专题10.1 复数及其几何意义（高效培优讲义）数学人教B版高一必修第四册

专题10.1 复数及其几何意义 教学目标 1．理解复数的基本概念，掌握复数的代数形式、实部、虚部及数系扩充关系。 2．掌握复数相等的充要条件，能根据条件判断实数、虚数、纯虚数。 3．理解复平面与复数的几何意义，会找对应点、掌握共轭复数的概念与性质。 4．会求复数的模，理解复数、点、向量三者之间的一一对应关系。 教学重难点 重点：复数的概念、分类、复数相等、共轭复数、复数的模与几何表示。 难点：复数几何意义的理解、纯虚数判定、复平面内点与复数的对应。 知识点01 数系的扩充及复数的有关概念 1.复数的有关概念 （1）复数的定义:形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,且. （2）复数集:全体复数构成的集合叫做复数集. （3）复数的表示:,其中叫做复数的实部,叫做复数的虚部. 2.数系的扩充 3.复数相等 若,则复数与相等的充要条件是且. 4.复数的分类 （1）对于复数,当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数0;当时,它叫做虚数;当且时,它叫做纯虚数. 这样,复数可以分类如下: 【即学即练】 1．已知复数满足（其中i为虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得复数的虚部为. 2．下列各数中，是纯虚数的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】由为实数，复数中实部为，则ABD错误. 故选：C. 知识点02 复数的几何意义 1.复平面 （1）定义:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. （2）实轴:在复平面内,轴叫做实轴,单位是1,实轴上的点都表示实数. （3）虚轴:在复平面内,轴叫做虚轴,单位是,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. （4）原点:原点表示实数0. 2.共轭复数 （1）定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. （2）表示:复数的共轭复数表示为,即若,则. （3）性质:①两个共轭复数的对应点关于实轴对称；②实数的共轭复数是它本身,即. 【即学即练】 3．已知复数在复平面内对应的点坐标为，为的共轭复数，则=（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：由复数z在复平面内对应的点坐标为，则， 所以，因此. 4．已知是复平面内表示复数的点，若复数是虚数，则点P（    ） A．在虚轴上 B．不在虚轴上 C．在实轴上 D．不在实轴上 【答案】D 【详解】由题意得，则点P不在实轴上，则C错误，D正确， 若，则A错误，若，则其在虚轴上，则B错误， 故选：D. 知识点03 复数的模 ①复数的几何意义： ②复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，即 【即学即练】 5．复数，则（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【详解】. 6．设复数，且，则（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【详解】因为复数， 则，解得. 故选：D. 题型01 复数的分类及辨析 【例1】在下列复数：，，，，，中，实数有________个，虚数有________个，纯虚数有________个. 【答案】 3 3 1 【详解】 实数分别为：，共有3个 虚数分别为：，共有3个 纯虚数分别为：，有1个 故答案为：3；3；1 【点睛】本题主要考查了复数的分类，属于基础题. 【例2】复数的实部与虚部之和为（    ） A． B． C．8 D．6 【答案】B 【详解】因为，所以的实部与虚部之和为． 故选：B. 【变式1-1】在下列复数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？各数的实部和虚部分别是什么？ 、、、i、0、． 【答案】见解析 【详解】、0是实数，的实部为，虚部为0；0的实部与虚部均为0． 、、、是虚数；i为纯虚数. 的实部为，虚部为6；的实部与虚部均为；的实部为，虚部为；的实部为0，虚部为1． 【变式1-2】（多选）对于复数，则下列结论中错误的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．若，则不是复数 【答案】ABD 【详解】A.当时，为实数，故错误； B.若，则，故错误； C.若，则为实数，故正确； D.若，则是实数，故错误； 故选：ABD 【变式1-3】若虚数，，则虚数的个数是________个. 【答案】20 【详解】为虚数，故，，根据乘法原理共有个虚数. 故答案为：. 【点睛】本题考查了复数的类型，乘法原理，意在考查学生的计算能力和应用能力.nn （1）若,只有当时,才是的实部,才是的虚部,且注意虚部不是,而是； （2）判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数,应首先保证复数的实部、虚部均有意义.其次根据分类的标准,列出实部、虚部应满足的关系式再求解. 题型02 己知复数的类型求参数 【例3】“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由题意知，当时，，复数，是纯虚数，充分性成立； 当复数为纯虚数时，有， 解得，必要性成立， 则“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 【例4】设，则“”是“复数为实数”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若复数为实数，则，即． 又是的真子集，故“”是“复数为实数”的充分不必要条件． 故选：C． 【变式2-1】若复数是纯虚数，则实数__________. 【答案】0 【详解】因为为实数，且复数是纯虚数， 所以，且，解得（舍去）. 【变式2-2】已知复数，若，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【详解】因为, 所以， 故选：C 【变式2-3】（多选）已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．若Z为实数，则 B．若Z为虚数，则 C．若Z为纯虚数，则 D．复数Z的虚部为 【答案】AB 【详解】对于A，若Z为实数，则虚部为0，，.故A正确； 对于B，若Z为虚数，则虚部不为0，，，故B正确； 对于C，若Z为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，，则无满足条件的m，故C错误； 对于D，复数Z的虚部为，不带单位i，故D错误. （1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为的形式，以确定实部和虚部． （2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可． （3）下结论：设所给复数为， ①z为实数⇔．②z为虚数⇔．③z为纯虚数⇔且． 题型03 复数的相等 【例5】已知i为虚数单位，若，则实数a的值为（    ） A．1 B．1或-4 C． D．0或 【答案】C 【详解】由条件可知，，解得. 【例6】已知关于x，y的方程组有实数解，则实数a，b的值分别为_________． 【答案】1，2 【详解】设是方程组的实数解．由已知及复数相等， 得由①②得 代入③④得所以实数a，b的值分别为1，2． 故答案为：. 【变式3-1】若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，解得，所以. 故选：C 【变式3-2】定义运算，如果（是虚数单位），那么实数的值为________ 【答案】 【详解】由题意可得，， 则， 所以，解得， 故. 故答案为： 【变式3-3】，，并且，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】由题意可得，， 所以， 因为， 所以当时，最大值为3；当时，最小值为， 所以的取值范围为， 故答案为：. 题型04 复数的几何意义 【例7】已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为复数在复平面内对应的点为， 所以，所以， 故选：C. 【例8】（多选）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，则的值可能是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】AB 【详解】由题可得，解得，故AB符合题意． 【变式4-1】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知对应的复数为，则点A位于第______象限. 【答案】二 【详解】因为，所以，因此， 又因为， 所以点A位于第二象限. 【变式4-2】在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在复平面内，对应的点关于实轴对称点为，则. 故选：B. 【变式4-3】当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件？ (1)位于第二象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）复数在复平面内对应点为， 因为在第二象限， 所以，解得或， 所以的取值范围为. （2）由题意可知或， 解得或或， 所以的取值范围为. （3）由题意得， 解得. （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示，是解决此类问题的根据． （2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解．2+3 题型05 复数的向量表示 【例9】已知复数，设在复平面内对应的向量分别为，则（    ） A． B．3 C．5 D． 【答案】B 【详解】复数，则， 所以， 故. 故选：B 【例10】在复平面内，将复数对应的向量绕坐标原点沿逆时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为______. 【答案】 【详解】复数对应的向量为，则点A位于第二象限，， 向量与x轴正半轴的夹角为， 设该向量绕原点沿逆时针方向旋转后所得向量的坐标为， 则，， 即所得向量的坐标为，所以旋转后的向量对应的复数为. 【变式5-1】已知中，向量对应的复数为，向量对应的复数为，且，则______. 【答案】 【详解】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为，且， 所以， 由于 即， 所以. 【变式5-2】已知是坐标原点，向量，对应的复数分别为，，则________． 【答案】2 【详解】由题可知，，， ，所以， 故答案为：2． 【变式5-3】已知复数在复平面内对应的向量为（为坐标原点），在复平面内对应的向量为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】依题意，，则， 令，则，， 因此，则当时，取得最大值为2， 故的最大值为 2. 故选：D （1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． （2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． 题型06 共轭复数的求解 【例11】设复数，则的共轭复数在复平面内对应的点在第（    ） A．一象限 B．二象限 C．三象限 D．四象限 【答案】A 【详解】由题意可知，复数的共轭复数为， 则复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限. 故选：A. 【例12】已知复数（其中为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由共轭复数的概念，求得，进而得到复数的虚部. 【详解】由题意，复数，则， 所以共轭复数的虚部为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的分类，以及共轭复数的概念，其中解答中熟记复数的共轭复数的概念是解答的关键. 【变式6-1】若复数，，且与互为共轭复数，则的模为___________． 【答案】5 【详解】由共轭复数的定义得 ． 故答案为：5 【变式6-2】若复数是虚数单位为纯虚数，则的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为纯虚数，所以，则， 所以，其共轭复数为. 故选：C 【变式6-3】欧拉公式被誉为数学最美公式之一，若复数的共轭复数为，则__________. 【答案】 【详解】依题意可得，，所以. 题型07 复数的模的计算 【例13】若复数 ，则 __________． 【答案】25 【详解】因为复数 ， 所以， 所以， 故答案为：25 【例14】设复数，若，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得， 则， 由二次函数性质可知，当时，有最小值为， 所以，即的最小值为. 【变式7-1】若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】依题意，，解得. 故选：B 【变式7-2】在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，，，则的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】根据题意， 点坐标为 点坐标为 点坐标为 ， 则 ， ， 因为 . 所以 是直角三角形，故选： B 【变式7-3】已知复数（为实数），且，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】由，则，得， 复数化简得， 由可得，， 则复数对应的点在第三象限.nn （1）计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． （2）设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解． 题型08 复数的模的几何意义 【例15】18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，即复数在复平面内对应的点为，则满足的点的集合是以为圆心，2为半径的圆.已知复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，满足的点的集合是以为圆心，2为半径的圆， 因为，所以. 【例16】若复数满足，其中为虚数单位，则的取值范围为（   ） A．[4，6] B． C． D． 【答案】B 【详解】在复平面内，设对应的点为， 则表示到点的距离为， 表示动点到点的距离， 因为， 所以． 【变式8-1】若复数满足，则的取值范围是______________． 【答案】 【详解】设，由，可得， 所以，所以复数在复平面内对应的点为以为圆心，2为半径的圆上的点， 又， 所以的取值范围是. 【变式8-2】若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（    ） A．2π B．4π C．6π D．8π 【答案】B 【详解】设复数，则对应复平面内的点 ， 由可得，即  ，两边平方得， 这表示圆心为、半径， 圆的周长. 【变式8-3】已知复数满足，则的最小值是________. 【答案】/ 【详解】设复数在复平面内对应的点为，因为复数满足， 由复数的几何意义可知，点到点的距离为1， 即点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 的几何意义为圆上的点到的距离， 故的最小值为圆心与之间的距离减去半径， 即. 复数模的几何意义可以延伸为表示复数对应的点与原点之间的距离，从而可以用数形结合解决有关的问题， 一、单选题 1．复数（为虚数单位）的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】复数的虚部为，所以复数的虚部为. 2．以的虚部为实部、的实部为虚部的复数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意的虚部为，则所求复数的实部为， 的实部为，则所求复数的虚部为， 则所求复数为. 3．已知，则在复平面内z对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】因为，所以在复平面内z对应的点的坐标为，位于第四象限. 4．若复数是纯虚数，则实数（   ） A． B．2 C． D．0 【答案】B 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得． 5．欧拉公式是由数学家欧拉发现的，被誉为数学上最优美的公式之一.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，即，， 故，则，解得，则. 6．已知，若（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以，所以，所以， 解得或，所以实数a的取值范围是. 7．已知复数满足，在复平面内，表示复数的点在第一象限，则复数的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以排除BD， 因为对应的点在复平面内第一象限，对应的点在复平面内第四象限， 所以A正确，C错误. 故选：A 8．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，因为，所以， 则，所以集合表示在复平面上以原点为圆心，1为半径的单位圆上的所有复数， 又集合中的元素都满足集合中元素的条件， 且单位圆上有无数个复数，所以. 故选：A. 二、多选题 9．关于复数（为虚数单位），下列说法正确的有（   ） A．当时，是实数 B．当且时，是纯虚数 C．复数的模 D．虚数单位满足 【答案】AB 【详解】A. 当时，复数简化为，其中为实数，故是实数，正确. B. 当且时，复数，其中为非零实数，符合纯虚数定义，正确. C. 复数的模定义为，选项中为立方根，错误. D. 虚数单位满足，选项中为，错误. 10．已知复数，则（    ） A．不可能为实数 B．不可能为纯虚数 C．在复平面内表示的点不可能在第一象限 D．恒成立 【答案】BCD 【详解】选项A：当且时，为实数，故A错误； 选项B：因为，所以，所以的实部不为，所以不可能为纯虚数，故B正确； 选项C：因为，所以在复平面内表示的点在虚轴的左侧，故C正确； 选项D：因为，所以， 又因为，所以， 所以，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题 11．如果与为相等复数，为实数，则______． 【答案】/0.25 【详解】由复数相等可知，，所以． 12．在复平面内，是坐标原点，复数，，，所对应的点分别是，，．若，则的值是___________． 【答案】/ 【详解】因为复数，，，所对应的点分别是，，， 所以，，， 即，，， 所以 由，所以， 解得，因此. 13．已知复数z满足，则的最小值为_____________． 【答案】2 【详解】设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足， 由复数的几何意义可知，点Z到点和的距离相等， 所以在复平面内，点Z的轨迹为x轴， 又表示点Z到点的距离， 所以的最小值为x轴上的动点Z到定点距离的最小值， 所以的最小值为2． 故答案为： 2 四、解答题 14．当实数取何值时，复数满足： (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)在复平面内对应的点在第四象限． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】 【详解】（1）若为实数，则，解得或； （2）若为纯虚数，则，解得或； （3）若在复平面内对应的点在第四象限， 则，即，解得，解得， 故的取值范围为. 15．已知复数和，若，试求的取值范围． 【答案】 【详解】，， 消去m得，， ， ， ∴当时，； 当时，． 的取值范围为． 16．已知复数 (1)若 ，求角θ； (2)复数对应的向量分别是，若与的夹角为锐角，求θ的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为 , 所以， 又， 所以. （2）由题意，， 若与的夹角为锐角， 则， 因为，所以， 所以，即， 当时，，即， 解得，此时与的夹角为， 综上，θ的取值范围 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.1 复数及其几何意义 教学目标 1．理解复数的基本概念，掌握复数的代数形式、实部、虚部及数系扩充关系。 2．掌握复数相等的充要条件，能根据条件判断实数、虚数、纯虚数。 3．理解复平面与复数的几何意义，会找对应点、掌握共轭复数的概念与性质。 4．会求复数的模，理解复数、点、向量三者之间的一一对应关系。 教学重难点 重点：复数的概念、分类、复数相等、共轭复数、复数的模与几何表示。 难点：复数几何意义的理解、纯虚数判定、复平面内点与复数的对应。 知识点01 数系的扩充及复数的有关概念 1.复数的有关概念 （1）复数的定义:形如________的数叫做复数,其中叫做虚数单位,且.________ （2）复数集:全体复数构成的集合叫做复数集. （3）复数的表示:,其中叫做复数的________,叫做复数的________. 2.数系的扩充 3.复数相等 若,则复数与相等的充要条件是________. 4.复数的分类 （1）对于复数,当且仅当时,它是________;当且仅当时,它是________;当时,它叫做________;当且时,它叫做________. 这样,复数可以分类如下: 【即学即练】 1．已知复数满足（其中i为虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．下列各数中，是纯虚数的是（   ） A．0 B． C． D． 知识点02 复数的几何意义 1.复平面 （1）定义:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. （2）实轴:在复平面内,轴叫做________,单位是1,实轴上的点都表示________. （3）虚轴:在复平面内,轴叫做________,单位是,除原点外,虚轴上的点都表示________. （4）原点:原点表示实数0. 2.共轭复数 （1）定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为________时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. （2）表示:复数的共轭复数表示为,即若,则________. （3）性质:①两个共轭复数的对应点关于________对称；②实数的共轭复数是它本身,即. 【即学即练】 3．已知复数在复平面内对应的点坐标为，为的共轭复数，则=（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知是复平面内表示复数的点，若复数是虚数，则点P（    ） A．在虚轴上 B．不在虚轴上 C．在实轴上 D．不在实轴上 知识点03 复数的模 ①复数的几何意义： ②复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，即________ 【即学即练】 5．复数，则（   ） A．1 B． C． D．3 6．设复数，且，则（   ） A．4 B．8 C． D． 题型01 复数的分类及辨析 【例1】在下列复数：，，，，，中，实数有________个，虚数有________个，纯虚数有________个. 【例2】复数的实部与虚部之和为（    ） A． B． C．8 D．6 【变式1-1】在下列复数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？各数的实部和虚部分别是什么？ 、、、i、0、． 【变式1-2】（多选）对于复数，则下列结论中错误的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．若，则不是复数 【变式1-3】若虚数，，则虚数的个数是________个. （1）若,只有当时,才是的实部,才是的虚部,且注意虚部不是,而是； （2）判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数,应首先保证复数的实部、虚部均有意义.其次根据分类的标准,列出实部、虚部应满足的关系式再求解. 题型02 己知复数的类型求参数 【例3】“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例4】设，则“”是“复数为实数”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-1】若复数是纯虚数，则实数__________. 【变式2-2】已知复数，若，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【变式2-3】（多选）已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．若Z为实数，则 B．若Z为虚数，则 C．若Z为纯虚数，则 D．复数Z的虚部为 （1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为的形式，以确定实部和虚部． （2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可． （3）下结论：设所给复数为， ①z为实数⇔．②z为虚数⇔．③z为纯虚数⇔且． 题型03 复数的相等 【例5】已知i为虚数单位，若，则实数a的值为（    ） A．1 B．1或-4 C． D．0或 【例6】已知关于x，y的方程组有实数解，则实数a，b的值分别为_________． 【变式3-1】若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式3-2】定义运算，如果（是虚数单位），那么实数的值为________ 【变式3-3】，，并且，则的取值范围为______. 题型04 复数的几何意义 【例7】已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【例8】（多选）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，则的值可能是（    ） A． B． C．3 D．4 【变式4-1】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知对应的复数为，则点A位于第______象限. 【变式4-2】在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件？ (1)位于第二象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上. （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示，是解决此类问题的根据． （2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解．2+3 题型05 复数的向量表示 【例9】已知复数，设在复平面内对应的向量分别为，则（    ） A． B．3 C．5 D． 【例10】在复平面内，将复数对应的向量绕坐标原点沿逆时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为______. 【变式5-1】已知中，向量对应的复数为，向量对应的复数为，且，则______. 【变式5-2】已知是坐标原点，向量，对应的复数分别为，，则________． 【变式5-3】已知复数在复平面内对应的向量为（为坐标原点），在复平面内对应的向量为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 （1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． （2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． 题型06 共轭复数的求解 【例11】设复数，则的共轭复数在复平面内对应的点在第（    ） A．一象限 B．二象限 C．三象限 D．四象限 【例12】已知复数（其中为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】若复数，，且与互为共轭复数，则的模为___________． 【变式6-2】若复数是虚数单位为纯虚数，则的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】欧拉公式被誉为数学最美公式之一，若复数的共轭复数为，则__________. 题型07 复数的模的计算 【例13】若复数 ，则 __________． 【例14】设复数，若，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式7-1】若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-2】在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，，，则的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【变式7-3】已知复数（为实数），且，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （1）计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． （2）设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解． 题型08 复数的模的几何意义 【例15】18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，即复数在复平面内对应的点为，则满足的点的集合是以为圆心，2为半径的圆.已知复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例16】若复数满足，其中为虚数单位，则的取值范围为（   ） A．[4，6] B． C． D． 【变式8-1】若复数满足，则的取值范围是______________． 【变式8-2】若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（    ） A．2π B．4π C．6π D．8π 【变式8-3】已知复数满足，则的最小值是________. 复数模的几何意义可以延伸为表示复数对应的点与原点之间的距离，从而可以用数形结合解决有关的问题， 一、单选题 1．复数（为虚数单位）的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 2．以的虚部为实部、的实部为虚部的复数是（  ） A． B． C． D． 3．已知，则在复平面内z对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．若复数是纯虚数，则实数（   ） A． B．2 C． D．0 5．欧拉公式是由数学家欧拉发现的，被誉为数学上最优美的公式之一.已知，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，若（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．已知复数满足，在复平面内，表示复数的点在第一象限，则复数的可能取值是（    ） A． B． C． D． 8．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．关于复数（为虚数单位），下列说法正确的有（   ） A．当时，是实数 B．当且时，是纯虚数 C．复数的模 D．虚数单位满足 10．已知复数，则（    ） A．不可能为实数 B．不可能为纯虚数 C．在复平面内表示的点不可能在第一象限 D．恒成立 三、填空题 11．如果与为相等复数，为实数，则______． 12．在复平面内，是坐标原点，复数，，，所对应的点分别是，，．若，则的值是___________． 13．已知复数z满足，则的最小值为_____________． 四、解答题 14．当实数取何值时，复数满足： (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)在复平面内对应的点在第四象限． 15．已知复数和，若，试求的取值范围． 16．已知复数 (1)若 ，求角θ； (2)复数对应的向量分别是，若与的夹角为锐角，求θ的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $