是“圆与直线相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 等差数列的前n项和为，已知，，则数列的前20项和为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数（）在区间上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（   ） A. B. C. D. 6. 一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的偶函数，且，当时，，若，则实数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 8. 五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验儒家文化”，“乙体验湖光山色”，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，，，复数，，，在复平面内对应的点分别为，，，A，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知平行六面体中，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 二面角的正弦值为 D. 该平行六面体的体积为 11. 定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知“黄金椭圆”的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 短半轴长为 B. 成等比数列 C. D. 的外接圆半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式中，含项的系数为_______. 13. 若圆与圆的公共弦所在直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为_____. 14. 在中，，，，点D，E，F分别是，，上的动点，且为等边三角形，则周长的最小值为_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上任意一点，点到焦点的距离与到点的距离之和的最小值为3． （1）求抛物线的方程； （2）若过点的两条直线分别与抛物线交于点，与，且，求证：直线的斜率之和为0． 16. 某高校为调查人们对 AI 知识掌握的熟悉程度与学历是否有关，组织了相关的答题活动， 满分 100 分. 答题完成后， 工作人员从中随机抽取 200 人作为样本，得到如下数据. 人数分数 学历 本科及以下 37 33 12 10 5 3 本科以上 20 20 10 10 30 10 （1）若得分不小于 60 分，则认为对 AI 知识掌握的程度为熟悉，否则为不熟悉； 熟悉程度 学历 合计 本科及以下 本科以上 熟悉 不熟悉 合计 根据样本数据补全上面的 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为熟悉AI程度与参与人员学历有关系. （2）从样本里学历为本科以上的人群中，采用按比例分层随机抽样的方法抽取 10 个人，再从这 10 人中随机抽出 3 人进行访谈，记这 3 人中分数在 的人数为 ，求 的分布列及数学期望. 附：， . 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 如图，在四棱锥中，，点为的中点，且平面与交于点． （1）求证：； （2）若平面平面，四边形为矩形，．点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知数列满足，. （1）证明：； （2）设，证明：数列为递减数列； （3）设为数列的前项和，求，其中表示不超过的最大整数（）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（三） 数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，解得， 故， 定义域是，故， 则． 2. 已知圆，则“”是“圆与直线相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由直线与圆相切，再结合充分条件，必要条件的概念即可判断. 【详解】将圆的一般方程配方为标准方程：  ，  得圆心为，半径，（）， 直线，即， 圆心到直线的距离为： ， 圆与直线相切等价于，代入得： ， 两边平方整理得 ，即圆与相切， 充分性：若，可得或，当时，不满足，圆与直线不相切，因此充分性不成立， 必要性：若圆与相切，则，必然满足，因此必要性成立， 综上，是圆与相切的必要不充分条件. 3. 等差数列的前n项和为，已知，，则数列的前20项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，，化简得， 又，，即，故， ，， 故数列的前20项和为 . 4. 已知函数（）在区间上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知，进而得到，结合单调性可得，再解不等式即可． 【详解】解：， ，， ， 又函数（）在区间上单调递增， ，解得． 5. 函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，再根据单调性和临界值，求参数的取值范围. 【详解】，令，得或. 当时，，递增，当时，，递减， 当时，，递增. 因此， 是极大值点， 是极小值点.要使上存在最大值，需，又因为，且， 若，函数在递增，会超过，因此需. 综上：. 6. 一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设正四棱台的上底边长为，则侧棱长为，下底边长为， 正四棱台的侧面是等腰梯形，设斜高为，则 ， 侧面积为：， 解得，或（舍去）， ， 设棱台的高为，则， 上底面积， 下底面积， 该正四棱台的体积： ． 7. 已知是定义在上的偶函数，且，当时，，若，则实数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知函数的奇偶性、周期性求出对应函数值，再结合已知关系式列方程求参数值. 【详解】由题设， 又，且，， 所以，即， 所以，可得（负值舍去）. 8. 五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验儒家文化”，“乙体验湖光山色”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论甲、乙是否选择两个主题体验，求得，，结合条件概率公式即可得结果. 【详解】若甲体验儒家文化，则有： 当甲只选择一个主题体验，则不同的选法种数为； 当甲选择两个主题体验，则不同的选法种数为； 综上所述：不同的选法种数为，即； 若甲体验儒家文化且乙体验湖光山色，则有： 当甲、乙均只选择一个主题体验，则不同的选法种数为1； 当甲选择两个主题体验，乙只选择一个主题体验，则不同的选法种数为； 当甲只选择一个主题体验，乙选择两个主题体验，则不同的选法种数为； 综上所述：不同的选法种数为，即； 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，，，复数，，，在复平面内对应的点分别为，，，A，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】由题意得，， 则，故A正确； ， ， 故不一定相等，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 10. 已知平行六面体中，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 二面角的正弦值为 D. 该平行六面体的体积为 【答案】BC 【解析】 【分析】由即可判断A；由即可判断B；取AD中点O，连接得到是二面角的一个平面角，再计算即可求解二面角的正弦值；求出即可由正弦定理和柱体体积公式计算求解判断D. 【详解】由题可得， 因为 所以不垂直，A错误； 因为，所以， 所以即，B正确； 取AD中点O，连接，则由题意易知， 所以是二面角的一个平面角， 因为， 则， ， 所以， 所以二面角的正弦值为，C正确. 因为四面体为正四面体，故顶点在底面的投影落在直线上， 因为， ， 所以，所以， 所以该平行六面体的体积为，D错误. 11. 定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知“黄金椭圆”的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 短半轴长为 B. 成等比数列 C. D. 的外接圆半径为 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合椭圆的几何性质，可判定A错误；求得，得到，可判定B正确；由，结合，可判定C正确；证得，结合直角三角形的性质，可判定D正确． 【详解】对于A，由椭圆，可得，即， 因为椭圆离心率，则，所以， 短半轴长为，不等于，所以A错误； 对于B，由选项A知：，可得， 则，即，所以成等比数列，故B正确； 对于C，由， 由选项B知，可得，即， 因为所以，故C正确； 对于D，由， 可得，即， 则直角的外接圆半径，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式中，含项的系数为_______. 【答案】 【解析】 【详解】的展开式的通项为， 令，得，则含项的系数为. 13. 若圆与圆的公共弦所在直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由两圆的方程相减整理即得两圆的公共弦方程，依题意可得，再由双曲线的离心率定义求解即得. 【详解】由圆与圆， 两方程相减，得， 即得恰为双曲线的一条渐近线，则有， 故的离心率为. 14. 在中，，，，点D，E，F分别是，，上的动点，且为等边三角形，则周长的最小值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】由题意可求得，进而得，设，由正弦定理可得，，利用，可得，周长，利用辅助角公式即可求解. 【详解】在中，，，，则， 又因为，所以， 又因为为等边三角形，所以， 所以， 设，则由正弦定理可得，所以， 在中，，所以， 又因为，所以， 所以， 所以周长 （其中）. 当时，可得周长的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上任意一点，点到焦点的距离与到点的距离之和的最小值为3． （1）求抛物线的方程； （2）若过点的两条直线分别与抛物线交于点，与，且，求证：直线的斜率之和为0． 【答案】（1） （2） 设过的直线斜率为，则直线方程为， 联立抛物线方程可得， 设直线与抛物线的交点为，则. ，， 所以； 设直线的斜率为​，的斜率为，则，， 因为，所以，即， 因为是两条不同的直线，所以，即，直线的斜率之和为0. 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义和最值可得答案； （2）设出直线方程，联立，结合韦达定理和弦长公式可证结论. 【小问1详解】 抛物线的准线方程为，焦点坐标为， 因为点到焦点的距离与到点的距离之和最小值为3，所以，解得， 故方程为. 【小问2详解】 略 16. 某高校为调查人们对 AI 知识掌握的熟悉程度与学历是否有关，组织了相关的答题活动， 满分 100 分. 答题完成后， 工作人员从中随机抽取 200 人作为样本，得到如下数据. 人数分数 学历 本科及以下 37 33 12 10 5 3 本科以上 20 20 10 10 30 10 （1）若得分不小于 60 分，则认为对 AI 知识掌握的程度为熟悉，否则为不熟悉； 熟悉程度 学历 合计 本科及以下 本科以上 熟悉 不熟悉 合计 根据样本数据补全上面的 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为熟悉AI程度与参与人员学历有关系. （2）从样本里学历为本科以上的人群中，采用按比例分层随机抽样的方法抽取 10 个人，再从这 10 人中随机抽出 3 人进行访谈，记这 3 人中分数在 的人数为 ，求 的分布列及数学期望. 附：， . 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表如下： 熟悉程度 学历 合计 本科及以下 本科以上 熟悉 30 60 90 不熟悉 70 40 110 合计 100 100 200 熟悉AI程度与参与人员学历有关联； （2）的分布列为： 0 1 2 3 . 【解析】 【分析】（1）先根据题意列出列联表，再计算，并判断； （2）先确定的可能取值，再分别求概率，列出分布列，最后求期望. 【小问1详解】 列联表如下： 熟悉程度 学历 合计 本科及以下 本科以上 熟悉 30 60 90 不熟悉 70 40 110 合计 100 100 200 零假设为：熟悉AI程度与参与人员学历互相独立，即熟悉AI程度与参与人员学历无关联. 根据列联表中的数据，经计算得 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为熟悉AI程度与参与人员学历有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. 根据表中数据，熟悉AI的参与人员中，本科及以下和本科以上的频率分别为和， 不熟悉AI的参与人员中，本科及以下和本科以上的频率分别为和， 由可见，在被调查者中，熟悉AI的人中，本科以上学历是本科及以下学历的频率的将近2倍，于是，根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为本科以上学历熟悉AI的概率明显大于本科及以下学历熟悉AI的概率，即本科以上学历更容易熟悉AI. 【小问2详解】 从样本里学历为本科以上的人群中，采用按比例分层随机抽样的方法抽取10个人，这10人中，分数在的人数为3，则可取0，1，2，3； ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 . 17. 如图，在四棱锥中，，点为的中点，且平面与交于点． （1）求证：； （2）若平面平面，四边形为矩形，．点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】（1） 在四棱锥中，由平面平面，得平面， 又平面，平面平面，则， 而点为的中点，因此为中点，，又， 所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的性质，结合平行公理及中位线的性质推理得证. （2）由面面垂直的性质证得直线两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由四边形为矩形，得， 由平面，平面平面，平面平面， 得平面，又，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，由点在线段上，设， ， 设平面的法向量， 则，取，得， 由直线与平面所成角的正弦值为 得，而，解得， 所以线段的长为. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，讨论的值确定导数的正负，讨论函数的单调性；（2）首先将不等式恒成立问题转化为恒成立， 令求最值. 【小问1详解】 由题可知， 当时，，函数在上单调递增； 当时，若，，若，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，不等式恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，， ， 令，，， 所以在上单调递增. 由于，， 由零点存在定理，存在，使得，即， 所以当时，，，当时，，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以. 因为，所以， 令，， ，即在上单调递增， 所以，即， 所以，所以， 所以，即实数的取值范围为. 19. 已知数列满足，. （1）证明：； （2）设，证明：数列为递减数列； （3）设为数列的前项和，求，其中表示不超过的最大整数（）. 【答案】（1）因为， ，所以， 则，即， 则， 则， 又，所以， 若，则，则， 因为，所以恒成立， 故对任意恒成立； （2）由（1）可知， ， 因为，所以，， 则，故， 则，故数列为递减数列； （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件得出，利用放缩可得，结合累加法可证； （2）化简，结合判断正负性即可； （3）根据得出，根据，得出， 以及，进一步得出，构造函数，令，得出，即可求出，最后得出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以， 则 ， 因为，所以，故， 因为，， 所以， 则 ， 令，则， 则在上单调递增，故，即， 令，则，则， 故， 则， 则，则，则， 故，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $