（A卷）数学（人教A版）试题-【1号卷·A10联盟】2024届高二上学期12月学情检测

/号卷·A10联盟2024级高二12月学情检测 数学（人教A版）参考答案A 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 题号 1 3 4 5 7 P 答案 B A D A D 1.A由题意知，m∥n,即32∈R,使得m=n,观察可知(-4,2，-2)=-2(2，-1,1).故选A. 28出图，4=受+1=2.4=受片1考学片号}号 故选B 2 3 3.C设直线1：x+2y+2=0,将(4,1)代入方程，解得1=6，故直线l:x+2y-6=0,则原点到直 线1的距离4=66N5 4A如图，=m+丽=号4+所+兮C-号-丽+兮C,则 3 A=3瓜+3-1AC.故选A b2 5.D由题意知，|FFl=2c,则F(-c,0),F(c,0),(3c,2a),P-c, ，故 a 元2.0m(4c,-20.则PE0呱=88+26=0.解得9 故选D. a 5 6.A因为a,+an1=6n+5,则an+1+a+2=6n+11,两式相减可得，a+2-an=6,则数列{an}的奇 数项与偶数项都是公差为6的等差数列，又a1=5,a1+a2=11,则a2=6,所以 a20=42+(10-1)×6=6+9×6=60.故选A. 7.C由题意知，点P在双曲线C的左支上，如图，设内切圆圆心为I,三个切 点分别为D,E,M,因为EM=EE,所以 5-xy=PF-PE=PF2-PD=PF-PF +DF =8+DF =8+FM=8+(5+xM),故xM=-4.因为x,=xM,所以圆I与x轴 相切于左端点，内切圆半径r=4.故选C 8.D由题意知，圆C:(x-3)2+(y+2)2=13.由平面几何知识可知，P,M,N,C四点在以PC为直径 的圆C'上，则圆C'的圆心坐标为 062）z-m-旷+0-网= √2m2-26m+109,故圆C': +-62--20 4 即x2+y2-(m+3)x+(m-6)y+5m-16=0①，而x2+y2-6x+4y=0②，②-①整理得， x=34 x-y-5=0 直线MW:m(x-y-5)-3x+10y+16=0,联立 -3x+10y+16=0,解 可知直 1 y=-7 线MN过定点 34 77 故选D. 引号卷·A10联盟2024级高二12月学情检测·数学（人教A版）参考答案第1页共6页 A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 AC ACD ABC 9.AC对于A,am+3=3(2n+3)-5=6n+4,故A正确；对于B, an+4m1=3n-5+3·(2n-1)-5=9n-13,故{an+am}是公差为9的等差数列，故B错误； 对于C,因为3，=3n-7n 2S-3m=7m,故C正确；对于D,32+3n=- 2 +3n是公差为)的等差数列，故D错误故选AC n 10.ACD点(x,y)在圆C:(x-2)2+y2=8上，故点A的轨迹长度为2π2V2=4V2元，故A正确； x2+(y-3)2表示点(x,y)与(0,3)距离的平方，故所求最小值为 V0-2}+32-2V2=21-4W26,故B错误；令y=k,则x-y+2k=0,故圆 x+2 心(2,0)到直线x-y+2k=0的距离d= 4k V1+k2 ,则d= 4风<22，解得-1长1， V1+k2 故C正确；因为d-区-y+3表示圆C上的点到直线￥-y+3=0的距离，故d∈ 92 √2 22 故1≤x-y+3≤9，故D正确.故选ACD. x=my-2 11.ABC设直线1的方程为x=my-2,不妨设m>0，,联立 by2=8x，则-8my+16=0,易知 △>0，解得m>1或m<-1,而片+y2=8m,y=16,则 MW=V1+m2y-y2=1+m2O-2),则|WP=V1+m22=V1+m2y2.在△MPF 水，肥测产又 =+号=+2=m-2+2=m,则年=片，即 my y-y2 m%=40-⅓)=4V0+2)P-4yy,即16m=4V8m2-4x16,解得m= 2W 3,则 y+y2= ，-6，面>为，为=45为=5，则w=.当m0 16W3 时，由对称性可知，m=±)2，MF=8,故直线的斜率为土V3 2,故A正确；点M到 y轴的距离湖个-号6，故B正确：Sax=Sm-八号PF内-小-1 3 故C正确；当m>0时，为=4V3,则x= 5-6.即64).此时 8 k=5,0=5,由对称性知，当m<0时，kc=5,放k=士5，放直线MF 6-2 的倾斜角为60°或120°，故D错误.故选ABC. ∥号卷·A10联盟2024级高二12月学情检测·数学（人教A版）参考答案第2页共6页 A 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.(-1,5) 由题意得，圆C,C2相交，则1<√(a-2)2+42<5,解得-1<a<5. 13.3v14 14 以D点为原点，DA,DC,DD分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3,0,O), C(0,3,0),C1(0,3,3),M(3,1,3),所以AC=(-3,3,3),AM=(0,1,3), m·BP=-3a+3b+3c=0 设平面AC,M的法向量为m=(a,b,c),则 M 41 m·PQ=b+3c=0 令c=1,则a=-2,b=-3,所以m=(-2,-3,1)为平面ACM的一个法向 cC·m D 量，又CC=(0,0,3),所以由点到平面的距离公式得d= 3W14 m 14 14.3 由题意知，4.=州+n+2-1=了，neN,故fm23恒成立，且f)=3有正整数解：则 0+0n-2n2,当n时，显然该式成立；当心2时，心，片，此时花，：经检验 当心2时，易知f(m在neN上单调递增，f0mm=f④=3；当<<2时，结合对勾函数性 3 质可知，只需比较f0,f2)的大小即可，此时f2=31+2≥f0）=3:综上所述，1的最小值为 2 3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分) (1)设等差数列{an}的公差为d, 则a2+ag+6=2a+8d+6=0,即a1+4d=-3①； …(2分) 又S0=10a1+45d=-10,则2a,+9d=-2②； …（4分) 联立①②，解得a1=-19,d=4; …(5分) 故an=-19+(n-1)4=4n-23 …（6分) (2)由(1）可知，S.=-19+4n-23)n=27-21m, …（8分)】 2 所以S。-45=2n-21n+45<0,即(2n-15n-3)0,解得3≤K1 …… (11分) 2 因为n∈N,所以满足条件的n的值构成的集合为{3,4,5,6,7. …（13分） 16.（15分) （1)由题意设，P(x,),M(x2,y2),N(-x2,-2); …（1分) 则kM=名-二业，kw=十2 …(3分) x1-x2 x+x2 引号卷·A10联盟2024级高二12月学情检测·数学（人教A版）参考答案第3页共6页 A 故w·v=乃2，h+h-当-233 5 3 …（6分) X1-X2x+x2 x-x2 -x好 y=2x-3 (2)联立 x2 y2 ,化简可得23x2-60x+30=0, …（9分) -=1 53 △=602-4×23×30=840>0，x1+x2= 60 30 23书3 …(11分) 23 30 PM=5.+)2-4xx2 =5 60 10W42 23 …(15分) 23 23 17.（15分) [17+D+4E+F=0 D=-2 (1)设圆C:x2+y2+Dx+y+F=0,则13+3D+2E+F=0,解得E=-4, 5-D+2E+F=0 F=1 故圆C1:x2+y2-2x-4y+1=0,即C1:(x-1)2+(y-2)2=4.…（3分) 因为直线CC,垂直平分公共弦AB,所以kcG,=2, 故设直线CC2:2x-y+m=0,将C1(1,2)代入，可得m=0,即CC2:2x-y=0; 又由圆C2的圆心在直线y=-x上，联立 2x-y=0 x=0 [y=-x ,解得 =0即圆心C,0,0:…(5分) 则圆心C2(0,0)到直线AB:x+2y-5=0的距离d= =5 √1+4 又C(1,2)在直线AB:x+2y-5=0上，故圆C,的半径r满足2√r2-5=4,解得r2=9, 故圆C2:x2+y2=9.…(7分) (2)设圆心C,到直线MN的距离为d,到直线PQ的距离为d,, 由(1)知圆C1:(x-1)2+(y-2)2=4,则C1,2),R=2, 又F(0,1),所以CF=V1-0)2+(2-1)2=V2,则d+d=CF=2.…(9分) 又MW=2R'-d欧=2√4-d,Pg=2√4-d,所以四边形MPN№的面积 s=lP0=2x24-d×24-好=24-4-)， …（11分) 将dG=2-d代入上式可得，S=24-)[4-(2-d)】=2d+2+8,…(12分) 因为d>0,且d≤C,F=v2; 令t=d,则t∈[0,2]，所以S=2W-+2t+8=2W-(t-1)2+9, 所以当t=1时，S取最大值为6；当t=0或t=2时，S取最小值为4V2.…(14分) 综上所述，S的取值范围为4V2,6.…(15分) 18.（17分) (1)取BC的中点G,连接OG,EG,则OG∥CD,…（1分) 因为OG∥CD,且OG在平面SCD,CDc平面SCD,所以OG∥平面SCD 而OE∥平面SCD,OG∩OE=O,故平面OEG∥平面SCD;…(3分) 引号卷·A10联盟2024级高二12月学情检测·数学（人教A版）参考答案第4页共6页 A 而平面OEG∩平面SBC=EG,平面SCD∩平面SBC=SC, 故EG∥SC,则E为线段SB的中点.…(6分) (2)因为△SAD是等边三角形，点O为AD中点，所以SO⊥AD, 又平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,SOC平面ABCD, 故SO⊥平面ABCD;…(7分) 所以以O点为坐标原点，以OG,OD,OS为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设AD=2,则0A=0D=CD=1,所以S(0,0,V3,D01,0),A(0,-1,0),B1,-1,0), 故D=(0,-1,V3),AB=1,0,0),SA=(0,-1,-5), 设DF=D示=(0，-1，√32)(0<≤1)，则F(0,1-2,V32, 又因为E为SB中点，所以E 115 2’2’2 …(10分) m.SA=-b-3c=0 设平面SAB的法向量为m=(a,b,c),则 m·AB=a=0 令c=√3，则b=-3,所以平面SAB的一个法向量为m=(0,-3,V5): …（12分) m·EF 设直线EF与平面SAB所成角为0，则sin0= 31-1 m EF 40-62+ 4 3t 3 令t=1-2,则2=1-t,t∈[0,1]，所以sin8= …(15分) 4t2-2t+ 4- 2+5 t42 因为f0=4-2+5 在t∈[0，]上单调递减，所以当t=1时，sin0≤ 3 2V39 t42 /4-2+ V13 4 则直线EF与平面SAB所成角的正弦值的最大值为2√39 …（17分)》 13 D 19.(17分) （1)设双面线C:分-兰=1，将2,3)代人可得43=1，解得2 216元 22 2 …（2分) 故双曲线C的方程为2-上=1.…（3分) 3 (2)(1)由题意知，直线，为圆C:x2+y=3的两条切线，显然圆0的切线，即PA的斜率存在； 引号卷·A10联盟2024级高二12月学情检测·数学（人教A版）参考答案第5页共6页 A 设切线PA:y=c+m,由于切线PA不平行于C的渐近线，则k≠±√3， 又60到线a的题商d=-月则2m=30K+.…(4分 y=kx+m 联立{ 苦1请卖y--2m--3=0 2km m2+3 由于△>0，设P6,以4)，侧x+6=3尺，本6=-3-花，(6分） 而4=低+m+m）=5与+(5+)+m=3m-3张 3-k2 ，…(8分) 则OP.OA=xx2+4y= 2m-(6k+3到-0，即OA10P,放∠0P=90°.(10分） 3-k2 (2)(i)由(i)同理可得，OB⊥OP,由于A,O,B三点共线，则SAPAB=2 S&POA, 致发A与C份点为D.则0-5.黄w-2Sa=o0P4-54,B分) 而P4=Vx-x2+0-}=√1+)x-x}=1+R.Vx+x2-4xx =V1+k2 2an）2 4m2+3 3-k2 3-k2 又2m2=3k2+3,则PA= /61+162 …（15分) (3-2 当k=0时，PAa=V6，Smn=3, …（16分) 此时直线PA平行于x轴，则A,P的纵坐标绝对值为圆C'的半径， 所以P V6+√6 …（17分) 2 2 故直线PA:)=士6，直线PBx- 2 2 以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分， 引号卷·A10联盟2024级高二12月学情检测·数学（人教A版）参考答案第6页共6页 A』号卷·A10联盟2024级高二12月学情检测 数学（人教A版）试题A 本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。请在答题卡上作答。 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 题目要求的 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 1.已知平面a的一个法向量n=(2,-l,1),若直线I⊥平面a,则直线1的一个方向向量m可以是 9.已知数列{an}的前n项和为Sn,若an=3n-5,则( A.(-4,2,-2) B.1,1,-1) C.(-2-1,1) D.(1,1,1) A.{an}是等差数列 B.{a。+a}不是等差数列 2.若首项为2的数列{o,}满足a1=号+ 22n-,则a,=() C.{2Sn-3n2}是等差数列 S+3n不是等差数列 D. n 4 A.5 D.1 10.已知动点A(x,y)满足x2+y2-4x-4=0,则() A.点A的轨迹长度为4√2π 3.若直线1过点(4,1)且与直线'：2x-y+3=0相互垂直，则原点到直线I的距离为() B.x2+(y-3)2的最小值为21-2√26 A35 B. 3v6 Cy的斜率的最大值为1 D.x-y+3引的最小值为1 C. 6W5 6W6 x+2 5 5 5 11.已知抛物线C:y2=2px(pP>0)的焦点为F(2,0),过点P(-2,0)的直线1与抛物线C交于 4.在三棱柱ABC-ABC中，M,N分别是线段BB,AC上靠近B,A的三等分点，则AA=( M(,片)，N(2,2)两点，其中<y,∠MFN=∠PFN,则() A.3+3B-4C 2 +丽-号衣 31 2 B.点M到y轴的距离为6 C. 3MN+34B-1AC A直线/的斜率为士 2 2 3 -+c 2 D. D.直线MF的倾斜角为30°或150° 5已知椭圆C:x, C△MWF的面积为165 3 -=1(a>b>0)的左、右焦点分别为E,F,焦距为2c,第二象限内的点P在 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 椭圆C上，且PF⊥x轴，若点Q3C,2a)满足PF⊥QF,则椭圆C的离心率为() 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知圆C,:(x-a)2+y2=4(a∈R)与圆C2:(x-2)2+(y-4)2=9有且仅有2条公切线，则实 c25 峪 D. 数a的取值范围为 2 5 5 13.在正方体ABCD-ABCD中，AB=3,若点M为线段AB上靠近4的三等分点，则点C到 6.已知数列{a,}满足a=5,且a,+a=6n+5,则a0=( 平面AC,M的距离为 A.60 B.62 C.64 D.66 乙已知双曲线C6号1的左，右焦点分别为，乃，PP明+8，且直线x=0为AP听乃 14.已知数列{a,}的通项公式为a,=”+n+2-2,若数列{a}中的最小项为3则实数1的最 n 内切圆的一条切线，则△PFE内切圆的半径为(） 小值为 A.2 B.3 C.4 D.5 8.已知圆C:x2+y2-6x+4y=0,过点P(m,8-m)作圆C的两条切线，切点分别为M,N,则下 列点一定在直线MN上的是(） A.(-2,10 B.(2,-1) (停》 ∥号卷·A10暖盟2024领高二12月学情检测·数学（人教A版）试题第1页共4页 ∥号表·A10联盟2024级高二12明学情检测·数学（人教A版）试题第2页共4页 9 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(17分) 15.(13分) 已知五边形S-ABCD是由等边三角形SAD与矩形ABCD拼接而成，如图1所示，其中 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,其中4+a+6=0,且S。=-10. BC=2CD:现沿AD进行翻折，使得平面SAD⊥平面ABCD,得到的图形如图2所示，其 (1)求数列{a}的通项公式； 中点O为线段AD的中点，E在线段SB上，且OE∥平面SCD. (2)若S。+45≤0，求满足条件的n的值构成的集合. (1)求证：E为线段SB的中点： (2)已知点F在线段SD上（包含端点位置），求直线EF与平面SAB所成角的正弦值的最大值 16.(15分) 已知椭圆C:￥，上」 方+了=1，点PM,N在椭圆C上，且M,N关于原点对称 (1)若直线PM,PN的斜率存在，求直线PM,PN的斜率之积； (2)若直线PM的方程为y=2x-3,求PM的值. 19.(17分) 已知双曲线C与双曲线。_上=1有相同的新近线，且双曲线C过点2,3)。 26 (1)求双曲线C的方程； (2)过双曲线C右支上的一点P作直线4,2，其中4，l,均与曲线C':2x2+2y2-3=0有且只有一 17.(15分) 个交点，且双曲线C的左支与直线I交于点A,右支与直线I,交于点B. 已知圆C,过点(L4),(3,2),(-1,2),圆C,与圆C交于A,B两点，且点C,在直线y=-x上，直 (i)求证：∠AOP=90°；(O为坐标原点) 线AB的方程为y=一2十立 _x5 (i)求SB的最小值，并求出此时PA,PB的方程. (1)求圆C、C,的方程； (2)过点F(O,1)作相互垂直的两条直线，与圆C,分别交于M、N,P、Q,求四边形MPNQ面 积S的取值范围. 号卷·A10联盟2024领高二12月学情检测·数学（人教A版）试题第3页共4页 /号卷·A10联盟2024级高二12明学情检测·数学（人教A版）试题第4页共4页