（B卷）数学（人教A版）试题-【1号卷·A10联盟】2024届高二上学期12月学情检测

/号卷·A10联盟2024级高二12月学情检测 数学（人教A版）参考答案B 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 题号 2 3 4 5 P 答案 B A D A D 1.A由题意知，m∥n,即32∈R,使得m=n,观察可知(-4,2，-2)=-2(2，-1,1).故选A. 2书由题意知，范物线少开世响上，P所以准线方程为y三8故选B 3.C设直线1：x+2y+2=0,将(4,1)代入方程，解得1=-6，故直线1：x+2y-6=0,则原点到直 线1的距离d=6N5 .故选c 5 4A如图，=m+丽-号4+所+兮C-号-丽+兮C,则 3 4=3派+花-4C.故选A 5.D由题意知，F=2c,则F(-c,0),E(c,0),Q(3c,2a),P -C, ,故 a 网-20所=(4,2a,则丽0丽=-c+2w=0,a-写 a5. 故选D. 6.A因为点(-1，-2)在圆x2+y2-ax-2y+a2-15=0外部，所以 -a)2+(-2)2-4(a2-15)>0 8W38W3 ,解得3 3,则-8v5 <a< 8V3 <a<-3或2<a< (-1)2+(-2)2+a+4+a2-15>0 3 3 a<-3或a>2 所以“点(-1，-2)在圆x2+y2-ax-2y+a2-15=0外部”是“a<-3,或a>2”的充分不必要条 件.故选A. T V 7.C由题意知，点P在双曲线C的左支上，如图，设内切圆圆心为I,三个切 点分别为D,E,M,因为EM=EE,所以 5-xy=PF-PE=PF2-PD=PF-PF +DF =8+DF =8+EM=8+(5+xM),故xM=-4.因为x,=xM,所以圆I与x轴 相切于左端点，内切圆半径r=4.故选C. 8.D由题意知，圆C:(x-3)2+(y+2)2=13.由平面几何知识可知，P,M,N,C四点在以PC为直径 的圆C'上，则圆C的圆心坐标为m+3,6-m 2,2 ,又PC=V(m-32+(10-m2= √2m2-26m+109,故圆C': m+3)2 6-m2_2m2-26m+109 2)+ 即x2+y2-(m+3)x+(m-6)y+5m-16=0①，而x2+y2-6x+4y=0②，②-①整理得， ∥乡卷·A10联盟2024级高二12月学情检测·数学（人教A版）参考答案第1页共6页 B x-y-5=0 x=34 7 直线MW:m(x-y-5)-3x+10y+16=0,联立 -3x+10y+16=0'解 可知直 线MWN过定点 341 77 故选D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 AC ACD ABC 9.AC对于A,Q在b上的投影向量为a:b -4 b=- .b=-b,故A正确；对于B,AB=1,2,-1), 1-2 BC=(2,4-3),因为24- ,所以AB与BC不共线，即A,B,C三点不共线，故B错误； 对于C,因为P为平面ABC上的一点，所以P,4B,C四点共面，所以}+m+n=1,即 2 1 m+n= 放C正确：对于D,由题意得n=-3,则11a,放D错误故选AC 10.ACD点(x,y)在圆C:(x-2)+y2=8上，故点A的轨迹长度为2元·22=4V2元，故A正确； x2+(y-3)表示点(x,y)与(0,3)距离的平方，故所求最小值为 V0-2}+3-22=21-4V26,故B错误；令y=k,则-y+2k=0,故圆 x+2 2到红-y+2=0距d=，d2,得-1长0. V1+k2 V1+k2 放C正确；因为d-压-y+3表示圆C上的点到直线x-y+3=0的距离，故d 「2921 2 2’2 故1≤x-y+3≤9，故D正确.故选ACD 11.ABC设直线l的方程为x=my-2,不妨设m>0,联立 y2=8x，则y-8nmy+16=0,易知 x=my-2 △>0，解得m>1或m<-1,而+2=8m,片y2=16,则 MN=V1+m2y-y2=V1+m2O-2),则|WP=V1+m22=V1+m2.y2.在△MPF 中，由角平分线定理， M=w+号=+2=m-2+2=m1,则4=片，即 my y-y2 m15=4-)=40+2P-4y,即16m=48m>-4x16,解得m=2 3,则 片+马-163 3 ，乃y=16,而4>，解得片=43,2=3，则MF=8.当m< 时由时你街可.m=生5，=8，放直的家药士 ，故A正确；点M到 引号卷·A10联盟2024级高二12月学情检测·数学（人教A版）参考答案第2页共6页 B y轴的宽为M号-6，放B正确：Sm=5s一PF以-小=1 3 (43) 故C正确；当m>0时，为=4V3,则x= =6,即M(6,43),此时 8 4V5-0=5,由对称性知，当m<0时，k=-5,故k=士V5,故直线M 6-2 的倾斜角为60°或120°，故D错误.故选ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(-1,5) 由题意得，圆C,C2相交，则1<√(a-2)2+42<5,解得-1<a<5. 13.3v14 14 以D点为原点，DA,DC,DD分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3,0,O), C(0,3,0),C(0,3,3),M3,1,3),所以AC=(-3,3,3),AM=(01,3), m·BP=-3a+3b+3c=0 设平面AC,M的法向量为m=(a,b,c),则 M m.PO=b+3c=0 令c=1,则a=-2,b=-3,所以m=(-2,-3,1)为平面ACM的一个法向 量，又CC=(0,0,3),所以由点到平面的距离公式得d= CC·m_3v14 m 14 14.16 因为椭圆C5+,所以c=Va-B=3,则F3,0,EB,0.因为圆C的 方程为(x-3)2+(y-5)2=1,所以圆心为C,(3,5),半径r=1.由椭圆 定义知，PF+PF=2a=10,所以Pg+PF=10+Pg-PF引， 又Pg≤PC2+r,所以Pg-PF≤PC,+r-|PF≤C,E+1, 当P在C2F的延长线与椭圆交点时取等号，因为F,C2=5, 所以P9+P=10+|P9-|PF<11+C2F=11+5=16 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分) (1)由题意得，a=AB=(-2,-1,3),b=AC=(1,-3,2), =V(-2)2+(-1)2+32=14,bl=V12+(-3)2+22=14,…(2分) 所以cos<4,b>-a.b=-2×1+-×(-3)+3x2=1 a·b V14×W14 2 0K<a,b><L,所以<a,b,即a与b的夹 …(5分)》 故△1C的面积为：5=4丙血<a,6X年××5- …（8分)》 22 号卷·A10联盟2024级高二12月学情检测·数学（人教A版）参考答案第3页共6页 B (2)因为a⊥(a+b),所以a·(a+2b)=0, 又a+1b=(-2,-1,3)+21,-3,2)=(-2+元，-1-32,3+22)，…（10分) 代入得-2×(-2+2)+(-1)×(-1-32)+3×(3+2)=0，解得1=-2.…（13分) 16.(15分) (1)由题意设，P(x,),M(x2,y2),N(-x2,-y2)； …（1分) 则kw=二兰，kw=4十当 …(3分) X1-x2 为1+x2 3、3 3 做：=h2+y-芝3 3 5 …（6分) -名+x22-x号 x-号 y=2x-3 (2)联立 x2,y2,化简可得23x2-60x+30=0, …（9分) 5+3 =1 △=602-4×23×30=840>0，x1+x2 60 23 30 …（11分) 23 故PM=V5·Vx+x2)2-4xx2=V5 60 30 10W42 …（15分) 23 23 23 17.(15分) 17+D+4E+F=0 [D=-2 (1)设圆C:x2+y2+Dx+y+F=0,则13+3D+2E+F=0,解得E=-4, 5-D+2E+F=0 F=1 故圆C:x2+y2-2x-4y+1=0,即C:(x-1)2+(y-2)2=4.…（3分) 因为直线CC,垂直平分公共弦AB,所以kcG,=2, 故设直线CC2:2x-y+m=0,将C(L,2)代入，可得m=0,即CC2:2x-y=0; 又出题C的圆心在直线y=上，联立文0，解 x= y=-x y= ,即圆心C2(0,0);…(5分） 则圆心C,(0,0)到直线AB:x+2y-5=0的距离d= 5 =√5 V1+4 又C1,2)在直线AB:x+2y-5=0上，故圆C2的半径r满足2WP2-5=4,解得r2=9, 故圆C2:x2+y2=9.…(7分) (2)设圆心C,到直线MN的距离为d,到直线PQ的距离为d2， 由(1)知圆C:(x-1)2+(y-2)2=4,则C1,2),R=2, 又F(0,1),所以CF=V1-02+(2-1)2=V2,则d+d=CF=2.…(9分) 又MN=2√R2-d=2W4-d,|Pg=2V4-d,所以四边形MPN9的面积 s=MNPg=×24-d×24-d5=2(4-d)(4-),…(1分) 将a=2-d代入上式可得，S=24-d4)儿4-(2-d)]=2√-d4+2d+8,…(12分) 因为d>0,且d≤C,F=V2; 令t=d,则t∈[0,2]，所以S=2W-+2t+8=2V-(t-1)2+9, ∥乡卷·A10联盟2024级高二12月学情检测·数学（人教A版）参考答案第4页共6页 B 所以当t=1时，S取最大值为6；当t=0或t=2时，S取最小值为4√2.…(14分) 综上所述，S的取值范围为4W2,6· …(15分) 18.(17分) (1)取BC的中点G,连接OG,EG,则OG∥CD, …（1分) 因为OG∥CD,且OG￠平面SCD,CDc平面SCD,所以OG∥平面SCD 而OE∥平面SCD,OG∩OE=O,故平面OEG∥平面SCD;…(3分) 而平面OEG∩平面SBC=EG,平面SCD∩平面SBC=SC, 故EG∥SC,则E为线段SB的中点.…(6分) (2)因为△SAD是等边三角形，点O为AD中点，所以SO⊥AD, 又平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,SOC平面ABCD, 故SO⊥平面ABCD;…（7分) 所以以O点为坐标原点，以OG,OD,OS为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设AD=2,则OA=OD=CD=1,所以S0,0,V3,D(01,0),A(0,-1,0),B1,-1,0), 故DS=(0,-1,5),AB=(1,0,0),S=(0,-1,-5), 设DF=Ds=(0,-1,32(0≤1)，则F(0,1-1,V52, 又因为E为SB中点，所以E …（10分)》 m.SA=-b-3c=0 设平面SAB的法向量为m=(a,b,c),则 m·AB=a=0 令c=V3,则b=-3,所以平面SAB的一个法向量为m=(0,-3,V5; …(12分) m·EF 设直线EF与平面SAB所成角为0，则sinO= 32- mEF 4-62+13 √3t √5 令t=1-2,则2=1-t,t∈[0,1]，所以sin0= …(15分) 5 4t2-2t+ 4一 2.5 一十 2.5 2W39 因为f(t)=4-二+ +4在1e[0,】]上单调递减，所以当t=1时，sinK 3 V4-2 .5 V13 则直线EF与平面SAB所成角的正弦值的最大值为 2W39 …(17分) 13 引号卷·A10联盟2024级高二12月学情检测·数学（人教A版）参考答案第5页共6页 B 19.(17分) （1)设双曲线C:二-片=1，将2,3)代人可得号-3=1，解得元=) …(2分) 2161 2221 散双曲线C的方程为-，……(3分剂 (2)()由题意知，直线1，马为圆C:x2+yY=2的两条切线，显然圆0的切线乙，即PA的斜率存在： 设切线PA:y=+m,由于切线PA不平行于C的渐近线，则k≠士√3 又圆心O到切线PA的距离d= 中层则2m=2+.…（4分） m y=kx+m 联立 :,，消去y得(3-k2)x2-2x-m2-3=0, -=1 3 由于△>0，设P(x,),A(x2,y2),则x+x2= 3-2,5s-m2+3 2km 3-2，…(6分) 而%=+m,+m)=x+m(k+5)+m2=3m2-32, 3-k2, …(8分)》 则OP.0A=x,+%= 2m2-(3k2+3） 3-k2 2=0,即OA⊥OP,故∠AOP=90°.…(10分) (2)(i)由(i)同理可得，OB⊥OP,由于A,O,B三点共线，则SaPB=2SaPo4, 设切践PA与周C的物点为0，则00=，故m=2u-O0P4=P4.(分) 而PA=V伍-x2)+0-2=1+k2）x-x)2=V1+k2V+)2-4xx2 =V1+k2 2km 4(m2+3) 3-k2 3-k2 16k2 …(15分) 当k=0时，lPAn=6,Sm=3, …（16分) 此时直线PA平行于x轴，则A,P的纵坐标绝对值为圆C的半径， 所以P 6+6 2 2 故直线PA:y=tV6 直线PB:x=V6 …（17分) 以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分， 引号卷·A10联盟2024级高二12月学情检测·数学（人教A版）参考答案第6页共6页 B号卷·A10联盟2024级高二12月学情检测 数学（人教A版）试题B 本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。请在答题卡上作答。 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 列点一定在直线MN上的是() 题目要求的 A.(-2,1) B.(2,-) 1.已知平面a的一个法向量n=(2,-l,1),若直线I⊥平面a,则直线1的一个方向向量m可以是 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， A.(-4,2,-2) B.1,1,-1) C.(-2,-1,1) D.(1,1,1) 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法正确的是( 2抛物线=2y的准线方程是（ ) A.已知a=(0,1,4),b=(V5,0,-1,则a在b上的投影向量为-b A.y=4 1 B.y=8 1 C.y=-1 D.y=- B.已知AB=L,2,-1),BC=(2,4,-3),则A,B,C三点共线 2 3.若直线1过点(4,1)且与直线'：2x-y+3=0相互垂直，则原点到直线1的距离为() C.已知三棱锥0-ABC,点P为平面ABC上的一点，且O币=】OA+mOB+nOC(m,neR), A35 B. 3v6 G.65 6W6 1 5 5 5 5 则m+n= 4.在三棱柱ABC-ABC中，M,N分别是线段BB,AC上靠近B,A的三等分点，则AA=( D.若直线1的方向向量为e=(3,0,-1),平面a的法向量为n=(-9,0,3),则1∥a A.3+3B-1AC B.2MN+34B-14C 10.已知动点A(x,y)满足x2+y2-4x-4=0,则() 2 2 3 2 2 A.点A的轨迹长度为4V2π B.x2+y-3)2的最小值为21-2√26 C. w+-c 2 -丽+c C.y的斜率的最大值为1 x+2 D.x-y+3到的最小值为1 3已知椭圆C:女+y 方京=1a>b>0)的左、右焦点分别为F,E,焦距为2c,第二象限内的点P在 11,已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F(2,0),过点P(-2,0)的直线1与抛物线C交于 M(:,N(x,)两点，其中<，∠MFN=∠PFN,则() 椭圆C上，且PF⊥x轴，若点Q3C,2)满足PE⊥QF,则椭圆C的离心率为() c.25 D.V5 A直线/的斜率为 B.点M到y轴的距离为6 2 5 5 C△MWF的面积为165 D.直线MF的倾斜角为30°或150° 6.“点(-1，-2)在圆x2+y2-m-2y+a2-15=0外部”是“a<-3,或a>2"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 第Ⅱ卷（非选择题共92分） C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 1已知双曲线C:兰=1的左，右焦点分别为，5，PF=PF+8,且直线x=0为△PF5 12.已知圆C1:(x-a)2+y2=4(aeR)与圆C2:(x-2)2+0y-4)?=9有且仅有2条公切线，则实 169 数a的取值范围为 内切圆的一条切线，则△PFF,内切圆的半径为() A.2 B.3 C.4 D.5 13.在正方体ABCD-AB,CD中，AB=3,若点M为线段AB上靠近A的三等分点，则点C到 8.已知圆C:x2+y2-6x+4y=0,过点P(m,8-m)作圆C的两条切线，切点分别为M,N,则下 平面AC,M的距离为 ∥号卷·A10暖盟2024领高二12月学情检测·数学（人教A版）试题第1页共4页 /号卷·A10联盟2024级高二12明学情检测·数学（人教A版）试题第2页共4页 18.(17分) 4椭圆G:+广1的左、右焦点分别为，5，P为椭圆上的动点，Q为圆 已知五边形S-ABCD是由等边三角形SAD与矩形ABCD拼接而成，如图1所示，其中 C2:x2+y2-6x-10y+33=0上的动点，则Pg+PE的最大值为 BC=2CD:现沿AD进行翻折，使得平面SAD⊥平面ABCD,得到的图形如图2所示，其 中点O为线段AD的中点，E在线段SB上，且OE∥平面SCD 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (1)求证：E为线段SB的中点： 15.(13分) (2)已知点F在线段SD上（包含端点位置），求直线EF与平面SAB所成角的正弦值的最大值 已知空间三点A0,2,3),B(-21,6),C0,-1,5),设a=AB,b=AC (1)求a与b的夹角和△ABC的面积； (2)若a⊥(a+2b),求无的值. 16.(15分) 已知椭圆C:之+上」 了+=1，点P,M,N在椭圆C上，且M,N关于原点对称 (1)若直线PM,PN的斜率存在，求直线PM,PN的斜率之积： (2)若直线PM的方程为y=2x-3,求PM的值. 19.(17分) 已知双曲线C与双曲线女_上 =1有相同的渐近线，且双曲线C过点(2,3) 26 (1)求双曲线C的方程； (2)过双曲线C右支上的一点P作直线1,2，其中4,12均与曲线C:2x2+2y2-3=0有且只有一 个交点，且双曲线C的左支与直线I交于点A,右支与直线I,交于点B. (i)求证：∠AOP=90°；(O为坐标原点) 17.(15分) (i)求SB的最小值，并求出此时PA,PB的方程. 已知圆C过点(1,4)，(3,2)，(-1,2)，圆C,与圆C交于A,B两点，且点C2在直线y=-x上，直 线约方程为y=号 (1)求圆C,C,的方程； (2)过点F(O,1)作相互垂直的两条直线L,Z,与圆C分别交于M、N,P、Q,求四边形MPNQ面 积S的取值范围 号卷·A10联盟2024领高二12月学情检测·数学（人教A版）试题第3页共4页 /号卷·A10联盟2024级高二12明学情检测·数学（人教A版）试题第4页共4页 B