精品解析：宁夏回族自治区银川一中2026届普通高等学校招生全国统一考试全真数学模拟卷（二）

2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（二） 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，为实数集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，用列举法先求出集合，再根据集合的补集求出集合，从而求出. 【详解】解：由题意得集合，集合， 所以. 2. 已知随机变量服从正态分布，下列四个命题： 甲：； 乙：； 丙：； 丁：， 如果有且只有一个是假命题，那么该命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布的性质即可求解. 【详解】若甲：是真命题，则， 若乙、丙为真， 则，此时甲为真， 由可得，显然， 即丁为假，故D符合题意. 3. 已知偶函数在上单调递增，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合单调性和偶函数的性质求解即可. 【详解】 因为，所以，故， 又易知，即，所以. 因为偶函数在上单调递增，所以在上单调递减， 故. 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将条件分别利用两角和差公式展开，两式相比弦化切得解. 【详解】由题意可得，. 两式相比得，即， 整理得. 5. 若（），则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A：因为，所以多项式最高次项的次数为6， 所以，所以，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：在中， 令，得，所以， 令，得， 所以，故C正确； 对于D：对两边同时求导， 得， 令，得，故D错误. 6. 某地区气温（单位：℃）与海拔（单位：）之间的关系可以由近似描述，其中为地面温度，为常数．已知某时段该地区海拔为3（即）、5（即），两处的气温分别为、．下表为该地区不同时段平均地面温度的范围，则此时该时段为（ ） 时段 早晨 中午 傍晚 夜晚 （参考数据：，） A. 早晨 B. 中午 C. 傍晚 D. 夜晚 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意得到，进而求解方程得到，最后判断时段即可. 【详解】已知，代入两组数据， 两式相除消去，得，所以， 代入，得， 所以，两边取对数得 ， 代入数据得， 所以，所以此时间段为早晨． 7. 已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（ ） A. B. C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由直线过圆心得出，再根据外切得出圆心间距离即可求解参数. 【详解】由题意知，圆的圆心在直线上，则，解得， 所以圆的标准方程为，圆心为，半径为1. 又圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为圆与外切，所以，解得. 8. 若函数的定义域为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意构造函数，得出是等差数列，利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】由题意得函数的定义域是，且满足方程， 等式两边同除以得，令，则有， 这说明当是正整数时，数列是一个公差为的等差数列，由，得， 因此，对于正整数有，则， 所以，故C正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列分别是等差、等比数列，则必有（ ） A. B. C. D. 成等比数列 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等差数列以及等比数列的性质，即可根据选项逐一求解. 【详解】对于A选项，若，则，此时不成立，A错误． 对于B选项，设公差为，则，B正确． 对于C选项，由于等比数列中有，且，故，C正确． 对于D选项，当公比为时，，所以不是等比数列，D错误． 10. 抛物线:的焦点为，坐标原点为，，为抛物线上的两个动点，且满足，设，到轴的距离分别为，，则以下说法正确的有（ ） A. 直线过点 B. C. 的最小值为2 D. 当取最小值时， 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，，且，三点共线，即直线过点，故A正确； 对于B，设直线与轴正半轴的夹角为. 由抛物线，得； 由抛物线的定义得，，，解得，； ，故B错误； 对于C，过点，分别作，，分别交准线于点、，交轴于点、. 则，，； 由B得； ； ，； ，当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，由C知取最小值时，； 由A知三点共线，； ； 又，，; ，故D正确. 11. 在棱长为1的正方体中，P，Q分别为棱AB，BC的中点，则以下四个结论正确的是（ ） A. 棱上存在一点，使得平面 B. 点在线段PQ上，则的最小值是 C. 过且与平面平行的平面截正方体所得截面面积为 D. 过PQ的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A：设，利用直线方向向量和平面法向量关系，建立关于的方程并求解；选项B：利用空间中两点之间距离公式，建立函数求解最值；选项C：确定平行且和平面平行的平面与正方体各棱的交点，确定截面形状，再计算面积；选项D：确定球心到过的平面的最大距离，再根据球的半径，利用勾股定理计算最小半径，进而得到最小面积. 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系：设 ，得. 选项A，设，， 设平面的一个法向量，则， 令，可得，即， 若平面，则，即， 超出棱范围，A错误. 选项B，在上，满足， 则： 二次函数对称轴，代入得最小值为，B正确. 选项C,过且平行于平面的平面截正方体得到等腰梯形，四个交点为： 上底长，下底长，梯形高， 面积，C正确. 选项D,正方体外接球球心为，半径. 正方体的外接球球心为，所有过的截面都经过直线，设是球心在直线上的垂足，的长度就是到直线的固定距离. 对任意过的截面，设到的距离为， 由几何关系：，是到截面的垂线段长度， 满足（为与平面法向量的夹角，范围）. 因此（球心到截面的距离）的最大值就是，为中点，， 则，截面最小半径满足， 最小面积，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，满足，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：根据复数的模都为1，可求得 及 间的关系，根据方程，得；表示出，代入即可求值． 详解：设 因为 所以 即化简得 点睛：本题主要考查了复数模的定义及其相关运算，运算过程中注意熟练运用解题的技巧，属于基础题． 13. 已知点是双曲线的左焦点，经过原点的直线与双曲线交于、两点，若且，则双曲线的离心率为 ______. 【答案】## 【解析】 【分析】设是右焦点，由双曲线的对称性得是平行四边形，这样结合双曲线的定义可把和用表示，再应用余弦定理可得关系，从而得离心率． 【详解】 设是右焦点，由双曲线的对称性得是平行四边形，， 所以， 又，即，，则， 因为，所以， 由余弦定理得， 即， 得，即 所以离心率. 14. 函数的最小值为______. 【答案】0 【解析】 【分析】利用函数导数与函数单调性求最值，结合换元法与二次函数性质求解即可. 【详解】. 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则， 令，，则， 因为函数开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值，且最小值为， 即函数的最小值为0. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某芯片公司生产两种芯片，一种是用于人工智能计算的甲类芯片，另一种是用于基础信号传输的乙类芯片.现将4个甲类芯片和2个乙类芯片混合放置在一个容器中，这些芯片外观完全相同. （1）质检员从中随机抽取2个芯片进行破坏性测试，求至少抽到1个乙类芯片的概率； （2）自动化测试机随机逐个对芯片进行性能检测，检测过的芯片不再放回，直到甲类芯片或乙类芯片被全部检测完毕时停止，记停止时检测的芯片总数为，求的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2） 2 3 4 5 . 【解析】 【分析】（1）用对立事件处理，即“至少抽到1个乙类芯片”的对立事件是“抽到的2个芯片均为甲类芯片”； （2）把6个芯片的检测顺序看作随机排列，停止时间由2个乙类芯片的位置决定：若前2个均为乙类则，若第2个乙类出现在第3位则，若第2个乙类出现在第4位或前4个均为甲类则，其余情况为.分别计数即可得到分布列，再由数学期望公式求出. 【小问1详解】 （1）设“至少抽到1个乙类芯片”为事件，则表示事件“抽取的两个芯片都是甲类芯片”， 则. 【小问2详解】 由题意知的所有可能取值为2，3，4，5. ，， ，， 所以的分布列为 2 3 4 5 . 16. 如图，在三棱锥中，底面ABC，=2，D为的中点，，垂足为E，F是线段上的点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【答案】（1）证明：因为 底面， 底面，所以， 又，是中点，故， 由于，平面，因此平面 ， 因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面 ， 又因为平面 ，所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理先证明平面 ，得，结合题设再证平面 ，再由面面垂直的判定定理即可得证； （2）利用空间向量法来求出平面夹角余弦值的表达式，转化为函数求最大值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ， 则，，，，， 即，，设， 则， 因为，所以， 即， 因为在上，所以可设，， 则， 由图可知平面的法向量为， 设平面 的法向量， 则，令，可得， 设平面与平面夹角为， 则， 令，则， 设， 当时，即，， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值的最大值为. 17. 已知数列为等差数列，． （1）求数列的通项公式； （2）定义数列满足递推公式．求数列的前项和； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用定义求解首项，公差，可得通项公式. （2）利用错位相减法求和. 【小问1详解】 设数列首项为，公差为，依题有， 即 ，解得． 所以. 【小问2详解】 因为，即，而， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，则， 所以. 而， 则， 两式相减得： . 所以． 18. 在平面直角坐标系中，点为椭圆的左焦点，点为上一点，为的右焦点，且的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与轴的交点为，过点的直线与交于两点，设直线的斜率分别为．是否为定值？若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由； 【答案】（1） （2）为定值． 【解析】 【分析】（1）利用椭圆定义求得，可得标准方程. （2）讨论直线斜率分类，用韦达定理表示，即可得到定值. 【小问1详解】 因为椭圆的左焦点，所以. 因为的周长为12，所以， 所以，. 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 如下图所示: 因为，可得． 当直线的斜率为时，三点共线且在轴上，故， 此时； 当直线的斜率不为时，设直线的方程为，， 联立，整理得：， 则有， 解得或. 由韦达定理得，， 所以 . 综上，为定值． 19. 已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若，证明：当时，； （3）若，设，且，证明：. 【答案】（1） 若，在上单调递增； 若，在上单调递增，在上单调递减. （2）证明：当时，. 令，则，. 由于 在单调递增，故在上单调递增. 又，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增. 故，即. 所以得证. （3）证明：当时，，在上单调递增，且. 因为，所以，所以. 只需证，即证. 由（2）知，， 所以. 又因为，所以， 由于,所以，即. 因此，从而得证. 【解析】 【分析】（1）根据导数分和两类讨论函数的单调性； （2）（i）构造，根据导数判断函数的单调性和最小值，进而进行证明； （ⅱ）利用函数的单调性，先证得，结合（2）的不等式放缩得到，结合推出，得得证； 【小问1详解】 . ①若，则恒成立，在上单调递增. ②若，令，得. 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（二） 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，为实数集，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量服从正态分布，下列四个命题： 甲：； 乙：； 丙：； 丁：， 如果有且只有一个是假命题，那么该命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 3. 已知偶函数在上单调递增，若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若（），则（    ） A. B. C. D. 6. 某地区气温（单位：℃）与海拔（单位：）之间的关系可以由近似描述，其中为地面温度，为常数．已知某时段该地区海拔为3（即）、5（即），两处的气温分别为、．下表为该地区不同时段平均地面温度的范围，则此时该时段为（ ） 时段 早晨 中午 傍晚 夜晚 （参考数据：，） A. 早晨 B. 中午 C. 傍晚 D. 夜晚 7. 已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（ ） A. B. C. 6 D. 7 8. 若函数的定义域为，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列分别是等差、等比数列，则必有（ ） A. B. C. D. 成等比数列 10. 抛物线:的焦点为，坐标原点为，，为抛物线上的两个动点，且满足，设，到轴的距离分别为，，则以下说法正确的有（ ） A. 直线过点 B. C. 的最小值为2 D. 当取最小值时， 11. 在棱长为1的正方体中，P，Q分别为棱AB，BC的中点，则以下四个结论正确的是（ ） A. 棱上存在一点，使得平面 B. 点在线段PQ上，则的最小值是 C. 过且与平面平行的平面截正方体所得截面面积为 D. 过PQ的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，满足，则__________． 13. 已知点是双曲线的左焦点，经过原点的直线与双曲线交于、两点，若且，则双曲线的离心率为 ______. 14. 函数的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某芯片公司生产两种芯片，一种是用于人工智能计算的甲类芯片，另一种是用于基础信号传输的乙类芯片.现将4个甲类芯片和2个乙类芯片混合放置在一个容器中，这些芯片外观完全相同. （1）质检员从中随机抽取2个芯片进行破坏性测试，求至少抽到1个乙类芯片的概率； （2）自动化测试机随机逐个对芯片进行性能检测，检测过的芯片不再放回，直到甲类芯片或乙类芯片被全部检测完毕时停止，记停止时检测的芯片总数为，求的分布列与数学期望. 16. 如图，在三棱锥中，底面ABC，=2，D为的中点，，垂足为E，F是线段上的点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 17. 已知数列为等差数列，． （1）求数列的通项公式； （2）定义数列满足递推公式．求数列的前项和； 18. 在平面直角坐标系中，点为椭圆的左焦点，点为上一点，为的右焦点，且的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与轴的交点为，过点的直线与交于两点，设直线的斜率分别为．是否为定值？若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由； 19. 已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若，证明：当时，； （3）若，设，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $