云南昆明市嵩明县第四中学等校2025-2026学年高二下学期期中质量检测数学试题

2025一2026学年（下）期中质量检测 高二数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在 答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规 定的位置贴好条形码。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案 写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求。 1.已知集合A={x(x-2)(x-4)≤0，B=红2,3,4，则A∩B= A.1,2,3} B.{1,3,4 C.{1,2,4} D.{2,3,4} 2.已知复数二满足z1+)=22,则二的虚部为 A.-1 B.1 C.-i D.i 3.设是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，了四=x+,则) A.3 4 B.- 4 C. D.4 4.已知0为坐标原点，点41，v同，将A绕点0逆时针方向旋转写得到O,则a-西的 模等于 A.2W5 B.2√2 C.2 D.4 5.已知等比数列{a}的前n项和为S,若8S%=7S3,则公比q= A.q=2 B.g月 C.q=-2 D.g=月 6。已知m(a+刷-专m(e-)-,则细g anB的值为 A.-2 B.2 C.-3 D.3 高二·数学试卷·第1页（共4页) 7.五一小长假期间，某旅游公司为助力昆明旅游事业的发展，计划将2名金牌导游和5名银 牌导游分别派往滇池、石林、民族村三个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有银牌 导游前往，则不同的分配方法种数有 A.360 B.640 C.1350 D.1440 8.己知正方体ABCD-AB,CD的棱长为√3，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则球面 与正方体的表面相交所得到的曲线的长为 C.2π D.3π 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数∫(x)=x-3x,则下列说法正确的是 A.曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=-3x B.f(x)的极大值点为1 C.f(x)的对称中心为(0,0) D.方程f(x)=a有三个不同实根时，a∈[-2,2] 10.如图是一个由直三棱柱与半个圆柱拼接而成的简单组合体，AA⊥底面ABC,AB⊥AC, 且AB=AC=2,A4=4,P为该组合体曲面部分上一动点，下列结论正确的是 A.存在点P,使得BP/IAC A B.三棱锥P-ABB体积的最大值为1+V② C.当PAL平面4BC时，直线PA与底面ABC所成角的正弦值为3 A C D.一质点从点B沿着该组合体表面运动到C1的最短距离为V16+2π 11.己知抛物线C:y=4x的焦点为F,过F作两条互相垂直的直线11，，1与C交于P、2 两点，1，与C交于M,N两点，线段PQ的中点为G,线段MN的中点为H,则 A.当直线4的斜率为5时.P阳=9 B.当P=22F时，MW=36 C.P9+W的最小值为18 D.△FGH的面积最小值为4 高二·数学试卷·第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 在 的展开式中，x的系数为 13. 已知双曲线C等若-1Q>0b>0)的右焦点为R,A是c右支上一点，A关于原点的对 称点分别为B,满足∠AFB=120°，且BF=3AF,则双曲线C的离心率为 5π 14.设A,B,C是函数f(x)=cOS@X(o>0)与函数g(x)=sin -x(0>0)的图象连续相邻 6 的三个交点，若△ABC是钝角三角形，则ω的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 区(I3分)已知数列a}满足a4a2z2+ (1)求证：数列 是等差数列，并求数列{a}的通项公式： (2)若b=aaH,求数列{地}的前n项和Tn 16.(15分)在△ABC中，bsinA=asim2B. (1)求∠B的大小： (2)若α=8，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在，求△ABC的面积. 条件①：BC边上中线的长为√21； 条件②：c0s4=- 2 条件③：b=7. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分：如果选择多个符合要求的条件 分别解答，按第一个解答计分. 高二·数学试卷·第3页（共4页） 17.(15分)如图所示，在三棱锥P-ABC中，底面是边长为4的正三角形，PA=2, PB=PC=2√5，点E为AC的中点. (1)求证：BE⊥平面PAC: (2)在线段PB上是否存在点G,使得直线AG与平面PBC所成角的正弦值为15？若存 在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由. 7分)已知椭圆E:总+6京a>6>0的离心率为，且椭圆 61 22 过左焦点F且与x轴不重合的直线l交E于A,B两点. (1)求椭圆E的标准方程： (2)若在x轴上存在异于F的定点Q,使得直线QA与直线QB的斜率比值为定值， ①求定点O的坐标： ②求△ABO面积的最大值. 19.(17分)已知函数f(x)=e-a(x-1). (1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线1经过点(2,0)，求a的值： (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求α的取值范围： (3)若四有两个不同的零点x,,证明：+上>1. XX2 高二·数学试卷·第4页（共4页） 2025一2026学年（下）期中质量检测 高二数学参考答案及评分标准 二、选择题 题号 1 5 8 9 10 11 答案 B A B AC ABC ABD 三、填空题 12.10 13.6 14. 0, 2 四、解答题： 150证明：显然a0,对a1一2两边同时取倒数， 24+1 得1-2a+1-1+2,即11=2,3分 C41+1 an Ch an+1 an 所以数列 是公差为2的等差数列， .4分 又a- 所以 1=1+0-2)×2=2n, 所以an= 2n 7分 (2)解：由已知得b=1,1。=，1=1已1 2n2n+24n(n+1)4nn+1 0,9分 则数列{bm的前n项和 z-aG3学 .11分 4(n+1) ……13分 16.【解】(1)由bsinA=asin2B 在△ABC中，由正弦定理得sinAsinB=2 sinAsinBcosB, 因为siA>0,siB>0,所以cosB= 4分 区0<B<元，所以B=牙 …6分 (2)选条件①：BC边上中线的长为√21： 高二·数学·答案·第1页共6页 设BC边中点为M,连接AM,则AM=√21，BM=4, 在△ABM中，由余弦定理得AM2=AB+BMP-2AB·BM·COSB, 即21=AB2+16-8ABco83 整理得AB2-4AB-5=0,解得AB=5或AB=-1（舍)，… .10分 所以△A8c的面积为Sc号4B-8Cm8-5x8n子-105 …13分 B M 选条件③：b=7: 在△ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2-2acc0sB,即72=82+c2-16ccos 3 整理得C2-8C十15=0，？解得C=3或C=5,9分 当c=3时，△ABC的面积为S.4ac=}acsinB=×8x3in元=6V5. 1 2 2 3 1 当c=5时，△ABC的面积为S△4BC= csnB=×8x5in7-105.13分 2 2 3 不可选条件②，理由如下： 若c0s4=- 2 故A为钝角，则sin4 3 则b=sinB 2-125,2=432>d,即b>a, sinA 5 5 其与A为钝角矛盾，故不存在这样的△ABC 如果选择条件②，需要重新选择条件①或者条件③解答，使△ABC存在，满足题目条件， 否则第二问给0分。 17.(I)证明，△ABC是正三角形，E为AC的中点，.BE⊥AC.2分 又因为PA2+AB2=PB2,PA2+AC2=PC2, 高二·数学·答案·第2页共6页 所以PA⊥AB,PA⊥AC,又因为AB∩AC=A 所以PAL平面ABC,又因为BEC平面ABC,4分 .PA⊥BE 5分 ,PA几AC=A,A,ACC平面PAC, .BE⊥平面2AC… 7分 (2)解：存在 取PC的中点F,由(I)及己知得PA⊥BE,PA⊥AC, ,点E,F分别为AC,PC的中点， .EF∥PA,.EF⊥BE,EF LAC 又BE⊥AC,∴EB,EC,EF两两垂直. 以E为坐标原点，以EB,EC,EF所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图 所示， 则A(0,-2,0),P(0,-2,2),B(23,0,0),C(0,2,0),9分 B2=(-23,-2,2),AB=(23,2,0). 设B元=B2=(-231,-2,20,1∈[0,1]， AG=AB+BG=(23(1-),2(1-),2), B元=(-23,2,0)，P元=(0,4，-2)， 设平面PBC的法向量为=(x,y,Z),10分 mB元=0，∫-23x+2y=0, 则mp元=0， 即4y-2z=0, 令x=1,则y=V3,z=2W3, .n=(1,V3,2V3)… 12分 由已知得15_A衣 54AG川 高二·数学·答案·第3页共6页 即V15 4V3 54V16(1-1)2+422 解得-减数-尚舍去改1 2 ，14分 .存在满足条件的点G,点G为PB的中点. .15分 a2+ =1 18解：(1)由题意知，离心率为V 6 1 b2 经过点 22 则 c√2 ,2分 2 a 2 a2=b2+c2 a=v2 解得b=1, 所以椭园E的标准方程为父+y少=1。 4分 c=1 (2)①由题意可设A(x,),B(x2,y2),2(t,0)(t≠-1)， 设直线1的方程为X=y-1,5分 x=y-1 联立 x2+2y2=2'得(m+2)y2-2-1=0, 则为+乃3= m+2’儿ym+2得乃+为=-2%，7分 -1 记直线QA的斜率为k1,直线QB的斜率为k, 则车=当-当-0=4，-】-0-m-0+0y-8+20y+2 k3y为2(-t)乃(0y-1-t)%当-1+)24+(3+20y x-i 要 32公解得1=2减1=-1（合去.此时套-1，…10分 为定值，则3+2=，， k k 故在x轴上存在异于点F的定点Q(-2,0),使得直线QA与直线QB的斜率比值为定值. .11分 2m -1 ②由①可得乃+= m2+2’乃5= m+2’(-2,0 则y-y=0+为)}-4yy= 4m2 422Vm2+1 (m2+2)2m2+2-m2+2 13分 由S.ae=Sap+Sm, 高二·数学·答案·第4页共6页 故S4e= k小号 15分 m2+2 √2 Vm2+1+ 1 2 Vm2+1 当且仅当m=0时等号成立，所以△ABQ面积的最大值为 17分 2 B 19.(1)解因为1)=e,则点P1,e 因为f(x)=ex-,则f1)=ea. 2分 据题意，切线1经过点A(2,0),则直线PA的斜率是f1), e 即e=12e所以a-=2e… .4分 (2)解若≤0，因为e>0,则f)>0,x)在R上单调递增，x)无极值，不符合题意 5分 若a>0,令fx)>0,得x>lna令fw)<0,得x<lna 则x)在(na,+o)内单调递增，在(-o,ln内单调递减， 所以X=ha为)的极小值点6分 由已知，flna)<0,即eaa(lna-1)=a-alna-1)=a(2na<0, 从而2n0,即lna>2,得心e2, 所以a的取值范围是(e2,十0.8分 (3)证明由己知x1)=x2)=0, 即=a-两式相乘，得ee=ar-l-1)。 {e2=a(2-1). 即e1+2=d2(x1x2-x1-x2+1), 所以+1 因为当0时x)在R上单调递增，x)至多1个零点，不符合题意，则a>0 .10分 因为a(x1-1)=e1>0,则x1>1;同理x2>1, 高二·数学·答案·第5页共6页 要证2+1，即证x1+x>x1w2, 12 即证x1x2-(x1+x2)0, 只要证1<0，即证e<d, 即证x1+x2<2lna, 即证X2<2naX113分 不妨设x1<x2,由(2)知，x1<lnax2,则2lnax1>na 因为fx)在(na+o)内单调递增， 只要证fx)<2nax), 即证fx1)2ax1). 设hw)=fx)2nax),… .15分 hx)-(x)+f(2ln a-x)-e+eax-2a-e+2e2ex.2a=0. ex ex 所以(x)在R上单调递增 因为x1<na,则h(x)<lna=n a)fn a=0, 即x1)2lnax1)<0, 即fx1)2hax1),… …17分 所以原不等式成立 高二·数学·答案·第6页共6页