四川南充市南部县第二中学2025-2026学年九年级下学期5月阶段数学试题

**基本信息** 立足九年级学情，融合地方发展数据、《九章算术》文化及红色课程等真实情境，梯度覆盖代数、几何、统计核心知识，突出数学眼光与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|科学记数法、三角尺旋转、统计量|结合南部县GDP数据考查数感，三角尺摆放体现空间观念| |填空题|6/24|分式方程、扇形面积、概率|阴影面积计算融合旋转与圆，考查几何直观| |解答题|9/86|二次函数综合、圆切线证明、利润问题|23题粽子销售建模体现应用意识，25题抛物线探究发展创新意识|

2025-2026学年度九年级下册5月学情检测 数 学 试 题 （满分150分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，将一副三角尺按如图所示方式摆放， 则的度数是 （ ） A．15° B．20° C．30° D．45° （2T图） （6T图）（7T图） 3 ．从“传统粮仓”到产业新城，紧跟时代发展的潮流，南部县紧扣“建设先行区、争创百强县”奋斗目标，锚定“工业强县、产业兴县”发展战略，深入推进“三件大事”，全力以赴拼经济、搞建设．在2025年，南部县全年地区生产总值为490.1亿元．数据“490.1亿”用科学记数法表示为（ ） A ． B ． C ． D ． 4 ．某医院开展了主题为“抗击疫情，迎战硝烟”的医生技能比赛活动，决赛中7名医生的成绩（单位：分）分别为：93，85，88，93，92，93，92，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 93，93 B. 92，93 C. 92，92 D. 93，92 5．《九章算术》中记载这样一个问题：“今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉；上禾七秉，损实二斗五升，当下禾五秉．”翻译后的大致意思：5捆上等稻子少结1斗1升稻谷，相当于7捆下等稻子结的稻谷；7捆上等稻子少结2斗5升稻谷，相当于5捆下等稻子结的稻谷，问上等稻子和下等稻子1捆分别能结多少稻谷（1斗＝升）？设上等稻子和下等稻子1捆分别能结稻谷x升和y升，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 6．如图，是圆周上一点，点 与数轴上数2对应的点重合．假设该圆的直径为1个单位长度，若将该圆按如图所示的方向无滑动滚动一圈，点恰好与数轴上点A′重合，则点A′对应的实数是（ ） A． B． C． D． 7．如图，将实线正六边形绕着点逆时针旋转到虚线位置，旋转角为 （ ） A． B． C． D． 8．已知，则的值是（ ） A． B．7 C．1 D． 9．如图，点在上，，延长交于点，，，则的长是（ ） A． B． C． D． （9T图） （14T图） （16T图） 10．在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，点 在抛物线上，点在抛物线上.当，时,总有,则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 请将答案填在答题卡对应的横线上． 11．化简：___▲___． 12．将2本艺术类、4本文学类、6本科技类的书籍混在一起．若小陈从中随机抽取一本，则抽中文学类的概率为__▲__． 13．已知不等式组的解集为则的值等于__▲___． 14．如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与边交于点，将 绕点旋转后点与点恰好重合，则阴影部分的面积为__▲__． 15． 若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为__▲__． 16． 已知正方形由四个全等直角三角形和一个小正方形组成，且满足． 过点作的垂线交 的延长线于点 ，连接交延长线于点．下列结论： ①；②；③；④其中，正确结论的有__▲__. 3、 解答题（本大题共9个小题，共86分） 17．（8分） 计算：． 18.（8分）已知：如图，，，，若，，． （1）证明：△≌△ （2）求与的周长的和. 19.（8分） 南部县，一个承载着红色记忆的地方．这里曾是革命先烈浴血奋战的热土，也是红色文化生生不息的摇篮．某校为传承红色基因、弘扬本土文化，计划在课后服务中开设 4 门红色主题特色课程：A、红色经典诵读；B、红色主题剪纸；C、红色歌曲传唱；D、红色故事宣讲．学校随机抽取部分学生进行调查，要求学生从 4 门课程中只选择一门自己最喜爱的课程，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）在扇形统计图中，所对应的圆心角度数为__▲__,并补全条形统计图； （2）该校共有2000名学生，请你估计选择“B、红色主题剪纸 ”课程的学生有多少人？ （3）小明和小华打算从四个课程中各自选择一门课程，请用列表或画树状图的方法求出小明和小华所选的课程相同的概率． 20．（10分）已知关于x的一元二次方程 (1)若该方程有一个根是，求k的值． (2)若该方程的两个实数根满足， 求k的值． 21．（10分）如图1，点是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点．已知直线交坐标轴于点、，连接、． (1)求反比例函数表达式，并求出一次函数的表达式； (2)如图2，E是线段上一点，作轴于点D，过点E作，交反比例函数图象于点，若，求出点的坐标． 22．（10分） 如图，∆内接于⨀，是⨀的直径，于点，，． （1）求证：是⨀的切线； （2）若，求⨀的半径． 23．（10分） 端午节是我国的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上每盒豆沙粽的进价比猪肉粽的进价便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽的盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒，每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． (1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； (2)在销售猪肉粽的过程中，若猪肉粽每盒的售价不得低于进价，且要保证每天至少售出70盒猪肉粽，求该商家每天销售猪肉粽能获得的最大利润． 24．（10分） 已知边长为的正方形的对角线交于点，边所在的直线上有两个动点、，，和交于点． (1)如图1，当点运动到线段上时，和交于点，求的值； (2)在（1）的条件下，当时，求的长； (3)如图2，图3，若所在直线与所在直线交于点，所在直线与所在直线交于点，和的数量关系和位置关系为______，当点为的三等分点时，______．（直接写出答案，不写过程） 25.（12分） 如图1，抛物线：与轴相交于两点，与y轴相交于点，经过点的直线交该抛物线于另一点. （1）求该抛物线的表达式; （2）如图2，当点与点重合时，在直线上方的抛物线上任意取一点，连接，交直线于点．是否存在点使？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． (3）如图3，经过点不同于的另一直线交该抛物线于另一点．当均为轴上方抛物线上的两点（点在点的左边）时，直线与y轴分别相交于点．若，试探究是否存在定点在直线上，若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 数学试题第 1 页（ 共 5 页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度九年级下册5月学情检测 数学试题 (满分150分，时间120分钟) 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1.下列运算正确的是() A.6.x+2x=8x2 B.7x-2x=5x C.4x.2x=8x D.3x2x号 2.如图，将一副三角尺按如图所示方式摆放，EF∥AD,∠CAB=∠EDF=90°， ∠C=45°，∠EFD=30°，则∠BFD的度数是() A.15 B.20° C.30° D.45° (2T图) .(6T图) (7T图) 0 12 3·从“传统粮仓”到产业新城，紧跟时代发展的潮流，南部县紧扣“建设先行区、争创百强县” 奋斗目标，锚定“工业强县、产业兴县”发展战略，深入推进“三件大事”，全力以赴拼经济、 搞建设.在2025年，南部县全年地区生产总值为490.1亿元.数据“490.1亿”用科学记数法表 示为() A.4.901×100B.4.901×109 C.49.01×109 D.0.4901×1010 4·某医院开展了主题为抗击疫情，迎战硝烟的医生技能比赛活动，决赛中7名医生的成绩（单 位：分)分别为：93,85,88,93,92,93,92，则这组数据的中位数和众数分别是() A.93,93 B.92,93 C.92,92 D.93,92 5.《九章算术》中记载这样一个问题：“今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉：上禾七秉， 损实二斗五升，当下禾五秉.”翻译后的大致意思：5捆上等稻子少结1斗1升稻谷，相当于7 捆下等稻子结的稻谷；7捆上等稻子少结2斗5升稻谷，相当于5捆下等稻子结的稻谷，问上等 稻子和下等稻子1捆分别能结多少稻谷(1斗=10升)？设上等稻子和下等稻子1捆分别能结稻 谷x升和y升，则可列方程组为() 5x+11=7y 5y-11=7x 5x-11=7y 5y=7x-11 A. B. 7x+25=5y 7y-25=5x C. 7x-25=5y D. 7y=5x-25 6.如图，A是圆周上一点，点A与数轴上数2对应的点重合.假设该圆的直径为1个单位长度， 若将该圆按如图所示的方向无滑动滚动一圈，点A恰好与数轴上点A′重合，则点A'对应的实 数是() A.π-2 B.-π-2 C.-2π-3 D.-π+2 7.如图，将实线正六边形绕着点A逆时针旋转到虚线位置，旋转角为() A.60° B.90° C.120° D.150° 8已知号云则)的省是(） A.月 B.7 C.1 D.} 数学试题第1页（共4页) 9.如图，点A,B,C在OO上，∠ABC=45°，延长CO交AB于点D,OC=√3OD,AB=3√2，则BC 的长是（) A.1+23 B.5+6 C.3+3 D.35 (9T图) D (14T图) (16T图) 0 10.在平面直角坐标系中，将抛物线C:y=ax2-2ax(a>0)向右平移2个单位长度得到抛物线C, 点A兰，)在抛物线C上，点B(,为)在抛物线C:上当1-2a,5<x<6时，总有>则a的 取值范围是() A号a1 5 B,?≤a≤3 C. ≤a≤3 D.1≤a≤2 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 请将答案填在答题卡对应的横线上· 11.化简：3a2-a(2a-1)=▲ 12.将2本艺术类、4本文学类、6本科技类的书籍混在一起.若小陈从中随机抽取一本，则抽中 文学类的概率为▲· -26>3的解集为-1<x<1,则a+1+1)的值等于▲ 「2x-a<1 13.已知不等式组 14.如图，在Rt△4BC中，∠ACB=90°，AC=2W3,以点C为圆心，CB的长为半径画弧，与AB边交 于点D,将BD绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则阴影部分的面积为▲· 15。若关于x的分式方程，二1=的解为非负数，则m的取值范国为▲ 16.已知正方形ABCD由四个全等直角三角形和一个小正方形MENF组成，且满足AE=2BE. 过点D作DF的垂线交EF的延长线于点G,连接CG交BW延长线于点H.下列结论： ①DG=Dr:②HG=2CH:③an∠DCG=3-5,④CG=30其中，正确结论的有▲ 7 BH 7 三、解答题（本大题共9个小题，共86分） 17.(8分) i计第：(r-202o°-V5--(-2s30°. 数学试题第2页（共4页) 18.(8分)已知：如图，∠ABD=∠CBE,AB=BD,BC=BE,若AD=2,DC=3,BC=4. (1)证明：△ABC≌△DBE (2)求△DFC与△BFE的周长的和. B 19.(8分) 南部县，一个承载着红色记忆的地方.这里曾是革命先烈浴血奋战的热土，也是红色文化生生不 息的摇篮.某校为传承红色基因、弘扬本土文化，计划在课后服务中开设4门红色主题特色课程： A、红色经典诵读；B、红色主题剪纸：C、红色歌曲传唱；D、红色故事宣讲.学校随机抽取部分 学生进行调查，要求学生从4门课程中只选择一门自己最喜爱的课程，将调查结果绘制成如下两 幅不完整的统计图.请根据图中信息解答下列问题： (1)在扇形统计图中，A所对应的圆心角度数为▲，并补全条形统计图： (2)该校共有2000名学生，请你估计选择“B、红色主题剪纸”课程的学生有多少人？ (3)小明和小华打算从四个课程中各自选择一门课 个人数 100------ 程，请用列表或画树状图的方法求出小明和小华所选 80 80 40% 的课程相同的概率， 60 B 60 40 40 C 20 D 0 A B D课程 20.(10分)已知关于x的一元二次方程x2-2(k-1)x+2+3=0 (1)若该方程有一个根是-2，求k的值 (2)若该方程的两个实数根x5满足(：-1)(：-1)=14，求k的值. 21.(10分)如图1，点A(a,6),B(6,1)是一次函数片=+b的图象与反比例函数与="(x>0)图象 1” 的两个交点.已知直线AB交坐标轴于点M、N,连 接OA、OB. (1)求反比例函数表达式，并求出一次函数的表达式： (2)如图2，E是线段AB上一点，作AD⊥x轴于点D, 过点E作EF∥AD,交反比例函数图象于点F,若 EF=AD,求出点E的坐标。 3 图2 22.(10分) 如图，△ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径，AD⊥BC于点D,OF⊥OA,∠F=2∠ABC. (1)求证：BF是⊙O的切线： (2)若m<C4D-号F=12,求⊙0的半径， 数学试题第3页（共4页) 23.(10分) 端午节是我国的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上每盒豆沙粽的进价比猪 肉粽的进价便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽的盒数相同.在 销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒，每盒售价提高1元时，每天少 售出2盒. (1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价： (2)在销售猪肉粽的过程中，若猪肉粽每盒的售价不得低于进价，且要保证每天至少售出70盒猪 肉粽，求该商家每天销售猪肉粽能获得的最大利润 24.（10分) 已知边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O,BC边所在的直线上有两个动点P、Q,∠PA2=45°， AO和BD交于点N, (①)如图1，当点P运动到线段BC上时，4P和BD交于点M,求的值； BP (2)在(1)的条件下，当BC=3BP时，求MN的长： (3)如图2，图3，若AP所在直线与BD所在直线交于点M,AQ所在直线与CD所在直线交于点E, ME和MA的数量关系和位置关系为一，当点P为BC的三等分点时，PE=一·（直接写出 答案，不写过程) M 图1 图2 图3 25.（12分) 如图1，抛物线L:y=x2+2x+c与x轴相交于A,B(3,0)两点，与y轴相交于C(0,3)点，经过点B 的直线1交该抛物线于另一点E. (1)求该抛物线的表达式； (2)如图2，当点E与点C重合时，在直线1上方的抛物线上任意取一点D,连接DO,交直线1， 于点P,是否存在点D使DP=PO?若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由 (3)如图3，经过点B不同于1的另一直线1，交该抛物线于另一点F.当E,F均为x轴上方抛物线 上的两点（点E在点F的左边）时，直线 4,1与y轴分别相交于点M,N.若 OW●OM=3,试探究是否存在定点Q在 直线EF上，若存在，请求出定点Q的坐 标：若不存在，请说明理由， 图1 图2 图 数学试题第4页（共4页)■ 2025-2026学年度九年级下册5月学情检测 数学答题卡 班级 姓名 准考证号 条形码粘贴区（居中） 缺考 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写 填涂样例 清楚，并认真核准条形码上的准考证号，姓名及 科目，在规定位置贴好条形码。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使 正确填涂 违纪 用0.5毫米及以上黑色字迹的签字笔书写，要求 字体工整，笔迹清楚。 3.严格按照题号在相应的答题区域内作答，超出 错误填涂 答题区域书写的答案无效： ☑☒ 4.保持卡面清洁，不装订，不要折叠，不要破损。 口)写 、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1 ABICD 6 ABICD 2 ABICD 7 LB】I 3 ABICD 8ABC ) 4 DB】MI 9ABCD 5 A BICID 10L0B] ) 二、 填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 11、 12、 13、 14、 15、 16、 三、 解答题（共86分） 1.8分)（π-2026-5-2+ -2c030 18.（8分) 19.（8分) ↑人数 100 80 40% 60 B 40 40 C 0 A C D课程 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第1页共2页 ■ 20.（10分) 21.(10分) 图1 图2 22.（10分) 23.（10分) 24.(10分) 图1 M 图2 B P 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第2页共2页 ■ 25.（12分) y B 图2 E M 图部