专题1.4 整式的除法（4大知识点+ 9大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年北师大版七年级数学下学期培优讲义

本讲义聚焦初中数学“整式的除法”核心知识点，系统梳理单项式除以单项式（系数、同底数幂相除及单独字母保留）、多项式除以单项式（逐项相除再求和）、整式除法与乘法的互逆关系及混合运算顺序，构建从基础法则到综合应用的学习支架。 该资料以分层题型（基础必考、培优高频、压轴素养）为特色，融入几何图形、科学记数法等实际情境，通过新定义运算和多项式整除问题培养学生抽象能力与运算能力，课中助力教师分层教学，课后帮助学生巩固法则、查漏补缺，提升用数学思维解决问题的能力。

专题1.4 整式的除法 知识点1：单项式除以单项式 1.核心法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 2.运算步骤： 系数相除：遵循有理数除法法则（含符号，同号得正，异号得负）； 同底数幂相除：底数不变，指数相减（即，，）； 单独字母保留：只在被除式中出现的字母，连同其指数直接纳入商中。 知识点2：多项式除以单项式 1.核心法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加（本质是乘法分配律的逆用，即，）。 2.注意事项： 符号同步：多项式的每一项都包含前面的符号，除以单项式时需同步运算符号； 不重不漏：确保多项式的每一项都参与除法运算，尤其是常数项（常数项除以单项式仍为常数）； 结果整理：所得商中若有同类项，需合并同类项化简。 知识点3：整式除法与乘法的关系 关系类型 具体说明 示例 互逆运算 整式除法是整式乘法的逆运算，即“商×除式=被除式” 若，则 运算性质关联 同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方性质通用 （）；（） 知识点4：整式除法的混合运算顺序 1.先算乘方（幂的乘方、积的乘方）； 2.再算乘除（从左到右依次运算）； 3.最后算加减（多项式间的加减）； 4.有括号的先算括号内的运算。 【基础必考题型】 【题型1】单项式除以单项式基础运算 1.核心知识点 单项式除以单项式的法则； 同底数幂的除法性质。 2.解题方法技巧 分步运算：先算系数（含符号），再算同底数幂，最后保留单独字母； 验证检验：用“商×除式=被除式”验证结果正确性。 【例题1】.（24-25七年级下·河南郑州·期末）计算：_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了单项式除以单项式等知识，“单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式﹒”，据此计算即可求解﹒ 【详解】解：， 故答案为：． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·吉林长春·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、单项式乘以单项式、单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算积的乘方与幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算单项式除以单项式即可得． 【详解】解：原式 ． 【变式题1-2】.（24-25八年级下·湖北武汉·月考）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂及幂的运算法则，先利用幂的乘方与积的乘方法则计算括号内的幂的乘方，再利用同底数幂的除法法则运算，最后可将负指数幂转化为正指数幂形式． 【详解】解： ． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·广东广州·期末）计算： （1）__________； （2）__________； （3）__________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）运用单项式除以单项式计算法则，系数和同底数幂分别相除； （2）运用单项式除以单项式计算法则，系数相除时转化为乘法，同底数幂相减； （3）运用有理数的乘除法则、同底数幂的除法运算法则和科学记数法的表示形式求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； 故答案为：，，． 【题型2】多项式除以单项式基础运算 1.核心知识点 多项式除以单项式的法则； 同类项合并规则。 2.解题方法技巧 逐项相除：将多项式的每一项分别除以单项式，注意符号随项运算； 合并化简：除完后合并同类项，确保结果无同类项残留。 【例题2】.（25-26八年级上·江苏南通·期中）计算：______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查多项式除以单项式，掌握运算法则是解题的关键． 利用多项式除以单项式的法则，将括号内的每一项分别除以m，然后进行化简． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：________________． 【答案】 【分析】根据同底数幂的除法，多项式除以单项式的计算法则，求解即可． 【详解】解：， ， ； 故答案为： ． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，多项式除以单项式的计算法则，正确计算是解题的关键. 【变式题2-2】.（22-23七年级下·山东青岛·月考）若长方形的面积是，长为，则它的宽为________． 【答案】 【详解】解： ． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·福建厦门·月考）计算： （）______； （）______． 【答案】 【分析】（）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可求解； （）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可求解； 本题考查了多项式除以单项式的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：（）原式， 故答案为：； （）原式， 故答案为：． 【题型3】利用整式除法求字母值 1.核心知识点 单项式/多项式除以单项式法则； 等式两边同类项系数相等的性质。 2.解题方法技巧 运算化简：将等式左边按除法法则化简； 系数对应：等式两边相同字母的指数一致，列方程求解字母值。 【例题3】.（25-26七年级下·全国·周测）已知，则的值为____________． 【答案】1 【分析】根据单项式除以单项式的运算法则，系数与同底数幂分别相除，再通过指数对应相等，求出和的值，最后计算． 【详解】解：由已知等式， ，且该式等于 ∴． 由于右边不含， ∴，即：． 解得：． 代入得：． ∴． 解得：． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式除以单项式的运算法则，解题关键是利用“同底数幂相除，指数相减”的规则，通过等式两边指数对应相等来求解． 【变式题3-1】.（24-25六年级下·全国·单元测试）若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式除以单项式，利用幂的乘方和同底数幂的除法法则，将等式两边化为同底数形式，通过指数相等建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：3． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·河南周口·期末）如果，则______． 【答案】5 【分析】本题考查了积的乘方，单项式除以单项式，根据指数运算法则，先计算分母的平方，再将除法转化为分数形式，分别比较x和y的指数得出方程，求解a和b的值即可 【详解】解： 化简得：， 简化得： 两边除以2： ，， 解得：，解得 ， 故答案为：5． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·上海浦东新·月考）如果，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，积的乘方，有理数乘方，先根据积的乘方运算，单项式除以单项式法则得到，，从而求出，的值，最后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【题型4】科学记数法中的除法运算 1.核心知识点 单项式除以单项式法则； 科学记数法的表示形式（，）。 2.解题方法技巧 拆分运算：将系数和分别按法则运算（系数相除，）； 调整形式：确保结果符合科学记数法要求，即的取值范围为。 【例题4】.（25-26七年级上·上海黄浦·月考）2022年我国粮食总产量大约为．如果按我国人口人计算，那么人均粮食产量大约是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式．根据单项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：人均粮食产量为： ． 故答案为． 【变式题4-1】.（25-26六年级下·全国·课后作业）科学家研究发现，与我们日常生活密不可分的水的一个分子的质量大约是，水中大约有多少个水分子？ 【答案】水中大约有个水分子 【分析】本题考查了用科学记数法表示数的除法的应用，由题意得，即可求解． 【详解】解：因为一个水分子的质量为， 所以水中水分子的个数是（个）， 所以水中大约有个水分子． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·福建福州·开学考试）已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为____秒． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除单项式，科学记数法表示的数的计算可以利用单项式的相应的运算法则求解，熟练掌握单项式除单项式、科学记数法是解题的关键．根据时间路程速度列式，再根据单项式除单项式的运算法则计算，即可以得出最后的答案． 【详解】解：由题意可得，预定轨道处光传播到地球的时间为：（秒）． 故答案为：． 【变式题4-3】.（24-25七年级下·江苏泰州·月考）五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的______倍． 【答案】5 【分析】本题考查了科学记数法和单项式除以单项式，先把数据用科学记数法表示，根据题意列出算式，再根据单项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解： ，， ， 阵风战机价格是歼-10C的5倍． 故答案为：5． 【培优高频题型】 【题型5】整式的混合运算 1.核心知识点 幂的乘方、积的乘方法则； 整式除法与乘法的混合运算顺序。 2.解题方法技巧 先算乘方：优先处理幂的乘方、积的乘方运算； 再算乘除：从左到右依次进行整式乘除； 最后算加减：合并同类项得出结果。 【例题5】.（25-26八年级上·山东临沂·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算乘除即可； （2）利用多项式除以单项式运算法则和平方差公式分别把括号展开，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·江西赣州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，涉及零指数幂，负整数指数幂，积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式等知识，熟练掌握相关运算法则为解题关键； （1）根据有理数乘方，零指数幂，负整数指数幂计算各项再算加减法即可； （2）先算括号内的，再算积的乘方，最后算除法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式题5-2】.（25-26六年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，幂运算，整式的乘除运算，掌握好相关的运算法则是关键． （1）按照幂运算的法则进行计算即可； （2）按照含有乘方的有理数混合运算的法则进行计算即可； （3）先按照幂运算的法则进行化简，再根据整式乘法的法则进行计算即可； （4）先按照幂运算的法则进行化简，再根据整式乘除法的法则进行计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式题5-3】.（25-26六年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了整式的混合运算，幂的混合运算，多项式除以单项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算同底数幂相乘，积的乘方，再合并同类项，运算单项式除以单项式，即可作答． （2）先运算多项式除以单项式，再合并同类项，即可作答． （3）先运算积的乘方，多项式除以单项式，再运算单项式除以单项式，合并同类项，即可作答． （4）先运算单项式乘多项式，多项式除以单项式，再合并同类项，即可作答． （5）先运算多项式乘多项式，多项式除以单项式，再合并同类项，即可作答． （6）先运算单项式乘多项式，以及合并同类项，最后运算多项式除以单项式，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： （5）解： ； （6）解： ． 【题型6】整式除法的化简求值 1.核心知识点 整式除法法则； 整体代入思想。 2.解题方法技巧 先化简：按运算顺序将代数式化简至最简形式（无同类项）； 再求值：将字母取值或整体代数式的值代入，避免直接代入原式计算繁琐。 【例题6】.（25-26八年级上·广东韶关·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简为，值为 【分析】首先利用完全平方公式和平方差公式展开括号内的整式，然后去括号、合并同类项，再根据多项式除以单项式的法则进行化简，得到最简整式后，代入给定的、的值计算最终结果． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式题6-1】.（22-23七年级下·山东青岛·月考）化简求值：，其中，． 【答案】； 【分析】先利用完全平方公式和平方差公式展开括号内的整式，再合并同类项，最后进行多项式除以单项式的运算，再代入给定的x与y的值计算即可． 【详解】解： 当，时， 【变式题6-2】.（25-26八年级上·江苏南通·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先算整式除法及平方差公式，再代入计算． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【变式题6-3】.（24-25八年级上·四川眉山·期末）化简求值：，其中，． 【答案】，值为3 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值．先计算括号内整式的乘法运算，再合并，最后计算整式的除法运算，最后代入计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式． 【题型7】整式除法与几何图形综合 1.核心知识点 单项式/多项式除以单项式法则； 长方形、三角形的面积公式（面积=底×高/长×宽）。 2.解题方法技巧 几何建模：用整式表示图形的边长、面积，列出除法关系式（如高=面积×2÷底）； 运算求解：通过整式除法化简关系式，代入已知条件计算未知量。 【例题7】.（21-22七年级下·山东青岛·期中）某居民小区为响应党的号召，开展全民健身活动，准备修建一座长方形健身广场，其设计方案及数据如图所示．已知广场内区为长方形的成年人活动场所，区为圆形的儿童活动场所，其余地方为绿化带．    (1)求绿化带的面积； (2)求整座健身广场的面积是成年人活动场所面积的多少倍． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式、整式四则运算的应用，理解题意正确列出代数式是解题的关键． （1）根据绿化带的面积健身广场的面积成年人活动场所的面积儿童活动场所的面积，即可求解； （2）分别计算健身广场的面积和成年人活动场所的面积，再将结果相除即可． 【详解】（1）解：由题意得，绿化带的面积 ， 绿化带的面积为． （2）解：健身广场的面积， 成年人活动场所面积， ， 整座健身广场的面积是成年人活动场所面积的倍． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·北京·期中）如图有两张正方形纸片和，图1将放置在内部，测得阴影部分面积为3，图2将正方形和并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为，若将3个正方形和2个正方形并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形和纸片均无重叠部分），设正方形的边长是，正方形的边长是， (1)用含、的代数式表示图1的阴影面积 (2)用含、的代数式表示图2的阴影面积 (3)求图3阴影部分面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式，完全平方公式，整式的加减，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由图1可知，阴影部分面积正方形的面积正方形的面积，依此列式即可； （2）由图2可知，阴影部分面积边长为的正方形面积正方形的面积正方形的面积，依此列式即可； （3）由图1可知，阴影部分面积，图2可知，阴影部分面积，进而得到，由图3可知，阴影部分面积，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵正方形的边长是，正方形的边长是，由图1可知， 阴影部分面积为； （2）解：； （3）解：由图1可知，阴影部分面积， 图2可知，阴影部分面积， ∴， 由图3可知，阴影部分面积 ． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·安徽宿州·期末）某同学用长为、宽为的小长方形（如图）若干个拼成不同的大长方形，如图、图和图是拼成的不完整的长方形，已知砖块中间无缝隙．根据图示回答下列问题： (1)图中的空白面积为______；（用含，的代数式表示） (2)求图中的空白面积；（用含，的代数式表示） (3)若图和图中的空白面积分别为，，求图中的小长方形面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解决本题的关键是把长方形的长与宽用含、的代数式表示出来，再根据长方形的面积公式用含、的代数式把各部分的面积表示出来． （1）根据小长方形的摆放位置可知正方形的边长为，所以正方形的面积为，用正方形的面积减去个小长方形的面积即可得到空白部分的面积； （2）根据小长方形的摆放位置可知大长方形的长为，宽为，可知长方形的面积为，用大长方形的面积减去个小长方形的面积，即可得到空白部分的面积； （3）根据图中空白部分的面积为可得：，根据图中空白部分的面积为，可得：，解方程求出的值，即为小长方形的面积． 【详解】（1）解：由图可知小长方形的面积为， 由图可知，正方形的边长为， 正方形的面积为， 空白部分的面积为； （2）解：由图可知，长方形的长为，宽为， 长方形的面积为， 图中共有个小长方形， 图4中的空白面积为：； （3）解：图中的空白面积为：， ， 图中的空白面积为：， ， 解得：， 图中的小长方形的面积为． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·内蒙古包头·期末）某小区有一块边长为米的正方形空地，现计划将阴影部分进行绿化，中间长方形空白部分将安放一些健身器材，测量数据如图所示． (1)求安放健身器材（空白部分）的面积是多少平方米？（用代数式表示并化简） (2)求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示并化简） (3)当，时，求绿化的面积是多少平方米？ 【答案】(1)平方米； (2)平方米； (3)平方米； 【分析】此题考查了整式的混合运算的应用，根据题意正确列式计算是关键． （1）根据空白部分的长和宽列式计算即可； （2）用正方形空地减去空白部分的面积即可； （3）把字母的值代入（2）中的结果计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得 平方米 即安放健身器材（空白部分）的面积是平方米； （2）由题意可得， 平方米 即绿化的面积是平方米； （3）当，时， 平方米； 即绿化的面积是平方米； 【压轴素养题型】 【题型8】新定义运算中的整式除法 1.核心知识点 整式除法法则； 新定义运算的理解与转化。 2.解题方法技巧 翻译定义：将新定义运算（如“”）转化为整式除法运算； 按则计算：根据新定义列出算式，套用整式除法法则化简求解。 【例题8】.（25-26八年级上·全国·课后作业）我们定义新运算“@”如下：．根据这个新定义计算________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式、积的乘方、单项式除以单项式，正确理解新运算的定义是解题关键．根据新运算的定义可得，再计算单项式乘以单项式、积的乘方，然后计算单项式除以单项式即可得． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·山东济南·期末）规定一种运算，如．按照这种运算规定，请解答下列问题： (1)计算的值； (2)已知，求的值； (3)化简并求值：，其中，． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算，平方差公式，单项式除以单项式，解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，列出方程，再运用解一元一次方程的方法进行解题，即可作答． （3）先运用新定义运算，则，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴； （3）解：依题意 ， 则， ∵，， ∴． 【变式题8-2】.（24-25八年级下·四川达州·期中）定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”． (1)若，直接写出a，b的“如意数”c； (2)如果，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数” (3)已知，且a，b的“如意数”，则_____（用含x的式子表示） 【答案】(1)5 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查代数式求值，整式的运算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）把代入代数式进行求解即可； （2）根据新定义，结合整式的运算法则进行计算，利用完全平方公式的非负性进行证明即可； （3）根据新定义，列式计算即可． 【详解】（1）解：当时，； （2）当时， ； ∵， ∵， ∴． （3）∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式题8-3】.（24-25七年级上·山东济宁·期末）阅读下列材料： 让我们规定一种运算，如，再如．按照这种运算规定，请解答下列问题． (1)计算______； (2)当时，求的值； (3)若的取值与无关，求的值； 【答案】(1)0 (2)1 (3)0 【分析】本题考查了有理数的混合运算和整式的混合运算，解题的关键是掌握新运算的运算法则． (1)根据新运算展开，再求出即可； (2)根据新运算展开，再代入求出即可； (3)根据新运算展开，合并后根据已知得出关于的方程，再代入求出即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：0． （2）解： ， 当时， 原式． （3）解： ， ∵取值与无关， ∴，即， ∴． 【题型9】多项式整除问题 1.核心知识点 多项式除以单项式法则； 多项式乘法的展开与系数对应。 2.解题方法技巧 设商式：根据被除式和除式的次数，设出商式（如三次多项式除以二次多项式，商式为一次多项式）； 恒等变形：利用“被除式=除式×商式”展开，对应同类项系数相等，列方程求解未知系数。 【例题9】.（24-25七年级下·江西南昌·月考）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 整式除法——列竖式 我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算． 例如：计算，可用竖式计算． 步骤如下： ①把被除式、除式按x降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项2x，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续相除，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式除式商式余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 因为该算式的余式为0，所以可以被整除． 任务： (1)填空：______，______． (2)请按照材料中的方法，列竖式求． 【答案】(1)2， (2) 【分析】考查整式除法的意义和方法，理解除法的竖式计算方法是正确解答的前提． （1）根据整式除法的竖式计算方法，整体进行计算即可； （2）根据整式除法的竖式计算方法，整体进行计算即可． 【详解】（1）根据题意得， ， 故答案为：2，； （2）根据题意得， ∴． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·河北保定·期中）阅读材料 我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算．可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式=除式×商式＋余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． ∵余式为0，∴可以整除． 解决问题 (1)请在竖式的两个方框内分别填入正确的数或式子； (2)用竖式计算求的余式和商； (3)若多项式，则______． 【答案】(1)， (2)余式是，商是7 (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是读懂题意，能用竖式计算多项式除以多项式． （1）用竖式计算即可得到答案； （2）用竖式计算即可得到答案； （3）由，得，用竖式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题可得： 故答案为：，； （2）解：竖式如下： 即余式是，商是7； （3）解：∵， ∴， 竖式如下： ∴． 【变式题9-2】.（24-25八年级上·湖北恩施·期末）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算． 例如：计算，可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式，除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式=除式商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 余式为0，能被整除． 请根据阅读材料，回答下列问题： (1)上面的整式计算中，两个方框内分别填入数或式子应该是：_________； (2)请用竖式除法计算：，并完成填空：商式为______，余式为______． 【答案】(1)；2 (2)； 【分析】考查整式除法的意义和方法，理解除法的竖式计算方法是正确解答的前提． （1）根据整式除法的竖式计算方法，整体进行计算即可； （2）根据整式除法的竖式计算方法，整体进行计算即可。 【详解】（1）竖式表示为 故答案为：； （2）竖式表示为 故答案为：； 【变式题9-3】.（2024七年级下·江苏·专题练习）阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法．多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算． 如图 ， 即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下： ①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）． ②用竖式进行运算． ③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．若余式为零，说明被除式能被除式整除． 例如： 余式为0， 能被整除． 根据阅读材料，请回答下列问题： (1)多项式除以多项式，所得的商式为 ； (2)已知关于的二次多项式除以，商式是，余式是，求这个多项式； (3)已知能被整除，则 ； (4)如图2，有2张卡片，3张卡片，1张卡片，能否将这6张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)3 (4)能，一边长为的长方形，另一边长为 【分析】本题考查了利用竖式计算整式的除法，解题关键是注意同类项的对应，理解被除式除式商式余式． （1）列竖式进行计算即可得到答案； （2）根据被除式除式商式余式进行计算，即可求出多项式； （3）列竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数即可得到答案； （4）根据题意，得到6张卡片的总面积为，列竖式计算，根据能被整除，即可得到答案． 【详解】（1）解：列竖式如下： 多项式除以多项式，所得的商式为， 故答案为：； （2）解：关于的二次多项式除以，商式是，余式是， 该二次多项式为：， 即多项式为：； （3）解：列竖式如下： 能被整除， ， 解得：， 故答案为：3； （4）解：能， 根据题意，卡片的面积是，卡片的面积是，卡片的面积是， 张卡片，3张卡片，1张卡片的总面积为， 列竖式如下： 余式为0， 能被整除，商式为， 可以拼成与原来总面积相等且一边长为的长方形，另一边长为． 易错点 1.单项式除法中符号错误：忽略系数的符号运算，或混淆同底数幂的指数运算（如误将算为）； 2.多项式除法漏项：遗漏常数项或含单独字母的项，如误算为（忽略常数项）； 3.混合运算顺序错误：先算加减后算乘除，或未先算乘方直接进行乘除； 4.同类项合并错误：多项式除法后，将不同底数或指数的项错误合并（如误合并为）； 5.验证意识缺失：未用“商×除式=被除式”验证结果，导致运算错误未发现。 重点 1.熟练掌握单项式除以单项式的三步运算（系数、同底数幂、单独字母）； 2.掌握多项式除以单项式的“逐项相除+求和”法则，避免漏项和符号错误； 3.明确整式混合运算顺序，能准确进行含乘方、乘除、加减的综合运算； 4.会用整式除法解决化简求值、几何图形、实际应用等基础综合问题； 5.理解整式除法与乘法的逆运算关系，能通过验证检验结果正确性。 难点 1.含参数的整式除法问题：根据“不含某一项”“商为特定形式”等条件列方程求解参数； 2.多项式整除问题：合理设出商式，通过恒等变形对应系数求解； 3.跨学科与新定义情境题：将实际问题或新定义转化为整式除法模型，灵活运用法则； 4.规律探究题：从特例中提炼通用规律，并用整式除法验证规律的一般性。 【对应练习题】 一、单选题 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式除以单项式的运算法则，解题关键是熟练掌握“系数相除，同底数幂相除，指数相减”的运算规则． 分别对系数和同底数幂进行除法运算，再将结果相乘． 【详解】解：先计算系数部分：； 再计算的幂次：； 再计算的幂次：； 合并结果得：． 故选：C． 2．科技小组的小明和小红在进行整式运算探究活动，两人各写一个整式，若把小明写的整式当作除式，小红写的整式当作被除式，规定商必须是，若小红写的整式是，则小明应写的整式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式除以单项式的整式运算，根据除法各部分关系“除式=被除式÷商”，利用多项式除以单项式的法则计算即可 【详解】解：小明应写的整式为 ∴答案选：B 3．对于任意有理数，，现用“☆”定义一种运算：☆，根据这个定义，代数式☆可以化简为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算；根据新定义的运算规则代入，再利用完全平方公式展开化简即可． 【详解】解：∵☆， ∴☆， ∵， ∴， 故选：C． 4．一道除法运算题：，其中被除式的第二项被墨水弄污了，商的第一项也被墨水弄污了，则被墨水弄污染的内容是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查多项式除以单项式的运算，需利用多项式除以单项式的法则，分别计算被除式与商中被污染的项． 【详解】解：∵被除式第一项为，除式为， ∴商的第一项为， 设被除式中被污染的项为， ∵商的中间项为，且， ∴， ∴ ， 综上，被污染的内容为和，对应选项D； 故选：D 二、填空题 5．如图，美美不小心在课后作业的第1题滴了一点墨水，留下一道残缺不全的题目，则被墨水覆盖的部分为_____． 课后作业 1．计算： 2…… 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，多项式乘以单项式．根据整式的除法，被除式等于商乘以除式，由此可求出被墨水覆盖的部分． 【详解】解：被覆盖部分为， 故答案为：． 6．化简的结果是______． 【答案】/ 【分析】本题考查多项式除以单项式，掌握好整式除法的法则是关键． 按照多项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 7．若长方形的面积是，其中一边长是，则它的邻边长是___________（假定各边长均为正数）． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式的应用，解题的关键是掌握多项式除以单项式的法则．根据长方形面积公式，邻边长等于面积除以已知边长，即多项式除以单项式，进行计算即可． 【详解】解：由题意得，该长方形的邻边长为 ． 故答案为：． 8．一个多项式除以，商为，余数是，这个多项式为______． 【答案】 【详解】解：根据题意得， 三、解答题 9．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的运算， （1）运用多项式除以单项式的法则计算， （2）先利用完全平方公式与平方差公式展开式子，再合并同类项， （3）运用多项式乘多项式的法则展开后合并同类项即可 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 10．世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅厘米，其质量也只有克．一个鸡蛋的质量大约是50克，一个鸡蛋的质量大约相当于多少只卵蜂的质量？（结果用科学记数法表示） 【答案】一个鸡蛋的质量大约相当于只卵蜂的质量． 【分析】直接用鸡蛋的重量除以一只卵蜂的质量即可得到答案． 【详解】解： （只）， 答：一个鸡蛋的质量大约相当于只卵蜂的质量． 【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示数的除法的应用，正确计算是解题的关键． 11． 一块长方形铁皮的长为米，宽为米，在它的四个角各剪去一个边长为米的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，问这个盒子的表面积是多少？ 【答案】平方米 【分析】本题考查了整式的混合运算，关键是熟练应用运算法则进行计算；根据题意列出代数式后化简即可． 【详解】解：由题意得： （平方米）． 答：这个盒子的表面积为平方米． 12．已知，其中为整数．证明：能被4整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查了整数的混合运算，简化的表达式，得到，提取公因数4后，证明其为4的倍数，从而得证． 【详解】证明： ， 为整数，， 为整数， 故能被4整除． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 整式的除法 知识点1：单项式除以单项式 1.核心法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 2.运算步骤： 系数相除：遵循有理数除法法则（含符号，同号得正，异号得负）； 同底数幂相除：底数不变，指数相减（即，，）； 单独字母保留：只在被除式中出现的字母，连同其指数直接纳入商中。 知识点2：多项式除以单项式 1.核心法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加（本质是乘法分配律的逆用，即，）。 2.注意事项： 符号同步：多项式的每一项都包含前面的符号，除以单项式时需同步运算符号； 不重不漏：确保多项式的每一项都参与除法运算，尤其是常数项（常数项除以单项式仍为常数）； 结果整理：所得商中若有同类项，需合并同类项化简。 知识点3：整式除法与乘法的关系 关系类型 具体说明 示例 互逆运算 整式除法是整式乘法的逆运算，即“商×除式=被除式” 若，则 运算性质关联 同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方性质通用 （）；（） 知识点4：整式除法的混合运算顺序 1.先算乘方（幂的乘方、积的乘方）； 2.再算乘除（从左到右依次运算）； 3.最后算加减（多项式间的加减）； 4.有括号的先算括号内的运算。 【基础必考题型】 【题型1】单项式除以单项式基础运算 1.核心知识点 单项式除以单项式的法则； 同底数幂的除法性质。 2.解题方法技巧 分步运算：先算系数（含符号），再算同底数幂，最后保留单独字母； 验证检验：用“商×除式=被除式”验证结果正确性。 【例题1】.（24-25七年级下·河南郑州·期末）计算：_______． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·吉林长春·期中）计算： 【变式题1-2】.（24-25八年级下·湖北武汉·月考）计算：______． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·广东广州·期末）计算： （1）__________； （2）__________； （3）__________． 【题型2】多项式除以单项式基础运算 1.核心知识点 多项式除以单项式的法则； 同类项合并规则。 2.解题方法技巧 逐项相除：将多项式的每一项分别除以单项式，注意符号随项运算； 合并化简：除完后合并同类项，确保结果无同类项残留。 【例题2】.（25-26八年级上·江苏南通·期中）计算：______． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：________________． 【变式题2-2】.（22-23七年级下·山东青岛·月考）若长方形的面积是，长为，则它的宽为________． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·福建厦门·月考）计算： （）______； （）______． 【题型3】利用整式除法求字母值 1.核心知识点 单项式/多项式除以单项式法则； 等式两边同类项系数相等的性质。 2.解题方法技巧 运算化简：将等式左边按除法法则化简； 系数对应：等式两边相同字母的指数一致，列方程求解字母值。 【例题3】.（25-26七年级下·全国·周测）已知，则的值为____________． 【变式题3-1】.（24-25六年级下·全国·单元测试）若，则的值为______． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·河南周口·期末）如果，则______． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·上海浦东新·月考）如果，那么______． 【题型4】科学记数法中的除法运算 1.核心知识点 单项式除以单项式法则； 科学记数法的表示形式（，）。 2.解题方法技巧 拆分运算：将系数和分别按法则运算（系数相除，）； 调整形式：确保结果符合科学记数法要求，即的取值范围为。 【例题4】.（25-26七年级上·上海黄浦·月考）2022年我国粮食总产量大约为．如果按我国人口人计算，那么人均粮食产量大约是__________． 【变式题4-1】.（25-26六年级下·全国·课后作业）科学家研究发现，与我们日常生活密不可分的水的一个分子的质量大约是，水中大约有多少个水分子？ 【变式题4-2】.（25-26九年级上·福建福州·开学考试）已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为____秒． 【变式题4-3】.（24-25七年级下·江苏泰州·月考）五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的______倍． 【培优高频题型】 【题型5】整式的混合运算 1.核心知识点 幂的乘方、积的乘方法则； 整式除法与乘法的混合运算顺序。 2.解题方法技巧 先算乘方：优先处理幂的乘方、积的乘方运算； 再算乘除：从左到右依次进行整式乘除； 最后算加减：合并同类项得出结果。 【例题5】.（25-26八年级上·山东临沂·期末）计算： (1) (2) 【变式题5-1】.（25-26八年级上·江西赣州·期末）计算： (1) (2) 【变式题5-2】.（25-26六年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题5-3】.（25-26六年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【题型6】整式除法的化简求值 1.核心知识点 整式除法法则； 整体代入思想。 2.解题方法技巧 先化简：按运算顺序将代数式化简至最简形式（无同类项）； 再求值：将字母取值或整体代数式的值代入，避免直接代入原式计算繁琐。 【例题6】.（25-26八年级上·广东韶关·月考）先化简，再求值：，其中，． 【变式题6-1】.（22-23七年级下·山东青岛·月考）化简求值：，其中，． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·江苏南通·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式题6-3】.（24-25八年级上·四川眉山·期末）化简求值：，其中，． 【题型7】整式除法与几何图形综合 1.核心知识点 单项式/多项式除以单项式法则； 长方形、三角形的面积公式（面积=底×高/长×宽）。 2.解题方法技巧 几何建模：用整式表示图形的边长、面积，列出除法关系式（如高=面积×2÷底）； 运算求解：通过整式除法化简关系式，代入已知条件计算未知量。 【例题7】.（21-22七年级下·山东青岛·期中）某居民小区为响应党的号召，开展全民健身活动，准备修建一座长方形健身广场，其设计方案及数据如图所示．已知广场内区为长方形的成年人活动场所，区为圆形的儿童活动场所，其余地方为绿化带．    (1)求绿化带的面积； (2)求整座健身广场的面积是成年人活动场所面积的多少倍． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·北京·期中）如图有两张正方形纸片和，图1将放置在内部，测得阴影部分面积为3，图2将正方形和并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为，若将3个正方形和2个正方形并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形和纸片均无重叠部分），设正方形的边长是，正方形的边长是， (1)用含、的代数式表示图1的阴影面积 (2)用含、的代数式表示图2的阴影面积 (3)求图3阴影部分面积． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·安徽宿州·期末）某同学用长为、宽为的小长方形（如图）若干个拼成不同的大长方形，如图、图和图是拼成的不完整的长方形，已知砖块中间无缝隙．根据图示回答下列问题： (1)图中的空白面积为______；（用含，的代数式表示） (2)求图中的空白面积；（用含，的代数式表示） (3)若图和图中的空白面积分别为，，求图中的小长方形面积． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·内蒙古包头·期末）某小区有一块边长为米的正方形空地，现计划将阴影部分进行绿化，中间长方形空白部分将安放一些健身器材，测量数据如图所示． (1)求安放健身器材（空白部分）的面积是多少平方米？（用代数式表示并化简） (2)求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示并化简） (3)当，时，求绿化的面积是多少平方米？ 【压轴素养题型】 【题型8】新定义运算中的整式除法 1.核心知识点 整式除法法则； 新定义运算的理解与转化。 2.解题方法技巧 翻译定义：将新定义运算（如“”）转化为整式除法运算； 按则计算：根据新定义列出算式，套用整式除法法则化简求解。 【例题8】.（25-26八年级上·全国·课后作业）我们定义新运算“@”如下：．根据这个新定义计算________． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·山东济南·期末）规定一种运算，如．按照这种运算规定，请解答下列问题： (1)计算的值； (2)已知，求的值； (3)化简并求值：，其中，． 【变式题8-2】.（24-25八年级下·四川达州·期中）定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”． (1)若，直接写出a，b的“如意数”c； (2)如果，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数” (3)已知，且a，b的“如意数”，则_____（用含x的式子表示） 【变式题8-3】.（24-25七年级上·山东济宁·期末）阅读下列材料： 让我们规定一种运算，如，再如．按照这种运算规定，请解答下列问题． (1)计算______； (2)当时，求的值； (3)若的取值与无关，求的值； 【题型9】多项式整除问题 1.核心知识点 多项式除以单项式法则； 多项式乘法的展开与系数对应。 2.解题方法技巧 设商式：根据被除式和除式的次数，设出商式（如三次多项式除以二次多项式，商式为一次多项式）； 恒等变形：利用“被除式=除式×商式”展开，对应同类项系数相等，列方程求解未知系数。 【例题9】.（24-25七年级下·江西南昌·月考）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 整式除法——列竖式 我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算． 例如：计算，可用竖式计算． 步骤如下： ①把被除式、除式按x降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项2x，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续相除，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式除式商式余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 因为该算式的余式为0，所以可以被整除． 任务： (1)填空：______，______． (2)请按照材料中的方法，列竖式求． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·河北保定·期中）阅读材料 我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算．可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式=除式×商式＋余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． ∵余式为0，∴可以整除． 解决问题 (1)请在竖式的两个方框内分别填入正确的数或式子； (2)用竖式计算求的余式和商； (3)若多项式，则______． 【变式题9-2】.（24-25八年级上·湖北恩施·期末）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算． 例如：计算，可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式，除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式=除式商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 余式为0，能被整除． 请根据阅读材料，回答下列问题： (1)上面的整式计算中，两个方框内分别填入数或式子应该是：_________； (2)请用竖式除法计算：，并完成填空：商式为______，余式为______． 【变式题9-3】.（2024七年级下·江苏·专题练习）阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法．多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算． 如图 ， 即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下： ①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）． ②用竖式进行运算． ③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．若余式为零，说明被除式能被除式整除． 例如： 余式为0， 能被整除． 根据阅读材料，请回答下列问题： (1)多项式除以多项式，所得的商式为 ； (2)已知关于的二次多项式除以，商式是，余式是，求这个多项式； (3)已知能被整除，则 ； (4)如图2，有2张卡片，3张卡片，1张卡片，能否将这6张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 易错点 1.单项式除法中符号错误：忽略系数的符号运算，或混淆同底数幂的指数运算（如误将算为）； 2.多项式除法漏项：遗漏常数项或含单独字母的项，如误算为（忽略常数项）； 3.混合运算顺序错误：先算加减后算乘除，或未先算乘方直接进行乘除； 4.同类项合并错误：多项式除法后，将不同底数或指数的项错误合并（如误合并为）； 5.验证意识缺失：未用“商×除式=被除式”验证结果，导致运算错误未发现。 重点 1.熟练掌握单项式除以单项式的三步运算（系数、同底数幂、单独字母）； 2.掌握多项式除以单项式的“逐项相除+求和”法则，避免漏项和符号错误； 3.明确整式混合运算顺序，能准确进行含乘方、乘除、加减的综合运算； 4.会用整式除法解决化简求值、几何图形、实际应用等基础综合问题； 5.理解整式除法与乘法的逆运算关系，能通过验证检验结果正确性。 难点 1.含参数的整式除法问题：根据“不含某一项”“商为特定形式”等条件列方程求解参数； 2.多项式整除问题：合理设出商式，通过恒等变形对应系数求解； 3.跨学科与新定义情境题：将实际问题或新定义转化为整式除法模型，灵活运用法则； 4.规律探究题：从特例中提炼通用规律，并用整式除法验证规律的一般性。 【对应练习题】 一、单选题 1．（    ） A． B． C． D． 2．科技小组的小明和小红在进行整式运算探究活动，两人各写一个整式，若把小明写的整式当作除式，小红写的整式当作被除式，规定商必须是，若小红写的整式是，则小明应写的整式是（   ） A． B． C． D． 3．对于任意有理数，，现用“☆”定义一种运算：☆，根据这个定义，代数式☆可以化简为（     ） A． B． C． D． 4．一道除法运算题：，其中被除式的第二项被墨水弄污了，商的第一项也被墨水弄污了，则被墨水弄污染的内容是（   ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 5．如图，美美不小心在课后作业的第1题滴了一点墨水，留下一道残缺不全的题目，则被墨水覆盖的部分为_____． 课后作业 1．计算： 2…… 6．化简的结果是______． 7．若长方形的面积是，其中一边长是，则它的邻边长是___________（假定各边长均为正数）． 8．一个多项式除以，商为，余数是，这个多项式为______． 三、解答题 9．计算： (1)； (2)； (3)． 10．世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅厘米，其质量也只有克．一个鸡蛋的质量大约是50克，一个鸡蛋的质量大约相当于多少只卵蜂的质量？（结果用科学记数法表示） 11． 一块长方形铁皮的长为米，宽为米，在它的四个角各剪去一个边长为米的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，问这个盒子的表面积是多少？ 12．已知，其中为整数．证明：能被4整除． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $