10.2 复数的运算（讲义）高一数学人教B版必修第四册

函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 第十章复数 10.2复数的运算 知识网络 理请脉格、▲钩举目轮 题型01复数的加减运算 题型02复数加减法几何意义 知识点一复数的加减运算 题型03复数的乘除运算 知识点二复数加减法的几何意义 复数的运算 题型04复数的乘方运算 知识点三复数的乘除运算 题型05共轭与模的综合性质 知识点四复数范围内方程的解 题型06复数范围内方程的根 题型07复数运算的综合应用 知识梳理 梳理教材 ▲秀实基础 。知识点一 复数的幼加减运算 1、复数的加法与减法 设z1=a十bi,z2=c+di(a,b,G,d∈R是任意两个复数，那么 复数的加法：1+z2=(a+bi+(c+di)=(a+c+(b+d)i 复数的减法：z1z2=(a+bi)-(c+d=(a-c+(b-di 由此可见，两个复数相加（相减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（相减）。 2、复数的加法满足的运算律 交换律21+22=22+Z1结合律(a1+22)+23=21十(22十z 《父即学即练 1.(25-26高一下·贵州贵阳·月考)已知复数z=（3-2i)-(1+i),则z= 1/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 《◇知识点二复数加减法的几何意义 1、以复数21z2分别对应的向量0乙，0Z2为邻边作平行四边形0Z1Z2Z2,对角线0Z表示的向量0之就是复 数乙1十22所对应的向量.名1~22对应的向量是Z2乙1： 1、根据复数加减法的几何意义有以下性质： (1)1|z1l-|z2l|≤|z1+z2l≤|z1+z 2)若乙1十z2=21~z,即平行四边形对角线相等，则此平行四边形为矩形。 (3)若|21=z,则此平行四边形为菱形 (4)若|21=z且21+22=21z,则此平行四边形为正方形 注意： 两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离 《。即学即练 1.(2025高三·全国·专题练习)己知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、D分别对应复数2i,4-4i,2+6i, 求第四个顶点C所对应的复数， 《。知识点三 复数的乘除运算 1、复数的乘法与除法 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,CdeR是任意两个复数，那么 复数的乘法：z1z2=(a+bic+d)=(ac-bd)+(bc+adi. 复数的除云：号=等--+器 2、复数的乘法满足的运算律 交换律2122=2221结合律(2122)23=21222 ）分配律z1(22十23)=Z122十2123 3、复数的乘方 在复数范围内，正整数指数幂的运算律成立(z,z1z2∈Cm,n∈N) z020=zn(2"”=2mn(a12)P=z42 4、的乘方的周期性 虚数单位的乘方有周期性，+1=i,+2=-1,4n+3=-i,44=1,(n=0,1,2……） 2/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 。即学即练 1.(25-26高一下.安徽阜阳·期中)已知复数z=a+bi(a,b∈R),若iz在复平面内对应的点位于第四象限，则 () A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 《◆知识点四 复数范目内方程的解 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R), 当△>0时，方程有两个不相等的实根x=处B4c 2a 当△=0时，方程有两个相等的实根x=·会： 当△<0时，方程有两个虚根x=站4c子，且两个虚数根互为共轭复数 2 注意：无论是实根还是虚根，方程的两个根都满足x1十x2=-号，X82=音。 。即学即练 1.(25-26高一下·安微安庆月考)己知复数31=2+mi(meR),22=1-3i Q)若复数z=三是纯虚数，求m的值； (2)若3是关于x的方程x2+r+9=0(P,9∈R)的一个根，求卫的值 题型突破 抓住核心 突破重点 ◆题型01复数的加减运算 点方法 两个复数相加（相减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（相减）。 复数的加法满足的运算律 交换律z1+z2=22+1结合律(1十z2)十23=21十(22十23) 注意：两个复数的和（差)仍是一个复数，复数的减法是加法的逆运算。 典|例1精|析 1.(25-26高一下·福建厦门月考)已知复数z1=2-i,22=3+6i,则z1+22=() 3/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.-1-7i B.1+7i C.5+5i D.5-5i 变1式|巩|固 1.(2026高二上北京学业考试)己知复数=1+i,22=2+3i,则z1+22= 2.(25-26高二上浙江杭州期中)己知复数为31=1+2i,2=3+2i,则z1+z2=() A.4 B.4i C.2+41 D.4+4i 3.(25-26高一下·全国·单元测试)若复数z满足2z+3z=5-3i,其中i为虚数单位，则：=() A.1+3i B.1-3i C.-1+3i D.-1-3i ◆题型02复数加减法几何意义 点方法 根据复数加减法的几何意义有以下性质： (1)1川z1|-|z2|≤|z1+z2≤|z1+z (2)若|21十z2=21~z,即平行四边形对角线相等，则此平行四边形为矩形。 (3)若21=2，则此平行四边形为菱形 (4)若|21=2且21+22=212，则此平行四边形为正方形 两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离 典例精析 1.(2025高一全国专题练习)复数乙1对应的点在以两复数1+i,1-i分别对应的点为端点的线段上运动， 复数，对应的点在以原点为圆心，而且以1为半径的圆上运动，则复数+对应的点的轨迹围成的图形面 积为 变1式巩|固 1.(湖北襄阳市2026届高三下学期4月统一调研测试数学试题)已知z=1+i,22=-1+i,若 w=元z+(1-)z2∈R),则w的最小值为() A.1 B.√2 C.2 p.月 2.(25-26高一下·安微阜阳·期中)已知复数6+5i与-3+4i分别对应向量OA与OB,其中O为坐标原点， 则向量BA表示的复数为() A.3+9i B.9-i C.3-9i D.9+i 3.(25-26高一下·全国课堂例题)在复平面内，设0Z及0Z,分别与复数z1=2+i及复数z2=3-2i对应， 计算z=名+z2,并在复平面内作出z=z+22对应的向量O元 4/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ◆题型03复数的乘除运算 点方法 复数的乘法运算像处理多项式一样去乘，把复数(a+b)看成是两个项的多项式，像(x十y)那样进 行展开相乘。例如(a+bi(c十d),展开后得到四项：ac十adi+bci+bdi2。复数除法的核 心目标是把分母中的i去掉，让它变成一个实数。这个过程叫“分母实数化”，操作起来很像分母有理化。 典例精析 1.(云南开远市第一中学校等校2026届高三下学期4月联考数学试题)复数(3+)1-21的实部与虚部之 和为() A.0 B.1 C.2 D.3 变|式|巩|固 1,(2026湖北十据二黄)已知复数：满足-则：() A.-2+2i B.-2-2i C.-2+i D.-2-i 2.(25-26高二下·浙江杭州·期中)己知i为虚数单位，若复数(2-ai(3+i是纯虚数，则实数a等于() A.-2 B.2 C.-6 D.6 3.(25-26高一下福建龙岩·期中)已知复数z满足zi=-3+4i(1为虚数单位)，则z的虚部为() A.3 B.-4 C.-3 D.4 ◆题型04复数的乘方运算 臣方法 对复数的乘法运算，低次直接乘；高次找周期（针对）或用二项式定理展开（针对整个复数）。 典例精析 1.(浙江金兰教育合作组织2025-2026学年高一下学期4月期中测试数学试题)泸++7+i= 变|式|巩|固 1.(湖北武汉市部分学校2025-2026学年高三下学期4月学情测试数学试题)复数i+2)的虚部为() A.2 B.1 C.-1 D.-2 2.(25-26高一下·湖北武汉·期中)已知复数z=+2+.…+2026,其中i为虚数单位，则复数z的模为（) A.2 B.2 C.1 D.0 5/8 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.(2026河南郑州·二模)已知复数z= 2+i 2026+2' 则=() A.1 B.5 C.2 D.5 ◆题型05共轭与模的综合性质 点方法 1、模的性质，可以理解为"绝对值概念的升级版"，满足"乘积的模等于模的乘积"，但加法要小心。 非负性：模≥0，且等于0时复数必为0 乘法：积的模=模的积(|z1·z2|=|z1·|z2) 除法：商的族=族的商刊号=卧23≠0) 乘方：1z=|z” 加法（三角不等式)：两数之和的模≤模的和(21十z2≤|z1+|z2) 2、共轭与模的联动关系 z2=1z2;2=号；|12=2122；z122=212 典例精「析 1.（多选)(25-26高一下·江苏月考)已知21,22是复数，则下列说法正确的有(） A.若22=2，则31-22∈R B.若3，=乙，则z= C.若=，则21=z2 D.若eR,则eR 变1式巩固 1.(多选)(25-26高一下湖南月考)已知，22为复数，有以下四个命题，其中真命题是() A.若z21,则z1≤-1或z≥1 B.若2+2=0，则，==0 C.若=，则z=z D.若21<22，则z1-z2<0 2.（多选)(25-26高一下河南期中)下列关于复数，22的说法正确的是（). A.若zeR,则z为实数或纯虚数B.若+z=名-z,则z2=0 C.若22=，则z1=22 D.2122=3122 3.(多选)（2026辽宁沈阳·三模)已知、22为非零复数，则下列选项中一定正确的是() A.若=，则z=2 B.122=2122 D.3122+2221=0 、22 6/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型06复数范围内方程的根 点方法 无论是实根还是虚根，方程的两个根都满足x1十X2=-尝，X1X2=号。 典例1精析 1.(25-26高一下·云南曲靖月考)已知复数z=1+i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，其中p,9∈R (1)求P,9的值： (2)若复数w满足w-2i=1,求w-z的最小值. 变式巩固 1.(浙江金兰教育合作组织2025-2026学年高一下学期4月期中测试数学试题)设a∈R,复数z=a+2i. Q)若：+？是实数，求： (②)若z是关于x的方程x2+mx+5=0(m∈R)的一个根，求m十a的值。 2.(25-26高一下安徽阜阳期中)已知i为虚数单位，复数z=(m2-4m-5+m2+m)i. (1)当实数m取何值时，z是纯虚数？ (②)当m=1时，复数z是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，求实数p与9的值. 3.(多选)(25-26高一下山东枣庄期中)在代数史上，代数基本定理是最重要的定理之一，由代数基本定 理可以得到：任何一元n∈N)次复系数多项式方程f(x=0有n个复数根（重根按重数计）.若 f(x)=(x+1)(x2-x+1,记o为方程f(x=0的一个虚数根，则() A.02-0+1=0 B.0=-+5 2+2 C.00=1 D.02=0 ◆题型07复数运算的综合应用 皮方法 对复数加减运算、乘除运算、模的性质、共轭的性质、复数范围内方程的根的综合应用 典例精析 1.(多选)（浙江金兰教育合作组织2025-2026学年高一下学期4月期中测试数学试题）已知复数 z1=a-i,z2=2+i,其中a∈R,则下列说法正确的是() A.若31+2z2=0,则a=-4 B.若同=5，则a=±2 C.若z22为实数，则a=2 D.若子为她症数，则a月 7/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式巩固 1.(多选)（浙江平阳中学等校2025-2026学年高一下学期期中数学学科练习）关于复数z=3-4i,下列说 法正确的是() A.z+=6 B.2是方程x2-6x+25=0的一个根 C.若复数z满足w2=z,则0=-2+i D.若，-z=1,则e[4,6 2.(多选)(25-26高一下·山东济南期中)已知，22为复数，下列说法正确的是() A.若z2+z号>0，则z>-z B.z1-1是纯虚数或零 C.若z+1=22+1,则z1=22 D.若21,32是方程；x2-2x+5=0的两根，则+z号=-6 3.(多选)(25-26高一下·安徽阜阳期中)已知复数，22是关于z的方程3z2-az+b=0(a,b∈R,a>0)的两 个复数银，且函子+号=}则下列结论正确的是（) 2 A.与2互为共轭复数 B.a-b=1 c片--29 D.若复数z满足-=1，则的最大值为1+6 8/8 第十章 复数 10.2 复数的运算 知识点一 复数的加减运算 1、 复数的加法与减法 设, 是任意两个复数，那么 复数的加法：. 复数的减法：. 由此可见，两个复数相加（相减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（相减）。 2、 复数的加法满足的运算律 交换律 结合律 即学即练 1．（25-26高一下·贵州贵阳·月考）已知复数，则___________． 【答案】 【详解】. 知识点二 复数加减法的几何意义 1、以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 1、 根据复数加减法的几何意义有以下性质： (1) (2)若,即平行四边形对角线相等，则此平行四边形为矩形。 (3)若 ,则此平行四边形为菱形 (4)若且，则此平行四边形为正方形 注意： 两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离 即学即练 1．（2025高三·全国·专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、D分别对应复数，求第四个顶点所对应的复数． 【答案】 【分析】根据复数的几何意义，结合平行四边形法则求解即可. 【详解】由平行四边形法则得对应的复数, 所以第四个顶点所对应的复数为6． 知识点三 复数的乘除运算 1、 复数的乘法与除法 设, 是任意两个复数，那么 复数的乘法：. 复数的除法：. 2、 复数的乘法满足的运算律 交换律 结合律 分配律 3、 复数的乘方 在复数范围内，正整数指数幂的运算律成立() 4、 的乘方的周期性 虚数单位的乘方有周期性， 即学即练 1．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）已知复数，若在复平面内对应的点位于第四象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 由题意得，即. 知识点四 复数范围内方程的解 若一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实根； 当时，方程有两个相等的实根； 当时，方程有两个虚根，且两个虚数根互为共轭复数. 注意：无论是实根还是虚根，方程的两个根都满足。 即学即练 1．（25-26高一下·安徽安庆·月考）已知复数，. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若是关于的方程的一个根，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先进行复数的除法运算，再根据纯虚数的概念求得m的值； （2）将复数代入方程中，结合复数相等求出p，q的值. 【详解】（1）由题意可知：， 因为z是纯虚数，则，解得. （2）因为是关于的方程的一个根， 则，整理得， 则，解得，，所以. 题型01 复数的加减运算 两个复数相加（相减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（相减）。 复数的加法满足的运算律 交换律 结合律 注意：两个复数的和（差）仍是一个复数，复数的减法是加法的逆运算。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·福建厦门·月考）已知复数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的加法法则可得出复数的值. 【详解】因为复数，，则. 变｜式｜巩｜固 1．（2026高二上·北京·学业考试）已知复数，则__________. 【答案】 【分析】由复数的加法运算即可求解. 【详解】由题意得. 2．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知复数为，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【详解】，， ． 3．（25-26高一下·全国·单元测试）若复数满足，其中i为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数运算和共轭复数定义即可计算求解. 【详解】设，则， 故， 所以，解得，所以. 故选：A 题型02 复数加减法几何意义 根据复数加减法的几何意义有以下性质： (1) (2)若,即平行四边形对角线相等，则此平行四边形为矩形。 (3)若 ,则此平行四边形为菱形 (4)若且，则此平行四边形为正方形 两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离 典｜例｜精｜析 1．（2025高一·全国·专题练习）复数对应的点在以两复数，分别对应的点为端点的线段上运动，复数对应的点在以原点为圆心，而且以1为半径的圆上运动，则复数对应的点的轨迹围成的图形面积为______． 【答案】 【分析】设，则，根据，可得，从而可得对应的点的轨迹，进而可得出答案. 【详解】设，则，所以， 因为，所以， 说明对于给定的，对应的点在以对应的点为圆心、1为半径的圆上运动， 又对应的点在连接和对应的点线段上移动， 所以对应点的移动范围的面积为， 即复数对应的点在复平面上移动的范围的面积是． 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（湖北襄阳市2026届高三下学期4月统一调研测试数学试题）已知，若，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】代入整理可得，根据求模公式，分析求解，即可得答案. 【详解】由题意得， 所以， 则当时，有最小值1. 2．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）已知复数与分别对应向量与，其中O为坐标原点，则向量表示的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据向量的三角形法则：. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，设及分别与复数及复数对应，计算，并在复平面内作出对应的向量． 【答案】答案见解析 【分析】先利用复数加法运算法则得到，并利用复数的几何意义得到对应的向量. 【详解】． 在复平面内作出对应的向量，如图所示． 题型03 复数的乘除运算 复数的乘法运算像处理多项式一样去乘，把复数看成是两个项的多项式，像 那样进行展开相乘。例如 ，展开后得到四项：。复数除法的核心目标是把分母中的 去掉，让它变成一个实数。这个过程叫“分母实数化”，操作起来很像分母有理化。 典｜例｜精｜析 1．（云南开远市第一中学校等校2026届高三下学期4月联考数学试题）复数的实部与虚部之和为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】因为，所以该复数的实部与虚部之和为． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·湖北十堰·二模）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分离复数，再按复数除法法则将分母有理化，按复数乘法法则计算分子并化简，即可求得 的值. 【详解】由，得． 2．（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于（   ） A． B．2 C． D．6 【答案】C 【分析】根据乘法运算法则，化简整理，结合纯虚数的定义，即可得答案. 【详解】复数， 因为是纯虚数，所以，解得. 3．（25-26高一下·福建龙岩·期中）已知复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】A 【详解】，故，故虚部3. 题型04 复数的乘方运算 对复数的乘法运算，低次直接乘；高次找周期（针对 ）或用二项式定理展开（针对整个复数）。 典｜例｜精｜析 1．（浙江金兰教育合作组织2025-2026学年高一下学期4月期中测试数学试题）___________． 【答案】0 【详解】. 变｜式｜巩｜固 1．（湖北武汉市部分学校2025-2026学年高三下学期4月学情测试数学试题）复数的虚部为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以其虚部为． 2．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知复数，其中为虚数单位，则复数z的模为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由于，故每四个连续的项之和为0， ，则， 由于，故，所以. 3．（2026·河南郑州·二模）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 题型05 共轭与模的综合性质 1、模的性质，可以理解为"绝对值概念的升级版"，满足"乘积的模等于模的乘积"，但加法要小心。 非负性：模 ≥0，且等于 0 时复数必为 0 乘法：积的模 = 模的积 () 除法：商的模 = 模的商 () 乘方： 加法（三角不等式）：两数之和的模  模的和 () 2、共轭与模的联动关系  ； ；； 典｜例｜精｜析 1．（多选）（25-26高一下·江苏·月考）已知是复数，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于选项A，若，则，而，成立，故A正确. 对于选项B，设，则，那么，且，所以，故B正确. 对于选项C，举反例：，模都是1，但，故C错误. 对于选项D，设，且，则.若，则无定义，题目隐含，故D正确. 变｜式｜巩｜固 1．（多选）（25-26高一下·湖南·月考）已知，为复数，有以下四个命题，其中真命题是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，错误； B，设，，， 由，得，则，， 因此，，正确； C，取，，满足， 而，，，错误； D，由，得，都是实数，因此，正确. 2．（多选）（25-26高一下·河南·期中）下列关于复数，的说法正确的是（    ）． A．若，则为实数或纯虚数 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】AD 【详解】设，（）， 选项A：计算得，若，则虚部，即或； 若，则；若，则，当时为纯虚数， 当时，故为实数或纯虚数，正确； 选项B：举反例：，，，但，错误； 选项C：举反例：，，，但，错误； 选项D： . ， 的共轭分别为，，两者相乘得： ，正确. 3．（多选）（2026·辽宁沈阳·三模）已知、为非零复数，则下列选项中一定正确的是（   ） A．若，则 B． C． D． 【答案】BC 【分析】设，结合选项，利用复数的模和复数的运算法则，逐项计算判断，即可求解. 【详解】对于A，取，可得，满足，但，所以A错误； 对于B，设 可得，所以， 又由，可得， 所以，所以B正确； 对于C，由， 可得， 又由，可得， 所以，所以C正确； 对于D，由，可得， 则， ， 可得不一定为，所以D不正确. 题型06 复数范围内方程的根 无论是实根还是虚根，方程的两个根都满足。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·云南曲靖·月考）已知复数是关于的方程的一个根，其中． (1)求的值； (2)若复数满足，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由实系数方程的虚根成对的特点与韦达定理计算即得； （2）根据复数的几何意义利用（1）的结论数形结合计算即可. 【详解】（1）由实系数方程的虚根成对的特点，可知方程的另一根为， 由韦达定理，. （2）因复数满足，则复数对应的点表示以为圆心、为半径的圆， 而，在复平面内表示点，而表示点与点的距离， 因点与圆心的距离为， 故 变｜式｜巩｜固 1．（浙江金兰教育合作组织2025-2026学年高一下学期4月期中测试数学试题）设，复数． (1)若是实数，求； (2)若是关于的方程的一个根，求的值． 【答案】(1)3 (2)或 【分析】（1）根据复数的除法和复数概念可得，再由复数模的计算公式计算求解； （2）将复数代入方程，根据复数相等列方程组计算求解即可. 【详解】（1） ， 因为是实数，于是，则，即， 所以 ； （2）因为复数 是关于的方程的一个根， 所以 ，整理得 ， 所以，解得或 当时，； 当时，． 2．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）已知为虚数单位，复数. (1)当实数取何值时，是纯虚数? (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数与的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由纯虚数的概念列式，求解即可求出答案； （2）将代入，根据复数相等列方程组求解即可. 【详解】（1）由z是纯虚数，得， 解得， 故当时，是纯虚数. （2）当时，， 因为是关于的方程的一个根， 所以， 即， 因为与为实数，所以， 解得，. 3．（多选）（25-26高一下·山东枣庄·期中）在代数史上，代数基本定理是最重要的定理之一.由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式方程有n个复数根(重根按重数计).若，记为方程的一个虚数根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】令，解得或； 由，解得，即是的两个复数根. 对于A，为方程的一个虚数根，即满足，，故A正确； 对于B，是的两个复数根，，故B错误； 对于C，与互为共轭复数，，故C正确； 对于D，由，得； 若，则；若，则；故D错误. 题型07 复数运算的综合应用 对复数加减运算、乘除运算、模的性质、共轭的性质、复数范围内方程的根的综合应用 典｜例｜精｜析 1．（多选）（浙江金兰教育合作组织2025-2026学年高一下学期4月期中测试数学试题）已知复数，其中，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则 【答案】BCD 【详解】对于A，， 无解，A错误； 对于B，，则，B正确； 对于C，，由为实数，得，C正确； 对于D，， 由为纯虚数，得且，解得，D正确. 变｜式｜巩｜固 1．（多选）（浙江平阳中学等校2025-2026学年高一下学期期中数学学科练习）关于复数，下列说法正确的是（    ） A． B．是方程的一个根 C．若复数满足，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】选项：故正确. 选项：把代入得， 是方程的一个根，故正确. 选项：设，即且， 解得或, 即或，故选项错误. 选项：设， 即对应的点到对应的点的距离为1， 的图形是以为圆心，1为半径的圆，几何意义表示到原点的距离， 最大距离为，最小距离为， ，选项正确. 2．（多选）（25-26高一下·山东济南·期中）已知，为复数，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．是纯虚数或零 C．若，则 D．若，是方程；的两根，则 【答案】BD 【分析】举例，，判断A；利用复数的运算法则判断B；利用反例法判断选项C．利用韦达定理计算判断选项D. 【详解】举例说明：若，，则，，， 但与都是虚数，不能比较大小，故A错； 设，则，故， 当时是零，当时，是纯虚数，B正确； 令，，满足，但，故， 不能推出，故C错误． 已知是方程的两根，由韦达定理得， ，故D正确. 3．（多选）（25-26高一下·安徽阜阳·期中）已知复数是关于的方程的两个复数根，且，则下列结论正确的是（    ） A．与互为共轭复数 B． C． D．若复数满足，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据条件，得到，即可判断B的正误；对A，根据条件，直接求出，即可判断正误；对C，利用选项A中结果得，即可求解；对D，先求出，再利用三角不等式，即可求解. 【详解】因为是关于的方程的两个复数根，所以， ， 所以， 又因为，所以，解得， 又，所以， 对于A，由，解得，，所以与互为共轭复数，故A正确， 对于B，因为，所以B正确， 对于C，由A选项知， ， 所以，故C错误， 对于D，因为，又， 所以，所以的最大值为，故D正确. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $