10.1 复数及其几何意义（专项训练）高一数学人教B版必修第四册

10.1 复数及其几何意义 内容导航 漏洞扫描 通法锤炼 能力强化 考点查缺 漏洞扫描 精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础 题型突破 考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 考点01 复数的概念 考点一：复数的有关概念 1. 复数的定义 形如（）的数叫做复数，其中叫做虚数单位，实部是，虚部是。 2. 虚数单位 把平方等于的数用符号表示，规定，我们把叫作虚数单位。 3. 表示方法 复数通常用字母表示，代数形式为（）。 4. 复数集 ①定义：全体复数所成的集合；②表示：通常用大写字母表示。 ■名师点拨： （1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成（）的形式，其中0＝0＋0i. （2）复数的实部是，虚部是实数而非； （3）复数只有在时才是复数的代数形式，否则不是代数形式。 考点二：复数的分类 1. 2. 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 ■名师点拨 复数（）不一定是纯虚数，只有当时，复数（）才是纯虚数。 考点三：复数的相等 在复数集中任取两个数，()，我们规定：与相等当且仅当且。 题型一：复数的基本概念 一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数，记为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为z的实部，b称为z的虚部. 1．（25-26高一下·北京丰台·期中）复数的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】，其中实数 叫做实部,实数 叫做虚部. ，对比可得. 因此复数 的虚部为. 2．（2026·北京朝阳·一模）复数的实部与虚部的和是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【详解】因为复数的实部为1，虚部为，所以实部与虚部的和是. 3．（25-26高一下·云南昭通·月考）复数的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】，所以的虚部为. 4．（25-26高二上·湖南·期中）已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据复数的实部、虚部定义计算可得结果. 【详解】易知复数的实部为，虚部为； 所以，解得. 故选：B 5．（25-26高二上·江苏扬州·月考）已知复数的实部与复数的虚部相等，则实数等于（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】D 【分析】直接根据复数的概念可得. 【详解】由复数的实部与复数的虚部相等，且为实数，所以. 故选：D. 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是____________． 【答案】 【分析】根据复数的概念求解即可. 【详解】复数的虚部为2，的实部为，故新复数为． 故答案为： 题型二：复数的分类 解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为（）的形式，以确定实部和虚部。 (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可。 (3)下结论：设所给复数为（）， ①为实数⇔； ②为虚数⇔； ③为纯虚数⇔且。 1．（25-26高一下·贵州贵阳·月考）下列复数中，是实数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】四个选项中只有选项C 的复数的虚数单位的系数是零，因此只有是实数. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题正确的是（    ） A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 【答案】B 【分析】根据复数的基本概念判断. 【详解】对于A，当，，时，复数是纯虚数，A错误； 对于B，当时，复数是纯虚数，B正确； 对于C，是纯虚数，则即，C错误； 对于D，复数，，未注明为实数，D错误. 故选：B. 3．（24-25高一下·上海·期末）下列关于复数的命题中， ①若是实数，则；②若是虚数，则；③若是纯虚数，则． 真命题的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用复数的概念逐一判断各个命题. 【详解】对于①，由是实数，得，则，①正确； 对于②，由是虚数，得，则，②正确； 对于③，由是纯虚数，得，则，③正确， 所以真命题的序号是①②③. 故选：D 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据纯虚数的概念，即可得答案. 【详解】，是纯虚数，，，是实数，是虚数． 故选：C 5．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期中）若复数为纯虚数，则实数的值为（   ） A．2 B．0 C． D．0或2 【答案】B 【详解】已知复数为纯虚数， 则实部为0，即，解得或， 虚部不为0，即，解得，． 6．（25-26高一下·陕西榆林·月考）“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由题意知，当时，，复数，是纯虚数，充分性成立； 当复数为纯虚数时，有， 解得，必要性成立， 则“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 7．（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列复数：①，②，③，④，⑤；其中表示实数的有（填上序号）_____________． 【答案】②③④ 【分析】根据复数分类中实数的特征逐一判断即可. 【详解】①为纯虚数不是实数； ②为无理数是实数； ③为实数； ④为实数； ⑤为一般虚数不是实数． 故答案为：②③④ 8．（25-26高一下·河北石家庄·月考）已知复数（i为虚数单位），． (1)若z为虚数，求实数m的取值范围； (2)若z为纯虚数，求实数m的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据z为虚数，即可求解；（2）根据z为纯虚数即可求解. 【详解】（1）若为虚数，则，且， 解得且， 所以实数的取值范围为. （2）若为纯虚数，则， 解得，即， 所以实数的值为． 题型三：复数相等的判断 复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数。解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解。 【注意】在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是，即当时，。若忽略前提条件，则结论不能成立。　 1．（25-26高一下·重庆·月考）若，则________． 【答案】1 【详解】由题意得：，解得：，所以. 2．（2025高一·全国·专题练习）满足的有序实数对有______组. 【答案】四 【分析】分别令，可得答案. 【详解】由，，解得或，或， 可得，或，或，或.所以共有四组实数对. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）；求满足上述条件的实数x，y的值； 【答案】 【分析】利用复数相等的条件得到方程组，即可求解. 【详解】，故，解得. 4．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数等于，其中、．求x、y的值． 【答案】， 【分析】根据复数相等列出方程组，解出，的值． 【详解】解：由题意，， 可得， 由，解得， 则， 解得，． 故、的值分别为4，3． 5．（24-25高一下·上海·期末）已知复数，若，则实数的取值范围为___________． 【答案】； 【分析】利用复数相等的概念结合二次函数和三角函数的有界性求解即可. 【详解】因为 所以 所以 所以 又因为 所以 即 令 则 由二次函数的性质知： 该函数对称轴为： 所以当时，该函数取最大值为6， 当时，该函数取最小值 故答案为：. 考点02 复数的几何意义 考点一：复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是，表示的是实数。 考点二：复数的几何意义 1、复数复平面内的点 2、复数 平面向量 ■名师点拨 （1）复平面内的点的坐标是，而不是。也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是，而不是； （2）当，时，是纯虚数，所以虚轴上的点都表示纯虚数； （3）复数中的，书写时应小写；复平面内的点中的，书写时应大写。 考点三：复数的模 1、定义：向量的模叫做复数的模或绝对值。 2、记法：复数的模记为或。 3、公式：。 ■名师点拨 如果，那么是一个实数，它的模等于(的绝对值)。 考点四：共轭复数 1、一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。 2、复数的共轭复数用表示，即如果，那么。 3、虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数。 ■名师点拨 （1）当复数的虚部时，有，也就是，任一实数的共轭复数是它本身； （2）复数在复平面内对应的点为，复数在复平面内对应的点为，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于实轴对称，并且它们的模相等。 题型一：复数的几何意义 利用复数与点的对应解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数()可以用复平面内的点来表示，是解决此类问题的根据。 （2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解。　 1．（广东江门市2026届高考适应性测试数学试题）若复数，，则，在复平面内对应的两点之间的距离为（   ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义确定的对应点的坐标，再求两点距离. 【详解】由已知，在复平面内对应的点分别为，， 所以 所以． 2．（黑龙江大庆市2026届高三年级第三次教学质量检测数学试题）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】复数在复平面内的点为，位于第四象限. 3．（2026·江西赣州·二模）在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义求解即可. 【详解】复数对应复平面内点，位于第二象限. 4．（2026高二上·云南·学业考试）已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用复数的几何意义求解. 【详解】，复数在复平面内对应的点为， 在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 5．（25-26高一下·山西大同·月考）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于y轴的对称点为B，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】向量对应的复数为，点A的坐标为， 点A关于y轴的对称点为B，点B的坐标为 向量对应的复数为． 6．（25-26高一下·河南漯河·期中）（多选）已知复数，其中，则（   ） A．若，则或 B．当或时，复数z为纯虚数 C．若，则 D．在复平面内，复数z对应的点在直线上，则 【答案】ACD 【详解】若，则，解得或，所以A正确； 若复数z为纯虚数，则，解得，所以B错误； 若，则，解得，所以C正确； 在复平面内，复数对应的点为，若复数z对应的点在直线上，则有，解得，所以D正确. 7．（25-26高一下·湖北·期中）已知复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】借助复数的几何意义计算即可得. 【详解】由题意知，所以，故. 所以实数的取值范围是 题型二：共轭复数的概念 1．定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数。 2．表示：复数的共轭复数用表示，即如果（），那么。 1．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）若，则复平面内复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义直接判断即可. 【详解】因为，，所以复数在复平面内所对应的点为，位于第二象限. 故选：B 2．（2026·云南红河·模拟预测）设复数，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据共轭复数的概念以及复数的几何意义求出. 【详解】由题意得，，其在复平面内对应的点为，所以位于第二象限． 故选：B． 3．（24-25高一下·北京昌平·期末）在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复平面内点的坐标得到复数z，再根据共轭复数的定义求出z的共轭复数即可. 【详解】因为复数z对应的点的坐标是， 所以复数， 所以z的共轭复数. 故选：B 4．（25-26高一下·广西河池·月考）复数的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助共轭复数定义计算即可得. 【详解】由，则. 5．（25-26高一下·陕西咸阳·月考）在复平面内，复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由共轭复数定义即可得. 【详解】由，则. 6．（25-26高一下·河北邢台·月考）若，则的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】复数，则，其虚部为. 7．（25-26高一下·山西晋中·期中）（多选）已知i为虚数单位，则下列说法中正确的是（    ） A．复数的虚部为 B． C． D．若复数，则 【答案】ACD 【详解】对于A，复数的虚部为，故A正确； 对于B，两个复数不能比较大小，故B错误； 对于C，设，则， ，所以，故C正确； 对于D，当时,，故D正确. 8．（25-26高一下·陕西西安·月考）已知复数分别满足，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据题意，利用复数的几何意义，分别求得和在复平面内对应点的轨迹，结合圆的性质，即可求解. 【详解】由复数，分别满足， 可得复数在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 复数在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 设，则， 可得复数在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 如图所示，可得， 所以， 所以的取值范围为. 9．（25-26高一下·山东淄博·月考）已知复数满足，则___________. 【答案】 【分析】设的代数形式为代入已知方程，利用两个复数相等得的方程组，解方程组可得. 【详解】设，则， 则， 可得，解得， 即，所以. 10．（25-26高三下·上海·月考）向量，设向量对应的复数为，则___________． 【答案】5 【详解】向量 对应的复数为 ，则， 则复数 的模为. 题型三：复数的模的求解 （1）定义：向量的模叫做复数（）的模或绝对值。 （2）记法：复数的模记作或。 （3）公式：。 1．（2026·贵州遵义·模拟预测）设复数，则（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【详解】由题设. 2．（25-26高一下·重庆万州·月考）（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】A 【详解】 3．（25-26高一下·黑龙江鸡西·月考）已知复数，则（   ） A．1 B． C． D．5 【答案】B 【详解】由题意可得. 4．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）设复数，且，则（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合复数的模长公式运算求解即可. 【详解】因为复数， 则，解得. 故选：D. 5．（25-26高一下·福建福州·期中）若复数满足，则的虚部为________. 【答案】 【详解】方法1：设，则，，解得，，故虚部为1. 方法2：因为在复平面内表示以原点为圆心的单位圆， 同理，表示以点为圆心、半径为1的圆， 所以满足的点为两个圆的公共点，结合图形可知点的坐标为，故虚部为1. 6．（25-26高一下·湖南·月考）已知复数满足，则__________. 【答案】2 【详解】设，且， 所以， 所以，得，所以. 题型四：复数的模的几何意义 复数模的几何意义可以延伸为表示复数对应的点与原点之间的距离，从而可以用数形结合解决有关的问题，考查直观想象素养。 1．（25-26高一下·青海·月考）设复数z满足条件，那么的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设复数z在复平面对应的点为， 因为，所以， 因此点在单位圆上， 因为，设复数在复平面对应的点为， 所以表示圆上的点到点的距离， 因此的最大值为. 2．（25-26高一下·山东青岛·月考）（多选）若z为复数，则（   ） A．若，则为实数 B． C．若，则的最大值为 D．若，则在复平面内对应的点在第四象限 【答案】AC 【分析】由复数相等的定义即可判断A，举出反例代入计算，即可判断B，由复数的几何意义代入计算，即可判断CD. 【详解】对于A，设，则，若，则，即， 则为实数，故A正确； 对于B，若，则，，故B错误； 对于C，若，即，可得在复平面内对应点的轨迹为圆心，半径为的圆，原点到圆心的距离为，故的最大值为，故C正确； 对于D，因为，， 即，对应点在第二象限，故D错误； 3．（2026高三·全国·专题练习）判别下列各式在复平面所表示的图形． (1) (2) (3) 【答案】(1)表示以原点为圆心，半径为1的圆周． (2)表示以为圆心，半径为和的两个圆之间的圆环，包括半径为的圆周但不包括半径为的圆周. (3)动点到和的距离相等，表示线段的垂直平分线． 【分析】（1）设，，结合模的定义列方程，根据方程的几何意义求解即可. （2）设，，求，列不等式，结合不等式的几何意义求解即可. （3）设，，由条件结合模的定义列方程，结合两点距离公式确定轨迹即可. 【详解】（1）设，，所以，则，即， 所以在复平面表示以原点为圆心，半径为1的圆周． （2）设，，则，所以， 则，即， 所以在复平面表示以为圆心，半径为和的两个圆之间的圆环，包括半径为的圆周但不包括半径为的圆周. （3）设，，则，， 所以，， 则，即， 所以在复平面表示动点到和的距离相等，表示线段的垂直平分线． 1．（25-26高一下·四川成都·期中）在复平面内，复数和分别对应点M，N，则对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的几何意义进行求解. 【详解】由题意可知,那么对应复数为. 2．（25-26高一下·浙江·期中）（多选）已知复数，，下列选项正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若，则 C．若在复平面内复数对应的点在第二象限，则的取值范围为 D．的最小值为 【答案】BCD 【详解】由为纯虚数，则，故A错误； 由，故B正确； 由在复平面内复数对应的点在第二象限，则，故C正确； 由 ，故D正确. 3．（25-26高一下·吉林延边·月考）（多选）下列结论正确的是（   ） A．若复数满足，则 B．若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为 C．若复数在复平面内对应的点为，则复数在复平面内对应的点在第三象限 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 【答案】BD 【详解】对于选项A：例如也满足，故A错误； 对于选项B：因为，，所以， 所以向量对应的复数为，故B正确； 对于选项C：复数对应的点为，则复数对应的点为，该点在第一象限，故C错误； 对于选项D：复数对应的点构成的图形为圆环，它的面积为，故D正确． 4．（25-26高一下·湖南长沙·期中）（多选）已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．若Z为实数，则 B．若Z为虚数，则 C．若Z为纯虚数，则 D．复数Z的虚部为 【答案】AB 【详解】对于A，若Z为实数，则虚部为0，，.故A正确； 对于B，若Z为虚数，则虚部不为0，，，故B正确； 对于C，若Z为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，，则无满足条件的m，故C错误； 对于D，复数Z的虚部为，不带单位i，故D错误. 5．（25-26高一下·福建厦门·月考）（多选）设复数的共轭复数为为虚数单位，则下列命题正确的是（    ） A．若复数，则在复平面内对应的点在第四象限 B．复数的模 C．若，则或 D．若复数是纯虚数，则 【答案】ABD 【分析】结合共轭复数的定义和复数的几何意义可以判断A；结合复数的模可以判断B和C；结合纯虚数的定义建立关于的方程，求解可以判断D. 【详解】对于选项A，由，可得，在复平面内对应点为在第四象限，故正确； 对于选项B， ，故正确； 对于选项C，表示所有满足（设）的复数，有无数个，例如的模也为1，并非只有，故错误； 对于选项D，令实部，解得或；虚部，即，故，故正确. 6．（25-26高一下·山东枣庄·月考）已知四边形是复平面内的平行四边形，点A，B，C对应的复数分别为，1，，则______. 【答案】 【分析】根据复数的几何意义可得，设，由运算求得点的坐标，再求其模长得解. 【详解】根据题意，，设， 由，则，解得， 所以点的坐标为，所以， 所以. 7．（25-26高一下·广西南宁·月考）复数，其中． (1)若复数为实数，求的值； (2)若复数为纯虚数，求的值； (3)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围． 【答案】(1)或；(2)；(3) 【分析】（1）（2）根据复数的分类列式求解即可； （3）根据复数的几何意义列式求解即可. 【详解】（1）若复数为实数，则，解得或． （2）若复数为纯虚数，则，解得，所以． （3）若复数在复平面内对应的点位于第四象限， 则，解得，可得， 所以实数的取值范围为. 8．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知复数. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】(1)或；(2). 【分析】（1）根据复数的虚部为0求解即可； （2）根据复数的实部大于0，虚部小于0求解即可. 【详解】（1）因为复数是实数， 所以， 解得或； 所以实数的值为或； （2）因为复数表示的点在第四象限， 所以， 即， 解得或， 所以实数的取值范围为. 9．（25-26高一下·广东东莞·月考）已知复数，其中i为虚数单位，． (1)若是纯虚数，求的值； (2)在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用纯虚数的定义列不等式组求解即得； （2）根据第二象限内的点的特征列不等式组求解即得. 【详解】（1）由是纯虚数，可得， 由①解得或，因时，，不合题意， 故的值为； （2）由在复平面内对应的点在第二象限， 可得，由③解得；由④解得或， 故得，即的取值范围为. 10．（25-26高一下·广西河池·月考）复数． (1)当实数为何值时，复数为实数； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 【答案】(1)或；(2) 【分析】（1）利用复数定义计算即可得；（2）利用复数几何意义计算即可得. 【详解】（1）令，即，解得或， 故或时，复数为实数； （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，可得， 即，解得， 故的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1 复数及其几何意义 内容导航 漏洞扫描 通法锤炼 能力强化 考点查缺 漏洞扫描 精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础 题型突破 考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 考点01 复数的概念 考点一：复数的有关概念 1. 复数的定义 形如（）的数叫做复数，其中叫做虚数单位，实部是，虚部是。 2. 虚数单位 把平方等于的数用符号表示，规定，我们把叫作虚数单位。 3. 表示方法 复数通常用字母表示，代数形式为（）。 4. 复数集 ①定义：全体复数所成的集合；②表示：通常用大写字母表示。 ■名师点拨： （1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成（）的形式，其中0＝0＋0i. （2）复数的实部是，虚部是实数而非； （3）复数只有在时才是复数的代数形式，否则不是代数形式。 考点二：复数的分类 1. 2. 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 ■名师点拨 复数（）不一定是纯虚数，只有当时，复数（）才是纯虚数。 考点三：复数的相等 在复数集中任取两个数，()，我们规定：与相等当且仅当且。 题型一：复数的基本概念 一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数，记为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为z的实部，b称为z的虚部. 1．（25-26高一下·北京丰台·期中）复数的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 2．（2026·北京朝阳·一模）复数的实部与虚部的和是（   ） A． B． C．0 D．2 3．（25-26高一下·云南昭通·月考）复数的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 4．（25-26高二上·湖南·期中）已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ） A． B．2 C．1 D． 5．（25-26高二上·江苏扬州·月考）已知复数的实部与复数的虚部相等，则实数等于（   ） A． B．3 C． D．1 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是____________． 题型二：复数的分类 解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为（）的形式，以确定实部和虚部。 (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可。 (3)下结论：设所给复数为（）， ①为实数⇔； ②为虚数⇔； ③为纯虚数⇔且。 1．（25-26高一下·贵州贵阳·月考）下列复数中，是实数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题正确的是（    ） A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 3．（24-25高一下·上海·期末）下列关于复数的命题中， ①若是实数，则；②若是虚数，则；③若是纯虚数，则． 真命题的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期中）若复数为纯虚数，则实数的值为（   ） A．2 B．0 C． D．0或2 6．（25-26高一下·陕西榆林·月考）“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列复数：①，②，③，④，⑤；其中表示实数的有（填上序号）_____________． 8．（25-26高一下·河北石家庄·月考）已知复数（i为虚数单位），． (1)若z为虚数，求实数m的取值范围； (2)若z为纯虚数，求实数m的值． 题型三：复数相等的判断 复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数。解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解。 【注意】在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是，即当时，。若忽略前提条件，则结论不能成立。　 1．（25-26高一下·重庆·月考）若，则________． 2．（2025高一·全国·专题练习）满足的有序实数对有______组. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）；求满足上述条件的实数x，y的值； 4．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数等于，其中、．求x、y的值． 5．（24-25高一下·上海·期末）已知复数，若，则实数的取值范围为___________． 考点02 复数的几何意义 考点一：复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是，表示的是实数。 考点二：复数的几何意义 1、复数复平面内的点 2、复数 平面向量 ■名师点拨 （1）复平面内的点的坐标是，而不是。也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是，而不是； （2）当，时，是纯虚数，所以虚轴上的点都表示纯虚数； （3）复数中的，书写时应小写；复平面内的点中的，书写时应大写。 考点三：复数的模 1、定义：向量的模叫做复数的模或绝对值。 2、记法：复数的模记为或。 3、公式：。 ■名师点拨 如果，那么是一个实数，它的模等于(的绝对值)。 考点四：共轭复数 1、一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。 2、复数的共轭复数用表示，即如果，那么。 3、虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数。 ■名师点拨 （1）当复数的虚部时，有，也就是，任一实数的共轭复数是它本身； （2）复数在复平面内对应的点为，复数在复平面内对应的点为，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于实轴对称，并且它们的模相等。 题型一：复数的几何意义 利用复数与点的对应解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数()可以用复平面内的点来表示，是解决此类问题的根据。 （2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解。　 1．（广东江门市2026届高考适应性测试数学试题）若复数，，则，在复平面内对应的两点之间的距离为（   ） A． B．2 C． D．5 2．（黑龙江大庆市2026届高三年级第三次教学质量检测数学试题）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2026·江西赣州·二模）在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2026高二上·云南·学业考试）已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（25-26高一下·山西大同·月考）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于y轴的对称点为B，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·河南漯河·期中）（多选）已知复数，其中，则（   ） A．若，则或 B．当或时，复数z为纯虚数 C．若，则 D．在复平面内，复数z对应的点在直线上，则 7．（25-26高一下·湖北·期中）已知复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是________． 题型二：共轭复数的概念 1．定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数。 2．表示：复数的共轭复数用表示，即如果（），那么。 1．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）若，则复平面内复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2026·云南红河·模拟预测）设复数，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25高一下·北京昌平·期末）在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（  ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·广西河池·月考）复数的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·陕西咸阳·月考）在复平面内，复数，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·河北邢台·月考）若，则的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 7．（25-26高一下·山西晋中·期中）（多选）已知i为虚数单位，则下列说法中正确的是（    ） A．复数的虚部为 B． C． D．若复数，则 8．（25-26高一下·陕西西安·月考）已知复数分别满足，则的取值范围为________． 9．（25-26高一下·山东淄博·月考）已知复数满足，则___________. 10．（25-26高三下·上海·月考）向量，设向量对应的复数为，则___________． 题型三：复数的模的求解 （1）定义：向量的模叫做复数（）的模或绝对值。 （2）记法：复数的模记作或。 （3）公式：。 1．（2026·贵州遵义·模拟预测）设复数，则（    ） A． B．2 C． D．5 2．（25-26高一下·重庆万州·月考）（   ） A． B．3 C． D．1 3．（25-26高一下·黑龙江鸡西·月考）已知复数，则（   ） A．1 B． C． D．5 4．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）设复数，且，则（   ） A．4 B．8 C． D． 5．（25-26高一下·福建福州·期中）若复数满足，则的虚部为________. 6．（25-26高一下·湖南·月考）已知复数满足，则__________. 题型四：复数的模的几何意义 复数模的几何意义可以延伸为表示复数对应的点与原点之间的距离，从而可以用数形结合解决有关的问题，考查直观想象素养。 1．（25-26高一下·青海·月考）设复数z满足条件，那么的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高一下·山东青岛·月考）（多选）若z为复数，则（   ） A．若，则为实数 B． C．若，则的最大值为 D．若，则在复平面内对应的点在第四象限 3．（2026高三·全国·专题练习）判别下列各式在复平面所表示的图形． (1) (2) (3) 1．（25-26高一下·四川成都·期中）在复平面内，复数和分别对应点M，N，则对应的复数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·浙江·期中）（多选）已知复数，，下列选项正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若，则 C．若在复平面内复数对应的点在第二象限，则的取值范围为 D．的最小值为 3．（25-26高一下·吉林延边·月考）（多选）下列结论正确的是（   ） A．若复数满足，则 B．若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为 C．若复数在复平面内对应的点为，则复数在复平面内对应的点在第三象限 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 4．（25-26高一下·湖南长沙·期中）（多选）已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．若Z为实数，则 B．若Z为虚数，则 C．若Z为纯虚数，则 D．复数Z的虚部为 5．（25-26高一下·福建厦门·月考）（多选）设复数的共轭复数为为虚数单位，则下列命题正确的是（    ） A．若复数，则在复平面内对应的点在第四象限 B．复数的模 C．若，则或 D．若复数是纯虚数，则 6．（25-26高一下·山东枣庄·月考）已知四边形是复平面内的平行四边形，点A，B，C对应的复数分别为，1，，则______. 7．（25-26高一下·广西南宁·月考）复数，其中． (1)若复数为实数，求的值； (2)若复数为纯虚数，求的值； (3)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围． 8．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知复数. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 9．（25-26高一下·广东东莞·月考）已知复数，其中i为虚数单位，． (1)若是纯虚数，求的值； (2)在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 10．（25-26高一下·广西河池·月考）复数． (1)当实数为何值时，复数为实数； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $