专题01四边形易错必刷题型专项训练(31大题型共计93道题)2025-2026学年沪教版五四制八年级数学下册

专题01四边形易错必刷题型专项训练 题型01.多边形截角后的边数问题 题型02.多边形对角线的条数问题 题型03.多(少)算一个角 题型04.多边形截角后的内角和问题 题型05.复杂图形的内角和 题型06.多边形内角和与外角和综合 题型07.由平行四边形的性质求解 题型08.证明四边形是平行四边形 题型09.添条件成为平行四边形 题型10.已知三点构造平行四边形找点 题型11.由平行四边形的判定与性质求解 题型12.由平行四边形的性质与判定证明 题型13.矩形与折叠问题 题型14.矩形的判定定理理解 题型15.求矩形在坐标系中的坐标 题型16.由矩形的性质与判定求线段长 题型17.利用菱形的性质求线段长 题型18.利用菱形的性质求面积 题型19.证明四边形是菱形 题型20.添条件使四边形是菱形 题型21.正方形折叠问题 题型22.求正方形重叠部分面积 题型23.正方形的判定定理理解 题型24.由正方形的性质与判定证明 题型25.三角形中位线的求解问题 题型26.重心的有关性质 题型27.中点四边形 题型28.特殊平行四边形对称求阴影面积 题型29.特殊平行四边形的动点问题 题型30.四边形中的线段最值问题 题型31.四边形其他综合问题 题型01.多边形截角后的边数问题 1．将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是___________． 2．一个多边形被一条直线截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．10或11 B．9或10或11 C．11或12或13 D．10或11或12 3．如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形是几边形?请画出图形． 题型02.多边形对角线的条数问题 4．如果从多边形的一个顶点出发的对角线有5条，那么它的边数是__________ 5．已知一个多边形的外角和等于内角和的一半，那么这个多边形的对角线条数为（　　）． A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 6．已知多边形内角和与外角和的和为，求多边形边数及对角线的条数． 题型03.多(少)算一个角 7．小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，则少算的这个内角的度数为__________． 8．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 9．先阅读明明和芳芳的对话，再解答下列问题： (1)通过计算，明明发现自己少加了一个锐角，那么这个“少加的锐角”的度数是________． (2)明明求的是几边形的内角和 题型04.多边形截角后的内角和问题 10．如图，一个方桌截掉一个角后，得到一个五边形，__． 11．将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 12．张明和李华的对话如图所示，请根据对话内容回答下列问题： (1)张明的说法正确吗？请说明理由； (2)张明得到的新多边形是几边形？ 题型05.复杂图形的内角和 13．如图，等于（    ） A． B． C． D． 14．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 15．（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 题型06.多边形内角和与外角和综合 16．一个多边形的内角和比外角和大，则这个多边形的边数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 17．一个多边形的外角和与所有的内角相加是，则这个多边形的边数为_____________． 18．一个多边形的每个内角都相等，每个内角是它相邻的外角的3倍，求这个多边形的边数． 题型07.由平行四边形的性质求解 19．在平行四边形中，如果，则______． 20．如图，在中，，，，点，，，分别在边，，，上，且，将分成面积相等的四部分．若，则的长为（    ） A． B． C． D．4 21．在平行四边形中，，E为中点，连接． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点F为上一点，若，，，求的长度． 题型08.证明四边形是平行四边形 22．探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点，判定四边形为平行四边形的依据是___________． 23．已知四边形，与交于点O，那么不可以判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 24．如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，，求证：四边形是平行四边形． 题型09.添条件成为平行四边形 25．如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，这个条件可以是______． 26．下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 27．如图，在中，E，F是对角线上两个不同的点．连接，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，并将其序号填写在下方横线上． ①，点E，F为垂足；②；③；④． 符合条件的选项有 ； (2)选择其中一个条件，写出证明过程． 题型10.已知三点构造平行四边形找点 28．在一个平面上有不在同一直线上的三点，则这些点为顶点的平行四边形的个数是______个． 29．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 30．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以为边画一个面积为2的平行四边形． (2)在图②中以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． (3)在图③中以为边画一个面积为5的平行四边形（正方形除外）． 题型11.由平行四边形的判定与性质求解 31．如图，点A、B在的对角线所在的直线上且．若，则_________． 32．如图，在中，对角线，交于点，过点作于点，为上一点，连接．若，，，则的面积为（   ） A．6 B．7.5 C．8 D．10 33．如图，在四边形中，是的中点，与相交于点． (1)求证；四边形是平行四边形； (2)若，，，直接写出四边形的面积． 题型12.由平行四边形的性质与判定证明 34．如图，在中，．若，则的度数是_____． 35．如图1，平行四边形中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（    ） A．只有甲、乙才是 B．只有甲、丙才是 C．只有乙、丙才是 D．甲、乙、丙都是 36．如图，在中，点，在对角线上，．求证： (1)； (2)连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 题型13.矩形与折叠问题 37．如图，将矩形纸片折叠，使与重合，得到折痕．把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段，若，则的长为___________． 38．如图，将矩形的边折叠，使点D落在边上的点F处，折痕为．若，，则的长为（   ） A．4 B．3 C． D． 39．在矩形中，将沿对折至位置，与交于点F． (1)证明：； (2)如果 ，，求的长． 题型14.矩形的判定定理理解 40．如图1，小明将一个直角尺紧靠平行四边形活动架的一边，调整活动架如图2，调整后的活动架的形状是矩形，判断的依据是_______． 41．如图，的对角线交于点，以下条件不能证明是菱形的是（   ） A． B． C． D． 42．如图，在中，点M为的中点，过点D作，延长到点E使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 题型15.求矩形在坐标系中的坐标 43．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是_______． 44．如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 45．如图1，矩形的顶点分别在轴，轴的正半轴，若点，且满足，若点为矩形的对角线的中点，过点作的垂线分别交于点，． (1)___________，___________； (2)连接： ①判断四边形的形状，并说明理由； ②求线段的长度． 题型16.由矩形的性质与判定求线段长 46．如图，点在正方形的对角线上，于点，于点，连接，若，则的长为___________ 47．如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，M为的中点，则的最小值为（） A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4 48．如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 题型17.利用菱形的性质求线段长 49．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．若，则的长是_________． 50．如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点作，垂足为，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 51．如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长到点，使得．连接．过点作，交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 题型18.利用菱形的性质求面积 52．已知一个菱形的两条对角线的长分别是和，它的面积是______． 53．如图，菱形中，点、分别是，的中点，连接、、，则与菱形的面积之比是（    ） A． B． C． D． 54．如图，菱形的对角线与交于点，过点作，过点作，与交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 题型19.证明四边形是菱形 55．如图，的两条对角线，相交于点．若，，，则四边形是____________．判定的依据是____________________________． 56．如图，在中，分别是和的平分线．添加一个条件，仍无法判断四边形为菱形的是（   ） A． B． C． D．是的平分线 57．如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为30，且，求四边形的面积． 题型20.添条件使四边形是菱形 58．在中，添加一个条件_____，使得四边形是菱形． 59．下列关于的叙述，正确的是（    ） A．若，则是菱形 B．若，则是菱形 C．若，则是矩形 D．若，则是矩形 60．已知：如图，四边形为平行四边形，为的一条对角线． (1)（多选题）若添加一个条件，使得为菱形，这个条件可以是（   ） A．        B． C．为的角平分线    D． (2)用尺规作图，作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接、，求证：四边形为菱形． 题型21.正方形折叠问题 61．如图所示是边长为的正方形纸片，点为边的中点，折叠纸片使点落在点处，折痕为，则的长为____________． 62．如图，将一张正方形纸片的顶点A折叠至边上的E点，折痕为，若折痕比边长长2，，则正方形的边长为（   ） A．20 B．22 C．24 D．25 63．如图，在正方形纸片中，，点E在边上，且，将沿所在直线折叠，点D的对应点为点F，延长交边于点G，连接． (1)求证：； (2)求的长； (3)求证：． 题型22.求正方形重叠部分面积 64．如图，将5个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____． 65．如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 66．如图，四边形中，，，过点D分别作的延长线的垂线，垂足分别为点E，F，设，，，．    (1)证明：四边形是正方形； (2)用a，b，c表示四边形的面积； (3)请根据本题情境，证明：． 题型23.正方形的判定定理理解 67．如图，数学课上老师给出了以下四个条件：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组邻边相等；④一个角是直角．写出一个你认为能得到正方形的组合：______．（填序号） 68．已知菱形的对角线相交于点O，则添加下列条件，能判定菱形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 69．如图， 是等腰直角三角形， ，点 、分别是 、上的一 动点，且满足 ，是 的中点． (1)求证：； (2)当点运动到什么位置时，四边形是正方形，并说明理由． .题型24.由正方形的性质与判定证明 70．如图，已知四边形和四边形均为正方形，且是的中点，连接，若，则的长为___．    71．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变．当时，如图①，测得．当时，如图②，（   ） A． B．2 C．6 D． 72．如图，已知正方形，点E在对角线上，连接，作，交边于点F，以，为边作矩形． (1)判断矩形是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由． (2)若线段与正方形的边的夹角为，求的度数． 题型25.三角形中位线的求解问题 73．如图，点D，，分别为各边的中点，，则为______．    74．如图，在中，．点是斜边的中点，，垂足为，若，，则的值是（  ） A． B． C． D． 75．如图，在中，，D，E分别是，的中点，连接，过点B作，过点E作． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求的长． 题型26.重心的有关性质 76．如图，的中线、交于点O，连接并延长交于点E，如果，那么______． 77．如图，点为的重心，，，，则的面积为（   ）． A． B． C． D． 78．在中，，，G是的重心． (1)求的长； (2)过点G作，分别交、于点D、E，猜想与的比值，并证明． 题型27.中点四边形 79．如图，，在一座木建筑中，有一扇矩形窗户(四边形)，工人师傅准备连接窗户各边中点来制作精美的装饰边框，如果他们测得边的长为米，边的长为米，那么四边形的周长为________米． 80．如图，四边形为等腰梯形，且对角线，取梯形各边的中点E、F、G、H，则四边形是（    ） A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 81．如图，E，F，G，H分别是矩形四边的中点． (1)求证：四边形是菱形 (2)若四边形的面积为24，，求矩形的周长． 题型28.特殊平行四边形对称求阴影面积 82．如图，中，，，将沿方向平移，得到，连接．若，则阴影部分的面积为________． 83．在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 84．如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 题型29.特殊平行四边形的动点问题 85．如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为________．    86．如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 87．如图，在矩形中，，．点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，两点同时出发，当点到达点时停止，求经过多长时间，四边形为矩形？ 题型30.四边形中的线段最值问题 88．如图，已知正方形的对角线交于O，G是的中点，线段（点在点的左边）在直线上运动，连结，若，则的最小值是______． 89．如图，在矩形中，，，P是上一动点，交于点Q，M是上一个动点，交于点N，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 90．如图，四边形中，，，，，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），，分别为，的中点，求的最大值． 题型31.四边形其他综合问题 91．如图，把边长为的正方形纸片分割成如图的三块，其中点为正方形的中心，为的中点，用这三块纸片拼成与该正方形不全等且面积相等的四边形（要求这三块纸片不重叠无缝隙），若四边形为矩形，则四边形的周长是___________． 92．如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．下列四种说法：    ①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是矩形 ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果，且，那么四边形是正方形． 其中，正确的有（    ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 93．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【问题探究】如图1，已知四边形是垂美四边形，，垂足为O． （1）发现：由勾股定理得________，________； （2）猜想并证明：________；（填“”或“”或“”） 【学以致用】如图2，在中，，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，，与相交于点O． （3）求证：； （4）①判断四边形是不是垂美四边形？请说明理由； ②若，，直接写出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01四边形易错必刷题型专项训练 题型01.多边形截角后的边数问题 题型02.多边形对角线的条数问题 题型03.多(少)算一个角 题型04.多边形截角后的内角和问题 题型05.复杂图形的内角和 题型06.多边形内角和与外角和综合 题型07.由平行四边形的性质求解 题型08.证明四边形是平行四边形 题型09.添条件成为平行四边形 题型10.已知三点构造平行四边形找点 题型11.由平行四边形的判定与性质求解 题型12.由平行四边形的性质与判定证明 题型13.矩形与折叠问题 题型14.矩形的判定定理理解 题型15.求矩形在坐标系中的坐标 题型16.由矩形的性质与判定求线段长 题型17.利用菱形的性质求线段长 题型18.利用菱形的性质求面积 题型19.证明四边形是菱形 题型20.添条件使四边形是菱形 题型21.正方形折叠问题 题型22.求正方形重叠部分面积 题型23.正方形的判定定理理解 题型24.由正方形的性质与判定证明 题型25.三角形中位线的求解问题 题型26.重心的有关性质 题型27.中点四边形 题型28.特殊平行四边形对称求阴影面积 题型29.特殊平行四边形的动点问题 题型30.四边形中的线段最值问题 题型31.四边形其他综合问题 题型01.多边形截角后的边数问题 1．将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是___________． 【答案】3或4或5 【分析】本题考查了多边形．根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案． 【详解】解：如图可知，原来多边形的边数可能是3或4或5． 故答案为：3或4或5． 2．一个多边形被一条直线截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．10或11 B．9或10或11 C．11或12或13 D．10或11或12 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截出一个角后的多边形的边数，再根据截出一个角后边数增加，不变，减少讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少， 原来多边形的边数是10或11或12． 3．如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形是几边形?请画出图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了多边形．分情况，画出图形即可． 【详解】解：如答图①，剩下的新图形是三角形；如答图②，剩下的新图形是四边形；如答图③，剩下的新图形是五边形． ． 题型02.多边形对角线的条数问题 4．如果从多边形的一个顶点出发的对角线有5条，那么它的边数是__________ 【答案】 8 【分析】从边形的一个顶点出发，可以引条对角线，根据题目条件列方程求解边数． 【详解】解：设多边形的边数为． 从边形的一个顶点出发的对角线条数为， ， 解得 ． 5．已知一个多边形的外角和等于内角和的一半，那么这个多边形的对角线条数为（　　）． A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 【答案】D 【分析】先利用任意多边形外角和为定值的性质求出多边形内角和，再根据内角和公式求出边数，最后代入对角线条数公式计算得到结果． 【详解】解：设多边形边数为，根据题意得， ， 解得， 即该多边形为六边形， ∴该多边形对角线条数为（条）． 6．已知多边形内角和与外角和的和为，求多边形边数及对角线的条数． 【答案】边数12，对角线条数54 【分析】设这是边形，已知一个多边形的内角和与外角和的和为，外角和是360度，因而内角和是1800度．边形的内角和是，代入就得到一个关于的方程，解得边数，从而得到这个多边形的对角线的条数． 【详解】解：设这是边形，则 ， ． 这个多边形的对角线的条数 ． 答：多边形的边数12，对称线条数54． 题型03.多(少)算一个角 7．小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，则少算的这个内角的度数为__________． 【答案】/度 【分析】本题考查的是多边形的内角和问题，设多边形的边数为，根据多边形内角和公式及少算一个内角的条件，列出不等式求解，再计算内角和与给定结果的差，即得少算的内角度数． 【详解】解：设凸多边形的边数为，且为整数，则内角和为． 由于少算一个内角，得，其任一内角满足． 解不等式， 得． 内角和为， 故． 故答案为：． 8．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】多边形的内角和公式：，据此进行计算即可． 【详解】解：设多输入的内角为()，由题意得 ， 解得：， 为正整数， 当时， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，掌握公式是解题的关键． 9．先阅读明明和芳芳的对话，再解答下列问题： (1)通过计算，明明发现自己少加了一个锐角，那么这个“少加的锐角”的度数是________． (2)明明求的是几边形的内角和 【答案】(1) (2)八边形 【分析】（1）设这个多边形是n边形，这个“少加的锐角”的度数是，其中n为整数且，，根据题意，得，求解即可； （2）由（1）即可解答． 【详解】（1）解：设这个多边形是n边形，这个“少加的锐角”的度数是，其中n为整数且，， 根据题意，得， ∴， ∵x，n为正整数， ∴，， ∴这个多边形是八边形，这个“少加的锐角”的度数是． （2）解：由（1）可得，明明求的是八边形的内角和． 题型04.多边形截角后的内角和问题 10．如图，一个方桌截掉一个角后，得到一个五边形，__． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．如图所示，根据正方形的性质可得，再根据多边形的内角和公式可得：，即，进而得出答案． 【详解】解：如图所示， 根据正方形的性质，可得， 根据题意，可得五边形的内角和为：，即， ． 故答案为：． 11．将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，理解一个长方形锯掉一个角以后得到的多边形的形状是解题的关键． 长方形木板锯掉一个角后可能是三角形或四边形或五边形，再根据多边形的内角和定理即可解决． 【详解】解：长方形木板锯掉一个角以后可能是：三角形或四边形或五边形， 则剩下的多边形木板的内角和是或或． 故选：D． 12．张明和李华的对话如图所示，请根据对话内容回答下列问题： (1)张明的说法正确吗？请说明理由； (2)张明得到的新多边形是几边形？ 【答案】(1)不正确；理由见解析 (2)九边形或八边形或七边形 【分析】（1）根据多边形的内角和公式，可知任意多边形的内角和一定能被整除，即可求解； （2）设这个正多边形的边数为n，剪去的内角为，根据题意列式用n表示出x，然后根据x的取值范围，得到n的取值范围，求得整数解，再分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：张明的说法不正确．理由如下： 由多边形内角和定理可知，多边形的内角和为， 即任意多边形的内角和一定能被整除， ∵不能被整除， ∴张明的说法不正确． （2）解：设这个正多边形的边数为n，剪去的内角为， 根据题意，得， ∴， ∵， ∴， ∵n为整数， ∴这个正多边形为正八边形， 如图所示， 将正八边形剪去一个角后，得到的多边形的边数增加1或不变，或减少1，则得到的多边形边数为9或8或7， 即得到的新多边形是九边形或八边形或七边形． 题型05.复杂图形的内角和 13．如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 14．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 15．（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 【答案】 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得． 【详解】解：（1）∵在中，， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图，∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 题型06.多边形内角和与外角和综合 16．一个多边形的内角和比外角和大，则这个多边形的边数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查多边形内角和公式与外角和定理． 利用定理列出一元一次方程即可求解． 【详解】设这个多边形的边数为， 根据任意多边形的外角和恒为，边形内角和公式为， 列方程得： ， 整理方程得：， 解得：， 即这个多边形的边数是6，答案选A． 17．一个多边形的外角和与所有的内角相加是，则这个多边形的边数为_____________． 【答案】6 【分析】设这个多边形的边数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得： 解得： ∴这个多边形的边数为6． 18．一个多边形的每个内角都相等，每个内角是它相邻的外角的3倍，求这个多边形的边数． 【答案】8 【详解】解：设这个多边形的一个外角为，则相邻内角为， 由内角与相邻外角互补得 ， 解得 ， 因为任意多边形的外角和为，且该多边形每个内角相等， 因此每个外角也相等， 所以这个多边形的边数为 ． 题型07.由平行四边形的性质求解 19．在平行四边形中，如果，则______． 【答案】 125 【分析】根据平行四边形对角相等的性质，可求出的度数，再利用平行四边形对边平行，邻角互补的性质，即可求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 解得， ． 20．如图，在中，，，，点，，，分别在边，，，上，且，将分成面积相等的四部分．若，则的长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】设交于点O，过A作于点H，连接，根据，将分成面积相等的四部分，可得，，点O为平行四边形的中心，即过点O，证明，可得，，从而得到，进而得到，再由直角三角形的性质可得，，从而得到，，设，则，过作于点Q，交的延长线于点G，则，，，可得，从而得到 ，，可求出，过M作交于P，过A作于点H，则，再利用勾股定理解答即可． 【详解】解：设交于点O，过A作于点H，连接， 在中，，， ∴，， ∵，将分成面积相等的四部分， ∴，，点O为平行四边形的中心，即过点O， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 设，则， 过作于点Q，交的延长线于点G，则，，， ∴， ∴， ，， ， 解得， ， 过M作交于P，过A作于点H，则，， ∴， ， 在中，由勾股定理得：． 21．在平行四边形中，，E为中点，连接． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点F为上一点，若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得， ，则，，由直角三角形的性质可得，再由等边对等角得出，进而可得，即可得证； （2）由题意可得是线段的中垂线，则，由（1）知，即是直角三角形，由平行四边形的性质可得，设，则，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ， ∴，， 在中，为中点，即为斜边上的中线，则， ∴， ∴； ∴平分； （2）解：∵E为中点，且， ∴是线段的中垂线， ∴， 由（1）知，即是直角三角形， ∴由勾股定理可得， ∵，四边形是平行四边形， ∴， 设，则， ∴在中，， 解得：， ∴． 题型08.证明四边形是平行四边形 22．探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点，判定四边形为平行四边形的依据是___________． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【详解】解：根据尺规作图可知，， ∴四边形为平行四边形， 其依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 23．已知四边形，与交于点O，那么不可以判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C、由，不能证明四边形是平行四边形，故此选项符合题意； D、∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； 24．如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】先证，则，，可得，可证四边形是平行四边形． 【详解】解：， ，即． 四边形是平行四边形， ，． ． 在和中 ，． ． 四边形是平行四边形． 题型09.添条件成为平行四边形 25．如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，这个条件可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】给出一组对边相等，那么只需要这一组对边平行或者另一组对边相等即可，当然也可以添加条件证明这一组对边平行或者证明另一组对边相等． 【详解】解：∵， 当添加时，则四边形为平行四边形； 或添加时，四边形为平行四边形． 26．下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题根据平行四边形的判定定理对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项中，，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故不符合题意； B选项中， 四边形内角和为，，， ， ，可得，同理可得， 四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故不符合题意； C选项中，，，无法推出四边形对边平行或相等，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意； D选项中，，， 四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故不符合题意； 故选：C． 27．如图，在中，E，F是对角线上两个不同的点．连接，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，并将其序号填写在下方横线上． ①，点E，F为垂足；②；③；④． 符合条件的选项有 ； (2)选择其中一个条件，写出证明过程． 【答案】(1)①②④ (2)见解析 【分析】根据平行四边形的性质得出相等的角和边，通过证明三角形全等，得出相等的边，利用平行四边形的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：添加一个条件使得四边形是平行四边形的选项是①②④； （2）选择① 证明：∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； 选择② 证明：∵， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． 同理，, ∴， ∴四边形是平行四边形； 选择④ 证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】重点掌握平行四边形的性质定理和判定定理，借助全等三角形得出相等的边． 题型10.已知三点构造平行四边形找点 28．在一个平面上有不在同一直线上的三点，则这些点为顶点的平行四边形的个数是______个． 【答案】3/三 【分析】在同一直线上的三点为，连接，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个不同的平行四边形． 【详解】解：设已知三点为，连接， 分别以为平行四边形的对角线，另外两边为边， 可构成的平行四边形有三个：． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及分类讨论的数学思想，熟练掌握判定定理是解题的关键． 29．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 30．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以为边画一个面积为2的平行四边形． (2)在图②中以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． (3)在图③中以为边画一个面积为5的平行四边形（正方形除外）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定以及网格作图等知识，掌握正方形的判定是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的判定进行画图即可； （2）根据平行四边形的判定进行画图即可； （3）根据平行四边形的判定进行画图即可． 【详解】（1）解：如图：平行四边形即为所求． （2）解：如图：平行四边形即为所求． （3）解：如图：平行四边形即为所求． 题型11.由平行四边形的判定与性质求解 31．如图，点A、B在的对角线所在的直线上且．若，则_________． 【答案】/35度 【分析】利用平行四边形的性质证明即可． 【详解】解：∵中， ∴， ∵， ∴， ∴． 32．如图，在中，对角线，交于点，过点作于点，为上一点，连接．若，，，则的面积为（   ） A．6 B．7.5 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，得，，利用勾股定理，可求，从而，，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形，进而可得，，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：在中，对角线，交于点，， ，， ，， ， ， ，即， ，，， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ． 33．如图，在四边形中，是的中点，与相交于点． (1)求证；四边形是平行四边形； (2)若，，，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）利用三角形中位线定理得到且，结合推出，从而证明四边形是平行四边形； （2）先求出、，利用中位线性质求出，进而求出，利用求面积即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，， 又∵， ∴， 又∵、、三点共线， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，，， ∴，， 由（1）知，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 题型12.由平行四边形的性质与判定证明 34．如图，在中，．若，则的度数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 利用平行四边形性质，结合推出且，判定四边形为平行四边形，再由平行四边形对角相等得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴ ， ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∵且 ∴ 四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ． 故答案为：． 35．如图1，平行四边形中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（    ） A．只有甲、乙才是 B．只有甲、丙才是 C．只有乙、丙才是 D．甲、乙、丙都是 【答案】D 【详解】方案甲，连接，由平行四边形的性质得，，则，得四边形为平行四边形，方案甲正确；方案乙，证，得，再由，得四边形为平行四边形，方案乙正确；方案丙，证，得，，则，证出，得四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确． 【解答】解：方案甲中，连接，如图所示： 四边形是平行四边形，为的中点， ，， ，， ， 四边形为平行四边形，故方案甲正确； 方案乙中，四边形是平行四边形， ，， ， ，， ，， 在和中， ， ， 又， 四边形为平行四边形，故方案乙正确； 方案丙中，四边形是平行四边形， ，， ， 平分，平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形，故方案丙正确． 36．如图，在中，点，在对角线上，．求证： (1)； (2)连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为平行四边形，理由见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质对边平行且相等得到与平行且相等，由与平行得到内错角与相等，再由已知的，根据得到与全等； （2）由（1）证出的全等，根据全等三角形的性质得到与相等且与相等，由内错角相等两直线平行得到与平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得到四边形的形状． 【详解】（1）证明：是平行四边形， ，， ， ， ，即， ； （2）四边形是平行四边形， ， ，， ， 四边形是平行四边形． 题型13.矩形与折叠问题 37．如图，将矩形纸片折叠，使与重合，得到折痕．把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段，若，则的长为___________． 【答案】 【分析】由折叠的性质可知：，，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：由折叠的性质可知：，， ∴． 38．如图，将矩形的边折叠，使点D落在边上的点F处，折痕为．若，，则的长为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出的长，由折叠的性质得到，，进而求出和的长，设，在Rt 中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，，， ∴ ， 由折叠的性质可知：，， ∴， ∴ ， 设，则 ， ∴ ， 在 中，， ， 解得， 即． 39．在矩形中，将沿对折至位置，与交于点F． (1)证明：； (2)如果 ，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据折叠的性质可得，根据矩形的性质可得，则即可得证； （2）设，则，在中，利用勾股定理得到关于x的方程，然后求解方程即可． 【详解】（1）证明：∵在矩形中，将沿对折至位置 ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：在矩形中，， 根据（1）的结论，设，则， 在中，， ∴， 解得， 即． 题型14.矩形的判定定理理解 40．如图1，小明将一个直角尺紧靠平行四边形活动架的一边，调整活动架如图2，调整后的活动架的形状是矩形，判断的依据是_______． 【答案】有一个角是直角的平行四边形是矩形 【分析】根据矩形的判定方法，进行求解即可． 【详解】解：小明将一个直角尺紧靠平行四边形活动架的一边，调整活动架如图2，调整后的活动架的形状是矩形，判断的依据是有一个角是直角的平行四边形是矩形． 41．如图，的对角线交于点，以下条件不能证明是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的判定定理分别证明即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴是菱形； B、四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是菱形； C、四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是菱形； D、∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形，故不能证明为菱形． 42．如图，在中，点M为的中点，过点D作，延长到点E使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定即可证明结论； （2）先求出，再在中，利用勾股定理可得，然后根据矩形的性质可得，在中，利用勾股定理可得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）可知，， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵M是的中点，， ∴． 题型15.求矩形在坐标系中的坐标 43．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质和点的坐标，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 先由矩形的性质得出线段的长，再结合点的坐标即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ∴点的坐标为， 故答案为：． 44．如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设，，利用中点坐标公式，建立等式，根据矩形的对角线相等，利用两点间距离公式建立新等式，解答即可． 本题考查了坐标的特点，中点坐标公式，两点间距离公式，矩形的性质，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解：由轴，，， 不妨设，， 由矩形， 故点E是与的中点，且， 故，或， 同一点的坐标是相同的， 故， 故， 故 故， 解得， 故， 故选：A． 45．如图1，矩形的顶点分别在轴，轴的正半轴，若点，且满足，若点为矩形的对角线的中点，过点作的垂线分别交于点，． (1)___________，___________； (2)连接： ①判断四边形的形状，并说明理由； ②求线段的长度． 【答案】(1)8，6 (2)①四边形是菱形，见解析；② 【分析】（1）根据算术平方根和平方的非负性求解； （2）①证明出，得到，然后结合即可证明四边形是菱形； ②利用勾股定理求出，设菱形的边长为，则，利用勾股定理求出菱形的边长为，然后利用等面积法求解． 【详解】（1）解：，，且， ，， ，； （2）解：①四边形是菱形； 理由如下：如图， 四边形是矩形， ， ， 为矩形的对角线的中点，且， ，，， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； ②由（1）知点的坐标为， ，， 由勾股定理得：， 设菱形的边长为，则， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， 即菱形的边长为， ， ． 题型16.由矩形的性质与判定求线段长 46．如图，点在正方形的对角线上，于点，于点，连接，若，则的长为___________ 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，连接，先证明得到，再证明四边形是矩形即可求证． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：． 47．如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，M为的中点，则的最小值为（） A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4 【答案】D 【分析】先证明四边形是矩形，再由直角三角形斜边上中线的性质得到，由垂线段最短得到当时，取得最小值，也取得最小值，根据的面积求出的最小值，即可解答． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵M是的中点， ∴， ∴当取得最小值时，取得最小值． 当时，取得最小值， 此时，即， ∴的最小值为， ∴最小值为． 48．如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）由四边形是平行四边形，则，，又得四边形是平行四边形及，结合可得，由此可得平行四边形是矩形； （）连接，由（）得，，，所以，则，又四边形是矩形，故有，，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接， 由（）得，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型17.利用菱形的性质求线段长 49．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．若，则的长是_________． 【答案】5 【分析】先结合菱形的性质得，根据，得出，然后证明是等边三角形，即可作答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴． 50．如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点作，垂足为，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设交于点，根据菱形的性质得出，，，，平分，求出，，进而求出，证明，得出，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点， 四边形为菱形， ，，，，平分， ，，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 51．如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长到点，使得．连接．过点作，交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证四边形是平行四边形，再证，则，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得，由菱形性质可证为等边三角形，可得，再由勾股定理求出，根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是矩形； （2）解：由（1）知四边形是矩形， ， 又， ， ∵四边形是菱形， ， 为等边三角形， ， ， ， ． 题型18.利用菱形的性质求面积 52．已知一个菱形的两条对角线的长分别是和，它的面积是______． 【答案】 【详解】解：这个四边形是菱形， ∴ 53．如图，菱形中，点、分别是，的中点，连接、、，则与菱形的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据菱形的性质可得，再由点、分别是，的中点，可得，，，从而得到，，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点、分别是，的中点， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴与菱形的面积之比是． 54．如图，菱形的对角线与交于点，过点作，过点作，与交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）由菱形的性质得，再结合题意证四边形是平行四边形，即可得结论； （2）根据（1）的结论求出，再根据菱形的性质和面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型19.证明四边形是菱形 55．如图，的两条对角线，相交于点．若，，，则四边形是____________．判定的依据是____________________________． 【答案】 菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【分析】本题考查了勾股逆定理和平行四边形的性质以及菱形的判定，掌握上述知识点是解题的关键． 根据中三边的长度，利用勾股逆定理证明，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得答案． 【详解】解：∵在中，，，， ， 又∵， ∴, ，即， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 故答案为：菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 56．如图，在中，分别是和的平分线．添加一个条件，仍无法判断四边形为菱形的是（   ） A． B． C． D．是的平分线 【答案】C 【分析】根据平行四边形性质推出，，，，求出，证明，推出，求出，得出四边形是平行四边形，再根据菱形的判定判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵分别是和的平分线． ∴ ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， A、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，故本选项不符合题意； B、∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形，故本选项不符合题意； C、根据和平行四边形不能推出四边形是菱形，故本选项符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故本选项不符合题意； 57．如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为30，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形．再结合直角三角形的性质可得，即可得证； （2）设，．则，，由勾股定理可得，求出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：点是的中点， ． ， ∴四边形是平行四边形． 是直角三角形，点是的中点， ． 四边形是菱形． （2）解：设，． 的周长为，． ，． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴． ∵点、分别是、的中点， ∴， ∵， ∴． ∴． 答：四边形的面积为30． 题型20.添条件使四边形是菱形 58．在中，添加一个条件_____，使得四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据菱形的判定定理，在平行四边形的基础上，添加一组邻边相等或对角线互相垂直即可判定为菱形． 【详解】解：已知四边形是平行四边形，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可添加条件，此时四边形是菱形． 59．下列关于的叙述，正确的是（    ） A．若，则是菱形 B．若，则是菱形 C．若，则是矩形 D．若，则是矩形 【答案】D 【分析】由矩形和菱形的判定定理逐一判断选项即可． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， A：若，无法推出平行四边形邻边相等，不满足菱形的判定条件，不能判定为菱形，故A错误； B：若，可得，由有一个内角是直角的平行四边形是矩形，判定是矩形，但不一定是菱形，故B错误； C：若，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定是菱形，但不一定是矩形，故C错误； D：若，由对角线相等的平行四边形是矩形，判定是矩形，故D正确． 60．已知：如图，四边形为平行四边形，为的一条对角线． (1)（多选题）若添加一个条件，使得为菱形，这个条件可以是（   ） A．        B． C．为的角平分线    D． (2)用尺规作图，作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接、，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)ACD (2)见解析 【分析】（1）根据菱形的判定定理分析即可； （2）根据题意即可作图，由线段的垂直平分线的性质得到，然后证明，则，即可通过四边相等的四边形是菱形证明． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， 当时，是菱形，故A符合题意； 当时，四边形是矩形，故B不符合题意； 当为的角平分线时， 则， 因为中，， 所以， 所以， 所以， 所以是菱形，故C符合题意； 当时，是菱形，故D符合题意． （2）解：如图即为所求， 证明：∵垂直平分， ∴，， ∵平行四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 题型21.正方形折叠问题 61．如图所示是边长为的正方形纸片，点为边的中点，折叠纸片使点落在点处，折痕为，则的长为____________． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．根据折叠的性质，只要求出就可以求出，在直角中，若设，则，，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出的长． 【详解】解：由翻折可知， 根据题意设，则， 又点为边的中点， ， 在中，，即， 解得：， 即． 故答案为：． 62．如图，将一张正方形纸片的顶点A折叠至边上的E点，折痕为，若折痕比边长长2，，则正方形的边长为（   ） A．20 B．22 C．24 D．25 【答案】C 【分析】先过点作于点，利用三角形全等的判定得到，从而求出，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于点， 由正方形的性质得，，， ，， 由折叠得到， ， 又， ， ∴，又， ， ∴． 在中，，， 由勾股定理得， 解得，即正方形的边长为24． 63．如图，在正方形纸片中，，点E在边上，且，将沿所在直线折叠，点D的对应点为点F，延长交边于点G，连接． (1)求证：； (2)求的长； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)见解析 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据折叠的性质，正方形的性质，推出，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可； （3）由（2）可得，进而得到，得到，三角形的外角得到，全等三角形的性质，得到，进而得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， 又∵， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则，， 在中，由勾股定理，得：， 解得； ∴； （3）解：由（2）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型22.求正方形重叠部分面积 64．如图，将5个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____． 【答案】 【分析】如图，连接，，证明出，得到，推出每一个阴影部分的面积等于正方形的，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，， 由正方形的性质得，，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴每一个阴影部分的面积等于正方形的， ∴正方形重叠的部分（阴影部分）面积和． 65．如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到正方形性质的应用，正确认识图形是解题的关键． 根据题意，结合图形，先得到图1中，结合已知条件，得到，结合图2，得到结果． 【详解】解∶如图，设正方形的面积为，正方形的面积为，图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为， ∵图1中，，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，图2中，， ∴， 即当的对角线交点与的一个顶点重合时，重叠部分的面积是的， 故选∶． 66．如图，四边形中，，，过点D分别作的延长线的垂线，垂足分别为点E，F，设，，，．    (1)证明：四边形是正方形； (2)用a，b，c表示四边形的面积； (3)请根据本题情境，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的面积为 (3)见解析 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，由正方形的判定可得出结论； （2）过点作的垂线，垂足为．由直角三角形的性质及三角形面积可得出答案； （3）由全等三角形的性质得出，四边形的面积正方形的面积．设，则，即，求出，由图形的面积关系可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， 四边形为矩形， ， 又， 即， ． ， ， ， 四边形为正方形． （2）解：过点作的垂线，垂足为． 由题意得为等腰直角三角形，即点为斜边的中点．   ， ， 又，，， 四边形的面积； （3）证明：四边形为正方形， ． ， ，四边形的面积正方形的面积． 设，则， 即， ， 正方形的面积． ， 整理得， ． 【点睛】题是四边形综合题，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定、平行四边形的判定、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质和判定定理是解题的关键． 题型23.正方形的判定定理理解 67．如图，数学课上老师给出了以下四个条件：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组邻边相等；④一个角是直角．写出一个你认为能得到正方形的组合：______．（填序号） 【答案】①③④或②③④ 【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解决问题的关键． 根据有一个角是直角的菱形是正方形即可求解． 【详解】解：由①得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加③得一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加④得一个角是直角的菱形是正方形； 由②得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，同样再添加③④即可得到正方形． 故能得到正方形的组合有①③④或②③④． 故答案为：①③④或②③④． 68．已知菱形的对角线相交于点O，则添加下列条件，能判定菱形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，熟练掌握菱形的性质，正方形的判定是解题的关键．根据有一个角是直角的菱形是正方形，以及结合菱形的性质逐一判断即可． 【详解】解：如图，    A、由菱形可得，那么，则A选项多余，不能判定菱形是正方形，故不符合题意； B、由菱形可得，则B选项多余，不能判定菱形是正方形，故不符合题意； C、不能判定菱形是正方形，故不符合题意； D、由菱形可得，而，则，因为菱形对角线平分一组对角，则，故菱形是正方形，故符合题意； 故选：D． 69．如图， 是等腰直角三角形， ，点 、分别是 、上的一 动点，且满足 ，是 的中点． (1)求证：； (2)当点运动到什么位置时，四边形是正方形，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解； (2)当点运动到的中点时，四边形是正方形 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定，正方形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）连接，根据直角三角形的性质可得，从而证明，得到由，得出，从而求证； （2）若四边形是正方形，则，得到点是的中点． 【详解】（1）证明：连接， 是等腰直角三角形，是的中点， ，，， 又， ， ， ， （2）当点运动到的中点时，四边形是正方形， ， ，， 为等腰直角三角形， 当为的中点时，，即， 又，， 四边形为矩形， 又， 四边形为正方形。 .题型24.由正方形的性质与判定证明 70．如图，已知四边形和四边形均为正方形，且是的中点，连接，若，则的长为___．    【答案】 【分析】四边形和四边形均为正方形，且是的中点，，如图所示，过点作于，交于，与交于点，可证，，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形和四边形均为正方形，且是的中点，， ∴， ∴在中，， 如图所示，过点作于，交于，与交于点，    ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴，，即为中点， 同理，可证， ∴， ∴在中， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形与直角三角形勾股定理的综合，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 71．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变．当时，如图①，测得．当时，如图②，（   ） A． B．2 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 如图①先根据题意得到四边形是正方形，连接，利用勾股定理求出的长，如图②根据，证明三角形为等边三角形即可得到答案． 【详解】解：如图①∵，， ∴四边形是正方形， 连接，则， ∴， 如图②，，连接， ∵ ∴为等边三角形， ∴． 故选A． 72．如图，已知正方形，点E在对角线上，连接，作，交边于点F，以，为边作矩形． (1)判断矩形是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由． (2)若线段与正方形的边的夹角为，求的度数． 【答案】(1)矩形是正方形，理由见解析 (2) 【分析】（1）过E作于M点，过E作于N点，由正方形得，，计算，故四边形为矩形，再证明，得，故矩形为正方形； （2）由（1）知，得，故． 【详解】（1）解：矩形是正方形，理由如下： 过E作于M点，过E作于N点，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知，得， ∴． 题型25.三角形中位线的求解问题 73．如图，点D，，分别为各边的中点，，则为______．    【答案】 【分析】根据三角形中位线的性质得到、，进而证明四边形是平行四边形，从而求出的度数． 【详解】解：点D，，分别为各边的中点， 、， 四边形是平行四边形， ． 74．如图，在中，．点是斜边的中点，，垂足为，若，，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质及中位线定理，求出和的长，进而得到的长，最后在中利用勾股定理求解即可 【详解】解：∵，点是斜边的中点， ∴， ∵， ∴，即点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，， ∴， 在中，． 75．如图，在中，，D，E分别是，的中点，连接，过点B作，过点E作． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：D，E分别是，的中点， 是的中位线，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是菱形． （2）解：如图，连接交于点O， 四边形是菱形，， ，，， ， 由(1)可知，， ， ． 题型26.重心的有关性质 76．如图，的中线、交于点O，连接并延长交于点E，如果，那么______． 【答案】15 【分析】由题意得，，然后问题可求解． 【详解】解：∵的中线、交于点O，， ∴点O是的重心， ∴，， ∴， ∴． 77．如图，点为的重心，，，，则的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的重心，延长交于点，可得是的中线，，又由已知可得，即得到，进而由即可求解，掌握三角形重心的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵点为的重心， ∴是的中线，， ∵，，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 故选：． 78．在中，，，G是的重心． (1)求的长； (2)过点G作，分别交、于点D、E，猜想与的比值，并证明． 【答案】(1)8 (2)比值为2，证明见解析 【分析】（1）延长交于点，根据三角形的重心可得，，再由等腰三角形的性质以及勾股定理求解即可； （2）连接，根据共高三角形面积比等于底之比进行转化求解即可． 【详解】（1）解：延长交于点， ∵点G是的重心 ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ （2）解：比值为，证明如下： 如图，连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴与的比值为． 题型27.中点四边形 79．如图，，在一座木建筑中，有一扇矩形窗户(四边形)，工人师傅准备连接窗户各边中点来制作精美的装饰边框，如果他们测得边的长为米，边的长为米，那么四边形的周长为________米． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理 ，四边形的综合；根据题意得到四边形为菱形，结合勾股定理得到，再计算周长即可． 【详解】解：由题知：四边形为菱形； ， ， 所以形的周长为米， 故答案为：． 80．如图，四边形为等腰梯形，且对角线，取梯形各边的中点E、F、G、H，则四边形是（    ） A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理可得结论． 【详解】解：连接， ∵分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理可知：， ∴， ∴四边形为平行四边形， ， ∴， ∴四边形为菱形． 81．如图，E，F，G，H分别是矩形四边的中点． (1)求证：四边形是菱形 (2)若四边形的面积为24，，求矩形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的对角线相等和三角形中位线的性质即可证得结论； （2）根据菱形的性质和矩形的性质可推出，然后根据勾股定理得到，最后利用矩形的周长，根据完全平方公式即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵E，H分别是，的中点， 且， 同理可得：且，且， 且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，连接，， ∵四边形的面积为24，且四边形是菱形， ， ∵E，F，G，H分别是矩形四边的中点， 且， ∴四边形是平行四边形， ， 同理可得：， ， ， ∵E，H分别是矩形边，的中点，， ， ， ， ∴矩形的周长 ， ∴矩形的周长为． 题型28.特殊平行四边形对称求阴影面积 82．如图，中，，，将沿方向平移，得到，连接．若，则阴影部分的面积为________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平移的性质，求阴影部分的面积，平行四边形的性质和判定， 根据平移的性质得，可知四边形时平行四边形，再根据面积公式得出答案． 【详解】解：根据平移的性质得， ∴四边形时平行四边形． ∵， ∴． ∵， ∴阴影部分的面积等于． 故答案为：4． 83．在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PM=AB，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分， 由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD， ∴AM=PB， ∴PM=AB， ∵PM==， 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 84．如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 【答案】图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变．理由见解析 【分析】连接AC，根据点O是边长为2的正方形ABCD的对称中心，得到AC过点O，推出△AOG≌△CON，得到OG=OC，同理△AOH≌△COM，得到OH=OM，于是得到图中的阴影部分是否关于O点为中心对称，两部分的面积不改变． 【详解】解：图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变． 理由：如图，连接， ∵点O是边长为2的正方形的对称中心， ∴过点O， ∴， 在和中， ∴，， 同理可证， ∴， ∴图中的阴影部分关于O点成中心对称，连接， ∵点O是正方形的对称中心， ∴，，． ∵垂直， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积正方形的面积． 同理四边形的面积正方形的面积． ∴两部分的面积不改变． 【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，能证得三角形全等是解题的关键． 题型29.特殊平行四边形的动点问题 85．如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为________．    【答案】6或11/11或6 【分析】分在上、在上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：①当在上时， 的面积等于， ， 解得：； ②当在上时， 的面积等于， ， ， 解得：； 综上所述，的值为6或11， 故答案为：6或11． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握矩形的性质，分情况讨论是解题的关键． 86．如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】过点G作于H，过点G作，由“”可证，可得，可得点G在平行且到距离为1的直线上运动，则当F与D重合时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作于H，过点G作， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点G在平行且到距离为1的直线上运动， ∴当F与D重合时，有最小值，此时， ∴的最小值， 故选：B． 【点睛】本题考查了（特殊）平行四边形的动点问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是解题关键． 87．如图，在矩形中，，．点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，两点同时出发，当点到达点时停止，求经过多长时间，四边形为矩形？ 【答案】当经过的时间为秒或4秒或秒或12秒时，四边形是矩形 【分析】根据矩形的判定条件：有一个角是直角的平行四边形是矩形，已知，，故只要使得，四边形即为矩形，分类讨论点Q的不同情况，用含t的式子表示，列方程求解即可． 【详解】解：四边形是矩形，， ， 当时，四边形是矩形，设运动的时间为秒， 点在边上以每秒的速度从点向点运动，到达点时停止， 点的运动时间为：（秒）， 又点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动， 点从点到点的运动时间为：（秒）， 有以下四种情况： ①当时，此时点从点向点运动，，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形； ②当时，此时点从点向点运动，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形； ③当时，此时点从点向点运动，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形； ④当时，此时点从点向点运动，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形， 综上所述：当经过的时间为秒或4秒或秒或12秒时，四边形是矩形． 题型30.四边形中的线段最值问题 88．如图，已知正方形的对角线交于O，G是的中点，线段（点在点的左边）在直线上运动，连结，若，则的最小值是______． 【答案】 【分析】取的中点，则与关于对称，过点作，，交于点，连接，则四边形是平行四边形，，根据轴对称的性质可以得出，利用三角形三边关系可以得出，根据两点间的距离最短进一步得出，在中，根据勾股定理即可解此题． 本题主要考查了正方形的性质、勾股定理以及利用平移和对称求最值问题，关键在于通过平移和对称将所求线段和转化为两点之间的距离． 【详解】，解：四边形是正方形，， ， ， 是的中点， ， 取的中点，则与关于对称， ， 过点作，，交于点，连接， 四边形是平行四边形， ，， 在中，， 又点是上的动线段， ， 当点在一条直线上时，取最小值， ， , 在中，，，根据勾股定理， 最小值为， 故答案为：． 89．如图，在矩形中，，，P是上一动点，交于点Q，M是上一个动点，交于点N，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】设交于点F，连接，四边形、四边形是矩形，推出，，推出，由，即可解决问题． 【详解】解：设交于点F，连接， 四边形是矩形，，， 四边形、四边形是矩形， ，， ， ，， 的最小值为5， 的最小值为5． 90．如图，四边形中，，，，，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），，分别为，的中点，求的最大值． 【答案】6.5 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，动点最值问题，掌握利用中位线定理将转化为的一半，通过分析的最大值来求的最大值是解题的关键． 连接，利用三角形中位线定理将转化为的一半，再分析的最大值，从而求出的最大值． 【详解】解：如图，连接． ，分别为，的中点， 为的中位线， ， 当的值最大时，的值最大． 当点与点重合时，的值最大， 此时， 的最大值为． 题型31.四边形其他综合问题 91．如图，把边长为的正方形纸片分割成如图的三块，其中点为正方形的中心，为的中点，用这三块纸片拼成与该正方形不全等且面积相等的四边形（要求这三块纸片不重叠无缝隙），若四边形为矩形，则四边形的周长是___________． 【答案】 【分析】根据四边形为矩形及为的中点即可得到，再利用正方形的性质得到即可解答． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴四边形的周长是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的剪拼，全等图形，掌握图形的剪拼是解题的关键． 92．如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．下列四种说法：    ①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是矩形 ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果，且，那么四边形是正方形． 其中，正确的有（    ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形、正方形的判定，先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得出为平行四边形，得出①正确；当，根据推出的平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若平分，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由，，根据等腰三角形的三线合一可得平分，同理可得四边形是菱形，但不一定为直角，④不一定正确． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形，选项①正确； 若， 平行四边形为矩形，选项②正确； 若平分， ， 又， ， ， ， 平行四边形为菱形，选项③正确； 若，， 平分， 同理可得平行四边形为菱形，但不一定为直角，故菱形不一定为正方形；选项④错误， 则其中正确的是①②③． 故选：C． 93．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【问题探究】如图1，已知四边形是垂美四边形，，垂足为O． （1）发现：由勾股定理得________，________； （2）猜想并证明：________；（填“”或“”或“”） 【学以致用】如图2，在中，，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，，与相交于点O． （3）求证：； （4）①判断四边形是不是垂美四边形？请说明理由； ②若，，直接写出的长． 【答案】（1）；；（2）；（3）见解析；（4）①四边形是垂美四边形；理由见解析；② 【分析】（1）根据勾股定理进行求解即可； （2）由勾股定理列出等式可求解； （3）根据“”证明即可； （4）①根据垂美四边形定义进行求解即可；②根据勾股定理，结合，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴和根据勾股定理得： ，； （2）在和中，根据勾股定理得： ，， ， ， ∴； （3）∵和是等腰直角， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴； （4）①四边形是垂美四边形；理由如下： ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形； ②∵，，， ∴， ∵和是等腰直角， ∴， ， 根据解析（2）可知：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查四边形的综合应用，掌握垂美四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $