精品解析：重庆市29中学校2025-2026学年度下期初二年级数学半期测试题

重庆市29中学校2025-2026学年度下期 初二年级数学半期测试题 一、选择题（共10小题，每题4分） 1. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 1，，3 C. 6，8，10 D. ，， 2. 如图是汽车加完汽油后，加油机显示屏上显示的内容．在加油过程中加油机显示屏上的三个量中，常量是（ ） A. 金额 B. 数量 C. 单价 D. 金额和数量 3. 如图，在菱形中，过点C作交对角线于点E，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象过第一、三象限，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点A与B重合，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 观察下列图象，可以得出关于x的不等式组的解集是（　　） A. B. C. D. 9. 小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（ ） A. 小明家和学校距离1200米 B. 小华乘公共汽车的速度是240米/分 C. 小华乘坐公共汽车后与小明相遇 D. 小明从家到学校的平均速度为80米/分 10. 如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，沿四边形的边运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点．连接，下列结论中：①四边形是矩形；②当时，点E是的中点；③当，时，线段长度的最大值为2；其中正确的有（ ）个 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题（共6小题，共24分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_______. 12. 如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是______． 13. 如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为，小臂到地面的距离约，则适合小明的绳长为____． 14. 如图，直线的解析式是，点C在直线上，其坐标是．连接，D为一次函数图象上的一点，过点D分别作轴，轴，垂足分别为E，F；若，则点D的坐标是______________． 15. 已知在中，，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，，连接AF，CF，若，则AB＝______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，点C在上，且，则点C的坐标是______________；动点D在内（不包括的边界），连接，过点C作的垂线交直线于点E，若，则点E的纵坐标m的取值范围是______________． 三、解答题（共2小题，每小题8分，共16分） 17. 已知一次函数． （1）m为何值时，图象过原点． （2）图象过一、二、四象限，求m的取值范围． 18. 如图，正方形网格中的，若小方格边长为1． （1）判断是否为直角三角形并说明理由； （2）求最长边上的高． 四、解答题（共7小题，每小题10分，共70分） 19. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，平分，交于点E． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形为平行四边形． 证明：四边形为平行四边形， ，①________________， ∴②________________． 平分，平分， ， ∴③________________， ， ∴④________________， ∴四边形为平行四边形． 20. 在中，，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求的长； （2）判断四边形的形状，并说明理由． 21. 快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如表： 型号 甲 乙 每台每小时分拣快递件数(件) 1000 800 每台价格(万元) 5 3 该公司计划购买这两种型号的机器人共10台，并且使这10台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8500件 (1)设购买甲种型号的机器人x台，购买这10台机器人所花的费用为y万元，求y与x之间的关系式； (2)购买几台甲种型号的机器人，能使购买这10台机器人所花总费用最少？最少费用是多少？ 22. 如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成，图2是其侧面结构示意图，面板固定在支撑轴端点处，，支撑轴长，支撑轴与底座所成的角． （1）求端点到底座的距离； （2）如图3，为了阅读舒适，将绕点逆时针旋转后，点恰好落在直线上，问：端点到底座的距离减少了多少？ 23. 如图1，在矩形中，，，点从点出发以每秒个单位的速度沿的方向向终点运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线的方向运动，当点与点重合时同时停止运动，连接、、，记运动时间为秒，（当时，），（当点与点重合时，）． （1）直接写出、与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在图2中画出、的函数图象，并写出函数的一条性质； （3）结合画出的函数图象，直接写出时，点的运动时间为多少秒．（保留1位小数，误差不超过） 24. 直线经过点，点．过点的直线交直线于点D，交y轴于点E． （1）求直线表达式； （2）点M为y轴上一动点，的面积为5，求点M的坐标； （3）连结，点G是直线上一点，且满足，求点G的坐标． 25. 在菱形中，，动点E在边上，连接，． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，在上取点F，使得，且，连接，点G是的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明； （3）如图3，在同一平面上取一点P（点P与点A在的异侧），使得，且，连接．当取到最小值时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市29中学校2025-2026学年度下期 初二年级数学半期测试题 一、选择题（共10小题，每题4分） 1. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 1，，3 C. 6，8，10 D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理及三角形三边关系，熟练运用勾股定理的逆定理判断直角三角形是解题关键． 根据勾股定理的逆定理“三角形的三边长、、（为最长边）满足，则该三角形为直角三角形”对每个选项中的三边代入判断即可，注意对于选项B不满足三边关系． 【详解】∵对于选项A，， ∴不能构成直角三角形，故不符合题意； ∵对于选项B，，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴不能构成三角形，故不符合题意； ∵对于选项C，，即， ∴能构成直角三角形，故符合题意； ∵对于选项D，， ∴不能构成直角三角形，故不符合题意． 故选：C 2. 如图是汽车加完汽油后，加油机显示屏上显示的内容．在加油过程中加油机显示屏上的三个量中，常量是（ ） A. 金额 B. 数量 C. 单价 D. 金额和数量 【答案】C 【解析】 【分析】根据在一个变化过程中始终不变化的量是常量解答． 【详解】解：金额，数量，单价中不变化的是单价，故常量是单价， 故选：C． 【点睛】此题考查了常量的定义，正确理解常量的定义是解题的关键． 3. 如图，在菱形中，过点C作交对角线于点E，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴． 4. 已知函数的图象过第一、三象限，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数增减性与系数的关系，掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据正比例函数的性质求解． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴， 故选：A． 5. 根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定、平行线的判定等知识．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，本选项符合题意； D、由两组内错角相等，可得两组对边分别平行，根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C． 6. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．根据多边形的内角和公式及外角的特征计算． 【详解】解：多边形的外角和是，根据题意得： 解得． 故选C． 7. 如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点A与B重合，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为折叠后点与点重合，可得．设的长为，那么．在中运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：∵折叠后点与点重合， ∴． 设， ∵， ∴ ， ∴． 在中，，， 根据勾股定理，代入得： ， 解得 ， ∴的长为． 8. 观察下列图象，可以得出关于x的不等式组的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据题意，由不等式组的解集是函数与的图象均在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围，进而结合图象即可判断得解． 本题主要考查了一次函数与一元一次不等式．认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系．利用数形结合是解决本题的关键． 【详解】解：由题意得，不等式组的解集是函数与的图象均在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围． 根据图象得的解集为， 的解集为， ∴不等式组的解集是． 故选：D． 9. 小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（ ） A. 小明家和学校距离1200米 B. 小华乘公共汽车的速度是240米/分 C. 小华乘坐公共汽车后与小明相遇 D. 小明从家到学校的平均速度为80米/分 【答案】D 【解析】 【分析】通过图像可得小明家距离学校1200米，小华家也是，得知距离时间即可算出速度． 【详解】解：A．由图可得小明家距离学校1200米，故A正确，不符合题意； B．小华从家到学校用时分钟， 小华乘公共汽车的速度为米/分，故B正确，不符合题意； C．（分钟）， （分钟）， ∴小华乘坐公共汽车后与小明相遇的时间为，故C正确，不符合题意； D．小明从家到学校的平均速度为米/分，故D错误，符合题意． 10. 如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，沿四边形的边运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点．连接，下列结论中：①四边形是矩形；②当时，点E是的中点；③当，时，线段长度的最大值为2；其中正确的有（ ）个 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】由对角线互相平分且相等的四边形是矩形证明四边形是矩形，即可判断①；可证明是中位线，，而点E可以在上，也可以在上，据此可判断②；根据，则有最大值时，有最大值，则点E与点D重合时，的最大值为4，则长度的最大值为2，据此可判断③． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴四边形是矩形，故①正确； 当点E在上时， ∵分别是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点是的中点； 当点E在上时，同理可得，但此时点不是的中点，故②错误； 由②可知，， ∵点E沿四边形的边运动至点停止，且， ∴的最大值为4，此时点E与点D重合， ∴的最大值为2，故③正确； 综上，正确的有①③，共2个． 二、填空题（共6小题，共24分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数． 【详解】依题意，得x-3≥0， 解得：x≥3． 【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 12. 如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据矩形对角线相等而且互相平分可得，推出，由求出，再根据即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 13. 如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为，小臂到地面的距离约，则适合小明的绳长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．如图，过A作于D，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，过A作于D， ∵， ∴ ， 在中，， ∴， ∴绳长为； 故答案为：． 14. 如图，直线的解析式是，点C在直线上，其坐标是．连接，D为一次函数图象上的一点，过点D分别作轴，轴，垂足分别为E，F；若，则点D的坐标是______________． 【答案】 【解析】 【分析】将点的坐标代入直线解析式即可求出的值，根据勾股定理求出，结合已知条件求出的值，设点的坐标，利用两点间距离公式列方程求解，最后根据确定点的位置． 【详解】解：∵点在直线上， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ， ， ，即， 设点的坐标为， ， ， ， 解得，， 当时，，此时点坐标为， 当时，，此时点坐标为， 直线与轴交于点，与轴交于点， 点为线段的中点， 若点为，则点在线段上，此时，不符合题意． ∴． 15. 已知在中，，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，，连接AF，CF，若，则AB＝______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线即可求得，根据三角形中位线的性质即可求得的长． 【详解】解：，点D是AC的中点， ∵点D、E分别是AC、BC的中点， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，点C在上，且，则点C的坐标是______________；动点D在内（不包括的边界），连接，过点C作的垂线交直线于点E，若，则点E的纵坐标m的取值范围是______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意得，求出点的坐标；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，证，得，设点，则，推出；根据动点在内（不包括的边界），建立不等式，即可求解； 【详解】解：令，则；令，则； ∴， ∴； ∵， ∴； 设，则，解得或（舍）， ∴； 过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，如图所示： 由题意得：且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点，则， ∴，即； ∵动点在内（不包括的边界）， ∴，解得：， ∴， 即：点的纵坐标的取值范围是； 三、解答题（共2小题，每小题8分，共16分） 17. 已知一次函数． （1）m为何值时，图象过原点． （2）图象过一、二、四象限，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由一次函数过原点，可得，从而可得答案； （2）由一次函数的图象经过第一、二、四象限，可得，从而可得答案． 【小问1详解】 解：依题意得 ， 解得 ， ∴当时，函数的图象经过原点； 【小问2详解】 解：∵图象经过第一、二、四象限， ∴， 解得：． 18. 如图，正方形网格中的，若小方格边长为1． （1）判断是否为直角三角形并说明理由； （2）求最长边上的高． 【答案】（1）为直角三角形，理由见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理和勾股定理的逆定理可直接判断； （2）根据三角形的面积公式可求解． 【小问1详解】 解：为直角三角形，理由： 由勾股定理得，， ∴， ∴为直角三角形； 【小问2详解】 解：设最长边上的高为， 由题意得，， ∴． 四、解答题（共7小题，每小题10分，共70分） 19. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，平分，交于点E． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形为平行四边形． 证明：四边形为平行四边形， ，①________________， ∴②________________． 平分，平分， ， ∴③________________， ， ∴④________________， ∴四边形为平行四边形． 【答案】（1） 如下图，即为所求， （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． （1）先以点A为圆心，一定长为半径画弧，交、于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点的距离的一半画弧，两弧交于一点，然后连接该点与点A，交于点F，即为所求； （2）根据平行四边形的性质可推出，，再结合角平分线可推出，从而利用证得，进而得到，最后根据对角线相互平分的四边形为平行四边形即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 在中，，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求的长； （2）判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）5 （2）四边形是菱形；理由见解析 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质可得，再证明，即可得证； （2）由（1）可得，由直角三角形的性质可得，最后再由菱形的判定定理证明即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，D是的中点， ∴； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，理由如下： 由（1）可得， ∵，是的中点， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 21. 快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如表： 型号 甲 乙 每台每小时分拣快递件数(件) 1000 800 每台价格(万元) 5 3 该公司计划购买这两种型号的机器人共10台，并且使这10台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8500件 (1)设购买甲种型号的机器人x台，购买这10台机器人所花的费用为y万元，求y与x之间的关系式； (2)购买几台甲种型号的机器人，能使购买这10台机器人所花总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】（1）y＝2x+30（2）购买3台甲种型号的机器人，能使购买这10台机器人所花总费用最少，最少费用为36万元 【解析】 【分析】（1）根据总费用＝甲种型号机器人的费用+乙种机器人的费用，求出y与x的关系式即可； （2）根据这10台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8500件，列出不等式，求得x的取值范围，再利用（1）中函数，求出y的最小值即可． 【详解】解：（1）y与x之间的函数关系式为： y＝5x+3（10﹣x）＝2x+30； （2）由题可得：1000x+800（10﹣x）≥8500， 解得， ∵2＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝3时，y取得最小值， ∴y最小＝2×3+30＝36， ∴购买3台甲种型号的机器人，能使购买这10台机器人所花总费用最少，最少费用为36万元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解决此题的关键是熟练掌握函数的性质．对于一次函数y=kx+b（k为常数，k≠0）,当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小. 22. 如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成，图2是其侧面结构示意图，面板固定在支撑轴端点处，，支撑轴长，支撑轴与底座所成的角． （1）求端点到底座的距离； （2）如图3，为了阅读舒适，将绕点逆时针旋转后，点恰好落在直线上，问：端点到底座的距离减少了多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了含30°角直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）过点C作于点F，根据等腰直角三角形的性质求解即可； （2）过点C作于点F，利用直角三角形的性质求出旋转后点C离底座的距离，即可求出降低了多少． 【小问1详解】 解：过点C作于点F，如图所示： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴点C到底座的距离为：． 【小问2详解】 解：过点C作于点F，如图所示： 旋转后， ∵， ∴， ∴点C到底座的距离为：． ∴端点到底座的距离减少了． 23. 如图1，在矩形中，，，点从点出发以每秒个单位的速度沿的方向向终点运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线的方向运动，当点与点重合时同时停止运动，连接、、，记运动时间为秒，（当时，），（当点与点重合时，）． （1）直接写出、与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在图2中画出、的函数图象，并写出函数的一条性质； （3）结合画出的函数图象，直接写出时，点的运动时间为多少秒．（保留1位小数，误差不超过） 【答案】（1），； （2） 、的函数图象如下： 性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； （3）秒或秒 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，再利用，即可得到与之间的函数表达式；由题意可知，当时，；当时，，再利用，即可得到与之间的函数表达式； （2）利用列表、描点、连线即可画出函数图象，再利用函数图象得到函数的性质即可； （3）根据函数图象可知和有两个交点，分两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：矩形， ，， 点从点出发以每秒个单位的速度沿的方向向终点运动，运动时间为秒， ， 当点与点重合时同时停止运动， ， ， 点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线的方向运动， ， 当时，此时点在上， ， 当时，此时点在的延长线上，， ， ； 【小问2详解】 解：与的对应数据如下： 与的对应数据如下， 【小问3详解】解：由图象可知，和有两个交点， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 当时，点的运动时间为秒或秒． 【点睛】本题是一次函数与几何综合问题。考查了矩形的性质，三角形的面积公式，描点法画函数图象，一元一次方程的应用等知识，根据三角形面积公式正确列出、与之间的函数表达式，并画出函数图象是解题关键． 24. 直线经过点，点．过点的直线交直线于点D，交y轴于点E． （1）求直线表达式； （2）点M为y轴上一动点，的面积为5，求点M的坐标； （3）连结，点G是直线上一点，且满足，求点G的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出交点的坐标，再根据求解即可； （3）分两种情况进行讨论，通过构造等腰直角三角形，再构造“一线三等角”的全等三角形求解即可． 【小问1详解】 解：设直线表达式为， 代入点，得，， 解得， ∴直线表达式为； 【小问2详解】 解：如图， 联立直线与得，， 解得， ∴， 对于直线，当时，， ∴， ∵， ∴， ， ， 解得， 当点M在点E上方时，；当点M在点E下方时，此时点M位于y轴负半轴； ∴或； 【小问3详解】 解：当点在上方时，过点作轴的对称点，记为点，则，， ∵， ∴， ∵点，点， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作交的延长线于点，则为等腰直角三角形， ∴， 过点作轴于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线， 则， 解得， ∴直线， 联立直线与得，， 解得， ∴； 当点在下方时， ∵，， ∴， 过点作交延长线于点，则为等腰直角三角形， ∴， 过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 同理可求直线， 再与直线联立可得，， 解得， ∴， 综上：点G的坐标为或． 25. 在菱形中，，动点E在边上，连接，． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，在上取点F，使得，且，连接，点G是的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明； （3）如图3，在同一平面上取一点P（点P与点A在的异侧），使得，且，连接．当取到最小值时，求的值． 【答案】（1）4 （2） 解：；理由如下： 延长到点H，使得，连接， 则， ∵点G是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形的判定，勾股定理解答即可； （2）延长到点H，使得，连接，则，只需证明，，证明即可． （3）过点D作于点Q，在上截取，连接，，确定点P的运动轨迹是过点M且垂直的定直线，垂足为点M，根据垂线段最短，得当时，最小，此时点P与点M重合，点E与点Q重合，根据菱形的性质，勾股定理，面积分割法计算解答即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，（舍去）， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点D作于点Q，在上截取，连接， ∵菱形中，， ∴，， ∴，， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P的运动轨迹是过点M且垂直的定直线，垂足为点M， 根据垂线段最短，得当时，最小，此时点P与点M重合，点E与点Q重合， 此时，， 设菱形的边长为， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $