专题4.1 认识三角形（5大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2025-2026学年北师大版七年级数学下学期

本讲义聚焦三角形的核心知识，从定义与表示入手，系统梳理按角和按边的分类标准，深入讲解三边关系定理、内角和定理及高、中线、角平分线的概念与性质，构建从基础概念到性质应用的完整学习支架。 资料采用分层题型设计，基础题型强化概念识别与简单应用，培养几何直观；培优题型通过等腰三角形分类讨论等提升推理意识；压轴题型结合中线面积等分等问题发展空间观念。课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识理解与应用能力。

专题4.1 认识三角形 知识点1：三角形的定义与表示 1.定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形。 2.表示：用符号△表示，顶点为A、B、C的三角形记作△ABC。 知识点2：三角形的分类 1.按角分类 锐角三角形：三个内角都是锐角 直角三角形：有一个内角是直角，记作Rt△ 钝角三角形：有一个内角是钝角 2.按边分类 不等边三角形：三边都不相等 等腰三角形：至少两边相等（含等边三角形） 知识点3：三角形三边关系（核心） 1.定理：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 2.快速判定：较短两边之和>最长边→可构成三角形。 3.取值范围：已知两边a、b，则第三边c满足|a−b|<c<a+b。 知识点4：三角形内角和定理 1.定理：三角形三个内角的和等于180°。 2.推论：直角三角形的两个锐角互余（和为90°）。 知识点5：三角形的三条重要线段（对比表格） 线段名称 定义要点 位置特征 核心性质 高 顶点向对边作垂线，顶点与垂足间线段 锐角△：都在内部； 直角△：两条为直角边； 钝角△：两条在外部 与面积计算直接相关 中线 顶点与对边中点的连线 都在内部 平分面积；三条中线交于重心 角平分线 内角平分线与对边相交，顶点与交点间线段 都在内部 平分内角；三条交于内心 【基础必考题型】 【题型1】三角形的概念与识别 1.核心知识点 三角形定义；三要素（边、角、顶点）；符号表示 2.解题方法技巧 抓住“不共线、首尾顺次、封闭”三个关键词 【例题1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【答案】D 【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答． 根据三角形的内角和边判断即可． 【详解】解：A、是的边，说法正确，不符合题意； B、是的内角，说法正确，不符合题意； C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意； D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·江西宜春·月考）观察下列图形，其中是三角形的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，依据三角形的定义，判断所给图形是否为三角形，三角形的定义为在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形． 【详解】解：A项：选项中是一个角，且只有两条线段没有闭合，所以不是三角形，不符合题意； B项：选项中2条线段没有相接，所以不是三角形，不符合题意； C项：3条线段的端点首尾相接，且为闭合图形，满足三角形的定义，符合题意； D项：有1条线段的端点连接了另一条线段上的一点，所以不是三角形，不符合题意． 故选：C． 【变式题1-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）如图，中，与的夹角是____________，，的公共边是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的基本构成，掌握角、边的表示是关键，根据图示，写出角、边即可． 【详解】解：与的夹角是， ，的公共边是， 故答案为：①，②． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·天津河西·期末）如图，三角形中，，是边上两点，连接，，数一数图中角（小于平角）的个数，一共有________个． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的计数，熟练掌握按顶点分类计数、不重复不遗漏地数出所有角是解题的关键．先按顶点分类，依次找出以点、、、、为顶点的所有小于平角的角，再将各类角的数量相加得到总数． 【详解】解：以点为顶点的角：，共个， 以点为顶点的角：，，，，，，共个， 以点为顶点的角：，，共个， 以点为顶点的角：，，共个， 以点为顶点的角：，共个， ， 故答案为： 【题型2】三角形的分类判断 1.核心知识点 按角/按边分类标准；直角、等腰、等边关系 2.解题方法技巧 按角看最大角；按边看相等边数量 【例题2】.（24-25八年级上·安徽安庆·月考）用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的分类．根据三角形的分类，进行判定作答即可． 【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，故不符合要求； 三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误， 故选：D． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类，属于基础题型，掌握其分类的方法是做题的关键．根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 【详解】解：根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 故选：C． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·安徽淮南·期中）若一个三角形的三个内角的度数之比为，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的分类．理解和掌握三角形的分类是解题的关键． 根据三角形内角和定理，利用角度比求出最大角，判断三角形类型． 【详解】解：设三个内角分别为， 则， 解得：， 最大角为 因此三角形是钝角三角形． 故选：C． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·重庆·期中）在一个三角形中，最小的一个角大于，则的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，解决本题的关键是通过反证法利用三角形内角和定理，得出矛盾后确定最大角范围，从而判断形状． 利用三角形内角和定理，结合最小角大于，通过反证法推导出最大角小于，从而判断三角形为锐角三角形． 【详解】解：∵ 最小角大于， ∴ 每个角都大于， 设三个角为，且，则， ∵， 若，则， 但， ∴，与矛盾， ∴， ∴所有角都小于， ∴是锐角三角形． 故选：A． 【题型3】三边关系—判断能否构成三角形 1.核心知识点 两边之和大于第三边；较短两边和判定法 2.解题方法技巧 只算：短+短>最长，满足即可 【例题3】.（2026·福建莆田·二模）以下列各数为边长，能构成三角形的是（   ） A．1，1，3 B．3，4，5 C．3，3，6 D．4，5，10 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，逐一验证即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，能构成三角形，符合题意； C、，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·河南郑州·期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，逐项验证即可求解. 【详解】解：A选项，三边为，，，较短两边和为，∵，∴不能组成三角形，不符合要求； B选项，三边为，，，较短两边和为，∵，满足三边关系，∴能组成三角形，符合要求； C选项，三边为，，，较短两边和为，∵，∴不能组成三角形，不符合要求； D选项，三边为，，，较短两边和为，∵不大于，不满足三边关系，∴不能组成三角形，不符合要求. 【变式题3-2】.（2026·福建南平·二模）一木工有四根长分别为30厘米、50厘米、60厘米、90厘米的木条，要选其中三根木条钉成一个三角木架，木工的选法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，即可得出答案． 【详解】解：①选30厘米、50厘米、60厘米， ∵， ∴选30厘米、50厘米、60厘米能钉成一个三角木架，符合题意； ②选30厘米、50厘米、90厘米， ∵， ∴选30厘米、50厘米、90厘米不能钉成一个三角木架，不符合题意； ③选30厘米、60厘米、90厘米， ∵， ∴选30厘米、60厘米、90厘米不能钉成一个三角木架，不符合题意； ④选50厘米、60厘米、90厘米， ∵， ∴选50厘米、60厘米、90厘米能钉成一个三角木架，符合题意； 综上所述，木工的选法有2种． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，小明有两根长度为5，10的木棒，他想钉一个三角形木框，桌上有长度不同的4根木棒供他选择，现从桌上随机抽取一根木棒，则小明能钉一个三角形木框的概率为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】考查了构成三角形的条件，简单概率的计算． 根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列不等式求出第三边的范围，得出满足条件的木棍数量，即可作答． 【详解】解：设第三边的长度为， 根据题意有：，即， 则桌上的木棍适合的有1根，即长的那一根， ∵总计有4根，满足条件的只有1根， ∴小明能钉一个三角形木框的概率为：，即选B． 【题型4】内角和—直接求角度 1.核心知识点 内角和180°；直角三角形两锐角互余 2.解题方法技巧 已知两角→直接减；已知倍分关系→设元列方程 【例题4】.（25-26七年级下·四川成都·期中）将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形，若，则的度数为__________度． 【答案】72 【分析】根据折叠的性质得出 ，根据平行线的性质得出 ，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如下图所示，设折叠前长方形上边虚线部分上一点为 ， 四边形是长方形纸片折叠而成， 折叠前上边平行于下边， ， 由折叠的性质可知， ， ， ， 在 中，． 【变式题4-1】.（2026年安徽省城学情调研（一）数学）如图，在中，，两点均在边上，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，再结合三角形的外角的性质进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ①， ②， 得： ， ， ， ． 【变式题4-2】.（2026·四川南充·一模）将一副三角板如图摆放，，，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角板的性质得出，，利用角的和差关系计算，进而求出； 【详解】解：在中，，， ， ， ， 在中，， ． 【变式题4-3】.（重庆市綦江区未来学校联盟2025—2026学年（下）二诊测试九年级数学试题）如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和为． 根据两直线平行同位角相等得出图中的同位角的度数，再根据三角形内角和求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【培优高频题型】 【题型5】三边关系—求边长/周长范围 1.核心知识点 第三边取值范围；三角形周长约束 2.解题方法技巧 先求第三边范围→再算周长；整数解要枚举 【例题5】.（25-26七年级下·陕西渭南·期中）已知三角形的三边长分别为3，6，a，则的值可以为__________．（填一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】根据三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出的取值范围，再任取一个范围内的值即可． 【详解】解：根据三角形三边关系可得 即 ∴的值可以为4（答案不唯一）． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·上海崇明·期中）一个三角形有两边长分别为1与2，若它的第三边的长为整数，则它的第三边长为_______________． 【答案】2 【分析】根据三角形三边关系，先求出第三边的取值范围，再结合第三边长为整数的条件，即可确定． 【详解】解：设第三边长为， 根据三角形三边关系可得，，即， ∵第三边的长为整数， ∴． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·陕西西安·期中）等腰三角形的两边长为4，9，则它的周长为_____． 【答案】22 【分析】验证每种情况是否能构成等腰三角形，再计算求解． 【详解】解：当为腰长时，三角形三边长分别为，，， ，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，此种情况舍去． 当为腰长时，三角形三边长分别为，，． ， ∴满足三角形三边关系，能组成三角形． ∴周长为． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·湖北武汉·开学考试）从四根长度分别为，，，的木棒中任取三根摆成三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形中“任意两边之和大于第三边”，枚举所有取三根木棒的组合，判断能否构成三角形即可得到答案． 【详解】解：从四根长度分别为，，，的木棒中任取三根摆成三角形， 根据三角形三边关系逐一判断如下： ①取，，，此时周长为，，能构成三角形； ②取，，，此时周长为，但，此时不满足三边关系，不能构成三角形； ③取，，，此时周长为，，能构成三角形； ④ 取，，，此时周长为，，能构成三角形； 综上，所摆成的三角形的周长不可能是． 【题型6】等腰三角形边长/角度分类讨论 1.核心知识点 等腰定义；腰/底、顶角/底角区分；三边关系检验 2.解题方法技巧 遇等腰先分类，算完必验三边 【例题6】.（25-26七年级下·重庆·自主招生）周长是13，各边长都是整数的等腰三角形有（   ）种 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用等腰三角形边长性质，结合三角形三边关系和边长为整数的限定条件，推导得到所有符合要求的三角形，即可得出答案． 【详解】解：设等腰三角形腰长为，底边长为， 由题意得，且，均为正整数， ∴， 根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，可得且， 将代入不等式：，解得， ∵， ∴，得， ∵为整数， ∴可取，，， 对应得到三边长分别为，，，共种符合条件的等腰三角形． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·重庆·自主招生）一个等腰三角形的两条边的长度分别是5和11，这个三角形的周长可能是（   ） A．21 B．27 C．33 D．39 【答案】B 【分析】本题需要分类讨论等腰三角形的腰长，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，最后计算周长得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：若腰长为，则三角形三边长为，，； ， ∴不满足三角形任意两边之和大于第三边， 此种情况不能构成三角形，舍去.， 情况2：若腰长为，则三角形三边长为，，； ， ∴满足三角形三边关系， 三角形周长为． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·山东济南·期中）如果实数满足，且恰好是等腰的两边长，则的周长是___________． 【答案】或． 【分析】根据非负性可得，，求解得，，再分成是腰长和3是底边长，分别讨论，进而可得出周长． 【详解】解：∵实数满足，，， ∴，， 解得：，， 若是腰长， ∵， ∴以、、为边可以构成三角形， ∴的周长是； 若3是底边长， ∵， ∴以、、为边能构成三角形， ∴的周长是． 故答案为：或． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·山西太原·期中）若等腰三角形的周长为18，腰长为5，则该三角形的底边长为（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】C 【分析】利用等腰三角形两腰相等的性质和周长定义计算底边长，再结合三角形三边关系验证即可得到结果． 【详解】解：∵等腰三角形两腰相等，周长为三边长度之和，已知周长为18，腰长为5， ∴底边长， 验证三边关系： ∵，满足三角形任意两边之和大于第三边，能构成三角形， ∴该三角形的底边长为8． 【题型7】三角形的高、中线、角平分线辨析 1.核心知识点 三线定义、画法、符号语言；钝角三角形高的位置 2.解题方法技巧 高看垂直，中线看中点，角平分线看平分 【例题7】.（2026七年级下·全国·专题练习）下列能表示的边上的高的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】解：A．不是任何边上的高，故不符合题意； B．是边上的高，故符合题意； C．是边上的高，故不符合题意； D．不是任何边上的高，故不符合题意； 故选：B． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·山西太原·月考）如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【答案】36 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键． 根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 【详解】解：∵是角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：36． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图所示，是的中线，的周长为24，则的周长为__________． 【答案】26 【分析】先计算的长度，由中线的定义得，进而即可求解． 【详解】解：的周长为24， ， ， 是的中线， ， ， ， 即的周长为26． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·广东深圳·期中）在等腰中，是边上的高，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断底和腰，再利用三线合一求解即可． 【详解】解：如图， ∵等腰中，． ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴． 【压轴素养题型】 【题型8】中线与面积等分问题 1.核心知识点 中线平分三角形面积；等底同高面积相等 2.解题方法技巧 中线→面积1:1；多次中点→面积成倍分 【例题8】.（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在一个等边三角形纸片中取三边的中点，以虚线为折痕折叠纸片，图中阴影部分的面积是整个图形面积的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积得到，，再由折叠的性质得到点O为的中点，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，∵点D是的中点，点F是的中点， ∴，， ∴； 根据题意可得点O为的中点， ∴， ∴ 【变式题8-1】.（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，，分别为，，的中点，点为的重心．现假设可以随意在中取点，则这个点取在阴影部分的概率是_____． 【答案】 / 【分析】本题考查了几何概率、三角形重心与中线的性质，解题的关键是利用重心分中线的比为，推导出阴影部分面积与面积的比例关系． 根据重心的性质，三角形的三条中线将的面积6等分；阴影部分占其中3份，由此可求出概率． 【详解】解：∵，，分别为的中点， ∴为的中线， ∵点为的重心， ∴重心分每条中线的比为， ∴三条中线将的面积6等分， 又∵阴影部分占其中3份， ∴． 故答案为：． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·山东枣庄·期中）如图，是的中线，连接，的面积是20，则的面积是（    ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．5 【答案】D 【分析】根据是边上的中线，得到，根据是边上的中线，解答即可． 【详解】解：∵是边上的中线，的面积等于20， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·上海·期中）如图，的重心为G，如果的面积为2，则的面积为________． 【答案】3 【分析】根据三角形重心的定义可知为的中线，且，利用等高三角形面积比等于底边比求出的面积，再根据中线将三角形分成面积相等的两部分求解． 【详解】∵G为的重心，且A、G、M共线， ∴为的中线，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型9】三边关系—绝对值化简与不等式证明 1.核心知识点 三边关系判断符号；绝对值去括号法则 2.解题方法技巧 边的和差→定符号→去绝对值→合并同类项 【例题9】.（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，点在上，连接，点在上，连接，求证：． 【答案】见解析． 【分析】在中，根据三边之间的关系易得，则即，同理在中，，则即，从而得证． 【详解】证明：在中， ， ， ， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形两边之和大于第三边；熟练掌握该性质是解题的关键． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·广东东莞·月考）如图，已知的周长为35，是边上的中线，． (1)当时，求的长． (2)能否等于12？为什么？ 【答案】(1)5 (2)不能等于12，理由见解析 【分析】本题考查了与三角形中线有关的计算、三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键． （1）先求出，再根据三角形的周长公式可得，然后根据三角形中线的性质解答即可得； （2）假设能等于12，则，再利用三角形的三边关系解答即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵的周长为35， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴． （2）解：不能等于12，理由如下： 假设能等于12， ∵， ∴， ∵的周长为35， ∴， ∴， ∴的三边长分别为，此时，不满足三角形的三边关系， ∴不能等于12． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·四川成都·期中）已知的三边长为，，， (1)若，，写出的范围，并化简：． (2)若是等腰三角形，且，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1)；3 (2)等腰三角形的周长为17 【分析】本题考查了三角形三边关系、绝对值化简及非负数的性质在等腰三角形中的应用，解题的关键是熟练运用三角形三边关系、配方法及分类讨论思想． （1）利用三角形三边关系求出的取值范围，再根据绝对值的性质化简式子； （2）用配方法求出、的值，再结合等腰三角形的性质和三边关系求周长． 【详解】（1）解：根据三角形三边关系，得： ， ． ， ，， ． （2）解：， ， ． ，， ，， ，， 是等腰三角形， 分两种情况①当腰长为时，三边长为，，， ，能构成三角形， 周长为； ②当腰长为时，三边长为，，， ，不能构成三角形，舍去． 综上，这个等腰三角形的周长为17． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·天津滨海新区·期中）已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)在任意中，化简：． 【答案】(1)等边三角形； (2)． 【分析】本题考查了绝对值非负数的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定，整式的加减等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）根据绝对值和平方的非负性得到，，进而推出，即可判断的形状； （）根据三角形三边关系得到，，，再结合绝对值性质进行化简，即可解题． 【详解】（1）解：∵， ∴根据非负数的性质，，， 解得，， ∴， ∴为等边三角形； （2）解：∵的三边长分别为，，， ∴根据三角形的三边关系得，，，， ∴，，， 则 ． 易错点 1、判断三角形时忽略“不在同一直线”“首尾顺次”条件。 2、用三边关系时只算一组和，未用较短两边和>最长边快速判定。 3、等腰三角形边长/角度漏分类，且未检验是否构成三角形。 4、画钝角三角形的高时，误画在内部，未画到对边延长线上。 5、混淆高、中线、角平分线的定义与画法。 6、内角和计算时方程列错，或忘记直角三角形两锐角互余。 重点 1、三角形定义、表示、分类。 2、三边关系定理及判定、求范围应用。 3、内角和定理与角度计算、方程思想。 4、高、中线、角平分线的概念、画法、性质。 难点 1、等腰三角形分类讨论+三边关系检验。 2、钝角三角形高的画法与位置判断。 3、中线与面积等分的综合运用。 4、内角和与角平分线、高、折叠的角度综合推理。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，3，6 D．4，5，10 【答案】B 【分析】本题根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，只需验证较短两边之和是否大于最长边，即可判断能否组成三角形． 【详解】解：A、 ，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意； B、 ，满足三角形三边关系，能组成三角形，符合题意； C、 ，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意； D、 ，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意． 2．如图，，，，垂足分别为点、、，中边上的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴中边上的高是． 3．若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先根据平方和绝对值的非负性得到，，求出，即可得结论． 【详解】解：∵， ，， ， ∴是等边三角形． 二、填空题 4．如图湖泊对岸的凉亭和到大门的距离分别是30m和20m，则的长可能是________m（写出一个即可） 【答案】20（答案不唯一） 【分析】根据三角形的三边关系的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：由题意得：，即； 在区间内， ∴的长可能是， 5．已知为的三条边，若为等腰三角形，且满足，则的周长为___________． 【答案】12 【分析】利用配方法把已知式子化为平方和的形式，利用非负数的性质求出a、b的值．然后根据等腰三角形的定义进行分类计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ①当a为腰时，，不能构成三角形； ②当b为腰时，该三角形的周长为：． 故答案为：12． 6．仔细观察如图所示的“五角星”，数一数，图中一共有________个三角形． 【答案】35 【分析】按照一定的规律，寻找三角形，可以找全不遗漏． 【详解】解：如图， 图中有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 共计有个三角形． 三、解答题 7．一个三角形的周长为18，其中两边长分别为5和6，求第三边的长，并判断这个三角形是否为等腰三角形． 【答案】7，不是 【详解】解：三角形的第三边长：， 三边长：5，6，7，三边都不相等， 则不是等腰三角形． 8．一个等腰三角形的三边长分别为7、、，求x的值，并求这个等腰三角形三边的长． 【答案】，三边长为：7，7，4 【分析】在没有明确给出腰和底边时，要注意和已知条件联系起来分情况讨论进而求解．分三种情况讨论． 【详解】解：∵等腰三角形边长分别为7、、， ∴①当时，解得：， ∴等腰三角形的三边分别为，此时能组成三角形； ②当时，解得：， ∴等腰三角形的三边分别为，此时不能组成三角形； ③当时，解得：， 等腰三角形的三边分别为，此时不能组成三角形； 综上所述，，三角形三边长为7，7，4． 9．如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上． (1)只利用无刻度的直尺按要求画出下列图形： ①直线； ②的高，垂足为点G； (2)的面积为______． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据网格的特点和平行线的定义作图即可； ②找到格点，连接交于点G，则； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：①如图所示，； ②如图所示，高即为所求； （2）解：由题意得． 10．如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)画边上的高；（不要求写画法，只需写出结论即可） (2)过点画直线的垂线，垂足为； （不要求写画法，只需写出结论即可） (3)点到直线的距离是线段_________的长度． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）延长，以为半径，点C为圆心作圆弧交直线于点G，再分别以A、G为圆心，以大于一半的长度为半径画圆弧，两弧交于点F，连接，交于点D，问题得解； （2）按照（1）的方法作答即可； （3）根据点到直线的距离的定义作答即可． 【详解】（1）解：边上的高如图所示： （2）解：过点画直线的垂线，垂足为，如图所示： （3）解：根据作图有：， ∴点B到直线的距离是线段的长度， 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 认识三角形 知识点1：三角形的定义与表示 1.定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形。 2.表示：用符号△表示，顶点为A、B、C的三角形记作△ABC。 知识点2：三角形的分类 1.按角分类 锐角三角形：三个内角都是锐角 直角三角形：有一个内角是直角，记作Rt△ 钝角三角形：有一个内角是钝角 2.按边分类 不等边三角形：三边都不相等 等腰三角形：至少两边相等（含等边三角形） 知识点3：三角形三边关系（核心） 1.定理：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 2.快速判定：较短两边之和>最长边→可构成三角形。 3.取值范围：已知两边a、b，则第三边c满足|a−b|<c<a+b。 知识点4：三角形内角和定理 1.定理：三角形三个内角的和等于180°。 2.推论：直角三角形的两个锐角互余（和为90°）。 知识点5：三角形的三条重要线段（对比表格） 线段名称 定义要点 位置特征 核心性质 高 顶点向对边作垂线，顶点与垂足间线段 锐角△：都在内部； 直角△：两条为直角边； 钝角△：两条在外部 与面积计算直接相关 中线 顶点与对边中点的连线 都在内部 平分面积；三条中线交于重心 角平分线 内角平分线与对边相交，顶点与交点间线段 都在内部 平分内角；三条交于内心 【基础必考题型】 【题型1】三角形的概念与识别 1.核心知识点 三角形定义；三要素（边、角、顶点）；符号表示 2.解题方法技巧 抓住“不共线、首尾顺次、封闭”三个关键词 【例题1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【变式题1-1】.（25-26八年级上·江西宜春·月考）观察下列图形，其中是三角形的是（    ）． A． B． C． D． 【变式题1-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）如图，中，与的夹角是____________，，的公共边是____________． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·天津河西·期末）如图，三角形中，，是边上两点，连接，，数一数图中角（小于平角）的个数，一共有________个． 【题型2】三角形的分类判断 1.核心知识点 按角/按边分类标准；直角、等腰、等边关系 2.解题方法技巧 按角看最大角；按边看相等边数量 【例题2】.（24-25八年级上·安徽安庆·月考）用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 【变式题2-2】.（25-26八年级上·安徽淮南·期中）若一个三角形的三个内角的度数之比为，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式题2-3】.（25-26八年级上·重庆·期中）在一个三角形中，最小的一个角大于，则的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【题型3】三边关系—判断能否构成三角形 1.核心知识点 两边之和大于第三边；较短两边和判定法 2.解题方法技巧 只算：短+短>最长，满足即可 【例题3】.（2026·福建莆田·二模）以下列各数为边长，能构成三角形的是（   ） A．1，1，3 B．3，4，5 C．3，3，6 D．4，5，10 【变式题3-1】.（25-26七年级下·河南郑州·期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（2026·福建南平·二模）一木工有四根长分别为30厘米、50厘米、60厘米、90厘米的木条，要选其中三根木条钉成一个三角木架，木工的选法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式题3-3】.（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，小明有两根长度为5，10的木棒，他想钉一个三角形木框，桌上有长度不同的4根木棒供他选择，现从桌上随机抽取一根木棒，则小明能钉一个三角形木框的概率为（   ） A．0 B． C． D． 【题型4】内角和—直接求角度 1.核心知识点 内角和180°；直角三角形两锐角互余 2.解题方法技巧 已知两角→直接减；已知倍分关系→设元列方程 【例题4】.（25-26七年级下·四川成都·期中）将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形，若，则的度数为__________度． 【变式题4-1】.（2026年安徽省城学情调研（一）数学）如图，在中，，两点均在边上，已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（2026·四川南充·一模）将一副三角板如图摆放，，，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（重庆市綦江区未来学校联盟2025—2026学年（下）二诊测试九年级数学试题）如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【培优高频题型】 【题型5】三边关系—求边长/周长范围 1.核心知识点 第三边取值范围；三角形周长约束 2.解题方法技巧 先求第三边范围→再算周长；整数解要枚举 【例题5】.（25-26七年级下·陕西渭南·期中）已知三角形的三边长分别为3，6，a，则的值可以为__________．（填一个即可） 【变式题5-1】.（25-26七年级下·上海崇明·期中）一个三角形有两边长分别为1与2，若它的第三边的长为整数，则它的第三边长为_______________． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·陕西西安·期中）等腰三角形的两边长为4，9，则它的周长为_____． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·湖北武汉·开学考试）从四根长度分别为，，，的木棒中任取三根摆成三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是（　　） A． B． C． D． 【题型6】等腰三角形边长/角度分类讨论 1.核心知识点 等腰定义；腰/底、顶角/底角区分；三边关系检验 2.解题方法技巧 遇等腰先分类，算完必验三边 【例题6】.（25-26七年级下·重庆·自主招生）周长是13，各边长都是整数的等腰三角形有（   ）种 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题6-1】.（25-26七年级下·重庆·自主招生）一个等腰三角形的两条边的长度分别是5和11，这个三角形的周长可能是（   ） A．21 B．27 C．33 D．39 【变式题6-2】.（25-26七年级下·山东济南·期中）如果实数满足，且恰好是等腰的两边长，则的周长是___________． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·山西太原·期中）若等腰三角形的周长为18，腰长为5，则该三角形的底边长为（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 【题型7】三角形的高、中线、角平分线辨析 1.核心知识点 三线定义、画法、符号语言；钝角三角形高的位置 2.解题方法技巧 高看垂直，中线看中点，角平分线看平分 【例题7】.（2026七年级下·全国·专题练习）下列能表示的边上的高的是（ ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·山西太原·月考）如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图所示，是的中线，的周长为24，则的周长为__________． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·广东深圳·期中）在等腰中，是边上的高，则度数为（    ） A． B． C． D． 【压轴素养题型】 【题型8】中线与面积等分问题 1.核心知识点 中线平分三角形面积；等底同高面积相等 2.解题方法技巧 中线→面积1:1；多次中点→面积成倍分 【例题8】.（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在一个等边三角形纸片中取三边的中点，以虚线为折痕折叠纸片，图中阴影部分的面积是整个图形面积的（    ） A． B． C． D． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，，分别为，，的中点，点为的重心．现假设可以随意在中取点，则这个点取在阴影部分的概率是_____． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·山东枣庄·期中）如图，是的中线，连接，的面积是20，则的面积是（    ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．5 【变式题8-3】.（25-26八年级下·上海·期中）如图，的重心为G，如果的面积为2，则的面积为________． 【题型9】三边关系—绝对值化简与不等式证明 1.核心知识点 三边关系判断符号；绝对值去括号法则 2.解题方法技巧 边的和差→定符号→去绝对值→合并同类项 【例题9】.（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，点在上，连接，点在上，连接，求证：． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·广东东莞·月考）如图，已知的周长为35，是边上的中线，． (1)当时，求的长． (2)能否等于12？为什么？ 【变式题9-2】.（25-26七年级下·四川成都·期中）已知的三边长为，，， (1)若，，写出的范围，并化简：． (2)若是等腰三角形，且，求这个等腰三角形的周长． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·天津滨海新区·期中）已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)在任意中，化简：． 易错点 1、判断三角形时忽略“不在同一直线”“首尾顺次”条件。 2、用三边关系时只算一组和，未用较短两边和>最长边快速判定。 3、等腰三角形边长/角度漏分类，且未检验是否构成三角形。 4、画钝角三角形的高时，误画在内部，未画到对边延长线上。 5、混淆高、中线、角平分线的定义与画法。 6、内角和计算时方程列错，或忘记直角三角形两锐角互余。 重点 1、三角形定义、表示、分类。 2、三边关系定理及判定、求范围应用。 3、内角和定理与角度计算、方程思想。 4、高、中线、角平分线的概念、画法、性质。 难点 1、等腰三角形分类讨论+三边关系检验。 2、钝角三角形高的画法与位置判断。 3、中线与面积等分的综合运用。 4、内角和与角平分线、高、折叠的角度综合推理。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，3，6 D．4，5，10 2．如图，，，，垂足分别为点、、，中边上的高是（    ） A． B． C． D． 3．若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 二、填空题 4．如图湖泊对岸的凉亭和到大门的距离分别是30m和20m，则的长可能是________m（写出一个即可） 5．已知为的三条边，若为等腰三角形，且满足，则的周长为___________． 6．仔细观察如图所示的“五角星”，数一数，图中一共有________个三角形． 三、解答题 7．一个三角形的周长为18，其中两边长分别为5和6，求第三边的长，并判断这个三角形是否为等腰三角形． 8．一个等腰三角形的三边长分别为7、、，求x的值，并求这个等腰三角形三边的长． 9．如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上． (1)只利用无刻度的直尺按要求画出下列图形： ①直线； ②的高，垂足为点G； (2)的面积为______． 10．如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)画边上的高；（不要求写画法，只需写出结论即可） (2)过点画直线的垂线，垂足为； （不要求写画法，只需写出结论即可） (3)点到直线的距离是线段_________的长度． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $