专题03 一次函数的应用4重难点题型（专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

专题03 一次函数的应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分配方案问题 1 题型二、最大利润问题 2 题型三、行程问题 4 题型四、一次函数与几何综合 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、分配方案问题 1．（23-24八年级下·上海普陀·期中）某快递公司送货员每月的工资由底薪加计件工资两部分组成，计件工资与送货件数成正比例．有甲、乙两种薪资方案，如果送货量为x（件）时，方案甲的月工资是（元），方案乙的月工资是（元），其中计件工资部分，方案甲每送一件货物所得比方案乙高2元．如图所示，已知方案甲的每月底薪是1600元． (1)根据图中信息，分别求出和关于x的函数解析式；（不必写自变量的取值范围） (2)比较甲、乙两种薪资方案，如果你是应聘人员，你认为应该怎样选择方案？ 2．（2024·上海青浦·二模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）； (2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 题型二、最大利润问题 3．（24-25八年级下·上海松江·月考）某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式并写出x的取值范围． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 4．（24-25八年级下·上海·期中）随着电影《哪吒魔童闹海》的热映，周边玩偶热销．小洋经营的线上周边专卖店销量激增，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶多元，花元购进款哪吒玩偶的数量比花元购进款哪吒玩偶的数量少个． (1)问：、两款玩偶的进货单价分别是多少元？ (2)小洋准备要投入元购进两款玩偶若干个，且款的数量不小于款的一半，于是他决定将款玩偶的销售单价定为元，将款玩偶的销售单价定为元，如果所有玩偶都按定价全部卖出，请你根据计算说明，当款数量购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少元？ 5．（24-25八年级下·上海·月考）某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 6．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）【问题背景】垃圾分类，人人有责，为响应国家号召推进垃圾分类工作，某小区物业在小区内引入了智能回收机供居民使用，为实现小区垃圾分类收益最优化，物业积极筹划． 背景 小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15吨，收益如下： ①处理可回收垃圾：每吨收益50元（如废纸、塑料瓶）； ②处理厨余垃圾：每吨收益30元（如剩饭剩菜）； 环保约束 ①可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍（避免积压）． ②厨余垃圾每天至少处理4吨（防止腐败，保障社区卫生）． 【问题建构】设每日处理可回收垃圾x吨，厨余垃圾y吨，此时总收益为W元． (1)用含x的代数式表示y，则___________；写出总收益W（元）关于x的函数关系式，___________； 【优化决策】 (2)为使每日净收益W最大，物业应如何分配两类垃圾的处理量？ 7．（24-25八年级下·上海长宁·月考）某工厂生产某种产品，每件产品成本价25元，出厂价为50元．在生产过程中，每件产品产生立方米污水，工厂有两种方案对污水进行处理． 方案1：自行处理，达标排放．每处理1立方米所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元． 方案2：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费． 问： (1)设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，分别求出依方案1和方案2处理污水时，y与x的函数关系式． (2)设工厂每月生产量为6000件产品时，你采用何种方案才能使企业利润最大，请通过计算加以说明． (3)随着工厂生产量的不同，启用何种方案才能使企业的利润最大． 题型三、行程问题 8．（24-25八年级下·上海·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线所示． (1)求线段的表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求乙比甲早几分钟到达终点？ 9．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图，与分别是根据小明步行与小亮骑自行车同时出发在同一路上行驶的路程与时间的关系式所作出的图像． (1)求所在直线的函数解析式； (2)假设小亮的自行车没有发生故障，保持出发时的速度前进，求出发几小时与小明相遇，相遇点离小明的出发点多少千米． 10．（24-25八年级下·上海·期中）已知甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，甲车先以60千米时的速度匀速行驶120千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶3小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．甲、乙两车各自距A地的路程与行驶时间之间的函数关系如图所示． (1)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式； (2)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 11．（24-25八年级下·上海·期中）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系；折线表示轿车离甲地的距离（千米）与时间（时）之间的函数关系，请根据图像解答下列问题： (1)轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离； (2)求线段对应的函数表达式； (3)在轿车行进过程中，货车行驶多少时间，两车相距15千米 12．（24-25八年级下·上海松江·期末）小明家附近有、两种品牌的共享电动车，其收费方式分别满足函数和，收费（元）与骑行时间（分钟）的关系如图所示．已知小明家到工厂的距离为，两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为． (1)当时，求品牌收费方式与骑行时间的函数解析式． (2)小明从家骑行去工厂，选择哪种品牌的共享电动车更省钱？ (3)当骑行时间为多少时，两种品牌的收费相差2元？ 13．（24-25八年级下·上海崇明·期中）小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距米的邮局办事．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟米的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留了分钟后沿原路按原速返回．设他们出发后经过（分）时，小明与家之间的距离为（米），小明爸爸与家之间的距离为（米），图中折线、线段分别表示、与之间的函数关系的图像． (1)当_______分钟时，小明爸爸正好回到家； (2)与之间的函数表达式为_______； (3)当___________分钟时，小明和爸爸第一次相遇．（第（3）需要写出过程） 14．（24-25八年级下·上海·期中）甲、乙两名同学进行爬山运动，他们沿相同的路线同时从山脚出发前往山顶．如图，是他们与山脚的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图像．请根据图中信息回答下列问题： (1)分别写出甲、乙两同学上山过程中y（千米）与x（小时）之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）：__________，__________； (2)甲到达山顶用了_____小时，此时，乙还有_____千米到达山顶； (3)甲同学先到达山顶，休息1小时后，沿原路下山，与正在上山的乙同学，在B处相遇，此时B与山顶距离为1.5千米，相遇后甲、乙各自按原来的路线下山和上山，当乙到达山顶时，甲离山脚的距离是_____千米． 题型四、一次函数与几何综合 15．（24-25八年级下·上海宝山·月考）如图，已知点，点，点在轴负半轴上，且，点为直线上一点． (1)求直线的解析式； (2)若的面积为5，求点的坐标． 16．（25-26八年级下·上海·月考）数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“平面直角坐标系”为背景开展探究活动．如图，已知四边形是平行四边形，点、点，连接，并延长交轴于点． (1)观察发现：直线的函数表达式为________． (2)探究迁移：若点P从点C出发，以2个单位/秒的速度沿x轴向左运动，同时点Q从点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴向右运动，P、Q均在线段上，过点作轴垂线交直线于点，过点作轴垂线交直线于点，连接，猜想四边形的形状（点P，Q重合除外），并证明你的结论； (3)拓展应用：在（2）的条件下，当点P运动多少秒时，四边形是正方形？不需说明理由，请直接写出你的结果． 17．（25-26八年级下·上海·月考）如图，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于点、，若，点的坐标为 (1)求直线的表达式 (2)若点在直线上，使得，求点的坐标 (3)点是直线上一个动点，点是坐标平面内一个动点，如果以点、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标 18．（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）已知：在直角坐标系中，直线l经过点，，且与y轴交于点D，点B与点D关于原点对称，将线段沿射线的方向平移，当点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处． (1)求直线l的解析式； (2)求平移过程中线段所扫过的面积； (3)已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标． 19．（24-25八年级下·上海浦东新·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，点C在x轴的正半轴上，且 (1)求直线的表达式； (2)点D在第一象限且在直线上，当时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，分别在线段、上取点M、N，在x轴上取点P，且满足轴，是等腰直角三角形．求点M的坐标． 20．（24-25八年级下·上海宝山·月考）如图，已知直线与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点Q，，直线在y轴上的截距为2，直线与直线交于点P． (1)求直线的解析式； (2)在平面直角坐标系中，有一点F，使得四边形是直角梯形，求点F的坐标． (3)若点C在y轴负半轴上，点M在直线上，点N在直线上，是否存在以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在请求出点C的坐标；若不存在请说明理由． 一、单选题 1．（24-25八年级下·上海·月考）某公司打算与出租车公司签订租车合同．每月行驶千米时，甲出租车公司的月租费用是元，乙出租车公司的月租车费用是元，与之间的函数关系如图所示，那么下列说法错误的是（  ） A．千米时，两家公司的租车费用相同； B．千米时，甲公司的租车费用为元； C．千米时，甲公司的费用比乙公司低； D．千米时，两公司的租车费用相差150元． 2．（24-25八年级下·上海·期中）某物流公司的甲、乙两辆货车分别从A、B两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途经配货站C，甲先到达C地，并在C地用1小时配货，然后按原速度开往B地，乙车从B地直达A地．甲、乙两车间的路程y（千米）与乙车出发时间x（时）的函数关系如图，下列说法正确的有（   ） ①A、B两地间的距离是400千米；②甲车行驶2.5小时后到达配货站C ③乙车的速度为80千米/小时；④两车相距220千米时，乙车出发4小时． A．①② B．①③ C．①③④ D．③④ 3．（24-25八年级下·上海·期中）五一劳动节小明一家自驾车去离家的景点旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 … 油箱剩余油量 … 下列说法中不正确的是（   ） A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶耗油 C．当小明一家到达景点时，油箱中剩余油 D．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为 二、填空题 4．（24-25八年级下·上海·月考）某电信公司为顾客提供了A，B两种手机上网方式，一个月的手机上网费用y（元）与上网时间x（分钟）之间的关系如图，如果一个月上网300分钟，那么方式B产生的费用比方式A高_________元． 5．（23-24八年级下·上海闵行·月考）已知弹簧长度（厘米）与所挂重物的质量（千克）的函数关系如图所示，那么弹簧长度为7厘米时，所挂重物为______千克． 6．（24-25八年级下·上海松江·期中）直线与轴、轴分别交于、两点，为线段上一点，将绕点顺时针旋转得到，若点，那么点的坐标为___________． 7．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为，四边形是正方形．点M是线段上的一个动点（点A、B除外），点N在x轴的上方，以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形，则点N的坐标为______． 8．（25-26八年级下·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，直线与轴、轴分别交于点，且．点是的中点，为直线上的一个动点，连接．若，则点的坐标是__________． 三、解答题 9．（25-26八年级下·上海徐汇·月考）如图，表示某电动车厂一天的销售收入与销售量x之间的关系；表示该电动车厂一天的销售成本与销售量x之间的关系． (1)求出销售收入与销售量之间的函数关系式； (2)求出销售成本与销售量之间的函数关系式； (3)当一天的销售量超过多少辆时，工厂才能获利（利润收入成本）？ 10．（25-26八年级下·上海·月考）如图，轴表示一条东西方向的道路，轴表示一条南北方向的道路．小丽和小明分别从十字路口O点处同时出发，小丽沿着轴以3千米/时的速度由西向东前进，小明沿着轴以6千米/时的速度由南向北前进．有一家超市位于图中的点处，超市与轴、轴的距离分别是4千米和3千米．问： (1)离开路口后经过多少时间，两人与这家超市的距离恰好相等？ (2)离开路口后经过多少时间，两人与这家超市所处的位置恰好在一条直线上？ 11．（25-26八年级下·上海·月考）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． (1)请用一次函数分别表示与与之间的函数关系．（不写定义域） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆/分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆/分钟） 25 22 19 16 13 12．（24-25八年级下·上海·期末）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度y（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式（不必写x的取值范围）； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 13．（24-25八年级下·上海普陀·期末）如图，已知点，点，点在轴负半轴上，，点为直线上一点． (1)直线的表达式为___________；直线与轴的夹角等于___________度； (2)点为平面内任一点，如果以点A、、、为顶点的四边形是正方形，直接写出点的坐标是___________； (3)直线与轴交于点，当的面积是面积的2倍时，求出点的坐标． 14．（24-25八年级下·上海闵行·期末）已知，一次函数的图像与轴相交于点，与轴相交于点，点在轴的正半轴上，． (1)求一次函数的解析式及点与点的坐标； (2)如果四边形是等腰梯形，请直接写出点的坐标； (3)将直线绕着点逆时针旋转45°后与轴交于点，求点坐标． 15．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线平行，且截距为分别与轴、轴交于点和点． (1)求直线的解析式和点的坐标： (2)如果点是线段上的点，且的面积为6，求点的坐标； (3)在（2）条件下，点是直线上的点，在坐标平面内是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．（24-25八年级下·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点轴交于点，点在射线上（不与点重合），点在轴上（点在点左侧），四边形是正方形． (1)当点的横坐标为时，求直线的表达式； (2)当点在射线上运动时，设点的横坐标为，用表示点的坐标，判断点是否始终在（1）中的直线上？并说明理由； (3)点在轴上，如果四边形是等腰梯形，求点的坐标． 17．（24-25八年级下·上海·期中）已知等边中，，点为射线上一动点，以为边作等边，且点与点在直线的同侧，过点作，与直线、分别相交于点、． (1)若在边上时 ①求证：四边形是平行四边形； ②设，，求关于的函数解析式，（不需要写出函数定义域）； (2)当时，求的面积． 18．（24-25八年级下·上海闵行·月考）如图，直线的解析表达式为：，且与x轴交于点D，直线经过点A、，直线，交于点C，点C的横坐标为2． (1)点D的坐标为_________；直线的解析式为_________． (2)在直线上有一点P，使得与的面积相等，求出点P的坐标． (3)点M在直线，点N在y轴上，若点M、N、A、C构成平行四边形，直接写出点M的坐标． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次函数的应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分配方案问题 1 题型二、最大利润问题 3 题型三、行程问题 6 题型四、一次函数与几何综合 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、分配方案问题 1．（23-24八年级下·上海普陀·期中）某快递公司送货员每月的工资由底薪加计件工资两部分组成，计件工资与送货件数成正比例．有甲、乙两种薪资方案，如果送货量为x（件）时，方案甲的月工资是（元），方案乙的月工资是（元），其中计件工资部分，方案甲每送一件货物所得比方案乙高2元．如图所示，已知方案甲的每月底薪是1600元． (1)根据图中信息，分别求出和关于x的函数解析式；（不必写自变量的取值范围） (2)比较甲、乙两种薪资方案，如果你是应聘人员，你认为应该怎样选择方案？ 【答案】(1)； (2)当送货量小于200件时，，则选择乙方案； 当送货量为200件时，，则两种方案都可以； 当送货量大于200件时，，则选择甲方案 【详解】（1）解：由图可设关于x的函数解析式为，将代入， 得：， 解得：， 关于x的函数解析式为； ∵每送一件货物，甲所得的工资比乙高2元，而每送一件货物，甲所得的工资是12元， ∴每送一件货物，乙所得的工资比乙高10元． 可设关于x的函数解析式为，将代入， 得：， 解得：， 关于x的函数解析式为． （2）由图知： 当送货量小于200件时，，则选择乙方案； 当送货量为200件时，，则两种方案都可以； 当送货量大于200件时，，则选择甲方案． 2．（2024·上海青浦·二模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）； (2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 【答案】(1) (2)共有种租车方案 (3)租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元 【详解】（1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆， ； （2）∵租车总费用不超过元，师生共有人, ， 解得 ， ∵为整数, ∴可取, ∴一共有种租车方案； （3）在中，随的增大而增大, 又可取, ∴当时，取最小值，最小值为(元), ∴租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元． 题型二、最大利润问题 3．（24-25八年级下·上海松江·月考）某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式并写出x的取值范围． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是224000元． 【详解】（1）由题意，设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双， ∴， 又∵， ∴， ∴y与x之间的函数解析式为； （2）解：∵中，， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，获得利润最大，且最大值为：（元），此时B型皮鞋为：（双）， 答：生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是224000元． 4．（24-25八年级下·上海·期中）随着电影《哪吒魔童闹海》的热映，周边玩偶热销．小洋经营的线上周边专卖店销量激增，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶多元，花元购进款哪吒玩偶的数量比花元购进款哪吒玩偶的数量少个． (1)问：、两款玩偶的进货单价分别是多少元？ (2)小洋准备要投入元购进两款玩偶若干个，且款的数量不小于款的一半，于是他决定将款玩偶的销售单价定为元，将款玩偶的销售单价定为元，如果所有玩偶都按定价全部卖出，请你根据计算说明，当款数量购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少元？ 【答案】(1)款的进货单价为元，款的进货单价为元 (2)款数量购进个时，小洋获得的总利润最高，最高利润元 【详解】（1）解：设款的进货单价为元，则款的进货单价为元， 由题意得，， 解得，（不合，舍去）， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， 答：款的进货单价为元，款的进货单价为元； （2）解：设款购进个，总利润为元， 由题意得，， ∵款的数量不小于款的一半， ∴， 解得， ∵， ∴当取最小值时，取最大值， ∵为整数， ∴的最小值为， 即款数量购进个时，小洋获得的总利润最高，最高利润元． 5．（24-25八年级下·上海·月考）某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是元 【详解】（1）解：设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双，根据题意得： ， ∵A型皮鞋不得少于， ∴， 即， ∴y（元）与x（双）之间的函数解析式为， （2）解：∵中，， ∴随x的增大而减小， ∴当时，获得利润最大，且最大值为： （元）， （双）， 答：生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是元． 6．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）【问题背景】垃圾分类，人人有责，为响应国家号召推进垃圾分类工作，某小区物业在小区内引入了智能回收机供居民使用，为实现小区垃圾分类收益最优化，物业积极筹划． 背景 小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15吨，收益如下： ①处理可回收垃圾：每吨收益50元（如废纸、塑料瓶）； ②处理厨余垃圾：每吨收益30元（如剩饭剩菜）； 环保约束 ①可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍（避免积压）． ②厨余垃圾每天至少处理4吨（防止腐败，保障社区卫生）． 【问题建构】设每日处理可回收垃圾x吨，厨余垃圾y吨，此时总收益为W元． (1)用含x的代数式表示y，则___________；写出总收益W（元）关于x的函数关系式，___________； 【优化决策】 (2)为使每日净收益W最大，物业应如何分配两类垃圾的处理量？ 【答案】(1)； (2)为使每日净收益W最大，处理可回收垃圾10吨，厨余垃圾5吨 【详解】（1）解∵每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15 吨， ∴； ∵处理可回收垃圾每吨收益50元，处理厨余垃圾每吨收益30元 ∴； （2）解：根据题意，x应满足， 解得． ∵，， ∴W随x的增大而增大， ∴当时，W有最大值，最大值为， 此时， ∴为使每日净收益W最大，应处理可回收垃圾10吨，厨余垃圾5吨，最大收益650元． 7．（24-25八年级下·上海长宁·月考）某工厂生产某种产品，每件产品成本价25元，出厂价为50元．在生产过程中，每件产品产生立方米污水，工厂有两种方案对污水进行处理． 方案1：自行处理，达标排放．每处理1立方米所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元． 方案2：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费． 问： (1)设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，分别求出依方案1和方案2处理污水时，y与x的函数关系式． (2)设工厂每月生产量为6000件产品时，你采用何种方案才能使企业利润最大，请通过计算加以说明． (3)随着工厂生产量的不同，启用何种方案才能使企业的利润最大． 【答案】(1)方案1：；方案2： (2)工厂采用方案1时利润最大，见解析 (3)见解析 【详解】（1）按方案1处理污水时，． 按方案2处理污水时，； （2）当时，； ． 因为， 所以工厂采用方案1时所获利润更大． （3）当时，解得，即当每月生产量超过5000件时，工厂采用方案1时利润更多； 当时，解得，即当每月生产量等于5000件时，工厂采用任意一种方案的利润相同； 当时，解得，即当每月生产量小于5000件时，工厂采用方案2时利润更多． 题型三、行程问题 8．（24-25八年级下·上海·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线所示． (1)求线段的表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求乙比甲早几分钟到达终点？ 【答案】(1) (2)6分钟 【详解】（1）解：根据题意得： 设线段的表达式为：， 把，代入得： ， 解得：， 即线段的表达式为：， （2）解：线段可知：甲的速度为：（米/分）， 乙的步行速度为：（米/分）， 在B处甲乙相遇时，与出发点的距离为：（米）， 与终点的距离为：（米）， 相遇后，到达终点甲所用的时间为：（分）， 相遇后，到达终点乙所用的时间为：（分），（分）， 答：乙比甲早6分钟到达终点． 9．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图，与分别是根据小明步行与小亮骑自行车同时出发在同一路上行驶的路程与时间的关系式所作出的图像． (1)求所在直线的函数解析式； (2)假设小亮的自行车没有发生故障，保持出发时的速度前进，求出发几小时与小明相遇，相遇点离小明的出发点多少千米． 【答案】(1) (2)自行车没有发生故障，保持出发时的速度前进，小时与小明相遇，相遇点离小明的出发点千米． 【详解】（1）解：设的解析式为：， 由题意得：， 解得：， 的解析式为：， （2）解：设自行车不发生故障时，函数解析式为， 根据题意得：， 解得：， ∴自行车不发生故障，函数解析式为， 由解得：． 遇点离小明的出发点千米， ∴自行车没有发生故障，保持出发时的速度前进，小时与小明相遇，相遇点离小明的出发点千米． 10．（24-25八年级下·上海·期中）已知甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，甲车先以60千米时的速度匀速行驶120千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶3小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．甲、乙两车各自距A地的路程与行驶时间之间的函数关系如图所示． (1)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式； (2)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 【答案】(1) (2)200千米 【详解】（1）如图所示，    根据题意得，两人相遇的时间为， ∴， ∵甲车先以60千米/时的速度匀速行驶120千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶3小时到达B地 ∴， ∴ 设相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为 则有：， 解得， 甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式； （2）甲乙两车相遇时，乙车行驶的路程为千米， ∴乙车的速度为：（千米/时） ∴乙车行完全程用时为：（时） ∵ ∴当时，千米， ∴当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为200千米． 11．（24-25八年级下·上海·期中）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系；折线表示轿车离甲地的距离（千米）与时间（时）之间的函数关系，请根据图像解答下列问题： (1)轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离； (2)求线段对应的函数表达式； (3)在轿车行进过程中，货车行驶多少时间，两车相距15千米 【答案】(1)270千米 (2) (3)2.1小时或2.7小时 【详解】（1）解：由图象可得， 货车的速度为（千米/小时）， 则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是（千米）， 即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米； （2）解：设线段对应的函数表达式是， ∵点，点， ∴， 解得， 即线段对应的函数表达式是； （3）解：当时，两车之间的距离为：， ∵， ∴在轿车行进过程，两车相距15千米时间是在之间， 由图象可得，线段对应的函数解析式为， 则， 解得或， ∵轿车比货车晚出发1.5小时，（小时），（小时）， ∴在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米， 答：在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米． 12．（24-25八年级下·上海松江·期末）小明家附近有、两种品牌的共享电动车，其收费方式分别满足函数和，收费（元）与骑行时间（分钟）的关系如图所示．已知小明家到工厂的距离为，两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为． (1)当时，求品牌收费方式与骑行时间的函数解析式． (2)小明从家骑行去工厂，选择哪种品牌的共享电动车更省钱？ (3)当骑行时间为多少时，两种品牌的收费相差2元？ 【答案】(1) (2)B品牌 (3)10或30 【详解】（1）解：设解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴， （2）解：设， 把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得，， ∵， ∴小明选择B品牌的共享单车更省钱； （3）解：当时， 根据题意，得， 解得， 当时， 根据题意，得， 解得（舍去）， 当时， 根据题意，得， 解得， 综上，当骑行时间为10或30时，两种品牌的收费相差2元 13．（24-25八年级下·上海崇明·期中）小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距米的邮局办事．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟米的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留了分钟后沿原路按原速返回．设他们出发后经过（分）时，小明与家之间的距离为（米），小明爸爸与家之间的距离为（米），图中折线、线段分别表示、与之间的函数关系的图像． (1)当_______分钟时，小明爸爸正好回到家； (2)与之间的函数表达式为_______； (3)当___________分钟时，小明和爸爸第一次相遇．（第（3）需要写出过程） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：家和邮局之间的距离为米，小明爸爸的步行速度为每分钟米， 小明爸爸从邮局到家的时间为：（分钟）， 即当分钟时，小明爸爸正好回到家， 故答案为：； （2）与之间的函数表达式为， 故答案为：； （3）当时，，将代入得： ， 解得：， 当时，， 联立， 解得：， 即当分钟时，小明和爸爸第一次相遇， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·上海·期中）甲、乙两名同学进行爬山运动，他们沿相同的路线同时从山脚出发前往山顶．如图，是他们与山脚的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图像．请根据图中信息回答下列问题： (1)分别写出甲、乙两同学上山过程中y（千米）与x（小时）之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）：__________，__________； (2)甲到达山顶用了_____小时，此时，乙还有_____千米到达山顶； (3)甲同学先到达山顶，休息1小时后，沿原路下山，与正在上山的乙同学，在B处相遇，此时B与山顶距离为1.5千米，相遇后甲、乙各自按原来的路线下山和上山，当乙到达山顶时，甲离山脚的距离是_____千米． 【答案】(1)； (2)4；4； (3)6． 【详解】（1）解：设甲、乙两同学登山过程中，甲、乙离山脚的距离y（千米）与x（小时）之间的函数解析式分别为，， 由题意，得，， 解得：， 则甲，乙的解析式分别为，． 故答案为：；； （2）解：甲到达山顶时，由图象可知，当（千米）， 则，解得：， 把代入得，， 则（千米） 则甲到达山顶用了4小时，此时，乙还有4千米到达山顶， 故答案为：4，4． （3）解：由图象知：甲到达山顶并休息1小时后点D的坐标为， 代入由题意，得点B的纵坐标为，代入， 解得∶， ∴点， 设过B、D两点的直线为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 当乙到达山顶时，，解得， 把代入(千米) 答∶乙到达山顶时，甲距山脚6千米． 题型四、一次函数与几何综合 15．（24-25八年级下·上海宝山·月考）如图，已知点，点，点在轴负半轴上，且，点为直线上一点． (1)求直线的解析式； (2)若的面积为5，求点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)点P的坐标为或 【详解】（1）解：∵，点， ， ， ， ， ∵点在轴负半轴上， ， 设直线的解析式是， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：设， ∵的面积为5， 解得或， ∴点的坐标为或． 16．（25-26八年级下·上海·月考）数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“平面直角坐标系”为背景开展探究活动．如图，已知四边形是平行四边形，点、点，连接，并延长交轴于点． (1)观察发现：直线的函数表达式为________． (2)探究迁移：若点P从点C出发，以2个单位/秒的速度沿x轴向左运动，同时点Q从点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴向右运动，P、Q均在线段上，过点作轴垂线交直线于点，过点作轴垂线交直线于点，连接，猜想四边形的形状（点P，Q重合除外），并证明你的结论； (3)拓展应用：在（2）的条件下，当点P运动多少秒时，四边形是正方形？不需说明理由，请直接写出你的结果． 【答案】(1) (2)四边形是矩形，证明见解析 (3)秒或3秒 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 将点、点，代入得， ， 解得， 直线的函数表达式为． （2）解：四边形是矩形，理由如下： 当点在右侧时，如图所示， 点，， 直线的解析式为， 点从点出发，以2个单位/秒的速度沿轴向左运动，同时点从点出发，以1个单位/秒的速度沿轴向右运动，设运动时间为， ，，， ，， 点在直线上，点在直线上，且轴，轴， ，， ， 又轴，轴， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 当点在左侧时，如图所示， 设经过时间，则，，， ，， 同理可证四边形是矩形． （3）解：当点在右侧时，四边形是正方形，如图所示， 第（2）问已证四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 经过时间，，，， ， 解得， 经过，四边形是正方形． 当点在左侧时且在原点右侧时，四边形是正方形，如图所示， 经过时间，则，，，， 第（2）问已证四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 解得， 此时，即，此时与原点重合，如图所示， 当经过时间时，四边形是正方形． 综上所述，当点运动或时，四边形是正方形． 17．（25-26八年级下·上海·月考）如图，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于点、，若，点的坐标为 (1)求直线的表达式 (2)若点在直线上，使得，求点的坐标 (3)点是直线上一个动点，点是坐标平面内一个动点，如果以点、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【详解】（1）解：， ， ， ， 设直线的解析式为， 将、点代入， ， 解得， 直线的表达式为； （2）解：，，， ， ∵， ， ∵，即， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 设， 当点在延长线上时，如图， 则， ∴，即，解得， 此时，，即； 当点在线段上时，如图， 则， ∴，即，解得， 此时，，即； 当点在延长线上时，如图， 则，即， 故，不存在此种情况； 综上，点的坐标为或； （3）解：由（1）知直线的表达式为， 设，， 当以为对角线的四边形是菱形时，如图， 则且， ∴且，即， ∴且或， 当时，则，即； 当时，则，即； 当以为对角线的四边形是菱形时，如图， 则且， ∴且，即， ∴且， 则，即； 当以为对角线的四边形是菱形时，如图， 则且， ∴且，即， ∴且或（与点A重合，舍去）， 则，即； 综上，点的坐标为或或或． 18．（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）已知：在直角坐标系中，直线l经过点，，且与y轴交于点D，点B与点D关于原点对称，将线段沿射线的方向平移，当点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处． (1)求直线l的解析式； (2)求平移过程中线段所扫过的面积； (3)已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标． 【答案】(1)； (2)平移过程中线段所扫过的面积为； (3)，，，； 【详解】（1）解：设直线l的解析式为，将点，代入得， ， 解得：， ∴直线l的解析式为：； （2）解：当时， ， ∴， ∵点B与点D关于原点对称， ∴， ∵线段沿射线的方向平移，点C恰好落在y轴上的点D处，点B落在点E处， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， 设， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴平移过程中线段所扫过的面积为； （3）解：设点F的坐标为，， ∵，，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形， ∴对角线互相平分且相等， ①当为对角线时， ， 解得： ，， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ②当为对角线时， ， 解得： ，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ③当为对角线时， ， 解得： ，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述点F可能为：，，，． 19．（24-25八年级下·上海浦东新·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，点C在x轴的正半轴上，且 (1)求直线的表达式； (2)点D在第一象限且在直线上，当时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，分别在线段、上取点M、N，在x轴上取点P，且满足轴，是等腰直角三角形．求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点、， ∴，解得， ∴直线的表达式为。 （2）解：解：由（1）可知，，， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作轴于点， ∴，即， 解得，，即点的纵坐标为6， ∵点是一次函数的图象在轴上方的一点， ∴，解得， ∴点的坐标为． （3）解：存在点使得为等腰直角三角形，点的坐标为或，理由如下： 已知，， 设所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴所在直线的解析式为， ∵点在线段上，轴， ∴设，则点N的纵坐标为， 把代入函数，得 ，解得：， ∴， ∴。 分三种情况讨论： ①如图所示，，，即是等腰直角三角形， ∴点，则，且， ∴由得，， 解得，， ∴； ②如图所示，，，即是等腰直角三角形， ∴，则，且， ∴由得，， 解得，， ∴； ③如图所示，，，即是等腰直角三角形，过点作于点， ∴是的中点，且， 又∵，， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， ∴，， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，存在点使得为等腰直角三角形，点的坐标为或． 20．（24-25八年级下·上海宝山·月考）如图，已知直线与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点Q，，直线在y轴上的截距为2，直线与直线交于点P． (1)求直线的解析式； (2)在平面直角坐标系中，有一点F，使得四边形是直角梯形，求点F的坐标． (3)若点C在y轴负半轴上，点M在直线上，点N在直线上，是否存在以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在请求出点C的坐标；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点C的坐标为或 【详解】（1）解：∵直线在y轴上的截距为2， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：联立得：， 解得：， ∴， ∵四边形是直角梯形， ∴或， 当时，如图1， 则， ∴； 当时，如图2， 则，， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：， ∴； 综上，点F的坐标为或； （3）解：设，，，又， ∵以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，设菱形的中心为点K， ∴分两种情况： ①当为菱形对角线时，，与互相平分， ∴， 解得：， ∴； ②当为菱形边时，，，，如图2，过点M作轴于点G， 则，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴． 综上，点C的坐标为或． 一、单选题 1．（24-25八年级下·上海·月考）某公司打算与出租车公司签订租车合同．每月行驶千米时，甲出租车公司的月租费用是元，乙出租车公司的月租车费用是元，与之间的函数关系如图所示，那么下列说法错误的是（  ） A．千米时，两家公司的租车费用相同； B．千米时，甲公司的租车费用为元； C．千米时，甲公司的费用比乙公司低； D．千米时，两公司的租车费用相差150元． 【答案】D 【详解】解：根据图象可知：相交于，当时，的图象在的图象上方，当时，的图象在的图象上方， A、每月行驶1500千米时，两家公司的租车费用相同，正确，故选项不符合题意； B、设关于的函数关系式为， 由题意得：， 解得：， ， ∴每月行驶750千米时，甲公司的租车费用为（元）， ∴每月行驶750千米时，甲公司的租车费用为150元，正确，故选项不符合题意； C、每月行驶超过1500千米时，租用甲公司的费用比乙公司低，故选项不符合题意； D、设关于的函数关系式为， 由题意得：， 解得：， ， ∴每月行驶3000千米时， ， ， （元）， ∴租用乙公司的租车费用比甲公司多100元，故选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·上海·期中）某物流公司的甲、乙两辆货车分别从A、B两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途经配货站C，甲先到达C地，并在C地用1小时配货，然后按原速度开往B地，乙车从B地直达A地．甲、乙两车间的路程y（千米）与乙车出发时间x（时）的函数关系如图，下列说法正确的有（   ） ①A、B两地间的距离是400千米；②甲车行驶2.5小时后到达配货站C ③乙车的速度为80千米/小时；④两车相距220千米时，乙车出发4小时． A．①② B．①③ C．①③④ D．③④ 【答案】B 【详解】解：由图象可知，时，由题意知，当时，甲车到达地， 、两地间的距离是400千米，故①正确； 由图象可知，甲车行驶2小时后到达配货站C，故②错误； 乙车的速度为千米时，故③正确； 甲车出发至地的过程中，设与之间的函数关系式为， 将、代入，得，解得， ． 在地相遇之前， 将代入得，，解得， 时，两车相距220千米， 在地相遇之后， ，， 时，甲车从地出发开往地，甲乙相距40千米， ， 当甲乙再次相距400千米时，， 甲车从地出发开往地的过程中，设与之间的函数关系式为， 将、代入，得，解得， ． 将代入得，，解得， 时，两车相距220千米， 综上所述，乙车出发1小时或4小时，两车相距220千米．故④错误； 故选：B． 3．（24-25八年级下·上海·期中）五一劳动节小明一家自驾车去离家的景点旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 … 油箱剩余油量 … 下列说法中不正确的是（   ） A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶耗油 C．当小明一家到达景点时，油箱中剩余油 D．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为 【答案】C 【详解】解：∵时，， ∴该车的油箱容量为，故选项正确，不合题意； 由表格数据可知，轿车每行驶，耗油， ∴该车每行驶耗油，故选项正确，不合题意； ∵景点离家， ∴当小明一家到达景点时，油箱中剩余，故选项错误，符合题意； ∵轿车每行驶，耗油， ∴，故选项正确，不合题意； 故选：． 二、填空题 4．（24-25八年级下·上海·月考）某电信公司为顾客提供了A，B两种手机上网方式，一个月的手机上网费用y（元）与上网时间x（分钟）之间的关系如图，如果一个月上网300分钟，那么方式B产生的费用比方式A高_________元． 【答案】8 【详解】解：设方式A的函数关系式为，方式B的函数关系式为， 由图象得，当时，， ， 整理得：， 当时， ， 如果一个月上网300分钟，那么方式B产生的费用比方式A高8元． 故答案为：8． 5．（23-24八年级下·上海闵行·月考）已知弹簧长度（厘米）与所挂重物的质量（千克）的函数关系如图所示，那么弹簧长度为7厘米时，所挂重物为______千克． 【答案】 【详解】解：设一次函数表达式为：， ∵把两点坐标代入表达式，得： ， 解得， ∴， 把，代入到，解得： 故答案为：． 6．（24-25八年级下·上海松江·期中）直线与轴、轴分别交于、两点，为线段上一点，将绕点顺时针旋转得到，若点，那么点的坐标为___________． 【答案】 【详解】解：直线与轴、轴分别交于、两点，为线段上一点 ∴设 ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ ∴ 解得 ∴． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为，四边形是正方形．点M是线段上的一个动点（点A、B除外），点N在x轴的上方，以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形，则点N的坐标为______． 【答案】或 【详解】解：把点代入得： ，解得：， ∴直线得解析式为， 当时，， ∴点B的坐标为， 如图，当四边形为菱形时， ∴垂直平分， ∴点M，N的纵坐标均为，且点M，N关于y轴对称， 把代入得： ，解得：， ∴点M的坐标为， 此时点N的坐标为； 如图，当四边形为菱形时，延长交x轴于点P，此时，轴， 设点M的坐标为，则， ∵轴， ∴轴， ∴点N的坐标为，即 在中，， ∴， 解得：， ∴点N的坐标为． 综上所述，点N的坐标为或． 故答案为：或 8．（25-26八年级下·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，直线与轴、轴分别交于点，且．点是的中点，为直线上的一个动点，连接．若，则点的坐标是__________． 【答案】或 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴，， ， ， ． ∵点A在x轴的负半轴上， ． 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为； 如图，当点N在点B的下方时，过点M作交直线于点H，过点M作于点D，过点N作于点F，过点H作交直线于点E， 则， ， ． ， 是等腰直角三角形， ， ， ． ∵点M是的中点，，， ． 设，则， ， ， 解得， ∴点N的坐标为； 当点N在点B的上方时，过点M作交直线于点H，过点M作于点D，过点N作交直线于点F，过点H作于点E， 同理可证明， ， ∵点M是的中点，，， ． 设． ， ， ， ， ∴点坐标为； 综上所述，点N的坐标为或． 三、解答题 9．（25-26八年级下·上海徐汇·月考）如图，表示某电动车厂一天的销售收入与销售量x之间的关系；表示该电动车厂一天的销售成本与销售量x之间的关系． (1)求出销售收入与销售量之间的函数关系式； (2)求出销售成本与销售量之间的函数关系式； (3)当一天的销售量超过多少辆时，工厂才能获利（利润收入成本）？ 【答案】(1) (2) (3)4 【详解】（1）解：设， ∵过点， ∴， 解得， ∴． ∴销售收入与销售量之间的函数关系式为． （2）解：设， ∵过点和 ∴， 解得， ∴销售成本与销售量之间的函数关系式． （3）解：由题意可知，当时工厂获利， 即， 解得， ∴当一天的销售量超过4辆时，工厂才能获利． 10．（25-26八年级下·上海·月考）如图，轴表示一条东西方向的道路，轴表示一条南北方向的道路．小丽和小明分别从十字路口O点处同时出发，小丽沿着轴以3千米/时的速度由西向东前进，小明沿着轴以6千米/时的速度由南向北前进．有一家超市位于图中的点处，超市与轴、轴的距离分别是4千米和3千米．问： (1)离开路口后经过多少时间，两人与这家超市的距离恰好相等？ (2)离开路口后经过多少时间，两人与这家超市所处的位置恰好在一条直线上？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设运动时间为，则小明运动的距离为，小丽运动的路程为， ∴小明所在位置的坐标为，小丽所在位置的坐标为； ∵超市与轴、轴的距离分别是4千米和3千米， ∴， ∵两人与这家超市的距离恰好相等， ∴点P到点的距离等于点P到点的距离， ∴， 解得或（舍去）， 答：离开路口后经过，两人与这家超市的距离恰好相等； （2）解：设运动时间为，则小明运动的距离为，小丽运动的路程为， ∴小明所在位置的坐标为，小丽所在位置的坐标为； 设经过点和点的直线解析式为， ∴， ∴， ∴经过点和点的直线解析式为， ∵两人与这家超市所处的位置恰好在一条直线上， ∴点在直线上， ∴， 解得， 答：离开路口后经过，两人与这家超市所处的位置恰好在一条直线上． 11．（25-26八年级下·上海·月考）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． (1)请用一次函数分别表示与与之间的函数关系．（不写定义域） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆/分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆/分钟） 25 22 19 16 13 【答案】(1)； (2)8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东，理由见解析 【详解】（1）解：设， 将，和，代入，得， 解得， ． 设， 将，和，代入，得， 解得， ． （2）解：8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东，理由如下： 由题意得，． 当时，则，解得， 当时，则，解得， 当时，即，解得； 当时，即，解得． ∴8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东． 12．（24-25八年级下·上海·期末）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度y（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式（不必写x的取值范围）； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 【答案】(1) (2)①25辆；②为了避免严重拥堵，那么最晚20分钟需启动限流措施． 【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为， 由题意得，， ∴， ∴y关于x的函数解析式为； （2）解：①在中，当时，则，解得， ∴该时刻高架路上每百米车的数量为25辆； ②当时，解得， 分钟， 答：为了避免严重拥堵，那么最晚20分钟需启动限流措施． 13．（24-25八年级下·上海普陀·期末）如图，已知点，点，点在轴负半轴上，，点为直线上一点． (1)直线的表达式为___________；直线与轴的夹角等于___________度； (2)点为平面内任一点，如果以点A、、、为顶点的四边形是正方形，直接写出点的坐标是___________； (3)直线与轴交于点，当的面积是面积的2倍时，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或； (3)或 【详解】（1）解：∵点，点， ，， ∵， ， ， ∵点C在y轴负半轴上， ∴， 设直线的解析式是， ，解得， ∴直线的解析式为； ∵， ∴直线与轴的夹角等于45． （2）解：①当是正方形的边时，对应的正方形为， ∵点，点， ， ，； ②当是正方形的对角线时，对应的矩形为， ∵是正方形对角线， 线段和线段互相垂直平分， 点P、Q的横坐标为，，． 综上所述，Q点的坐标为或； （3）解：如图：当点M在y轴的正半轴时，此时点P在第三象限． 设，， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴，即A为的中点， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； 如图：当点M在y轴的负半轴时，此时点P在第三象限． ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴， ，解得：， ∴， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 14．（24-25八年级下·上海闵行·期末）已知，一次函数的图像与轴相交于点，与轴相交于点，点在轴的正半轴上，． (1)求一次函数的解析式及点与点的坐标； (2)如果四边形是等腰梯形，请直接写出点的坐标； (3)将直线绕着点逆时针旋转45°后与轴交于点，求点坐标． 【答案】(1)；； (2)或 (3) 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， 则一次函数的解析式是：． 在中，令，则．则点的坐标是：； ， ， 的坐标是：； （2）解：当且时，作于点，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ， ． ∴点的坐标是：． 当且时，如图所示： ∵，的解析式为，， ∴直线的解析式为：， 设点， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴此时点D的坐标为； 综上分析可知：点D的坐标为或； （3）解：过点A作，交于点E，过点E作轴于点F，如图所示： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点P的坐标为． 15．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线平行，且截距为分别与轴、轴交于点和点． (1)求直线的解析式和点的坐标： (2)如果点是线段上的点，且的面积为6，求点的坐标； (3)在（2）条件下，点是直线上的点，在坐标平面内是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；点坐标为 (2)点 (3)或或或 【详解】（1）解：∵直线与直线平行，且截距为分别与轴、轴交于点和点． ∴， ∴； 令则， 解得， ∴点坐标为 （2）解：依题意，设点坐标为, 的面积为6, , ∴， ∴， 即或， 或， 点是线段上的点， , 点； （3）解：存在，过程如下： 在（2）条件下，点是直线上的点， ∴设 ∵以、为顶点的四边形是菱形，且，， ∴当为对角线时， 则 整理得 ∴ 即点的坐标为 ∵四边形是菱形 ∴ 即， ∴， ∴， 整理得， ， ∴点的坐标为； ∵以、为顶点的四边形是菱形，且，， ∴当为对角线时， 则 ， 整理得， ∴， 即点的坐标为， ∵四边形是菱形， ∴， 即， ∴， ∴， 整理得， ∴（舍去） ∴ 此时； ∴当为对角线时， 则 ， 整理得， ∴， 即点的坐标为， ∵四边形是菱形， ∴， 即， ∴ ∴ 整理得， ∴， ∴， 当时，则，， 即， 当时，则， 即； 综上：或或或 16．（24-25八年级下·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点轴交于点，点在射线上（不与点重合），点在轴上（点在点左侧），四边形是正方形． (1)当点的横坐标为时，求直线的表达式； (2)当点在射线上运动时，设点的横坐标为，用表示点的坐标，判断点是否始终在（1）中的直线上？并说明理由； (3)点在轴上，如果四边形是等腰梯形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)，在，理由见解析 (3)或 【详解】（1）解：直线，点在直线上，点的横坐标为， ，即， ， 当时，则，解得，即， 四边形是正方形， ， , 设直线的表达式为， 将、代入得， 解得， 直线的表达式为； （2）解：在，理由如下： 由（1）知，直线的表达式为， 当点在射线上运动时，设点的横坐标为， ， 则， 四边形是正方形， ，则, 将代入，得， 即此时，在（1）中的直线上； （3）解：如图所示： 由（2）知，， 根据题意，分两种情况： 当时， 直线， 当时，，即， 设直线，将代入得， 直线， 当时，则，解得， ， 如果四边形是等腰梯形，则， ，即， 解得或， 当时，、， 、， 四边形是平行四边形（舍去）； 当时，、， 、， 四边形是等腰梯形，此时； 当时，则点与点重合， 如果四边形是等腰梯形，则， 过点作轴，如图所示： 四边形是正方形， ， ， ， ； 综上，点的坐标为或． 17．（24-25八年级下·上海·期中）已知等边中，，点为射线上一动点，以为边作等边，且点与点在直线的同侧，过点作，与直线、分别相交于点、． (1)若在边上时 ①求证：四边形是平行四边形； ②设，，求关于的函数解析式，（不需要写出函数定义域）； (2)当时，求的面积． 【答案】(1)①见解析：② (2) 【详解】（1）∵和都是等边三角形， ∴, ∴， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； ②∵等边中，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）解：当点D在边上时，过点A作于点H， 则， 由（1）知，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴, ∴； 当点D在延长线上时，过点A作于点M， 则， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴, ∴． 综上，．       18．（24-25八年级下·上海闵行·月考）如图，直线的解析表达式为：，且与x轴交于点D，直线经过点A、，直线，交于点C，点C的横坐标为2． (1)点D的坐标为_________；直线的解析式为_________． (2)在直线上有一点P，使得与的面积相等，求出点P的坐标． (3)点M在直线，点N在y轴上，若点M、N、A、C构成平行四边形，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【详解】（1）解：∵， ∴当时，则：，当时，则：， ∴，， ∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得：，解得：， ∴； （2）∵， ∴时，， ∴， ∵， ∴； 设点，作轴交于点，则， 当点在点上方时，则：， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当点在点下方时，则：， ∴， 解得：， ∴； 综上：或； （3）∵在轴上， ∴， ∵，， 当点M、N、A、C构成平行四边形时，分三种情况： ①当为对称轴时，，解得：， ∴， ∴； ②当为对称轴时，，解得：， ∴， ∴，此时，重合，不符合题意；舍去； ③当为对角线时，，解得：， ∴； ∴； 综上：或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $