（A卷）数学（人教A版）试题-【1号卷·A10联盟】2024届高二上学期11月期中质量检测

A10联盟&宿州十三校2024级高二上学期11月期中质量检测 数学（人教A版）试题A 命题单位：池州一中数学教研组 编审单位：合肥皖智教育研究院 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时问120分钟。请在答题卡上作答。 第I卷（选择题共58分） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 目要求的. 9.已知圆C:x2+y2-6x-8y=0和直线1：(3m-1)x-(2m+1)y-m+2=0,则() 1.双曲线x2-15y2=15的焦点为( A.圆C的半径为5 B.直线I恒过点(-1，) A.(0,士4) B.(±4,0) c.(0,t14 D.(±14,0 C.直线I不过点C D.直线1与圆C一一定相交 2.在空间直角坐标系中，已知点AL,-2,3),B(-3,0,1),则AB的长为() 10.已知F0,-2)为椭圆C:元+上=10m>0的焦点，直线1与椭圆C交于M,N两点，且点 A.2W2 B.8 C.2√6 D.24 4 m 3.已知{a,b,c}是空间一个基底，向量m=a+xb-c,n=-2a-3b+C,x,y∈R,若m∥n,则 P号)好线段N的中点，则( x+y的值是() B.2 e A.m=22 B椭圆C的离心率为巨 C.直线1的方程为x-4y+6=0 D.△FMN的周长为8N2 4.已知圆E:(x+2)+(y-6=1与圆C关于直线y=x对称，则圆C的方程是() A.(x+62+(y-2)2=1 11.在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，M为底面ABCD内部（包括边界）一动点，下列 B.(x-2)2+(y+6)2=1 结论正确的是() C.(x-6)2+(0y+2)2=1 D.(x+2)2+0y+62=1 A.存在点M使得D,M⊥AC 5.若直线l:3x+(m-2)y+2m=0与l2:mx+y+6=0平行，则实数m的值为() A.3 B.-1 C.-1或3 D.0 B存在点M使得平面40D和平面D,4M的夹角大小为写 6已知椭圆C:亡+y :云+京=1（如>b>0)的左、右焦点分别为F、B,椭圆上点Px,)到焦点B的 C者D与底西A8CD所成角的正切值为，则点M的达长度为 3 最大距离为7，最小距离为3，则椭圆的离心率为() D.cos2∠MD,D+cos2∠MD4+cos2∠MD,C,=1 1 7已知平面BC与平面ABD所成的二面角C-AB-D的大小为号AC1AB,BD⊥AB,且 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 AB=3,AC=2,BD=4.则CD的长为() A.√21 12.点A(2,1)到直线x-2y+10=0的距离为 B.5 C.√29 D.37 8.在空间直角坐标系Oz中，球心的坐标为M(a,b,c),半径为r,则球面的方程为 13.已知d=1,b=(1,2,-2),a与b的夹角为120°，则2a-b= 14.在边长为3的正方形ABCD中，点E为边CD的中点，已知点P为正方形ABCD内（包括边界） (x-a)2+y-b)+(z-c)2=r2.已知0为坐标原点，A1,0,2N2),B1,3,2√2)，点P满足 -动点，且到点A的距离和到边CD的距离的比为，则PE-P的最小值为 A=2P8,则oP的最大值为（) A.5 B.6 C.7 D.8 A10联盟&宿州十三校2024级高二上学期11月期中质量检测·数学（人教A版）试题第1页共4页 A10联盟&宿州十三校2024级高二上学期11月期中质量检测·数学（人教A版）试题第2页共4页 A 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18.(17分) 15.(13分) 如图，在三棱柱ABC-ABC中，AB=AC=2,A4=2N2,∠BAC=90°，BA⊥平面 已知椭烟C:女+ =1的左、右焦点分别为A,B,左、右顶点分别为E,F,双曲线 ABC. 43 (1)求证：平面ACC4⊥平面ABB4: 三：若广(a>0,b>0)的焦点为ER顶点为么B,M,0≠0为双曲线G上一点 (2)求直线BC与平面ACC,4所成角的余弦值： (1)求C,的标准方程： (3)若球M为三棱锥B-ABC的外接球，求平面ACC,A截球M的截面面积 (2)求直线AM,BM的斜率之积 16.(15分) 如图，已知正方体ABCD-ABCD的棱长为6，点M在棱AD上，且4M=5,Q为BG的 中点，点P在棱A4上，且= A43 (1)求证：CM∥平面BPQ: (2)求点A到平面BPQ的距离. 19.(17分) x2 y 已知椭圆C:立+尔=a>b>0)的左顶点为4(-2,0).且椭圆C过点 (1)求C的方程： (2)已知F为C的左焦点，在y轴上有两动点M(0,m),N(0,m),m>0,n<0,且MR⊥NF. (i)若△MN的外接圆与C在第-象限的交点为P,连接PN交x轴于点Q,求P巴 ON 17.(15分) (ⅱ)直线AM,AN分别与C交于点S,T,求证：直线ST恒过定点 已知A-1,0),B1,2),C0,-2),D(-1,2V3,圆M经过4，B,C三点. (1)求圆M的标准方程： (2)过点D的直线I与圆M相切，求直线1的方程 A10联盟&宿州十三校2024级高二上学期11月期中质量检测·数学（人教A版）试题第3页共4页 A10联里&宿州十三校2024级高二上学期11月期中质量检测·数学（人教A版）试题第4页共4页 AA10联盟&宿州十三校2024级高二上学期11月期中质量检测 数学（人教A版）参考答案A 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 题号 5 6 > 答案 D C B D 儿B双曲线化为5y=L,则G=15,6=L,c=16,所以焦点为4,0).故选B 2.C由两点间的距离公式得AB=√(-3-1)2+[0-(-2)]2+1-3)2=√(-4)2+22+(-2)2=2√6.故 选C 3D因为m加，抛之号-=2，成+y名放战D 7 4.C圆E的圆心坐标为(-2,6)，关于直线y=x对称的点的坐标为(6，-2)，所以圆C的方程是 (x-6)2+(y+2)2=1.故选C 5.B直线l:3x+(m-2)y+2m=0与1，：mx+y+6=0平行，则3×1-(m-2)m=0,解得 m=3或-1，经检验，当m=3时，1，l2重合，故舍去，所以m=-1满足题意.故选B. 。0因为点P到焦点的最大离为，最小跑离为3，所以仁，7，/口了 则椭圆的离心率 c=21 .故选D, 7:A因为CD=C+AB+BD,AC⊥AB,BD⊥AB,所以CD=(CA+AB+BD= C+AB+BD+2C-D,又.BD=-Ac-而=-co5背=4， 所以C可=22+32+42-8=21，故C可=V21.故选A. 8.C设P(x,y,2),由AP=2PB得(x-1)2+0y-42+(z-2V2)=4,则点P在以Q1,4,2W2） 为球心，R=2为半径的球体上，则OP的最大值为Og+R=5+2=7.故选C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 ACD BD ABD 9.ACD对于A,将圆C化为(x-3)2+(y-4)2=25,可得圆C的圆心为(3,4)，半径为5，故A正确； 对于B,将直线1化为m(3x-2y-1)-(x+y-2)=0,由 3x-2y-1=0m「x=1 得 x+y-2=0 y=1,所以直 线1恒过点E(L,1),故B错误；对于C,将圆心C(3,4)代人直线1中，得 m(3×3-2×4-1)-(3+4-2)=-5≠0，显然圆心C(3,4)不在直线1上，故C正确；对于D, 因为CE=V(3-1)2+(4-)2=√13<5，所以点E在圆C内，则直线1与圆C一定相交，故 D正确.故选ACD A10联盟&宿州十三校2024级高二上学期11月期中质量检测·数学（人教A版)参考答案第1页共6页 A 10.m对于A,因为F0,-2)为椭圆C:兰+上=10m>0的下焦点，所以m=4+-2y=8,故A ·4m 错误：对于B,椭圆C的方程为兰+二-1，则a=22,b=c=2,离心率e=9-5 故 48 B正确；对于C,因为点P 24 33 恰好为线段MN的中点，所以由椭圆中点弦斜率公式可知， 弦W的斜率km清足akom=云=-2(km为原点与点P连线的斜率），又因为 4 知=昌-2.从前w1,所以直线的方程为y专x-(号 4 即y=x+2,故C 3 错误；对于D,由直线1的方程y=x+2知直线l过上焦点(0,2)，所以△FMW周长为 4a=8√2，故D正确.故选BD. 11.ABD以D点为原点，DA,DC,DD为x,y,z轴建立空间直角坐标系Dxz,依题意设 M(x,y,0)(0≤x≤1,0≤≤1)，则D0,0,0),D(0,0,1),A(1,0,0),A(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1), 所以DM=(xy,-1),DA=(1,0,-1),AC=(-1,1,1),DD=(0,0,-1),D4=(L,0,0), DC=(01,0).对于A,有DM·AC=(x,y,-1)(-1,1,)=-x+y-1,当点M为(01,0)时， DM·AC=0,即DM⊥AC,故A正确；对于B,显然AB⊥平面ADD,则平面AD,D 的一个法向量为m=AB=(0l,0),另设平面D,AM的法向量为n=(a,b,c),则 nD=+y-0=0,令a=1,则b=,c=1,所以平面D4M的个法向量为 n.DA=a-c=0 2 a-(与若轩商如D平nw线角为号·则 1-x cos m,n>= m.n 1 y m2,即 2, 解得 当 1-xV6 4 2 满足-×=y6 故B正确；对于C,若MD与底面ABCD所成角的正切值为 y 5 即tan∠D,MD=3 ,则M点的轨迹在以D为圆心，r=DM= 2_25为半径， 53 且在底面ABCD内的圆弧上，则圆弧与底面ABCD交 两点，所以圆心角 为名，t长度为及x25=5.散C错误：对D. 639 3 cos'∠MD,D+cos∠MD4+cos'∠MDG=F+y+1+r+y++2+y+i1, 故D正确.故选ABD. A10联盟&宿州十三校2024级高二上学期11月期中质量检测·数学（人教A版)参考答案第2页共6页 A 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.2W5 由点到直线距离公式得d=2-2+10 =25 V12+(-2)2 13.19 由题意得，=3a6=1x3xos120=-所u 2a-6=4a-4a6+6=4-4x》9=i19,做2a-A=丽 14.V109 2 假设正方形边AD在平面直角坐标系的x轴上，由题意得，点P到点A的距离和到边CD的距离的比 为】，根据椭圆的第二定义（平面内与定点（焦点）和与定直线（准线）的距离的比为离心率e(0<e<1) 的点的轨迹为椭圆)，点P在以点A为右焦点，直线CD为右准线的椭圆上.设A(C,O),则准线CD a2 a2 -C=3 a=2 的方程为x=a,所以{ c ，解得 c 1 c=1,=a2-c2=3,故椭圆的标准方程为 la 2 女+上=1.结合正方形的几何约束，如图，点P的轨迹为该椭圆上满足1飞x2,-2≤0的弧段， 3 43 且4》 椭圆另一焦点为F(-1,0).由椭圆定义知， PE-PA=PE-(4-PF)=|PE+PF-4,当P,E,F三点共线时，PE+PF最短，所以 IPE+lPF-4E-4=0丽-4，放P四-P4的最小值为109 4x E B 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) (1)由题意得，椭圆C的左、右焦点分别为A(-1,0),B1,0),左、右顶点分别为E(-2,0),F(2,0),(2分) 所以双曲线C,的左、右焦点分别为E(-2,0),F(2,0),左、右顶点分别为A(-1,0),B1,0), 则有c=2,a=1,故b=3, …(5分) 而双曲线C,的方程为x片三 …（6分) A10联盟&宿州十三校2024级高二上学期11月期中质量检测·数学（人教A版)参考答案第3页共6页 A (2)因为M化，6)在双线C,上，则62-公=1，所以2=3x2-3①，…(8分) 3 所以直线AM,BM的斜率之积为k4k=业= …（11分) x0+1x0-1x02-1 把①代入整理得，kMA·kMB 3x2-1 =3,所以直线AM,BM的斜率之积为3.·（13分) x2-1 16.(15分) （1)以D点为原点，DA,DC,DD分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(6,0,6),B(6,6,0),P(6,0,2),Q(3,6,6),M(1,0,6),C1(0,6,6,…（3分) 所以C,M=(1,-6,0),BP=(0,-6,2),P2=(-3,6,4), n·BP=-6y+2z=0 设平面BPQ的法向量为n=(x,y,z）,则 …（7分) n·P9=-3x+6y+4z=0 令y=1,则x=6,z=3,所以n=(6,1,3)为平面BPQ的一个法向量， …（8分) 因为C,M·n=(1,-6,0)(6,1,3)=0,所以CM⊥n, 又C,M文平面BPQ,所以CM∥平面BPQ.…(10分) (2)由(1)知，平面BP9的-个法向量为n=(6,1,3),AB=(0,6,6, …(12分) AB.n z 6W46 D 所以由点到平面的距离公式得d= M 23 所以点4到平面BPQ的距离为V46 …（15分) 23 17.(15分) （1)依题意可设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, (-1)2-D+F=0 D=-2 由圆M经过A,B,C三点知， 12+22+D+2E+F=0 ,解得{E=0; …(4分) 12+(-2)2+D-2E+F=0 F=-3 所以圆M的方程为x2+y2-2x-3=0,其标准方程为(x-1)2+y2=4. …（6分) (2)若过点D的直线1的斜率不存在，其方程为x+1=0, 经检验恰与圆M相切，满足题意， …(9分)》 若过点D的直线1的斜率存在，且设为k,其方程为y-2√3=k(x+), 即a-y+k+2V5=0,由直线1与圆M相切知圆心M(L,0)到直线1的距离等于2， k-0+k+2W3 2k+2W3 得 =2,即 =2,解得k=-V3 …（12分) V1+k V1+k2 3 a时直线/的方程为)-25=-x+),即x+Vy-5=0 …（14分) 综上所述，直线1的方程为x+1=0或x+√3y-5=0.…（15分) A10联盟&宿州十三校2024级高二上学期11月期中质量检测·数学（人教A版)参考答案第4页共6页 A 18.(17分) (1)因为∠BAC=90°，所以AC⊥AB,因为BA⊥平面ABC,所以BA⊥AC, 因为BA∩BA=A,所以AC⊥平面ABBA,…(3分) 又因为ACC平面ACC,A,所以平面ACC,A⊥平面ABBA. …(4分) (2)因为B,A⊥平面ABC,平面ABC∥平面AB,C1,所以B,A⊥平面AB,C1,所以B,A⊥AB, 因为AB=AB=2,A4=2√2，所以AB=2. …（5分) 又由（1)知AB,AC,AB两两垂直， 所以以A为坐标原点，AB,AC,AB为x,,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz, 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),B(0,0,2), 所以A4=BB,=(-2,0,2),AC=(0,2,0),BC=(-2,2,0). …(6分)） n·AA=-2x+2z=0 设平面ACC1A的法向量为n=(x,y,z),则 n·AC=2y=0 令x=1,则y=0,z=1,所以n=(①，0,1)为平面ACCA的一个法向量，…(8分)》 BC=BB+BC =BB+BC=(-4,2,2). …（9分) 设BC与平面4CC4所成角为0，则sin9=cos<BC,n>= -2 6 V2×2W6 因为0e0引所以ca0=-sn0= …（11分) 6 (3)以三棱锥B一ABC的顶点为顶点补成正方体， 则正方体中心为三棱锥外接球球心M(1,1,1),…（12分) 所以A=(1,1),则球的半径为R=AM=V5 …（13分) AMn 2 设球心M到平面ACC,A,的距离为d,则d= =√2. …(15分) √2 设平面ACC,A截球M的截面圆的半径r,则r=√R2-d2=1, …（16分) 所以平面ACC,A截球M的截面面积为π …(17分) B 19.(17分) 《1)因为陌圆C人 ,y2 =1(a>b>0)的左顶点为A(-2,0),所以a=2, 2 又椭圆C过点 所以2 3 63 =1,解得b=√5」 A10联盟&宿州十三校2024级高二上学期11月期中质量检测·数学（人教A版)参考答案第5页共6页 A 所以椭圆C的方程为女+少=1 …(3分)》 43 (2)i)由M上N识，(-1,0)得kkw=0”=-1,所以mn=-1. …（4分) 11 显然△MN的外接圆是以MN为直径的圆， 化简得x2+y-m)y-n)=0.…(6分) x6+(。-m)y。-m)=0 设P(x,)x,>0),则 +6=1 43 消去x得 4-2-m+0%+m=0. …（7分) 化简得(y+3m)y。+3n)=0,又y>0,所以=-3n, ……（9分) 所 Pg_y2l=o_-3m=3.…(10分) ONyNI n nl (i)设直线ST的方程为x=py+q(q≠-2)，S(x,y),T(x2,y2),…（11分） x=py+g 联立王+号-1消去x整理器(3p+4到/+6pw+3对-12=0， 43 3p2+45=3g12 则%+为=3四 …（12分) 3p2+4 戈+22，k4x=业 因为飞4s=乃=m *22所以。如=子…(14分) n 72+2车即(m+2+9X+2+0=,化简得（g+2Wg-0=0. 故。少=-1 yy2 心、1 因为9≠-2，所以q=1, …(16分) 所以直线ST的方程为x=py+1,即直线ST恒过定点(1,0).…(17分) 以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分， A10联盟&宿州十三校2024级高二上学期11月期中质量检测·数学（人教A版)参考答案第6页共6页 A