专题03 复数及其几何意义八大题型（高效培优专项训练）数学人教B版高一必修第四册

专题03 复数及其几何意义八大题型 题型一：复数的分类及辨析 题型二：己知复数的类型求参数 题型三：复数的相等 题型四：复数的几何意义 题型五：复数的向量表示 题型六：共轭复数的求解 题型七：复数的模的计算 题型八：复数的模的几何意义 题型一：复数的分类及辨析 1．在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】，是纯虚数；，，是实数；是虚数，但不是纯虚数； 综上，纯虚数的个数为2. 故选：C. 2．已知，，下列为纯虚数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将，代入，得，A为实数；，B为纯虚数； ，C为实数；，D为虚数，但不为纯虚数． 故选：B. 3．在复平面上，平行于轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．实数 B．虚数且非纯虚数 C．纯虚数 D．无法确定 【答案】C 【详解】由题意得平行于轴的非零向量所对应的复数一定是纯虚数，故C正确. 故选：C 4．设C为复数集，R为实数集，I为虚数集，M为纯虚数集，则下列式子中不正确的是______（请填代号）． ①；    ②；    ③；    ④． 【答案】② 【详解】，则①判断正确；，则②判断错误； ，则③判断正确；，则④判断正确 故答案为：② 5．已知复数，其中，则复数是纯虚数的概率是_______________. 【答案】/ 【详解】依题意， 有如下可能： ， ， ， ，共种， 其中纯虚数有，共种， 所以复数是纯虚数的概率是. 故答案为： 题型二：己知复数的类型求参数 6．设复数（其中，为虚数单位），则“”是“z为实数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因，则， 而“为实数”即，故“”是“z为实数”的充要条件. 故选：C. 7．已知复数为纯虚数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设，结合平方关系易得，故. 故选：B 8．若复数，则实数的值为______. 【答案】2 【详解】因为复数， 且只能是实数才能比较大小，所以为实数， 得到，解得，即实数的值为. 故答案为：2 9．设复数，当实数________时，是实数. 【答案】 【详解】因为复数是实数， 所以，解得， 所以当时，z是实数． 10．已知复数（i为虚数单位），． (1)若z为虚数，求实数m的取值范围； (2)若z为纯虚数，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）若为虚数，则，且， 解得且， 所以实数的取值范围为. （2）若为纯虚数，则， 解得，即， 所以实数的值为． 11．当实数为何值时，复数为 (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 【答案】(1)； (2)且； (3). 【详解】（1）复数为实数，则，解得， 所以. （2）复数为虚数，则，解得且， 所以且. （3）复数为纯虚数，则，解得， 所以. 题型三：复数的相等 12．设，，则（    ） A．－1 B． C． D．1 【答案】C 【详解】由题意得，解得，所以 13．已知，（i为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：由题可得， 解得． 14．满足的有序实数对有______组. 【答案】四 【详解】由，，解得或，或， 可得，或，或，或. 所以共有四组实数对. 故答案为：四. 15．已知复数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，整理得， 则 ，开口向上，对称轴为， 由，得， 所以在上单调递减， 所以当时，的最大值为33， 当时，的最小值为，则的取值范围是. 16．已知复数，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以 则． 令， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，当时，， 所以． 故选：. 题型四：复数的几何意义 17．若复数在复平面内对应的点的坐标为，则的实部为（    ） A．-5 B．4 C．5 D．-4 【答案】A 【详解】由复数在复平面内对应的点的坐标为， 得，实部为. 18．已知复数，则z在复平面上对应的点所在象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】复数对应的点为，它在第一象限. 19．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在复平面内，复数对应的点的坐标是， 所以． 20．已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，解得. 21．当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件? (1)在虚轴上； (2)位于第四象限. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】 【详解】（1）因为复数在复平面内对应点在虚轴上， 则有，解得或，所以或时， 复平面内表示复数的点在虚轴上. （2）复平面内，复数对应的点为， 依题意， 即，解得或， 所以当或时，复数对应的点位于第四象限. 22．已知复数. (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若复数z对应的点位于直线上，求复数z. 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）若z为纯虚数，则，解得. （2）复数z对应的点坐标为，若该点在直线上， 则，整理得，解得或. 当时，； 当时，. 题型五：复数的向量表示 23．已知复数，，在复平面内，对应的向量分别为，，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题得，， 所以， 其对应的复数为. 24．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于y轴的对称点为B，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】向量对应的复数为，点A的坐标为， 点A关于y轴的对称点为B，点B的坐标为 向量对应的复数为． 25．在复平面内，复数所对的向量为，将逆时针旋转得到，则所对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，. 设，对应的复数为，则逆时针旋转后应在第一象限，所以，. 由旋转性质得旋转前后模长相等，且与垂直， 所以，解得. 所以逆时针旋转后，，对应的复数为. 26．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为， 所以， 所以向量对应的复数为． 27．已知向量对应的复数为，将绕点按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是___________． 【答案】 【详解】向量对应的复数为，即向量， 向量绕点按顺时针旋转，得到向量， 即向量对应的复数是. 题型六：共轭复数的求解 28．复数的共轭复数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，故. 29．已知复数，则在复平面内对应的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则，故在复平面内对应的点为. 30．已知复数在复平面内表示的点在直线上，则复数的共轭复数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】复数在复平面内表示的点在直线上， 则，即得，则， 则复数的共轭复数. 31．若，则的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】复数，则，其虚部为. 32．若复数的虚部为1，则在复平面对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的虚部为， ，解得，所以， 故在复平面对应的点的坐标为， 故选：A. 题型七：复数的模的计算 33．复数的虚部为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【详解】的虚部为. 34．已知复数，则（   ） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】，故. 35．已知复数（），则的最小值为（   ） A． B． C．10 D．20 【答案】A 【详解】由， 当时，取得最小值. 36．（多选）在复平面内，复数对应点分别为.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】设， 因为，可得， 解得或， 所以或. 37．已知复数z的实部与虚部互为相反数，且，则_______． 【答案】或 【详解】由题可设， 则. 因为，所以，所以. 所以或. 38．若对一切，复数的模不超过2，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】由， 可得， 因此，所以， 即，则， 所以. 故答案为： 题型八：复数的模的几何意义 39．已知，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】 由可知在复平面内所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 在复平面内所对应的点为，又，所以点在圆外， 所以的最小值为. 40．已知复数z满足，则复数z在复平面内所对应的点的轨迹为（　　） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】B 【详解】设复数在复平面内对应的点为，而复数对应的点为， 则可将理解为，即动点到定点的距离为3， 故动点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆. 故选：B. 41．已知复数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由，得， 所以复数在复平面内对应的点到点的距离恒等于1， 所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，以1为半径的圆， 所以的最小值为圆心到原点的距离减去半径， 即. 故选：B. 42．在复平面内，复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上，则实数（    ）． A． B． C．或2 D．或2 【答案】D 【详解】在复平面内与题中所给四个复数对应的点依次为， 得到对应的以原点为始点的向量依次为， 则， 可得，同理可得， 因为复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上， 所以这些点都在以原点为圆心、半径为的圆上， 所以，解得. 故选：D. 43．设，在复平面内，复数z所对应的点为Z，那么满足条件点Z的集合构成图形的面积为__________. 【答案】 【详解】由，则在复平面内点Z构成的图形是以原点为圆心， 分别以1和为半径的两个圆构成的圆环， 所以所求面积为. 故答案为： 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 复数及其几何意义八大题型 题型一：复数的分类及辨析 题型二：己知复数的类型求参数 题型三：复数的相等 题型四：复数的几何意义 题型五：复数的向量表示 题型六：共轭复数的求解 题型七：复数的模的计算 题型八：复数的模的几何意义 题型一：复数的分类及辨析 1．在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知，，下列为纯虚数的是（    ） A． B． C． D． 3．在复平面上，平行于轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．实数 B．虚数且非纯虚数 C．纯虚数 D．无法确定 4．设C为复数集，R为实数集，I为虚数集，M为纯虚数集，则下列式子中不正确的是______（请填代号）． ①；    ②；    ③；    ④． 5．已知复数，其中，则复数是纯虚数的概率是_______________. 题型二：己知复数的类型求参数 6．设复数（其中，为虚数单位），则“”是“z为实数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知复数为纯虚数，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．若复数，则实数的值为______. 9．设复数，当实数________时，是实数. 10．已知复数（i为虚数单位），． (1)若z为虚数，求实数m的取值范围； (2)若z为纯虚数，求实数m的值． 11．当实数为何值时，复数为 (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 题型三：复数的相等 12．设，，则（    ） A．－1 B． C． D．1 13．已知，（i为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 14．满足的有序实数对有______组. 15．已知复数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．已知复数，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型四：复数的几何意义 17．若复数在复平面内对应的点的坐标为，则的实部为（    ） A．-5 B．4 C．5 D．-4 18．已知复数，则z在复平面上对应的点所在象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 19．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 20．已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 21．当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件? (1)在虚轴上； (2)位于第四象限. 22．已知复数. (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若复数z对应的点位于直线上，求复数z. 题型五：复数的向量表示 23．已知复数，，在复平面内，对应的向量分别为，，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 24．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于y轴的对称点为B，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 25．在复平面内，复数所对的向量为，将逆时针旋转得到，则所对应的复数为（    ） A． B． C． D． 26．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（ ） A． B． C． D． 27．已知向量对应的复数为，将绕点按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是___________． 题型六：共轭复数的求解 28．复数的共轭复数（   ） A． B． C． D． 29．已知复数，则在复平面内对应的点为（    ） A． B． C． D． 30．已知复数在复平面内表示的点在直线上，则复数的共轭复数（   ） A． B． C． D． 31．若，则的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 32．若复数的虚部为1，则在复平面对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型七：复数的模的计算 33．复数的虚部为（    ） A． B． C．5 D．6 34．已知复数，则（   ） A．5 B．3 C． D． 35．已知复数（），则的最小值为（   ） A． B． C．10 D．20 36．（多选）在复平面内，复数对应点分别为.已知，则（    ） A． B． C． D． 37．已知复数z的实部与虚部互为相反数，且，则_______． 38．若对一切，复数的模不超过2，则实数的取值范围为______. 题型八：复数的模的几何意义 39．已知，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 40．已知复数z满足，则复数z在复平面内所对应的点的轨迹为（　　） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 41．已知复数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 42．在复平面内，复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上，则实数（    ）． A． B． C．或2 D．或2 43．设，在复平面内，复数z所对应的点为Z，那么满足条件点Z的集合构成图形的面积为__________. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $