18.2 菱形（第1课时 菱形的性质及应用）（教学课件）数学新教材华东师大版八年级下册

18.2 菱形 第1课时 菱形的性质及应用 第十八章 矩形、菱形与正方形 章节导读 18.1矩形 18.2菱形 菱形的判定定理1 菱形的定义与性质定理 矩形的性质定理的应用 矩形的定义与性质定理 菱形的性质定理的应用 菱形的判定定理2 正方形的性质 18.3正方形 矩形的判定定理 矩形的判定定理的应用 直角三角形的性质 2 学 习 目 标 1 2 3 知道菱形与平行四边形的区别与联系，理解一般与特殊的关系； 认识菱形，归纳推理菱形的性质定理；能推导菱形的面积与对角线的关系； 利用菱形的性质定理进行计算和证明。 复习回顾 平行四边形和矩形的性质： 对称性 边 角 对角线 平行四边形的一般性质 中心对称 矩形的特殊性质 对边平行且相等 对角相等 轴对称 四个角都是直角 邻边垂直 对角线互相平分 对角线相等 矩形的定义： 有一个角为直角的平行四边形。 4 情景导入 小明周末在家做手工。 他先按照图①的方式将一张矩形的纸对折； 然后再对折，如图②； 沿着图③虚线的位置剪下； 打开后，这是一个什么样的图形呢？ ① ② ③ ④ 新知探究 菱形 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 观察、测量后发现它是平行四边形，相邻两边的长也一样。但是两邻边之间的夹角不是直角。 这是另一种特殊的平行四边形，即菱形。 菱形是一种特殊的平行四边形． 一组邻边相等 6 新知探究 菱形 生活中的矩形 找一找 窗格 中国结 镜子边框 活动晾衣架 7 新知探究 菱形的性质 作为一种特殊的平行四边形，菱形具有平行四边形的一般性质。将你剪下的菱形折叠、测量，看看它有哪些特殊的性质，你观察到了什么？ 探索 对称性 边 角 对角线 平行四边形的一般性质 中心对称 菱形的特殊性质 对边平行且相等 对角相等 轴对称 对角相等 四条边都相等 对角线互相平分 对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角 A B C D 8 A B C D 归纳总结 菱形的对称性 作为特殊的平行四边形，菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为对角线所在的直线． 菱形的性质 ①菱形有两条对称轴； ②对称中心是两条对角线交点 O。 O 归纳总结 菱形的性质定理1 文字表述：菱形的四条边都相等。 几何语言：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴. 菱形的性质 菱形的性质定理2 文字表述：菱形的对角线互相垂直。 几何语言：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD . 上述结论，你能证明吗？试一试。 A B C D O 新知探究 菱形的性质 对于性质定理1，我们可以根据菱形的定义和平行四边形的性质加以证明． 证一证 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB = CD，AD = BC (平行四边形的对边相等). 又∵AB = AD， ∴AB = BC = CD = AD . 已知：四边形是平行四边形，. 求证：. A B C D O 11 新知探究 菱形的性质 对于性质定理2，我们依据性质定理1，找到其中的等腰三角形，再由“等腰三角形的三线合一”，从而得到结论． 证一证 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.求证：AC ⊥ BD. 证明：∵AB = AD， ∴△ABD 是等腰三角形. 又∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OB = OD（平行四边形的对角线互相平分）. 在等腰三角形 ABD 中， ∵OB = OD， ∴ AO ⊥ BD，即AC ⊥ BD.（等腰三角形三线合一） A B C D O 12 典例分析 例1 如图所示，在菱形中，.试求出的大小，并说明△是等边三角形. 菱形的性质 解：在菱形中， ∵， ∴， ∵(菱形的四条边都相等)，， ∴是等边三角形. A B C D 13 随堂练习 （P129练习1）如图，在菱形 中，. 求该菱形的周长和两条对角线的长. 菱形的性质 解: 四边形是菱形， ∴ 菱形的周长， 在 Rt△中，由勾股定理得 . . ∴ 菱形的周长为 20，两条对角线的长分别为 8 和 6. 归纳： A C B D O 思考：菱形的边长与对角线有什么关系？ 14 拓展探究 菱形的面积 （P129练习2）试说明菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半. 解: 如图. 在菱形 ABCD 中，AC ⊥ BD， ＝ AC · (DO + BO) 即菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半. ＝ AC · DO + AC · BO ＝ AC · BD， O B D A C 15 归纳总结 菱形的面积 【菱形的面积公式】 = 底×高 = 对角线乘积的一半 C B A D O E 依据 数学语言 菱形是平行四边形 菱形对角线互相垂直 典例分析 （P129练习3）如图，在菱形中，. 求该菱形的面积. 菱形的面积 解:如图，设 AC 与 BD 的交点为 O. ∵ 四边形 ABCD 是菱形，BD ＝ 12， ∴ AC ⊥ BD，OA＝ OC，OB ＝ OD ＝ BD ＝ 6. 在 Rt△AOB 中，OA ＝ ＝ ＝ 8， ∴ AC ＝2OA ＝ 16. ∴ S菱形ABCD ＝ AC · BD ＝ ×16×12 ＝ 96. 17 典例分析 例2 如图，已知菱形的边长为 2 cm，，对角线相交于点. 求这个菱形的两条对角线和的长。（保留根号）. 菱形的性质的应用 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，AB＝AD(菱形的四条边都相等). 在△ABO和△ADO中， ∵AB＝AD，AO＝AO, OB＝OD, ∴△ABO≌△ADO, ∴∠BAO＝∠DAO ＝∠BAD＝60°. 在△ABC中，∵AB＝BC，∠BAC＝60°, D A B C O ∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝2. 在菱形ABCD中，∵AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)， ∴△AOB为直角三角形， ∴ . ∴2（cm). 18 典例分析 例3 如图，菱形的对角线与相交于点，垂直且平分，垂足为点. 求的大小. 菱形的性质的应用 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝DC＝CB＝BA(菱形的四条边都相等). 又∵AE垂直平分CD，∴AC＝AD， ∴AC＝AD＝DC＝CB＝BA， 即与都为等边三角形， ∴∠ACD＝∠ACB＝60°. ∴∠BCD＝120°. D A B C O E 19 归纳总结 菱形的性质的应用 利用菱形的性质的解题技巧 菱形是特殊的平行四边形，除了具备平行四边形的所有性质外，还有自己独有的性质，掌握这些性质的应用技巧，能快速解决相关问题： 1. 对角线构造直角三角形法（最常用） 菱形的对角线互相垂直平分，会把菱形分成4个全等的直角三角形，可以用勾股定理、直角三角形的性质（30°角、三角函数）来计算边长、对角线长。 2. 角度转化技巧 对角线平分一组对角；邻角互补。 3. 面积公式的灵活切换 已知底和高：用 已知对角线：用对角线乘积的一半 求对角线、高时，可通过面积相等建立等式求解。 总结：解决菱形问题的核心是抓住对角线垂直平分的性质，构造直角三角形，结合勾股定理、角度性质、面积公式求解 1.如图，已知菱形的边cm，一条对角线cm. 求这个菱形的周长和它的面积. 随堂练习 基础过关(P130) 解: 如图，设 AC、BD 相交于点 O. 在菱形 ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝5 cm，AC ⊥ BD， ∴ 菱形的周长＝4AB ＝20 cm. 又∵ AO ＝CO ＝ AC ＝ 3 cm，BO ＝ DO， 在 Rt△ABO 中， BO ＝ ＝ ＝ 4 (cm)， ∴ BD ＝ 8 cm， ∴ S菱形ABCD ＝ AC · BD ＝ ×6×8 ＝24 ( cm2 ). A C B D O 21 随堂练习 基础过关(P130) 2.如图，已知菱形的一条对角线恰好与其边的长相等. 求这个菱形各内角的大小. 解: 在菱形 ABCD 中，AB ＝AD，AB∥ CD. 又∵ BD ＝AB， ∴ △ABD 为等边三角形， ∴ ∠A ＝60°， ∴ ∠C ＝∠A ＝ 60°. ∵ DC∥AB， ∴ ∠A + ∠ADC ＝ 180°， ∴ ∠ADC ＝ 120°， ∴ ∠ABC ＝∠ADC ＝120°. A B C D 22 随堂练习 基础过关(P130) 3.如图，在菱形中，是的中点，且，. （1）求两条对角线的长（保留根号）； （2）求菱形的面积（精确到 0.1）. 解:（1）如图，交于点. ∵ 是的中点，， ∴ . ∵ 四边形是菱形， ∴ . ∴ 在 Rt中，＝＝， ∴ 2. A B C D E O 23 随堂练习 4. 如图，在菱形中，、分别是边 、上的点，.求证： . 能力提升 证明： 四边形 是菱形， ， . ， . 在和中， ， ， . 24 随堂练习 能力提升 5. （推理能力）如图，菱形的周长为8，对角线， 、 分别是边、上的两个动点，且满足 . （1）求证： ； （2）判断 的形状，并说明理由. 25 随堂练习 能力提升 5. （推理能力）如图，菱形的周长为8，对角线， 、 分别是边、上的两个动点，且满足 . （1）求证： ； 证明： 菱形的周长为8，对角线 ， ， ， 与 都是等边三角形， . ， . 又 ， . 在和中， . 26 随堂练习 能力提升 5. （推理能力）如图，菱形的周长为8，对角线， 、 分别是边、上的两个动点，且满足 . （2）判断 的形状，并说明理由. 解： 是等边三角形.理由如下： 由（1）可知 ， ， ， ， 是等边三角形. 27 课堂小结 菱形的性质 菱形的性质 有关 计算 边 1. 周长 = 边长的四倍 2. 面积 = 两条对角线乘积的一半 角 对角线 1. 两组对边平行且相等； 2. 四条边相等 两组对角分别相等，邻角互补 1. 两条对角线互相垂直平分； 2. 每一条对角线平分一组对角 是中心对称图形和轴对称图形 对称性 感谢聆听! $