精品解析：云南省昆明市嵩明县2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

2023-2024学年高二下学期期中考试 数学试卷 一､单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 3 2. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 若为第三象限角，，则（ ） A. B. C. D. 4. 同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用表示红色骰子的点数，表示绿色骰子的点数，设事件“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的是（ ） A. A与对立 B. C. A与相互独立 D. 与相互独立 5. 尿酸是鸟类和爬行类的主要代谢产物，正常情况下人体内的尿酸处于平衡的状态，但如果体内产生过多来不及排泄或者尿酸排泄机制退化，则体内尿酸滞留过多，当血液尿酸浓度大于7mg/dL时，人体体液变酸，时间长会引发痛风，而随低食物（低嘌呤食物）对提高痛风病人缓解率、降低血液尿酸浓度具有较好的疗效．科研人员在对某类随低食物的研究过程中发现，在每天定时，定量等特定条件下，可以用对数模型描述血液尿酸浓度（单位：mg/dL）随摄入随低食物天数t的变化规律，其中为初始血液尿酸浓度，K为参数．已知，在按要求摄入随低食物50天后，测得血液尿酸浓度为15，若使血液尿酸浓度达到正常值，则需将摄入随低食物的天数至少提高到（）（ ） A. 69 B. 71 C. 73 D. 75 6. 已知双曲线的左右焦点分别为为上一点，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 云南民族村自建成以来，以生动鲜活的形态，展示了云南各民族的建筑艺术､歌舞服饰､文化风情､宗教信仰和生活习惯.在即将到来的五一假期，预计需要安排6名工作人员去三个不同的民族景点辅助宣传民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是（ ） A. 360 B. 450 C. 540 D. 1020 8. 下列命题正确的有（ ）个 ①若数列为等比数列，为其前项和，则成等比数列； ②若数列为等差数列，则为等比数列； ③数列满足：，则 ④已知为数列的前项积，若，则数列的前项和 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二､多选题（每小题6分，共18分；全部选对6分，部分选对3分，错选0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于中心对称 B. 在区间上单调递增 C. 在上有4个零点，则实数的取值范围是 D. 将的图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象 11. 棱长为2的正方体中，点在底面内运动，点是棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 过点在平面内一定可以作无数条直线与垂直 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 若点到直线的距离为，则点的轨迹为一个椭圆的一部分 三､填空题（每小题5分，共15分） 12. 若复数，则_______. 13. 在中，，则的外接圆面积为__________. 14. 已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且，若，则不等式的解集为__________. 四､解答题（本大题共个小题，共77分） 15. 已知数列是公差不为0的等差数列，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，设数列的前项和为，求. 16. 如图，在三棱台中，H在AC边上，平面平面，，，，，. （1）证明：； （2）若且的面积为.求与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程 （2）若时，恒成立，求实数的取值范围. 18. 平面上一动点满足． （1）求P点轨迹的方程； （2）已知，，延长PA交于点Q，求实数m使得恒成立，并证明：为定值 19. 设是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合具有性质；若对于任意的，都有，则称集合具有性质. （1）写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合，并证明； （2）若非空实数集具有性质，求证：集合具有性质； （3）设全集，是否存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质？若存在，写出这样的一个集合；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年高二下学期期中考试 数学试卷 一､单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心并将其代入直线即可得解. 【详解】由得， 则圆心坐标为，又因为圆关于直线对称， 故由圆的对称性可知：圆心在直线上， 则. 故选：D. 2. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将已知条件化为，则，通过基本不等式即可求解. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时取等号，最小值为. 故选：B. 3. 若为第三象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系及二倍角的正弦公式求解即可. 【详解】由题意知，为第三象限角 所以， 所以， 故选：C 4. 同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用表示红色骰子的点数，表示绿色骰子的点数，设事件“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的是（ ） A. A与对立 B. C. A与相互独立 D. 与相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：根据对立事件概念分析判断；对于B：事件的运算结合古典概型运算求解；对于CD：根据古典概型结合独立事件的概念分析判断. 【详解】由题意可知：， 对于选项A：事件“”，事件“为奇数”， 例如，则，不为奇数， 即A事件和事件可以同时不发生，所以A事件与事件不对立，故A错误； 对于选项B：样本空间共个样本点， 且，共个样本点，所以， ，共个样本点，， ，共个样本点，， 则，所以，故B错误； 对于选项C：因为，所以与不相互独立，故D错误； 对于选项D：因为，则， 且，可得， 所以与相互独立，故C正确． 故选：C． 5. 尿酸是鸟类和爬行类的主要代谢产物，正常情况下人体内的尿酸处于平衡的状态，但如果体内产生过多来不及排泄或者尿酸排泄机制退化，则体内尿酸滞留过多，当血液尿酸浓度大于7mg/dL时，人体体液变酸，时间长会引发痛风，而随低食物（低嘌呤食物）对提高痛风病人缓解率、降低血液尿酸浓度具有较好的疗效．科研人员在对某类随低食物的研究过程中发现，在每天定时，定量等特定条件下，可以用对数模型描述血液尿酸浓度（单位：mg/dL）随摄入随低食物天数t的变化规律，其中为初始血液尿酸浓度，K为参数．已知，在按要求摄入随低食物50天后，测得血液尿酸浓度为15，若使血液尿酸浓度达到正常值，则需将摄入随低食物的天数至少提高到（）（ ） A. 69 B. 71 C. 73 D. 75 【答案】D 【解析】 【分析】代入得，设浓度为7mg/dL时，摄入天数为，则有，通过作差解出即可. 【详解】由函数模型，当时,, 可得,即①. 设血液尿酸浓度达到正常值7mg/dL时，摄入天数为, 则，即②, ②①得，即，则. 故选：D. 6. 已知双曲线的左右焦点分别为为上一点，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取线段的中点，连接，根据已知条件得为等腰三角形，则，,设，则，再由即可计算. 【详解】如图，取线段的中点，连接， 因为， 所以为等腰三角形， 所以，且， 所以 ， 设，则， 所以的离心率 . 故选：D. 7. 云南民族村自建成以来，以生动鲜活的形态，展示了云南各民族的建筑艺术､歌舞服饰､文化风情､宗教信仰和生活习惯.在即将到来的五一假期，预计需要安排6名工作人员去三个不同的民族景点辅助宣传民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是（ ） A. 360 B. 450 C. 540 D. 1020 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论人数之比为，根据平均分组或部分平均分组结合排列数、组合数运算求解. 【详解】由题意可知：三个景点安排的人数之比为或或，则有： 若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法； 若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法； 若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法； 故不同的安排方法种数是. 故选：C. 8. 下列命题正确的有（ ）个 ①若数列为等比数列，为其前项和，则成等比数列； ②若数列为等差数列，则为等比数列； ③数列满足：，则 ④已知为数列的前项积，若，则数列的前项和 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据特例判断A，由等比数列的定义判断B，根据特例判断C，根据等差数列的定义及求和公式判断D. 【详解】对于①：设等比数列的公比为， 若，则，可得， 则，故不是等比数列，①错误； 对于②，设等差数列公差为，则， 则是个常数，所以为等比数列，故②正确； 对于③，依题意，，它不满足，③错误； 对于④，，当时，，即，解得， 当时，，于是，即， 数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以数列的前项和，④正确. 故选：B 二､多选题（每小题6分，共18分；全部选对6分，部分选对3分，错选0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系判断各个选项. 【详解】对于A，空集是任何集合的子集，所以，故A错误； 对于B，0属于集合，故B正确； 对于C，属于集合，故C正确. 对于D，空集是任何集合的子集，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于中心对称 B. 在区间上单调递增 C. 在上有4个零点，则实数的取值范围是 D. 将的图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象 【答案】AD 【解析】 【分析】不妨设，根据图象求得函数的解析式，逐项验证即可. 【详解】不妨设，则， 解得．又， 所以， 解得，， 取符合条件的的一个值，不妨令， 则． 对于A选项，因为． 所以的图像关于中心对称，故A选项正确； 对于B选项，令， 解得， 所以的单调递增区间为: ， 取，得的一个单调递增区间为． 因为， 所以在上不具有单调性，故B选项错误； 对于C选项，因为， 所以， 所以，解得， 故C选项错误； 对于D选项，将的图象向右平移个单位长度得到: 的图象， 故D选项正确， 故选:AD． 11. 棱长为2的正方体中，点在底面内运动，点是棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 过点在平面内一定可以作无数条直线与垂直 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 若点到直线的距离为，则点的轨迹为一个椭圆的一部分 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，当点在处时，过点只能作一条直线，即可判断；对于B，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可求解；对于C，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式即可求解；对于D，根据到直线的距离为，得到的轨迹是以为对称轴的圆柱与底面的截面，即可判断. 【详解】对于A，当点在处时，过点只能作一条直线，故A错误； 对于B，以为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设异面直线与所成角为，则，故B错误； 对于C，， 设面的法向量，点到平面的距离为， 则，令，解得，， 故，由点到平面的距离公式得，故C正确； 对于D，因为点到直线的距离为， 所以点的轨迹是以为对称轴的圆柱， 而点又在底面上，底面与对称轴不垂直， 因此点在底面与圆柱的截面上，此截面必为椭圆的一部分，故D正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量的线线夹角、点线距及截面，解题关键是要掌握线线向量夹角公式及线面距的公式. 三､填空题（每小题5分，共15分） 12. 若复数，则_______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数的除法法则得到，得到共轭复数，并利用模长公式求出答案. 【详解】由，得， 所以，所以. 故答案为： 13. 在中，，则的外接圆面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，根据余弦定理得，再由计算外接圆半径即可. 【详解】根据题意，， 由余弦定理得， 因为，则， 由正弦定理得，即， 所以的外接圆面积为. 故答案为：. 14. 已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且，若，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由，可构造函数，结合导数可得在上单调递减，由的性质及，结合所求不等式，可转化为且解，结合单调性即可得. 【详解】，则， 故在上单调递减， 因为， 故有， 即有，则， 即，则，故为周期为8的周期函数， 由，故， 由，故， 即，故， 即有，则， 对，有，即有， 由在上单调递减，故， 即不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题关键在将所求解不等式，通过题目所给条件，构造函数，从而将其转化为解，结合的单调性即可得. 四､解答题（本大题共个小题，共77分） 15. 已知数列是公差不为0的等差数列，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，设数列的前项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及等比中项列出方程组求出首项与公差，即可得解； （2）利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 因为成等比数列， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 所以， 所以. 16. 如图，在三棱台中，H在AC边上，平面平面，，，，，. （1）证明：； （2）若且的面积为.求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明如下： 因为，在中，由余弦定理可得 ， 解得， 所以，即， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，平面， 所以平面， 由平面，所以， 又因为， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理和勾股定理证明，再由线面垂直的判定定理证明平面即可证明； （2）由三棱台的几何关系求出，再建立空间直角坐标系，找到平面的一个法向量为，再由线面角的向量公式求出即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，，，， 所以， 又， 所以， 由（1）知平面，则以为原点，的方向为轴，建立如图所示的坐标系， 点的纵坐标为，横坐标为， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则， 令，则平面的一个法向量为， 设与平面所成的角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 17. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程 （2）若时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算出，求导，得到，利用导数的几何意义得到切线方程； （2）求导，分和两种情况，得到函数单调性和最值，得到，构造，求导并研究其符号，即可求结果. 【小问1详解】 时，， 所以，故切点为， 所以，即切线的斜率为1； 所以切线的方程为； 【小问2详解】 ，时，， ①当时，在区间上单调递增， 所以满足条件； ②当时，当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 故恒成立； 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 所以，故不能恒成立，故不合题意； 综上所述，实数的取值范围为. 18. 平面上一动点满足． （1）求P点轨迹的方程； （2）已知，，延长PA交于点Q，求实数m使得恒成立，并证明：为定值 【答案】（1） （2）当时，有成立． 此时，由对称性知，，而， 为定值． 【解析】 【分析】（1）利用圆锥曲线的定义即可得曲线方程，但要注意只有双曲线右支； （2）先得到特殊情况时的值，再证明其对一般情况也适用. 【小问1详解】 由题意可得，动点P到定点的距离比到定点的距离大2， 由双曲线的定义，P点轨迹是以，为焦点的双曲线的左支， 设，则，，， 所以的方程为． 【小问2详解】 如图，不妨设点P在第二象限， ①当的斜率不存在时， ，令，解得，则，此时， 在中，，，即， ②当的斜率存在时，令的倾斜角为，的倾斜角为，则，， 假设成立，即，则有，即． 又，，又点P的坐标满足，即， ， ，假设成立， 综上，当时，有成立． 此时，由对称性知，，而， 为定值． 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是采用由特殊到一般，先猜后证的思想，先得到直线斜率不存在时，然后通过二倍角得正切公式证明一般情况即可. 19. 设是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合具有性质；若对于任意的，都有，则称集合具有性质. （1）写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合，并证明； （2）若非空实数集具有性质，求证：集合具有性质； （3）设全集，是否存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质？若存在，写出这样的一个集合；若不存在，说明理由. 【答案】（1），证明：恰含有两个元素且具有性质的集合； 证明：； （2）证明：若集合具有性质，不妨设，由非空数集具有性质，有. ①，易知此时集合具有性质. ②数集只含有两个元素，不妨设， 由，且，解得：，此时集合具有性质. ③实数集含有两个以上的元素，不妨设不为1的元素， 则有，由于集合具有性质， 所以有，这说明集合具有性质； （3）不存在，理由：不存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质， 由于非空实数集具有性质，令集合， 依题意不妨设， 因为集合具有性质，所以， 若，则， 因为非空实数集具有性质，故，这与矛盾， 故集合不是单元素集， 令，且， ①，可得，即，这与矛盾； ②，由于，所以，因此，这与矛盾 综上可得：不存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质. 【解析】 【分析】（1）根据题意直接写出根据定义证明即可； （2）根据性质可知，分别说明集合中元素为1个、2个、大于2个时，集合中元素满足性质即可； （3）令集合，设，可得，令，且，①， ，这与矛盾；②，得，因此，这与矛盾综上可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，逻辑推理，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $