精品解析：江苏苏州市昆山、张家港、常熟、太仓四市2025-2026学年下学期八年级期中考试数学试题

初二数学 （满分130分 时间120分钟） 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把正确答案填在答题卷相应的位置上． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，对角线相交于点O，若，则的周长为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 3. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可能是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 某商品原来每件售价为元，经过两次降价后，每件售价调整为元，设平均每次降价的百分率是，则可列出的方程为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴的正半轴上，点B、点C在第一象限内，且点B的坐标为，则菱形的边长为（ ） A. 8 B. C. D. 9 8. 如图，已知正方形的边长为，点是边上的一点，是线段的垂直平分线，与正方形的两边，分别交于点，，若，则线段的长为（） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共8题，每小题3分，共24分，不需要写出解答过程，请把最后结果填在答题卷相应的位置上． 9. 方程的解是_______． 10. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为_____． 11. 如图，直角梯形中，，，，，则梯形的面积为____． 12. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是______． 13. 如图所示，菱形的对角线相交于点，，垂足为．若则的长为______． 14. 请写出一个关于的一元二次方程，满足一根为2，另一根为，则这个方程可能是____． 15. 如图，把蜻蜓的全身看作一条线段，腹部看成线段，则蜻蜓的腹部长与全身长之比等于头部、胸部总长与腹部长之比（即，这个比值就是黄金比）．若蜻蜓的全身长是，则蜻蜓的腹部长是____．（结果保留根号） 16. 如图，菱形的边长为，，是边上一点，延长到，使得，以为邻边，向外作菱形，连接，是的中点，连接，则的最小值为______． 三、解答题：本大题共11小题，共82分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 当k取何值时，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根？求出此时方程的根． 19. 如图，矩形中，E是边上的一点，连接，且． （1）求证：平分； （2）若，求边的长． 20. 有一块长，宽的矩形铁皮，在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长． 21. 已知，是关于x的方程的两个根，求下列各式的值． （1）； （2）． 22. 如图，矩形中，对角线与相交于点O，延长到E，使得，连接． （1）求证：； （2）点F是的中点，连接，求证：四边形是菱形． 23. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有实数根； （2）若该方程有两个负实数根，求的取值范围． 24. 某运动品商场针对某品牌的足球推出团购优惠活动，活动方案如下： 购买足球数量（只） 足球单价（元/只） 不超过30只 每只足球180元 超过30只 购买足球的数量每增加一只，所购足球的单价降2元/只，但足球的单价不得低于120元 某足球学校花费6750元在该运动品商场购买了该品牌的足球，请你确定该足球学校购买足球的数量． 25. 根据题意解答下列问题． （1）如图①，中，点O是边的中点，连接，并延长到D，使得，连接． ①求证：； ②N是边上一点，连接，若的面积为2，则的面积为_____． （2）尺规作图：如图②，已知，射线在的上方，在射线上找一点，连接，使得的面积是的面积的2倍（不要求写作法，保留必要的作图痕迹）． 26. 对于关于x的代数式（a，b，c是常数，且），若存在实数m，使得当时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． （1）下列x的取值：①，②，③，④；其中是关于x的代数式的“不动值”是______（填序号）； （2）判断关于x的代数式是否存在“不动值”，若存在，请求出代数式的“不动值”；若不存在，请说明理由； （3）若关于x的代数式有两个“不动值”，且一个“不动值”是另一个“不动值”的3倍，求c的值． 27. 已知矩形纸片中，，点E为边上不与端点重合的一动点，将纸片沿翻折至长方形所在平面内得到． （1）若，则的度数为_____°； （2）如图①，的顶点F恰好落在边上，求的长； （3）如图②，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学 （满分130分 时间120分钟） 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把正确答案填在答题卷相应的位置上． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程， A选项：，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； B选项：，含有两个未知数和，不符合要求； C选项：，含有两个未知数和，不符合要求； D选项： ，只含有一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义． 2. 如图，在中，对角线相交于点O，若，则的周长为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质：对角线互相平分，求出和的长度，再结合已知的长度，即可计算的周长． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，  ， 的周长． 3. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，按照配方法的步骤，先移项，再给方程两边加一次项系数一半的平方，将左边配方为完全平方式即可得到答案． 【详解】解：对原方程移项得， 方程两边同时加得， 整理得， ∴变形正确的是选项B． 4. 在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、角平分线的定义，关键是矩形性质的应用；根据矩形的性质可得，结合，可得的度数，又根据角平分线的定义可得的度数，则可求． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B ． 5. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可能是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式，先计算判别式得到的取值范围，再结合选项即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式 其中，，，代入得： ， 解不等式得 对比选项，只有A选项满足条件． 6. 某商品原来每件售价为元，经过两次降价后，每件售价调整为元，设平均每次降价的百分率是，则可列出的方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在降价率问题中的应用，根据降价率的计算规则，逐步推导两次降价后的售价，结合已知最终售价即可列出方程． 【详解】解：∵商品原价为元，平均每次降价的百分率为， ∴第一次降价后售价为元， ∵第二次降价在第一次降价后的售价基础上再次降价， ∴第二次降价后售价为元， 又∵两次降价后最终售价为元， ∴可得方程． 7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴的正半轴上，点B、点C在第一象限内，且点B的坐标为，则菱形的边长为（ ） A. 8 B. C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】过点作轴于点，设菱形边长为，则，，然后对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作轴于点， ∵点B的坐标为 ∴ 设菱形边长为，则， ∴ 在中，由勾股定理得， ∴ 解得， ∴菱形的边长为． 8. 如图，已知正方形的边长为，点是边上的一点，是线段的垂直平分线，与正方形的两边，分别交于点，，若，则线段的长为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，，设，利用线段垂直平分线的性质得到，，分别在，，中利用勾股定理表示出和关于的式子，代入已知条件求解即可． 【详解】解：如图，连接，，， 设，则， ∵垂直平分， ∴，， 在中，，即，解得， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 整理得，即， ∵， ∴， ， ， ， 解得， 即． 二、填空题：本大题共8题，每小题3分，共24分，不需要写出解答过程，请把最后结果填在答题卷相应的位置上． 9. 方程的解是_______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 通过移项将方程化为，然后利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， 所以，． 故答案为：，． 10. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，已知方程的一个根就将这个根代入方程求参数的值是解题关键． 将代入一元二次方程，即可求解． 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个根， ， 解得，． 故答案为：． 11. 如图，直角梯形中，，，，，则梯形的面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，根据矩形的判定与性质可得，，进而求出的长，在中利用勾股定理求出的长，最后利用梯形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点作于点， ∵，，， ∴ ， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，，， ∴ 由勾股定理得， ∴， ∴梯形的面积为： ． 12. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可解答．本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根，与系数的关系是，是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， 故答案为：2． 13. 如图所示，菱形的对角线相交于点，，垂足为．若则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用菱形的面积公式：，即可解决问题．本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求线段的长，属于中考常考题型． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 请写出一个关于的一元二次方程，满足一根为2，另一根为，则这个方程可能是____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】已知一元二次方程的两个根，可利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再构造满足条件的一元二次方程即可． 【详解】解：设该一元二次方程的两根为，，取二次项系数为， 根据根与系数的关系可得： ， ， ∴这个方程可能是，（答案不唯一，只要满足条件即可） 15. 如图，把蜻蜓的全身看作一条线段，腹部看成线段，则蜻蜓的腹部长与全身长之比等于头部、胸部总长与腹部长之比（即，这个比值就是黄金比）．若蜻蜓的全身长是，则蜻蜓的腹部长是____．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】首先根据线段之间的关系和黄金分割比建立关于的一元二次方程，利用求根公式解方程后排除负根即为答案． 【详解】解：∵，，且， ∴将代入比例式，得：， 整理得：， ∴根据求根公式，可得：， ∵线段长度为正数，舍去负根， ∴． 16. 如图，菱形的边长为，，是边上一点，延长到，使得，以为邻边，向外作菱形，连接，是的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，过点作于点，可证，可得，，即得， ，设，则，利用直角三角形的性质和勾股定理可得 ， ，即得 ，即得到 ，得到的最小值为，进而即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，过点作于点，则， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴ ， ∵是的中点， ∴， 又∵ ， ∴， ∴，， ∴， ， 设，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴的最小值为， ∵ ， ∴的最小值为． 三、解答题：本大题共11小题，共82分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 或 ∴ 【小问2详解】 解： 或 ∴． 18. 当k取何值时，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根？求出此时方程的根． 【答案】，此时方程的根为 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根可得，求得，再用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得：， 将代入可得， 即， 解得． 19. 如图，矩形中，E是边上的一点，连接，且． （1）求证：平分； （2）若，求边的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得，进而得出，再根据“等边对等角”得，然后说明，则此题可解； （2）先根据矩形的性质得，再说明，可得，然后根据勾股定理求出，进而得出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 解：在矩形中，， ∵， ∴， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 20. 有一块长，宽的矩形铁皮，在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长． 【答案】 【解析】 【分析】设裁去的正方形的边长为，则可得这个长方体盒子的底面的长是，宽是，再由矩形面积公式建立方程求解． 【详解】解：设裁去的正方形的边长为，则可得这个长方体盒子的底面的长是，宽是， ∴， 整理得， 解得， 当时，此时，不符合题意； 当，此时，，符合题意 ∴小正方形的边长为． 21. 已知，是关于x的方程的两个根，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1） 3 （2） 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再将所求代数式进行变形，代入求值即可． 【小问1详解】 解： 已知方程，其中，，， 则 ， ∴， ∴  ； 【小问2详解】 解：， 代入，， 则原式． 22. 如图，矩形中，对角线与相交于点O，延长到E，使得，连接． （1）求证：； （2）点F是的中点，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得，即可得，再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出答案； （2）根据矩形的性质得，再说明四边形是平行四边形，然后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵点F是的中点，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 23. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有实数根； （2）若该方程有两个负实数根，求的取值范围． 【答案】（1）见解析； （2）的取值范围是． 【解析】 【分析】（）根据 即可求证； （）先解方程解得，，然后由该方程有两个负实数根，则有，解得，从而求解． 【小问1详解】 证明： ， ∴方程总有实数根； 【小问2详解】 解： ， 解得：，， ∵该方程有两个负实数根，， ∴ ，解得：， ∴的取值范围是． 24. 某运动品商场针对某品牌的足球推出团购优惠活动，活动方案如下： 购买足球数量（只） 足球单价（元/只） 不超过30只 每只足球180元 超过30只 购买足球的数量每增加一只，所购足球的单价降2元/只，但足球的单价不得低于120元 某足球学校花费6750元在该运动品商场购买了该品牌的足球，请你确定该足球学校购买足球的数量． 【答案】该足球学校购买足球的数量为只 【解析】 【分析】先通过计算判断购买数量的范围，再根据总价等于单价乘以数量列一元二次方程求解，舍去不符合题意的解，得到最终结果． 【详解】解 若购买足球不超过30只，则最多花费（元）    该足球学校购买足球数量超过30只， 当足球单价恰好为120元时，购买数量为（只） 若购买数量超过60只，总价最少为（元）  该足球学校购买足球数量满足 设该足球学校购买足球只，则每只足球的单价为元 根据题意列方程得  解得  ， 不符合题意，舍去 答：该足球学校购买足球的数量为45只． 25. 根据题意解答下列问题． （1）如图①，中，点O是边的中点，连接，并延长到D，使得，连接． ①求证：； ②N是边上一点，连接，若的面积为2，则的面积为_____． （2）尺规作图：如图②，已知，射线在的上方，在射线上找一点，连接，使得的面积是的面积的2倍（不要求写作法，保留必要的作图痕迹）． 【答案】（1）①证明见解析 ②4 （2）作图见解析 【解析】 【分析】（1）①根据“边角边”证明，可得，即可得出答案；②先说明，即可得，则此题可解； （2）由作图过程可知，可得，进而得出． 【小问1详解】 ①证明：∵点O是边的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 解：如图所示，延长，并截取，延长，并截取，作直线，交于点，则即为所求作； 26. 对于关于x的代数式（a，b，c是常数，且），若存在实数m，使得当时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． （1）下列x的取值：①，②，③，④；其中是关于x的代数式的“不动值”是______（填序号）； （2）判断关于x的代数式是否存在“不动值”，若存在，请求出代数式的“不动值”；若不存在，请说明理由； （3）若关于x的代数式有两个“不动值”，且一个“不动值”是另一个“不动值”的3倍，求c的值． 【答案】（1）①④ （2）不存在，理由见解析 （3）3 【解析】 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）由题意得方程，再由根的判别式求解即可； （3）由题意得，有两个实数根，且一个根是另一个根的3倍，再根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：①当时，，符合题意； ②当时，，不符合题意； ③当时，，不符合题意； ④当时，，符合题意， ∴其中是关于x的代数式的“不动值”是①④； 【小问2详解】 解：不存在，理由如下： 若关于x的代数式存在“不动值”， 则， 整理得，， 此时， ∴此方程无实数根， 故关于x的代数式不存在“不动值”； 【小问3详解】 解：由题意得，有两个实数根，且一个根是另一个根的3倍， 整理得，， 设两个实数根为， 则由一元二次方程根与系数的关系得到，， 解得 ∴ ． 27. 已知矩形纸片中，，点E为边上不与端点重合的一动点，将纸片沿翻折至长方形所在平面内得到． （1）若，则的度数为_____°； （2）如图①，的顶点F恰好落在边上，求的长； （3）如图②，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】（1）50 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据折叠可知，据此求解即可； （2）在矩形折叠问题中，出现求线段长度，优先考虑勾股方程：易求，则，在中利用勾股定理建立方程求解即可； （3）分两种情况：①当时，作辅助线，构建直角三角形，利用角直角三角形的性质求得的长；②当时，作辅助线，构建直角三角形，设未知数，根据勾股定理列方程可求得的长． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 根据折叠可知， ∴， 【小问2详解】 解：在矩形中， 由折叠可得， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：当是以为腰的等腰三角形时，分两种情况： ①当时，如图，过F作于M，交于点N， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴是长方形的对称轴， 如图③，连接， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠得：， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，如图④，过F作，交于G，交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $