数学试题-【1号卷·A10联盟】2026届高三上学期12月学情检测

号卷·A10联盟2026届高三12月学情检测 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。请在答题卡上作答。 第I卷（选择题共58分） 振幅随间隔周期性变化，导致曲线上、下波动的幅度逐渐减小，形成类似葫芦“腰部收窄、两端 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 影大的形铁如，葫产黄线的底珠、题，嘴的对应点分别为0@0)，4怎小8(0小，其 1-() 上肚、下肚到轴心线(x轴)的距离分别为3,2，若点E,F到轴心线的距离分别为 ,1,则点E 1-3i A.V5 迈 与F的横坐标之差为() B. c.√5 D.5 π 5 x-2 A-2 B.-8 2.已知集合A={x ≤0，B={xx>1}.则AUB=() x+2 A.[-2,+∞) B.(-2,+∞) c.(1,2] D.(L,2) n 巨已知函数f心)是定义在R上的奇函数，当xeQ,+)时，/)名3.则f0+/-) 8.在底面边长为2的正三棱柱ABC-AB,C中，D,E分别是BB和CC的中点，若 () A.-3 B.-1 C.1 D.2 c0s<AD,正-三，则该三棱柱外接球的表面积为(） 4 4.如图，在平行六面体ABCD-AB,CD中，点P是线段AC上的-一点，且AP=2PC,设 A. 28π B. 52π C.16元 D.64r AA=a,AD=b,AB=c,则PD=(） 3 3 3 121 A3a-5b+3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分 B.-2a-b+2c .2 9.下列说法正确的是() -5-3b+39 C,D四点共面，0为该平面外一点，且O丽=OA+0丽+x0C(xeR B.若{a,b,c}为空间的一组基底，则{a+b,b+c,a+c}也是空间的一组基底 C.已知向量a=(2,l-3),b=(1,21),则a在b上的投影向量为11,1 (6'3'6 5.已知m,n为两条不重合直线，a,B为两个不重合平面，下列条件中，a∥B的充分条件是( D.若直线1的方向向量为m=(1,-1,1),平面c的法向量为n=(-1,l,-1),则直线11a A.mlln,mca,ncB B.mlm,m⊥a,n⊥B 10.已知函数f)=cosax-》(aeR),则( C.m⊥n,m⊥a,nWB D.m⊥n,m⊥a,n⊥B 4 6.设等差数列{an}的公差为d,若a,2+a,2≥2恒成立，则d的取值范围为( A.当0=-2时，若x≠2，且f()=f(2)=-1,则s-xl=π A.[-1,1] B.-1,2] C.(-o∞，-1]U[1,+o∞）D.(-o∞，-1U[2,+o∞) 7.葫芦曲线在数学中被明确为一种类似横放葫芦轴截面的曲线，其方程通常表示为 2x 为不超过2工的最大整数.该曲线的显著特征是 c当0=2时，对任意xeR,恒有f(餐+小f(g- 。当/在包，上有且仅有两个单润区间，则正数0的家值范器为（公哥） ∥号卷·A10联器2026届高三12月学情检测·数学试题第1页共4页 号卷·A10联盟2026届高三12月学情检测·数学试题第2页共4页 17.(15分) 11.已知数列 1 ·是等差数列，下列说法正确的是() 记△ABC内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且cos2B+cos2C=2cos2A. A若a=1,4=g则a,=2n (1)求证： (i）2 bccosA=a2 B.若22=40，则a6+4=2a4 (i)2 =I a tanA tanB tanC (2)求角A的最大值 C.若a>0,则a≤8+a2 2 n若4=14-方2ah6-训e” 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 18.(17分) 如图，在三棱柱ABC-AB,C中，AA⊥平面ABC,AA=AC=BC=2,∠ACB=90°， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 1 D,E分别是AB,CC的中点 12.已知曲线f)=x+acos3x在点x=处的切线为y=:- 3 则实数a的值为 (1)求证：CD⊥AB: 13.若e=e2”+4,且x-y≥m恒成立，则m的取值范围为 (2)求直线AC与平面ABE所成角的正弦值； 14.在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，点P为线段B,C上的一个动点，则PA+PC的最小 (3)在棱CC上是否存在一点P,使得平面PAB与平面ABE的夹角为45°？若存在，求 值为 乙的值：若不存在，请说明理由 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤。 15.(13分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC,且AP=PD=CD=2AB=2, PC=V6,∠APD=∠ADC=60° (1)求证：平面PAD⊥平面ABCD: (2)求点A到平面PCD的距离. 19.(17分) 已知函数f(x)=xlnx-ax2-l,a∈R (1)当a=0时，求f(x)的极值： (2)若存在两个不相等的实数x,x2∈(e,e),使得f(x)=f(x2),求a的取值范围： (3)记函数f(x)的两个不同零点为x?,x,,求证：lnx3+lnx,>4n2, 16.(15分) 已知正项数列{an}满足：a=6,(2n+1)a1-2(2n+3)a=(2n+5)a,a1 (1)求证：数列0。为等比数列； (2n+1 (2)求数列{a}的前n项和Sn 厂号卷·A10联器2026届高三12月学情检测·数学试题第3页共4页 号卷·A10联盟2026届高三12月学情检测·数学试题第4页共4页/号卷·A10联盟2026届高三12月学情检测 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 题号 2 3 4 6 7 8 答案 A B D B C A D 1.A由题意得， 1-i1-1-2-5 .故选A 1-311-3列10-5 2.B由题意得，A={x2<x≤2}，又B={xx>1},则AUB={xx>-2}.故选B. 3D由感意得.0=0.f-=-f0=(名-3=2，所以f0+-)=2.放D 4.C因为AC=AB+BC+CC=AB+AD+AA,又AP=2PC,所以 -号G-西+0+4.所以所=0-和=和-号（孤+0+风 3 号+兮而-号=子+号c 3 5.B对于A,与B可能平行，也可能相交，因此A中条件不是aWB的充分条件；对于B,因为mln, m⊥，所以n⊥，结合n⊥B,知aWB,因此B中条件是o∥B的充分条件；对于C,由m⊥n, m⊥a知ncx或nl∥a,结合nlWB,知a与B可能平行，也可能相交，因此C中条件不是alWB 的充分条件；对于D,由m⊥n,m⊥a知nca或nl∥a,结合n⊥B,知a⊥B,所以D中条 件不是WB的充分条件.故选B. 6.C由a,2+a;2≥2得a2+(a,+2d)2≥2→a,2+2da+2d2-1≥0，上式可看作关于a3的-元二 次不等式，△=(2d)2-4(2d2-1)≤0→d2≥1，解得d≤-1或d≥1.故选c. 7A出题得，点任)（子在维线上. 3-a-)sin 解得a=3 ，所以 --[a 1b=1 以-(-[]》如2当0<经时[]-0y期3m2xn2x= =1,令y=1,则-2sin2x=1, 12 所以点E与F的横坐标之差为 九_7不=-元.故选A 1212 8.D设侧棱长为2a,则AD=AE=V4+a2,AD.A正=(AB+BD)(4C+CE） =4B.4C+4B.CE+BD.4C+BD.CE=2x2xcos+0+0+a=a+2, ∥乡卷·A10联盟2026届高三12月学情检测·数学参考答案第1页共7页 由cos<AD,AE>- AD·A 三-Q+2=3,得4=2（负值舍去）.底面三角形外接圆半径 AD.AE a2+44 为 2 22W3 2sin60°-3-3 ,设外接球半径为R,则R2=22+ 16 所以外接球的表面 积为S=4元R2=-64 3 .故选D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分 题号 9 10 11 答案 ABC AC ACD QABC若AB.C,D四点共面，0为该平面外-点，且0D0A+DB+x0Cx∈R,四 r=今r玫A确：假股a+6b+ca+G不是空的维 a+b=m(b+c)+n(a+c)=na+mb+(m+n)c,又因为{a,b,c}为空间的一个基底， n=1 所以m=1,矛盾，故{a+b,b+c,a+c}是空间的一组基底，故B正确；a=(2,1,-3), m+n=0 b=(1,21),则a在6上的投影向量为a: 26=b=3,, 106”636 故C正确；因为n=-m, 所以nl/m,则I⊥a,故D错误.故选ABC. 当。=一2时，f的最小正周期7阁，当f=G-山，即取最小值 小值间距离是一个周期，所以川x1一x2mim=兀，故A正确；当0=-1时， 417 即-血20=所以s如20-名故B误，当 7 0=2时，四=co2x-司引，令2x-子a(低e☑，解得x-营+经ke.则版数 当xe[0,x,w>0时，or-亚∈厂-元 香子伽一引由了倒有且收仅有两个单区间，则 0<6饭-牙≤，第得0，故D错误成法A0 1 11.ACD由a1=1,a5= 将日1,9，则4d=9-1=8,期12. a as a 所以 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以上=1+2m-)=2n-1,则 an ∥号卷·A10联盟2026届高三12月学情检测·数学参考答案第2页共7页 20 1+1 1 dn=2n-1 故A正确； 41202=10 =40,即 间a a10411J 1+1=4→ao+a1=4a4,故B错误；因为石+a 1,1 一，所以 a1041 an an+2 an+ 2x an +am2 12 2annt2≤ 2 =0+an2,当且仅当an=an+2时，等号成立，故C正 an +ant2 an +ant2 角：当a=l,4时，所以d==2-1=1,所以=n,则a,=令 az a an f=x-1-nx,所以f)=-1,则f)在(0,1)上单调递减，在(L,)上单调递 增，所以f(x)n=f)=0,所以x-1≥nx在x>0恒成立.令x=n2,则lnn2≤n2-1, 即2has(a-a+0.亦s号，烈 0.1 n1+2++1血n≤计+””，散DE确放选A0皿 n+1 2 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.1 3 题意的.=1-边n3,则r得)-1=k,所以/骨a=号解得a=号 13.（-∞，2ln2(填(-∞，ln4也正确) 因为ey=e=e2+4 ee se+ e≥2， 4=4,所以x-y≥ln4=2n2,则m≤2ln2. 14.√2+√6 易得APc平面AB,C,则展开△BCC使其与△AB,C在同一平面，如图，则PA+PC,的最小值 为AC1,因为△AB,C是边长为2√2等边三角形，△B,CC是腰长为2的等腰三角形，则P为B,C 的中点，AC=√6+√2，所以PA+PC的最小值为√2+√6， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤。 15.（13分) (1)连接AC,由题意得，△PAD和△ADC均是边长为2的等边三角形，…(1分) 取AD的中点O,连接OP,OC,则OP⊥AD,OC⊥AD,OP=OC=√3，…(3分) 号卷·A10联盟2026届高三12月学情检测·数学参考答案第3页共7页 因为PC=V6,所以OP2+OC2=PC2,所以OP⊥OC.…(4分) 因为AD∩OC=O,所以OP⊥平面ABCD,…(5分) 因为OPc平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD.…(6分) (2)由（1)知，OC,OD,OP两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 其中A(-1,0,0),C(0,3,0,D(1,0,0),P(0,0,V5), 则AP=(1,0,3,CD=(1,-V3,0),CP=(0,-3,3) 。…(8分) 设平面PCD的法向量为n=(k以，，则mC历=x-V5y=0 n.C乎=-√3y+√3z=0 令y=1,则x=√5,2=1，则平面PCD的-个法向量为n=(V3,1,1, …（11分) 所以点A到平面PCD的距离d= -川_25_2西 …（13分) m55 B 16.(15分) ①D令b,52%则0，三2n+b,au三2n+3b4…1分） 因为(2n+1)a21-2(2n+3)a=(2n+5)a,a1' 所以(2n+1)(2n+3)2b2-2(2n+3)(2n+1)2b=(2n+5)(2n+1)(2n+3)b,b1’ 所以(2n+3)b1-2(2n+1)b=(2n+5)b.b+ 即(b1-2b,)[(2n+3)b+1+(2n+1b.]=0- …（4分) 由an>0,得bn>0,所以(2n+3)b1+(2n+1)bn>0,所以b1=2b,，…（6分) 又A-号=2，所以数列{}是以2为首项、2为公比的等比数列 …(7分) 2n+1 (2)由(1)知，a1，=2”,所以a,=(2n+1)2”,…(8分) 2n+1 则Sn=3×2+5×22+7×23++(2n+1)2”, 2Sn=3×22+5×23+7×24+…+(2n+1)21, …（10分)） 所以-Sn=6+2(22+23+…+2")-(2n+102+ =201+2+22+22++2”)-(2n+1021=2×1-2别 -(2n+1)2m+1 、1-2 =2(2+-1)-(2n+1）2*1=(1-2n)21-2, …(14分) 所以Sn=(2n-1)21+2.…(15分） 】号卷·A10联盟2026届高三12月学情检测·数学参考答案第4页共7页 17.(15分) (1)(i cos2 B+cos2 C=2cos2 4,1-sin2 B+1-sin2C=2(1-sin2), 所以sin2B+sin2C=2sin2A,由正弦定理得b2+c2=2a2,…(3分) 由余弦定理得cosA=b+c2-ad2 2bc 所以2bcc0sA=b2+c2-a2=2a2-a2=a2.…(5分) (iⅱ)由2 bccosA=a2,得2 sin Bsin Ccos A=sin2A,…（6分) 所t以2cosA=sinA=sin(B+C_sin BcosC+cos BsinC …（8分) sinA sin BsinC sin BsinC sin Bsin C 所以2 1 1 …（10分) tan A tan B tanC (2)由余弦定理得cosA= b2+c2-a2_a2 …(11分) 2bc 2bc 由(1)(i)得，2a2=b2+c2≥2bc,即a2≥bc,当且仅当b=c时，等号成立，…(13分) 所以c0s4≥，所以角4的最大值为.…(15分) 3 18.(17分) (1)在三棱柱ABC-AB,C,中，AA⊥平面ABC,又∠ACB=90°，则直线CA,CB,CC,两两垂直， 故建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,…（1分) 则A(2,0,0),B(0,2,0),41(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2)D(1,1,2),E(0,0,1), 所以CD=(1,1,0),AB=（-2,2,-2),…(2分) 由CD·4B=1×(-2)+1×2+0×(-2)=0,得CD⊥AB,所以CD⊥AB.…(4分) (2)由(1)知，CA=(2,0,0),，4B=(-2,2,-2),4E=(-2,0,-1),…(5分) 设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),则 n·AB=-2x+2y-2z=0 n·AE=-2x-z=0 取x=1,得平面ABE的一个法向量为n=（1,-1,-2).…（7分) 设直线AC与平面ABE所成角为B, CA.n 则sin6=cos<CA,n>= =2-6 cAm2×66 即直线AC与平面4BE所成角的正弦值为V6 …（10分) 6 (3)假设在棱CC1上存在点P,使得平面PAB与平面ABE的夹角为45°， 设P(0,0,t),则0≤t≤2，AP=(-2,0,t),又AB=(-2,2,0), m·AB=-2a+2b=0 设平面PAB的法向量为m=(a,b,c),则 m·AP=-2a+tc=0 取c=2,得平面PAB的一个法向量为m=(t,1,2).…(（13分) 由(2)知，平面ABE的一个法向量为n=(1,-1,-2), 若平面PAB与平面ABE的夹角为45°， ∥号卷·A10联盟2026届高三12月学情检测·数学参考答案第5页共7页 m·n 4 则cos<m,n>= …（15分) m:m√22+462’ 解得1=6（负值合去），此时C2==6 3 CC 2 6 综上，在棱CC上存在点P,使得平面PAB与平面4BE的夹角为45°，此时CP=V .(17分) 19.(17分) （1)当a=0时，f(x)=xlnx-1,则f'(x)=1+lnx,…（1分) 令f)>0,解得x>1,令f)<0,解得0<x< 1 e 所以)在0，日上单送减。在日+ 上单调递增，…（3分) 所以f)的板小值为f得=-1，无极大值 …（4分) (2)因为存在x,x2∈(e,e),使得f(x1)=f(x2), 所以连续函数f(x)在(e,e2)上不单调，在(e,e2)上有极值.…（5分) 由题意得，f'(x)=1+lnx-2ax, 则fCx)=0在(c,e)上有解，即2a=1+1n严在(e,e)上有解 …(6分) 记g()=1+lnx,xe(C,e),则g=血x<0恒成立， 2 所以g(x)在(e,e)上单调递减，所以=g(e2)<g(x)<g(e)= …（8分) e 故3<2a<2,则a的取值范围为 31 e 2e2e …(9分) (3)由题意得，n,-1=m,①，1nx-=am4②， 1 X3 ①+②得，1n(xx)-+龙=a(k+x)③，②-①得，1n点+-5=a(k,-x)④. X3X4 X3 X4X3 ③+④得1n(kX)-25+-+5n立，…（01分) X3XA XA-X3 X3 不妨设0<飞<飞，记1=立>1.令F0=1nt-2-少>). t+1 则r0)=4==>0,所以F0在化m)上单酒递路， t(t+1)2t(t+1)2 所以F0>F0=0,则n1>2-,即n点>2(x-为>0， t+1 X3 x4+x3 所以n(x)25+）-专t1n支>2.…(15分) X3X4 X4-X3 X3 ∥号卷·A10联盟2026届高三12月学情检测·数学参考答案第6页共7页 因为1n(x)- +<2yg 4 X3 X3X4 x3x4 所以2nxg 4>2,即nv-2>1.（5分） x3X4 令=nx2d+>0,则0)在(0，+)上单调递 又4-子2a2-1,限hy1a4子np网]>. 41 所以√xx4>4,则xx4>16,即lnx3+lnx4>4ln2.…（17分) 以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分 号卷·A10联盟2026届高三12月学情检测·数学参考答案第7页共7页