专题4.4 利用三角形全等测距离（4大知识点+8大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2025-2026学年北师大版七年级数学下学期

本讲义聚焦“利用三角形全等测距离”核心知识点，基于全等三角形对应边相等原理，通过转化思想将不可直接测量距离转化为可测距离。系统梳理延长倍长法等四种构造方法、四步解题流程及SAS/ASA/AAS判定定理，构建从原理到应用的完整学习支架。 资料以分层题型设计与真实情境问题为特色，通过测池塘距离、工件内径等实例培养数学眼光，构造全等过程提升推理能力（数学思维），规范解题步骤强化模型意识（数学语言）。课中助力分层教学，课后易错点分析与巩固练习帮助学生查漏补缺。

专题4.4 利用三角形全等测距离 知识点1：核心原理与思想 1.核心依据：全等三角形的对应边相等。 2.核心思想：转化思想——把不可直接测量的距离，转化为可直接测量的距离。 3.关键步骤：构造全等三角形→证明全等→利用对应边相等求距离。 知识点2：构造全等的常用方法 构造方法 适用场景 判定依据 典型模型 延长倍长法 池塘、山谷两端 SAS 中点+对顶角 垂直构造法 河宽、楼高等垂直场景 ASA/AAS 双直角+共线 中点卡钳法 工件内径、内槽 SAS 中点交叉+对顶角 角平分线法 对称、等角场景 ASA/AAS 角平分线+直角 知识点3：标准解题四步法 1.建模：把实际问题抽象为几何图形，标出已知边、角。 2.构造：选取辅助点，画出辅助线，构造两个三角形。 3.证明：用SAS/ASA/AAS证明三角形全等。 4.求值：由全等得对应边相等，计算待测距离。 知识点4：常用判定定理速记 1. SAS：两边及其夹角相等（最常用）。 2. ASA：两角及其夹边相等。 3. AAS：两角及其中一角对边相等。 【基础必考题型】 【题型1】中点卡钳法测内径/内槽 1.核心知识点 中点定义；对顶角相等；SAS判定全等。 2.解题方法技巧 抓住“中点+交叉+对顶角”，直接用SAS证全等。 【例题1】.（25-26八年级上·广东江门·月考）化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒，的中点O固定，测得C，D之间的距离即内径的长度．此方案依据的数学定理是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴在和中， ， ∴， ∴； ∴此方案依据的数学定理是边角边； 故选A． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·广西钦州·期中）如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），若测得厘米，则这个工件的内槽宽为______ 【答案】厘米 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由“”可证，进而由全等三角形的性质得到厘米，即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设，的中点为点， 在和中， ， ∴， ∴厘米， ∴这个工件的内槽宽为厘米， 故答案为：厘米． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，小华将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为，即，．测得，两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上、两点之间的距离．图中与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由即可判定求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：在与， ∵， ∴， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：． 【变式题1-3】.（23-24七年级下·江苏泰州·期末）【实践与探究】测量距离 活动1：用“卡钳”工具测定工件内槽的宽 如图1，卡钳是由两根钢条组成，点为，的中点．如果，则 cm．其原理是运用了三角形全等判定方法中的 ．（填“”或“”或“”或“”） 活动2：测量隔着池塘的两点，之间的距离 如图2，小聪设计的测量隔着池塘的两点，之间距离的具体操作如下： （1）将标杆垂直立在池塘岸边的点处，再将激光笔固定在标杆的顶部处； （2）调整激光笔与标杆的夹角，使其射出的光线正好落在池塘对岸的点处； （3）保持标杆与激光笔的夹角不变，转动标杆，这时激光笔射出的光线落在同岸的点处； （4）测量 的长即为，之间的距离．请你用学过的知识说明通过以上步骤能测出，之间距离的道理． 【答案】活动1：8；；活动2： 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、熟知全等三角形的判定与性质是解题的关键. 活动1：由题意可得，，，再根据对顶角相等可得，即可利用“”证明，可得，即可求解； 活动2：由题意得，，，，利用“”证明，可得，即可求解． 【详解】解：活动1：∵O为、的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：8，； 活动2：测量的长即为A、B之间距离，证明过程如下： 由题意得，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即测量的长即为A、B之间距离， 故答案为：． 【题型2】延长倍长法测池塘两端距离 1.核心知识点 延长线段造等长；对顶角相等；SAS判定。 2.解题方法技巧 延长加倍造全等，对顶角是天然等角。 【例题2】.（25-26八年级上·广西北海·期末）综合与实践： 【问题情境】如图1所示，池塘的两端有，两点，现需要测量该池塘的两端，之间的距离，需要如何进行呢？ 【提出方案】如图2所示，先在平地上取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后量出的距离就是的距离． 【问题解决】请你判断此方案是否可行，并说明理由． 【答案】此方案可行，详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用．根据证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】解：此方案可行，理由如下： 在和中， ， 所以， 所以， 所以的长即是的距离． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，为了测量池塘两端、的距离，小红在地面上选择了点、、，使，，且点、、和点、、分别都在一条直线上，只要量出的长，就可以知道、之间的距离．那么判定的理由是__________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的应用；根据题目给出的条件，要观察图中有哪些相等的边和角，然后判断所选方法．已知两边及其夹角相等，利用可证两个三角形全等． 【详解】解：， 所以理由是． 故答案为：． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，小红为了测量池塘两边A，B两点间的距离，做了如下的操作：①取一个能够直接到达A，B两点的点D；②连接并延长到E，使；连接并延长到C，使；③连接，那么，要知道的长度，应该测量线段___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 即要知道的长度，应该测量线段． 故答案为： 【变式题2-3】.（25-26八年级上·云南曲靖·期中）根据以下材料，完成探究任务． 背景 为测量某池塘A，B之间的距离，小颖设计出如下方案 测量示意图 测量步骤 如图，在平地上取、两点，连接、交于点O，测得，，测量的周长为，即可计算的距离． 问题解决 任务一：该方案是否可行？若可行，直接回答；若不可行，说明原因； 任务二：若方案可行，请写出计算距离的过程；若不可行，请修改方案并说明理由． 【答案】任务一：可行；任务二：见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的实际应用，熟练掌握全等三角形判定方法是解本题的关键． 任务一：根据已知条件分析即得该方案可行； 任务二：根据，，得，可得，即得小颖同学的方案可行． 【详解】任务一：解：∵该方案可以证明， ∴． 故答案为：可行． 任务二：解：理由如下， ∵，，且， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故该方案可行． 【题型3】垂直法测河宽（两岸距离） 1.核心知识点 垂直得直角；三点共线得对顶角；ASA/AAS。 2.解题方法技巧 见垂直找直角，共线找对顶角，快速凑ASA。 【例题3】.（25-26八年级上·河北邯郸·月考）小轩用如图所示的方法测量小河的宽度．他利用适当的工具，使，，点、、在同一直线上，就能保证，从而可通过测量的长度得知小河的宽度．在这个问题中，可作为证明的依据的是（   ） A．SAS或SSS B．AAS或HL C．ASA或AAS D．ASA或SAS 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定．根据全等三角形的判定方法求解即可． 【详解】解：根据题意可知． ∵， ∴，． 方法一： 在和中 ， ∴． 方法二： 在和中 ， ∴． 故选：C． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·广东阳江·期中）如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的： ①在河流的一条岸边点B处，选对岸正对的一棵树A； ②沿河岸直走有一棵树C，继续前行到达点D处； ③从点D处沿河岸垂直的方向行走，当到达树A正好被树C遮挡住的点E处时停止行走； ④测得的长为． 则河的宽度为________m，全等依据是________（填简写符号即可）． 【答案】 5 【分析】题目主要考查全等三角形的应用，熟练应用全等三角形的判定定理和性质是解题关键． 将题目中的实际问题转化为数学问题，利用全等三角形的判定方法证得两个三角形全等即可得出答案． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∴河的宽度为， 故答案为：5，． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·湖南·期末）如图所示，小刚站在河边的点处，在河的对面(小刚的正北方向)的处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了步到达一棵树处，接着再向前走了步到达处，然后他左转直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他一共走了步．如果小刚一步大约，估计小刚在点处时他与电线塔的距离为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意先求得，证明)，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：由题意可得，步， 步， ∵一步大约， ， 在与中， ，，， )， ，即小刚在点处时他与电线塔的距离为． 故选：A． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·广东潮州·期末）如图，学校位于河的南岸点A处，在河的对岸点A的正北方向点B处有一建筑物，李老师带领同学们测量学校点A与建筑物点B之间的距离． 测量学校点A与建筑物点B之间的距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图         设计方案及测量数据 如图1，在点A的正西方取点C，延长至点D，使，在点D的正南方取点E，使B，C，E三点共线，连接． 如图2，在的延长线上取点C，在点C 的正东方取点D，使，连接，在延长线上取点E，连接，使得，测得米． 任务一 （1）在第一小组的方案中，测量出线段的长度，就可以得到点A与点B的距离，请说明理由． 任务二 （2）根据第二小组的方案和测量数据，求点A与点B的距离． 【答案】（1）见解析；（2）50米 【分析】本题考查了全等的性质和（）综合（或者），对顶角相等等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用证明，再根据全等三角形的性质可得； （2）利用证明，再根据全等三角形的性质可得，然后根据线段差说明即可． 【详解】（1）解：理由如下：由作图知，（对顶角）， ∵在点A的正西方取点C，延长至点D，使，在点D的正南方取点E， ∴． ∴， ∴． （2）解：在和中， ∵，，（对顶角）， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴米． 【培优高频题型】 【题型4】靠墙垂直模型测高度 1.核心知识点 垂直构造直角；等角/等线段转化；AAS/ASA判定三角形全等 2.解题方法技巧 抓住“墙与地面垂直”得直角，利用杆长不变或角相等证全等，直接代换高度 【例题4】.（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图所示，乐乐用手电筒进行物理光学实验．地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的光线从点G出发，在平面镜上的B处反射后，恰好经过木板的边缘点F、落在墙上的点E处、点F到地面的高度米，、到平面镜B的距离相等．图中点、、、在同一条直线上．则灯泡到地面的高度为______米． 【答案】1.5 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据平面镜反射原理得到，可证，得到，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得法线垂直镜面，且， ， ，， （米） 故答案为： ． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·甘肃天水·期末）某八年级数学兴趣小组为测量校内攀岩墙的高度，设计了如下方案：如图，首先找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合，此时直杆与地面的夹角为（即），然后使直杆沿墙面竖直缓慢下滑至位置（即），此时直杆与地面的夹角为（即），最后测得，，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求攀岩墙的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可证明，再证明，即可得到． 【详解】解：，， ， 在和中， ． ， 答：攀岩墙的高度为． 【变式题4-2】.（24-25七年级下·全国·周测）如图，小明站在点处测甲、乙两楼楼顶上的点和点．已知三点在同一条直线上，点相距，点相距，乙楼的高为，则甲楼的高为_______． 【答案】/30米 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据题意证明，得到后即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意可得，，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·河南南阳·期中）小刚想知道一堵墙上点到地面的高度，已知，但是测量的皮尺无法到达点，无法直接测量，于是小刚想到了刚刚学过的全等三角形的知识，设计了如下的两种方案进行测量： 方案一： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记下直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，测得时停止，标记此时直杆的底端点； 第三步：测量线段①_______的长度，即为点到地面的高度． 方案二： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记下的长度； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，测得时停止，标记此时直杆的底端点为； 第三步：测量线段②_______的长度，即为点到地面的高度． (1)请补全方案中的空白①_____；②____； (2)请分别说明小刚这两种方案测量的理由； (3)你认为这两种方案哪个更容易操作、测量的结果更准确呢？_____（填“方案一”或“方案二”不需说明理由）． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3)方案二 【分析】本题考查了全等三角形的应用，读懂题意，找出全等三角形是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质即可得到答案． （2）证明和全等，即可完成证明． （3）长度测量比角度测量更容易，故方案二更容易操作、测量的结果更准确． 【详解】（1）解：①；②． （2）解：理由如下， 方案一，在和中， ， ∴， ∴． 方案二，在和中， ， ∴， ∴． （3）解：方案二更容易操作、测量的结果更准确． 【题型5】“帽檐法/视线法”无工具测距 1.核心知识点 视角不变；身高不变；AAS全等。 2.解题方法技巧 抓住“身高=身高，直角=直角，视角=视角”。 【例题5】.（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，甲、乙两位同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点于点，图中所有的点都在同一平面内，当时，根据全等三角形的知识可得到，这里判定的依据可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目中的条件，可以写出判断的依据，即可解答．解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法． 【详解】解：∵ ， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C． 【变式题5-1】.（24-25七年级上·广西南宁·月考）如图，在一次拓展活动中，小明为完成测河宽的任务，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，设计出以下方案：他先面向河对岸的建筑物方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在河对岸的建筑物底部点B处；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在河岸的点D处（即），最后他用步测的办法量出自己与点D的距离，从而推算出河宽的长，这里判定的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴； 故选C． 【变式题5-2】.（2025·广东茂名·二模）综合与实践 【项目主题】池塘不可达距离的测量方案设计 【项目背景】 在数学项目式学习活动中，需测量池塘两侧A、B两点间的距离（无法直接测量）．如1图．现提供皮尺（量程）、测角仪等工具，要求设计几何测量方案． 【实践操作】 方案一（帽檐观测法） 1、如题2图，在点附近选取观测点，使、、三点共线； 2、调整帽子帽檐D，使视线通过帽檐上沿恰好对准点；（忽略眼睛与帽檐距离） 3、保持头部姿势不变，原地旋转，此时视线通过帽檐上沿落在点处； 4、用皮尺测得． 【问题解决】 (1)根据方案一，求、两点间的距离； (2)设计一个与方案一不同的测量方案，在3图中绘制几何图形，标明需测量的数据（如角度，线段长度等），并推导的表达式． 【答案】(1) (2)方案与图见解析， 【分析】本题考查的是全等三角形的应用的应用； （1）如图，连接．证明，即可求解． （2）（方法不唯一）方案二：1、如图，取一个可以直接到达A点和B点的点C；2、连接并延长到，使；连接并延长到，使；3、连接并测量出它的长度的长度就是间的距离．证明，即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接． 由原地旋转可得， 又， ， ； （已知）； ； 故：A、B两点间的距离为． （2）解：（方法不唯一）方案： 1、如图，取一个可以直接到达A点和B点的点C； 2、连接并延长到，使；连接并延长到，使； 3、连接并测量出它的长度的长度就是间的距离． 证明：，，（对顶角相等）， ， ． 【变式题5-3】.（23-24七年级下·广东深圳·期末）利用三角形全等测距离． 任务1 目测出操场上与你距离相等的两个点 方案 第一步：在C点处面向B点的方向站好，调整帽子，使视线从A点通过帽檐正好落在B点； 第二步：转过一个角度，保持刚才的姿态，视线从D点通过帽檐正好落在F点． 示意图    原理 ∵，，∴______， 又∵，，∴（______），∴______． 任务2 测量输电线路长度 任务简介：如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A、B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A、B间的距离，请你设计一个方案，测出A、B间的距离，并作出示意图． 方案 第一步：______； 第二步：______； （可适当添加步骤）…… 示意图（请按方案补充完整）    【答案】任务一：见解析；任务二：设计方案；第一步：在平地上取一个可以到达的点；第二步：连接，并延长，使，，连接；证明见解析； 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，熟练的利用全等三角形的性质解决问题是关键； 任务一：根据题干信息的提示，逐步完善推理过程与推理依据即可； 任务二：根据全等三角形的性质设计方案；第一步：在平地上取一个可以到达的点； 第二步：连接，并延长，使，，连接；再画图，最后证明即可； 【详解】任务一： 解：∵，， ∴， 又∵，， ∴（）， ∴． 任务二： 方案： 第一步：在平地上取一个可以到达的点； 第二步：连接，并延长，使，，连接； 如图，则的长度即为的长度；    理由：∵，，， ∴， ∴． 【题型6】秋千/滑梯等动态场景测距 1.核心知识点 旋转不变性；垂直距离转化；SAS/ASA。 2.解题方法技巧 动态转静态，找不变的边与角。 【例题6】.（25-26八年级上·浙江湖州·月考）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在距地面高的C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，，求妈妈在B处接住小丽时，小丽距离地面的高度．      【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，可证明得到，据此求出的长，进而求出点D与地面的距离即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵爸爸在距地面高的C处接住她， ∴点E到地面的距离为， ∴点D到地面的距离为， 答：妈妈在B处接住小丽时，小丽距离地面的高度为． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·江苏苏州·月考）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离，分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键． 利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案． 【详解】解：， ， ，， ，， ，， 又， ， ，， ． 故选：C． 【变式题6-2】.（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯的高度相同（），都为米，他想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案： 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为米的米尺 测量步骤 测量出线段FD的长度 测量出线段AB的长度 测量数据 米，米 请你根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由． 【答案】；见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据测量的数据可知，，根据可证，根据全等三角形对应边相等可得：，所以两个滑梯的长度相等． 【详解】解：， 理由如下： 由题意可知，， 米，， 在和中，，（）， ， 和的长相等． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·陕西汉中·期末）根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 如图，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．    素材2 如图，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，．    问题解决 任务1 与全等吗？请说明理由． 任务2 当爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 【答案】任务1：见解析；任务2： 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得是解题的关键． 任务1：由垂直的定义得到，由余角的性质推出，即可证明． 任务2：由全等三角形的性质推出，求出，即可求出的长． 【详解】解：任务1：与全等，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 任务2：如图：∵， ∴， ∴， ∴． ∴小丽距离地面的高度为． 【压轴素养题型】 【题型7】方案判断与补全（说理题） 1.核心知识点 全等判定条件辨析；方案合理性说明。 2.解题方法技巧 先找全等条件，缺啥补啥，错啥改啥。 【例题7】.（2024·广东河源·一模）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案：下列说法正确的是（   ） 甲方案 乙方案       如图1，先在平地取一个可直接到达的点，再连接，并分别延长至至，使，，最后测出的长即为的距离． 如图2，过点作，再由点观测．在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为的距离． A．甲的方案可行，乙的方案不可行 B．甲的方案不可行，乙的方案可行 C．甲、乙的方案均可行 D．甲、乙的方案均不可行 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质． 甲方案利用“”方法，证明，测出的长即为的距离；乙方案利用“”方法，证明，测出的长即为的距离． 【详解】解：甲方案：在和中， ， ， ； 乙方案：∵， ， 在和中， ， ， ， ∴甲、乙的方案均可行． 故选：C． 【变式题7-1】.（24-25八年级上·河北保定·期中）为了测量水池两边A，B间的距离，两名同学提供了如下间接测量方案．对于方案1，2，说法正确的是（    ） 方案1 方案 2 ①过点 A 作射线． ②过点 B 作于点 D． ③在的延长线上截取，使得．④测量的长即可． ①在水池外取的垂线上的点C，D，使得． ②再作的垂线，使点E，A，C在同一条直线上． ③测量的长即可． A．方案1可行、方案2不可行 B．方案1不可行、方案2可行 C．方案1，2都可行 D．方案1，2都不可行 【答案】C 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质．方案1：证明，可得，可得方案1可行；证明，可得，可得方案2可行，即可． 【详解】解：方案1：∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 即水池两边A，B间的距离为的长； 方案2：根据题意得：， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 即水池两边A，B间的距离为的长； ∴方案1，2都可行． 故选：C 【变式题7-2】.（25-26八年级上·安徽池州·期末）某中学八年级（5）班的学生到野外进行数学活动，为了测量一池塘两端A、B之间的距离，同学们设计了如下两种方案： 方案1：如图（1），先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使，最后量出的距离就是的长． 方案2：如图（2），过点B作的垂线，在上取C、D两点，使，接着过D作的垂线，交的延长线于E，则测出的长即为间的距离． 问： (1)方案1是否可行？并说明理由； (2)方案2是否可行？并说明理由； (3)小明说：“在方案2中，并不一定需要，将‘’换成了_________也可以．”你认为小明的说法正确吗？如果正确的话，请你把小明所说的条件补上，并说明理由． 【答案】(1)可行，理由见解析 (2)可行，理由见解析 (3)，正确，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据证明即可得出； （2）根据证明即可得出； （3）根据平行线的性质可得，然后根据证明即可得出． 【详解】（1）解：方案1可行． 理由如下： 在和中， ， ∴， ∴， 即量出的距离就是的长； （2）解：方案2可行． 理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即量出的距离就是的长． （3）解：，小明的说法正确． 理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即量出的距离就是的长． 【变式题7-3】．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）某数学兴趣小组在校外开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量池塘两岸相对的两点A、B的距离 方案 方案一 方案二 方案 示意图 实施过程 1．过池塘外点B作，在上取两点C，D，使； 2．过点D作，使E与A，C在一条直线上； 3．测量出的长； 1．池塘外取点C，连接，并延长至点D、E，使； 2．连接； 3．测量出的长； 测量数据 ； ； 备注 1．图上所有点均在同一平面内；2．点A，B离池塘边有一定距离； 请你从以上两个方案中任选一个方案，求出A、B间的距离． 【答案】A、B间的距离为 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键．根据全等三角形的判定定理，证，即可求解． 【详解】解：方案一：，， ， 根据图形可知， ， ， ； 方案二：根据图形可知， ， ， ． 答：A、B间的距离为． 【题型8】K字（一线三等角）模型测距 1.核心知识点 一线三等角；等角的余角相等；AAS/ASA。 2.解题方法技巧 见“三垂直/三等角”，直接用角互余证全等。 【例题8】．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，图书馆的左侧有一栋高度为12米的居民房，点位于图书馆与居民房之间，且D、C、E三点共线．测得点到点的距离为28米，点到点的距离为12米，且，则图书馆的高度为（    ） A．12米 B．16米 C．28米 D．40米 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：米，米，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴米， 故选：C． 【变式8-1】．（25-26八年级上·山东日照·月考）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）50；（3） 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的对应边相等得到； （2）根据全等三角形的性质得到，，，，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案； （3）过点作于，过点作交的延长线于，推导出， ，即可证明，得到，再根据全等三角形的性质推导出进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】证明：（1）证明：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）中模型可知，，， ∴，，，， 则； （3）解：过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）中模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题8-2】．（25-26八年级上·湖北随州·期末）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2） (或)；见解析；（3）60 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答； （2）过点D作于点T，连接．证明，推出，，再证明，即可得结论； （3）作辅助线，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】（1）证明：∵于D，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： 如图，过点D作于点T，连接． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴的面积等于60． 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）在学习全等三角形后，八年级某数学兴趣小组开展了测量学校五星红旗旗杆顶端离地面高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量五星红旗旗杆高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 方案 示意图 （假设：地面水平，垂直于地面，点B，C，D在水平地面上） 测量步骤 （1）在距旗杆底部 B 点水平地面上，选定一点 C； （2）测量旗杆顶点 A 视线与水平地面所成的角的度数； （3）测量的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于水平地面（B，C，D 三点共线）； （5）测量标杆顶部 E 视线与水平地面所成的角，再测量的长度． 测量数据 请你根据该数学兴趣小组测量方案及数据，计算旗杆高度的值． 【答案】15米 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明即可得出结果，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：由题意知， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：旗杆高度为15米． 易错点 1、混淆判定定理：把SSA当成SAS，把非夹边当成ASA。 2、忽略隐含条件：未用对顶角、公共边、直角等免费条件。 3、实际情境抽象失败：不会画示意图，找不到对应边/角。 4、书写不规范：未写“在△…与△…中”，缺判定依据。 5、单位不统一：步、厘米、米混用，计算出错。 重点 1、利用全等测距离的核心思路：构造全等→证全等→转化距离。 2、三种核心构造法：延长倍长法、垂直法、中点卡钳法。 3、三大判定定理：SAS、ASA、AAS的选择与应用。 4、规范说理过程：完整写出建模、证明、结论三步。 难点 1、复杂情境抽象为几何模型，快速画出示意图。 2、K字模型、动态场景中寻找全等条件。 3、多方案设计与最优方案说理，体现逻辑严谨性。 4、无工具/少工具测量方案的创新构造。 【对应练习题】 一、单选题 1．为了测量水池两边，间的距离，两名同学提供了如下间接测量方案．对于方案1，2，说法正确的是（   ） 方案1 方案2       ①过点作射线． ②过点作于点． ③在的延长线上截取，使得． ④测量的长即可． ①在水池外取的垂线上的点，，使得． ②再作的垂线，使点，，在同一条直线上． ③测量的长即可． A．方案1可行、方案2不可行 B．方案1不可行、方案2可行 C．方案1、2都可行 D．方案1、2都不可行 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的应用，方案1利用得到，得到；方案2利用得到，得到，即可． 【详解】解：方案1：由题意，可知：，， 又∵， ∴， ∴； 方案2：由题意，可知：，， 又∵， ∴， ∴； 故两种方案均可行； 故选C． 2．综合实践课上白老师带领同学们利用数学知识测量距离，向阳中学中刚好有一个未解之谜——实验楼的两侧有两堵平行的墙，两墙与之间的距离因为有实验楼的缘故不能直接测量，同学们想到了许多方法，淇淇的想法如下： 测量方式及说明：点，，在一条南北方向的直线上，从点出发走到点处插上标志旗帜，再沿着延长线走同样的距离到达点，从点出发向南走，当所在位置与点及点在一条直线上时将此处标记为点． 图示说明： 若想求解之间的距离，需测量的线段为（   ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据题意可得，则，求之间的距离，则需测量，据此即可求解． 【详解】解：根据题意可得， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴需测量的线段为和， 故选：C． 3．如图是嘉淇测量池塘宽度设计的方案，下列说法不正确的是（   ） ①先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B； ②连接并延长到点D，使★； ③连接并延长到点E，使♠； ④连接，量出▲的长即为的距离． A．★代表 B．♠代表 C．▲代表 D．该方案的依据是 【答案】D 【分析】本考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据全等三角形的判定即可求解． 【详解】解：①先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B； ②连接并延长到点D，使，A选项正确； ③连接并延长到点E，使，B选项正确； ④连接，量出的长即为的距离，C选项正确； 该方案的依据是，D选项错误， 故选：D． 二、填空题 4．如图，小颖要测量池塘A，B两端的距离，她设计了一个测量方案：先在平地上取C，D两点，与相交于点O，且测得，，的周长为，则A，B两端的距离为______ 【答案】40 【分析】证明，得到，由的周长为，可得，即，计算求出的长，进而可得结果． 本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 【详解】解：，， ， 即， 在和中， ， ， ， 的周长为， ， 即 故答案为： 5．如图，是一个瓶子的切面图，测量得到瓶子的外径的长度是，为了得到瓶子的壁厚，小庆把两根相同长度的木条和的中点O固定在一起，做了一个简单的测量工具，如图，得到的长为，则瓶子的壁厚a的值为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明得，再求出的值即可． 【详解】解：是木条和的中点 又 ， ， ， 故答案为：3． 6．如图，于点，，射线于点，一动点从点出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持．已知点经过时，与全等． （1）当点在点左侧时，的值为______； （2）当点在点右侧时，的值为______． 【答案】 3 7 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意确定点的位置． （1）根据题意画出图形，然后根据全等三角形的性质求解即可； （2）根据题意画出图形，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：当点在点左侧时，即点在线段上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 故答案为：3； （2）当点在延长线上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 故答案为：． 三、解答题 7．为测量公园里古塔底座，两点间的距离（其中，两点均在地面上），数学兴趣小组利用本学期所学的数学知识，分别设计出了如下两种方案： 方案一：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可得线段的长． 方案二：如图2，先确定直线，过点作，在点处用测角仪确定，射线交直线于点，最后测量的长，即可得线段的长．解答下列问题： (1)请用所学知识证明以上两种方案的合理性； (2)如果让你参与测量，你会选择哪一种方案？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)我会选择方案一，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，构造全等三角形是解题的关键． （1）方案一：通过构造两边及其夹角对应相等的两个三角形证明，从而得到；方案二：通过构造两角及其夹边对应相等的两个三角形证明，从而得到； （2）对比两种方案的工具与操作难度，选择工具更简单、操作更方便的方案一即可． 【详解】（1）证明：方案一： 在与中， ， ∴， ∴； 方案二： ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2） 解：我会选择方案一，理由如下：方案一仅需使用刻度尺测量长度，工具简单、操作便捷；而方案二除刻度尺外，还需使用测角仪测量角度，工具和操作相对复杂． 8．为测量某一水池两端，之间的距离，小涵，小宇两位同学分别设计出如下两种方案： 课题 测量水池两端、之间的距离 测量示意图 步骤说明 在平地上取一点，分别连接，并延长到，两点，使得，，测量的距离即可． 在平地上取一点，连接，，在的延长线上取一点，使得，测量的距离即可． 数学老师看过后指出其中一种测量方案不可行，请你回答下面的问题： (1)以上两位同学方案可行的是________的方案； (2)请你选择可行的方案，并说明它可行的理由． 【答案】(1)小涵 (2)见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的实际应用，熟练掌握全等三角形判定方法是解本题的关键． （1）根据已知条件分析即可得可行方案； （2）根据全等三角形的判定与性质可得小涵同学的方案可行． 【详解】（1）解：∵小涵的方案可以证明，即，而小宇的方案无法证明，也就不能证明， ∴小涵同学方案可行． （2）解：小涵同学方案可行，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴， 故小涵同学方案可行． 9．兰州黄河风情线是兰州的城市名片，小明站在中山桥附近的凉亭A点处，正对他的黄河中点停有一艘羊皮筏子（与河岸垂直）．他想测量凉亭与羊皮筏子之间的距离，制定了如下方案： 课题 测兰州黄河风情线凉亭与羊皮筏子的距离 测量工具 皮尺等． 测量方案示意图 测量步骤 ①小明沿黄河风情线（河岸）走到黄河母亲雕像处，记为点； ②从点沿河岸继续向前走与等长的距离，到达点； ③在点向左转（朝向远离河岸方向）直行，直到观察到黄河母亲雕像与羊皮筏子在同一直线上时，停下记作点． 测量数据 米，米，米 (1)凉亭A与羊皮筏子之间的距离是___________米； (2)请说明小明做法的正确性． 【答案】(1)20 (2)见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质、全等三角形的应用等知识与方法，解题的关键是从实际问题中抽象出全等三角形的图形． （1）由补充完整的图形可知，，且与是对应边，可知米； （2）由题意可知米，，与是对顶角，由“”可判定，则米，说明小明的方案是正确的． 【详解】（1）解：由得米， 故答案为：20 （2）解：由题意可知，， 又 ∴， ∴米， 即测得的长就是凉亭与游船之间的距离． 因此，小明的方案是正确的． 10．情境 如图1，为了测量池塘两端，之间的距离，在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接，，再在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接，，使平分，(点在同一平面内)，此时测量出线段的长便是池塘两端，之间的距离． 论证 （1）请你证明“情境”中的结论正确； 探究   （2）请你再设计一种测量池塘两端，之间距离的方案，并说明理由(要求写出方案并在图2中画出图形，可以借助刻度尺或圆规)． 【答案】（1）证明见解析（2）见解析 【分析】本题主要考查了作图—应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，全等三角形的应作，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用证明，即可解答； （2）在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，此时测量出线段的长就是池塘两端之间的距离， 利用证明即可． 【详解】（1）证明：平分， ， 在和中 ； （2）解：如图，在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，此时测量出线段的长就是池塘两端之间的距离， 理由如下： ，，， ， ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 利用三角形全等测距离 知识点1：核心原理与思想 1.核心依据：全等三角形的对应边相等。 2.核心思想：转化思想——把不可直接测量的距离，转化为可直接测量的距离。 3.关键步骤：构造全等三角形→证明全等→利用对应边相等求距离。 知识点2：构造全等的常用方法 构造方法 适用场景 判定依据 典型模型 延长倍长法 池塘、山谷两端 SAS 中点+对顶角 垂直构造法 河宽、楼高等垂直场景 ASA/AAS 双直角+共线 中点卡钳法 工件内径、内槽 SAS 中点交叉+对顶角 角平分线法 对称、等角场景 ASA/AAS 角平分线+直角 知识点3：标准解题四步法 1.建模：把实际问题抽象为几何图形，标出已知边、角。 2.构造：选取辅助点，画出辅助线，构造两个三角形。 3.证明：用SAS/ASA/AAS证明三角形全等。 4.求值：由全等得对应边相等，计算待测距离。 知识点4：常用判定定理速记 1. SAS：两边及其夹角相等（最常用）。 2. ASA：两角及其夹边相等。 3. AAS：两角及其中一角对边相等。 【基础必考题型】 【题型1】中点卡钳法测内径/内槽 1.核心知识点 中点定义；对顶角相等；SAS判定全等。 2.解题方法技巧 抓住“中点+交叉+对顶角”，直接用SAS证全等。 【例题1】.（25-26八年级上·广东江门·月考）化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒，的中点O固定，测得C，D之间的距离即内径的长度．此方案依据的数学定理是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【变式题1-1】.（25-26八年级上·广西钦州·期中）如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），若测得厘米，则这个工件的内槽宽为______ 【变式题1-2】.（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，小华将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为，即，．测得，两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上、两点之间的距离．图中与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（23-24七年级下·江苏泰州·期末）【实践与探究】测量距离 活动1：用“卡钳”工具测定工件内槽的宽 如图1，卡钳是由两根钢条组成，点为，的中点．如果，则 cm．其原理是运用了三角形全等判定方法中的 ．（填“”或“”或“”或“”） 活动2：测量隔着池塘的两点，之间的距离 如图2，小聪设计的测量隔着池塘的两点，之间距离的具体操作如下： （1）将标杆垂直立在池塘岸边的点处，再将激光笔固定在标杆的顶部处； （2）调整激光笔与标杆的夹角，使其射出的光线正好落在池塘对岸的点处； （3）保持标杆与激光笔的夹角不变，转动标杆，这时激光笔射出的光线落在同岸的点处； （4）测量 的长即为，之间的距离．请你用学过的知识说明通过以上步骤能测出，之间距离的道理． 【题型2】延长倍长法测池塘两端距离 1.核心知识点 延长线段造等长；对顶角相等；SAS判定。 2.解题方法技巧 延长加倍造全等，对顶角是天然等角。 【例题2】.（25-26八年级上·广西北海·期末）综合与实践： 【问题情境】如图1所示，池塘的两端有，两点，现需要测量该池塘的两端，之间的距离，需要如何进行呢？ 【提出方案】如图2所示，先在平地上取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后量出的距离就是的距离． 【问题解决】请你判断此方案是否可行，并说明理由． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，为了测量池塘两端、的距离，小红在地面上选择了点、、，使，，且点、、和点、、分别都在一条直线上，只要量出的长，就可以知道、之间的距离．那么判定的理由是__________． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，小红为了测量池塘两边A，B两点间的距离，做了如下的操作：①取一个能够直接到达A，B两点的点D；②连接并延长到E，使；连接并延长到C，使；③连接，那么，要知道的长度，应该测量线段___________． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·云南曲靖·期中）根据以下材料，完成探究任务． 背景 为测量某池塘A，B之间的距离，小颖设计出如下方案 测量示意图 测量步骤 如图，在平地上取、两点，连接、交于点O，测得，，测量的周长为，即可计算的距离． 问题解决 任务一：该方案是否可行？若可行，直接回答；若不可行，说明原因； 任务二：若方案可行，请写出计算距离的过程；若不可行，请修改方案并说明理由． 【题型3】垂直法测河宽（两岸距离） 1.核心知识点 垂直得直角；三点共线得对顶角；ASA/AAS。 2.解题方法技巧 见垂直找直角，共线找对顶角，快速凑ASA。 【例题3】.（25-26八年级上·河北邯郸·月考）小轩用如图所示的方法测量小河的宽度．他利用适当的工具，使，，点、、在同一直线上，就能保证，从而可通过测量的长度得知小河的宽度．在这个问题中，可作为证明的依据的是（   ） A．SAS或SSS B．AAS或HL C．ASA或AAS D．ASA或SAS 【变式题3-1】.（25-26八年级上·广东阳江·期中）如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的： ①在河流的一条岸边点B处，选对岸正对的一棵树A； ②沿河岸直走有一棵树C，继续前行到达点D处； ③从点D处沿河岸垂直的方向行走，当到达树A正好被树C遮挡住的点E处时停止行走； ④测得的长为． 则河的宽度为________m，全等依据是________（填简写符号即可）． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·湖南·期末）如图所示，小刚站在河边的点处，在河的对面(小刚的正北方向)的处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了步到达一棵树处，接着再向前走了步到达处，然后他左转直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他一共走了步．如果小刚一步大约，估计小刚在点处时他与电线塔的距离为(   ) A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·广东潮州·期末）如图，学校位于河的南岸点A处，在河的对岸点A的正北方向点B处有一建筑物，李老师带领同学们测量学校点A与建筑物点B之间的距离． 测量学校点A与建筑物点B之间的距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图         设计方案及测量数据 如图1，在点A的正西方取点C，延长至点D，使，在点D的正南方取点E，使B，C，E三点共线，连接． 如图2，在的延长线上取点C，在点C 的正东方取点D，使，连接，在延长线上取点E，连接，使得，测得米． 任务一 （1）在第一小组的方案中，测量出线段的长度，就可以得到点A与点B的距离，请说明理由． 任务二 （2）根据第二小组的方案和测量数据，求点A与点B的距离． 【培优高频题型】 【题型4】靠墙垂直模型测高度 1.核心知识点 垂直构造直角；等角/等线段转化；AAS/ASA判定三角形全等 2.解题方法技巧 抓住“墙与地面垂直”得直角，利用杆长不变或角相等证全等，直接代换高度 【例题4】.（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图所示，乐乐用手电筒进行物理光学实验．地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的光线从点G出发，在平面镜上的B处反射后，恰好经过木板的边缘点F、落在墙上的点E处、点F到地面的高度米，、到平面镜B的距离相等．图中点、、、在同一条直线上．则灯泡到地面的高度为______米． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·甘肃天水·期末）某八年级数学兴趣小组为测量校内攀岩墙的高度，设计了如下方案：如图，首先找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合，此时直杆与地面的夹角为（即），然后使直杆沿墙面竖直缓慢下滑至位置（即），此时直杆与地面的夹角为（即），最后测得，，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求攀岩墙的高度． 【变式题4-2】.（24-25七年级下·全国·周测）如图，小明站在点处测甲、乙两楼楼顶上的点和点．已知三点在同一条直线上，点相距，点相距，乙楼的高为，则甲楼的高为_______． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·河南南阳·期中）小刚想知道一堵墙上点到地面的高度，已知，但是测量的皮尺无法到达点，无法直接测量，于是小刚想到了刚刚学过的全等三角形的知识，设计了如下的两种方案进行测量： 方案一： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记下直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，测得时停止，标记此时直杆的底端点； 第三步：测量线段①_______的长度，即为点到地面的高度． 方案二： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记下的长度； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，测得时停止，标记此时直杆的底端点为； 第三步：测量线段②_______的长度，即为点到地面的高度． (1)请补全方案中的空白①_____；②____； (2)请分别说明小刚这两种方案测量的理由； (3)你认为这两种方案哪个更容易操作、测量的结果更准确呢？_____（填“方案一”或“方案二”不需说明理由）． 【题型5】“帽檐法/视线法”无工具测距 1.核心知识点 视角不变；身高不变；AAS全等。 2.解题方法技巧 抓住“身高=身高，直角=直角，视角=视角”。 【例题5】.（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，甲、乙两位同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点于点，图中所有的点都在同一平面内，当时，根据全等三角形的知识可得到，这里判定的依据可以是（　　） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（24-25七年级上·广西南宁·月考）如图，在一次拓展活动中，小明为完成测河宽的任务，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，设计出以下方案：他先面向河对岸的建筑物方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在河对岸的建筑物底部点B处；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在河岸的点D处（即），最后他用步测的办法量出自己与点D的距离，从而推算出河宽的长，这里判定的理由是（　　） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（2025·广东茂名·二模）综合与实践 【项目主题】池塘不可达距离的测量方案设计 【项目背景】 在数学项目式学习活动中，需测量池塘两侧A、B两点间的距离（无法直接测量）．如1图．现提供皮尺（量程）、测角仪等工具，要求设计几何测量方案． 【实践操作】 方案一（帽檐观测法） 1、如题2图，在点附近选取观测点，使、、三点共线； 2、调整帽子帽檐D，使视线通过帽檐上沿恰好对准点；（忽略眼睛与帽檐距离） 3、保持头部姿势不变，原地旋转，此时视线通过帽檐上沿落在点处； 4、用皮尺测得． 【问题解决】 (1)根据方案一，求、两点间的距离； (2)设计一个与方案一不同的测量方案，在3图中绘制几何图形，标明需测量的数据（如角度，线段长度等），并推导的表达式． 【变式题5-3】.（23-24七年级下·广东深圳·期末）利用三角形全等测距离． 任务1 目测出操场上与你距离相等的两个点 方案 第一步：在C点处面向B点的方向站好，调整帽子，使视线从A点通过帽檐正好落在B点； 第二步：转过一个角度，保持刚才的姿态，视线从D点通过帽檐正好落在F点． 示意图    原理 ∵，，∴______， 又∵，，∴（______），∴______． 任务2 测量输电线路长度 任务简介：如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A、B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A、B间的距离，请你设计一个方案，测出A、B间的距离，并作出示意图． 方案 第一步：______； 第二步：______； （可适当添加步骤）…… 示意图（请按方案补充完整）    【题型6】秋千/滑梯等动态场景测距 1.核心知识点 旋转不变性；垂直距离转化；SAS/ASA。 2.解题方法技巧 动态转静态，找不变的边与角。 【例题6】.（25-26八年级上·浙江湖州·月考）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在距地面高的C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，，求妈妈在B处接住小丽时，小丽距离地面的高度．      【变式题6-1】.（25-26八年级上·江苏苏州·月考）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离，分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（    ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯的高度相同（），都为米，他想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案： 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为米的米尺 测量步骤 测量出线段FD的长度 测量出线段AB的长度 测量数据 米，米 请你根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·陕西汉中·期末）根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 如图，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．    素材2 如图，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，．    问题解决 任务1 与全等吗？请说明理由． 任务2 当爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 【压轴素养题型】 【题型7】方案判断与补全（说理题） 1.核心知识点 全等判定条件辨析；方案合理性说明。 2.解题方法技巧 先找全等条件，缺啥补啥，错啥改啥。 【例题7】.（2024·广东河源·一模）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案：下列说法正确的是（   ） 甲方案 乙方案       如图1，先在平地取一个可直接到达的点，再连接，并分别延长至至，使，，最后测出的长即为的距离． 如图2，过点作，再由点观测．在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为的距离． A．甲的方案可行，乙的方案不可行 B．甲的方案不可行，乙的方案可行 C．甲、乙的方案均可行 D．甲、乙的方案均不可行 【变式题7-1】.（24-25八年级上·河北保定·期中）为了测量水池两边A，B间的距离，两名同学提供了如下间接测量方案．对于方案1，2，说法正确的是（    ） 方案1 方案 2 ①过点 A 作射线． ②过点 B 作于点 D． ③在的延长线上截取，使得．④测量的长即可． ①在水池外取的垂线上的点C，D，使得． ②再作的垂线，使点E，A，C在同一条直线上． ③测量的长即可． A．方案1可行、方案2不可行 B．方案1不可行、方案2可行 C．方案1，2都可行 D．方案1，2都不可行 【变式题7-2】.（25-26八年级上·安徽池州·期末）某中学八年级（5）班的学生到野外进行数学活动，为了测量一池塘两端A、B之间的距离，同学们设计了如下两种方案： 方案1：如图（1），先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使，最后量出的距离就是的长． 方案2：如图（2），过点B作的垂线，在上取C、D两点，使，接着过D作的垂线，交的延长线于E，则测出的长即为间的距离． 问： (1)方案1是否可行？并说明理由； (2)方案2是否可行？并说明理由； (3)小明说：“在方案2中，并不一定需要，将‘’换成了_________也可以．”你认为小明的说法正确吗？如果正确的话，请你把小明所说的条件补上，并说明理由． 【变式题7-3】．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）某数学兴趣小组在校外开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量池塘两岸相对的两点A、B的距离 方案 方案一 方案二 方案 示意图 实施过程 1．过池塘外点B作，在上取两点C，D，使； 2．过点D作，使E与A，C在一条直线上； 3．测量出的长； 1．池塘外取点C，连接，并延长至点D、E，使； 2．连接； 3．测量出的长； 测量数据 ； ； 备注 1．图上所有点均在同一平面内；2．点A，B离池塘边有一定距离； 请你从以上两个方案中任选一个方案，求出A、B间的距离． 【题型8】K字（一线三等角）模型测距 1.核心知识点 一线三等角；等角的余角相等；AAS/ASA。 2.解题方法技巧 见“三垂直/三等角”，直接用角互余证全等。 【例题8】．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，图书馆的左侧有一栋高度为12米的居民房，点位于图书馆与居民房之间，且D、C、E三点共线．测得点到点的距离为28米，点到点的距离为12米，且，则图书馆的高度为（    ） A．12米 B．16米 C．28米 D．40米 【变式8-1】．（25-26八年级上·山东日照·月考）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【变式题8-2】．（25-26八年级上·湖北随州·期末）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）在学习全等三角形后，八年级某数学兴趣小组开展了测量学校五星红旗旗杆顶端离地面高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量五星红旗旗杆高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 方案 示意图 （假设：地面水平，垂直于地面，点B，C，D在水平地面上） 测量步骤 （1）在距旗杆底部 B 点水平地面上，选定一点 C； （2）测量旗杆顶点 A 视线与水平地面所成的角的度数； （3）测量的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于水平地面（B，C，D 三点共线）； （5）测量标杆顶部 E 视线与水平地面所成的角，再测量的长度． 测量数据 请你根据该数学兴趣小组测量方案及数据，计算旗杆高度的值． 易错点 1、混淆判定定理：把SSA当成SAS，把非夹边当成ASA。 2、忽略隐含条件：未用对顶角、公共边、直角等免费条件。 3、实际情境抽象失败：不会画示意图，找不到对应边/角。 4、书写不规范：未写“在△…与△…中”，缺判定依据。 5、单位不统一：步、厘米、米混用，计算出错。 重点 1、利用全等测距离的核心思路：构造全等→证全等→转化距离。 2、三种核心构造法：延长倍长法、垂直法、中点卡钳法。 3、三大判定定理：SAS、ASA、AAS的选择与应用。 4、规范说理过程：完整写出建模、证明、结论三步。 难点 1、复杂情境抽象为几何模型，快速画出示意图。 2、K字模型、动态场景中寻找全等条件。 3、多方案设计与最优方案说理，体现逻辑严谨性。 4、无工具/少工具测量方案的创新构造。 【对应练习题】 一、单选题 1．为了测量水池两边，间的距离，两名同学提供了如下间接测量方案．对于方案1，2，说法正确的是（   ） 方案1 方案2       ①过点作射线． ②过点作于点． ③在的延长线上截取，使得． ④测量的长即可． ①在水池外取的垂线上的点，，使得． ②再作的垂线，使点，，在同一条直线上． ③测量的长即可． A．方案1可行、方案2不可行 B．方案1不可行、方案2可行 C．方案1、2都可行 D．方案1、2都不可行 2．综合实践课上白老师带领同学们利用数学知识测量距离，向阳中学中刚好有一个未解之谜——实验楼的两侧有两堵平行的墙，两墙与之间的距离因为有实验楼的缘故不能直接测量，同学们想到了许多方法，淇淇的想法如下： 测量方式及说明：点，，在一条南北方向的直线上，从点出发走到点处插上标志旗帜，再沿着延长线走同样的距离到达点，从点出发向南走，当所在位置与点及点在一条直线上时将此处标记为点． 图示说明： 若想求解之间的距离，需测量的线段为（   ） A． B． C．和 D．和 3．如图是嘉淇测量池塘宽度设计的方案，下列说法不正确的是（   ） ①先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B； ②连接并延长到点D，使★； ③连接并延长到点E，使♠； ④连接，量出▲的长即为的距离． A．★代表 B．♠代表 C．▲代表 D．该方案的依据是 二、填空题 4．如图，小颖要测量池塘A，B两端的距离，她设计了一个测量方案：先在平地上取C，D两点，与相交于点O，且测得，，的周长为，则A，B两端的距离为______ 5．如图，是一个瓶子的切面图，测量得到瓶子的外径的长度是，为了得到瓶子的壁厚，小庆把两根相同长度的木条和的中点O固定在一起，做了一个简单的测量工具，如图，得到的长为，则瓶子的壁厚a的值为______． 6．如图，于点，，射线于点，一动点从点出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持．已知点经过时，与全等． （1）当点在点左侧时，的值为______； （2）当点在点右侧时，的值为______． 三、解答题 7．为测量公园里古塔底座，两点间的距离（其中，两点均在地面上），数学兴趣小组利用本学期所学的数学知识，分别设计出了如下两种方案： 方案一：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可得线段的长． 方案二：如图2，先确定直线，过点作，在点处用测角仪确定，射线交直线于点，最后测量的长，即可得线段的长．解答下列问题： (1)请用所学知识证明以上两种方案的合理性； (2)如果让你参与测量，你会选择哪一种方案？请说明理由． 8．为测量某一水池两端，之间的距离，小涵，小宇两位同学分别设计出如下两种方案： 课题 测量水池两端、之间的距离 测量示意图 步骤说明 在平地上取一点，分别连接，并延长到，两点，使得，，测量的距离即可． 在平地上取一点，连接，，在的延长线上取一点，使得，测量的距离即可． 数学老师看过后指出其中一种测量方案不可行，请你回答下面的问题： (1)以上两位同学方案可行的是________的方案； (2)请你选择可行的方案，并说明它可行的理由． 9．兰州黄河风情线是兰州的城市名片，小明站在中山桥附近的凉亭A点处，正对他的黄河中点停有一艘羊皮筏子（与河岸垂直）．他想测量凉亭与羊皮筏子之间的距离，制定了如下方案： 课题 测兰州黄河风情线凉亭与羊皮筏子的距离 测量工具 皮尺等． 测量方案示意图 测量步骤 ①小明沿黄河风情线（河岸）走到黄河母亲雕像处，记为点； ②从点沿河岸继续向前走与等长的距离，到达点； ③在点向左转（朝向远离河岸方向）直行，直到观察到黄河母亲雕像与羊皮筏子在同一直线上时，停下记作点． 测量数据 米，米，米 (1)凉亭A与羊皮筏子之间的距离是___________米； (2)请说明小明做法的正确性． 10．情境 如图1，为了测量池塘两端，之间的距离，在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接，，再在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接，，使平分，(点在同一平面内)，此时测量出线段的长便是池塘两端，之间的距离． 论证 （1）请你证明“情境”中的结论正确； 探究   （2）请你再设计一种测量池塘两端，之间距离的方案，并说明理由(要求写出方案并在图2中画出图形，可以借助刻度尺或圆规)． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $