19．2　二次根式的乘法与除法 同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级下册

19．2　二次根式的乘法与除法 第1课时　二次根式的乘法 知识点1　二次根式的乘法法则 1．(河北秦皇岛青龙县期末)计算×的结果为( ) A． B．7 C．3 D． 2．下面是小明和小亮的计算过程，下列判断正确的是( ) 小明：×＝＝＝＝3； 小亮：2×()＝2×＝2××＝2()2×＝10. A．只有小明的做法正确 B．两人的做法都不正确 C．小明在计算时用到了·＝(a≥0，b≥0) D．小亮在计算时用到了＝a(a≥0) 3．(江苏月考)若计算×m的结果为正整数，则无理数m的值可以是 (写出一个符合条件的即可). 4．计算： (1)×；(2)×. 知识点2　积的算数平方根 5．(河北邯郸广平县一模)与计算结果相同的是( ) A．3＋2 B．3－2 C．3×2 D．3÷2 6．式子＝·成立的x的取值范围是( ) A．x≥1 B．x＞1 C．－1≤x≤1 D．－1＜x＜1 7．＝ ． 8．(河北沧州吴桥县月考)化简： (1)；(2). 易错易混点　错用乘法法则出错 9.(山东淄博淄川区期末)下列各式化简正确的是( ) A．＝9 B．＝×＝6 C．＝2 D．＝＝ 10．下列运算正确的是( ) A．×＝ B．9×＝ C．×＝12 D．×＝6 11．(河北保定雄县月考)若·的值是整数，则n的值可以是( ) A．25 B．20 C．15 D．2 12．直角三角形的两条直角边长分别为 cm， cm，则这个直角三角形的面积为 cm2. 13．(河北模拟)计算×的结果为 ，这个数落在了数轴上的 段． 14．(1)用“＞”“＜”“＝”填空：4＋3 2，1＋ 2，5＋5 2. (2)由(1)中各式猜想m＋n与2(m≥0，n≥0)的大小，并说明理由． (3)请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200 m2的花圃，所用的篱笆至少需要 m. 【母题P7练习T1】计算： (1)×；(2)×； (3)2×；(4)×. 【变式】计算： (1)2×(－3)； (2)×2× ； (3)×18× . 15．(抽象能力)你能找出规律吗？ (1)计算：×＝ ，＝ ；×＝ ，＝ ． (2)请按找到的规律计算： ①×；②×. (3)已知a＝，b＝，用含a，b的式子表示. 第2课时　二次根式的除法 知识点1　二次根式的除法法则 1．计算：＝ ． 2．计算：(1)÷；(2) . 知识点2　商的算数平方根 3．(天津南开区期末)下列各式计算正确的是( ) A．＝ B．＝2 C．＝2 D．÷＝＝ 4．(湖北黄石月考)等式＝成立的条件是 ． 5．(河北保定竞秀区校级月考)化简： (1)；(2)；(3). 知识点3　最简二次根式 6．下列二次根式中，最简二次根式是( ) A． B． C． D． 7．把下列二次根式化成最简二次根式： (1)；(2)；(3)；(4). 易错易混点　忽视二次根式的被开方数为非负数 8．(江苏南京建邺区校级月考)如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①＝；②×＝1；③÷＝－b.其中正确的是( ) A.①② B．②③ C．①③ D．①②③ 9．计算÷×的结果是( ) A. B． C．18 D． 10．(福建泉州安溪县校级月考)有一个体积为120 cm3的长方体，它的高为2 cm，长为3 cm，则这个长方体的宽为 cm. 11．(河北唐山期末)下面是小明和大刚分别计算：×，的做法． 小明的做法： 解：×＝＝＝6，＝＝＝3. 大刚的做法： 解：×＝×3＝6，＝＝3. 两人的做法是否都正确？并选一个你认为合适的方法，计算下面的题目： (1)3×；(2). 12．(安徽阜阳太和县期末)对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b＝，如3⊕2＝＝. (1)填空：5⊕4＝ ． (2)若12⊕4＝(x－1)，求x的值． 【母题P11习题19.2T7】计算： (1)×；(2)×； (3)×÷；(4)×. 【变式】计算： (1)×÷；(2)÷×. 13．(推理能力)观察下列各式及其验证过程： 2＝， 验证：2＝＝＝＝； 3＝， 验证：3＝＝＝＝. (1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果，并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n为任意自然数，且n≥2)表示的等式，并给出证明． 学科网（北京）股份有限公司 $ 19．2　二次根式的乘法与除法 第1课时　二次根式的乘法 知识点1　二次根式的乘法法则 1．(河北秦皇岛青龙县期末)计算×的结果为(D) A． B．7 C．3 D． 2．下面是小明和小亮的计算过程，下列判断正确的是(C) 小明：×＝＝＝＝3； 小亮：2×()＝2×＝2××＝2()2×＝10. A．只有小明的做法正确 B．两人的做法都不正确 C．小明在计算时用到了·＝(a≥0，b≥0) D．小亮在计算时用到了＝a(a≥0) 3．(江苏月考)若计算×m的结果为正整数，则无理数m的值可以是(答案不唯一)(写出一个符合条件的即可). 4．计算： (1)×；(2)×. (1)×＝3. (2)×＝＝＝6. 知识点2　积的算数平方根 5．(河北邯郸广平县一模)与计算结果相同的是(C) A．3＋2 B．3－2 C．3×2 D．3÷2 6．式子＝·成立的x的取值范围是(A) A．x≥1 B．x＞1 C．－1≤x≤1 D．－1＜x＜1 7．＝． 8．(河北沧州吴桥县月考)化简： (1)；(2). (1)＝＝×＝2； (2)＝＝6. 易错易混点　错用乘法法则出错 9.(山东淄博淄川区期末)下列各式化简正确的是(D) A．＝9 B．＝×＝6 C．＝2 D．＝＝ 10．下列运算正确的是(D) A．×＝ B．9×＝ C．×＝12 D．×＝6 11．(河北保定雄县月考)若·的值是整数，则n的值可以是(B) A．25 B．20 C．15 D．2 12．直角三角形的两条直角边长分别为 cm， cm，则这个直角三角形的面积为cm2. 13．(河北模拟)计算×的结果为2，这个数落在了数轴上的④段． 14．(1)用“＞”“＜”“＝”填空：4＋3＞2，1＋＞2，5＋5＝2. (2)由(1)中各式猜想m＋n与2(m≥0，n≥0)的大小，并说明理由． (3)请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200 m2的花圃，所用的篱笆至少需要40m. (2)m＋n≥2(m≥0，n≥0).理由如下： 当m≥0，n≥0时，∵(－)2≥0， ∴()2－2·＋()2≥0， ∴m－2＋n≥0，∴m＋n≥2. (3)设花圃的长为a m，宽为b m，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200. 根据(2)的结论，可得a＋2b≥2＝2＝2＝2×20＝40， ∴篱笆至少需要40 m． 【母题P7练习T1】计算： (1)×；(2)×； (3)2×；(4)×. (1)×＝； (2)×＝×2＝2×3＝6； (3)2×＝2×××＝＝2； (4)×＝12×＝＝2. 【变式】计算： (1)2×(－3)； (2)×2× ； (3)×18× . (1)2×(－3)＝2×(－3)×＝－6＝－4； (2)×2× ＝2××＝； (3)×18× ＝×18××＝＝. 15．(抽象能力)你能找出规律吗？ (1)计算：×＝12，＝12；×＝30，＝30． (2)请按找到的规律计算： ①×；②×. (3)已知a＝，b＝，用含a，b的式子表示. (2)①×＝＝＝25； ②×＝＝＝4； (3)当a＝，b＝时， ＝＝××＝3ab. 第2课时　二次根式的除法 知识点1　二次根式的除法法则 1．计算：＝3． 2．计算：(1)÷；(2) . (1)原式＝＝＝3；(2)原式＝＝. 知识点2　商的算数平方根 3．(天津南开区期末)下列各式计算正确的是(D) A．＝ B．＝2 C．＝2 D．÷＝＝ 4．(湖北黄石月考)等式＝成立的条件是6＜x≤9． 5．(河北保定竞秀区校级月考)化简： (1)；(2)；(3). (1)原式＝；(2)原式＝＝； (3)原式＝＝＝. 知识点3　最简二次根式 6．下列二次根式中，最简二次根式是(B) A． B． C． D． 7．把下列二次根式化成最简二次根式： (1)；(2)；(3)；(4). (1)＝＝2；(2)＝＝3； (3)＝＝；(4)＝＝. 易错易混点　忽视二次根式的被开方数为非负数 8．(江苏南京建邺区校级月考)如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①＝；②×＝1；③÷＝－b.其中正确的是(B) A.①② B．②③ C．①③ D．①②③ 9．计算÷×的结果是(B) A. B． C．18 D． 10．(福建泉州安溪县校级月考)有一个体积为120 cm3的长方体，它的高为2 cm，长为3 cm，则这个长方体的宽为2cm. 11．(河北唐山期末)下面是小明和大刚分别计算：×，的做法． 小明的做法： 解：×＝＝＝6，＝＝＝3. 大刚的做法： 解：×＝×3＝6，＝＝3. 两人的做法是否都正确？并选一个你认为合适的方法，计算下面的题目： (1)3×；(2). 两人的做法都正确， (1)3×＝3××＝9； (2)＝＝＝. 12．(安徽阜阳太和县期末)对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b＝，如3⊕2＝＝. (1)填空：5⊕4＝3． (2)若12⊕4＝(x－1)，求x的值． (2)∵12⊕4＝＝＝， ∴＝(x－1)，解得x＝. 【母题P11习题19.2T7】计算： (1)×；(2)×； (3)×÷；(4)×. (1)原式＝＝1.2；(2)原式＝＝； (3)原式＝÷＝＝15；(4)原式＝＝. 【变式】计算： (1)×÷；(2)÷×. (1)原式＝＝8； (2)原式＝÷×3＝××3＝9. 13．(推理能力)观察下列各式及其验证过程： 2＝， 验证：2＝＝＝＝； 3＝， 验证：3＝＝＝＝. (1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果，并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n为任意自然数，且n≥2)表示的等式，并给出证明． (1)4＝. 验证：4＝＝＝＝. (2)n＝. 证明如下： n＝＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $