第1节数列的概念与表示课件-2027届高三数学一轮复习

第1节　数列的概念与表示 课标要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）. 2.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数，理解单调性是数列的一 项重要性质，可用来求最值. 目录/ CONTENTS 考点一 数列的概念 01 考点二 由an与Sn的关系求通项公式 02 提能点 由数列的递推关系求通项公式 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 数列的概念 目 录 1. 数列的概念 概念 含义 数列 按照 ⁠排列的一列数 数列的项 数列中的 ⁠ 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与 ⁠之间的关系式 前n项和 数列{an}中，Sn＝ ⁠ 确定的顺序　 每一个数 序号n　 a1＋a2＋…＋an 提醒：数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的 位置序号. 高中总复习·数学 目 录 2. 数列的分类及性质 高中总复习·数学 目 录 3. 数列的表示方法 列表法 列出表格表示n与an的对应关系 图象法 把点 ⁠画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式法 递推公式法 （n，an）　 高中总复习·数学 目 录 4. 数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R 的函数，其自变量是 ，对应的函数值是 ⁠， 记为an＝f（n）. 序号n　 数列的第n项an　 提醒：{an}的前n项和Sn也是关于n的函数. 高中总复习·数学 目 录 题组练透 1. 数列1， ， ， ，…的一个通项公式是an＝（　　） A. 1－ B. C. D. 解析：　依题意，1＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ，…，所以an＝ . 故选C. √ 高中总复习·数学 目 录 2. （2026·陕西汉中期中）已知数列1，－ ， ，－2， ，…，则 该数列的第36项为（　　） A. －36 B. 36 C. －6 D. 6 解析：因为数列1，－ ， ，－2， ，…，即 ，－ ， ，－ ， ，…，所以归纳可得该数列的通项公式为an＝（－1）n＋1 ，所以a36＝（－1）36＋1 ＝－6.故选C. √ 高中总复习·数学 目 录 3. 写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是： （1）1，3，7，15，31，…； 解：由1＝2－1，3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，31＝25－1，…， 可得an＝2n－1. （2） ， ， ， ， ，…. 解：由 ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ，…， 可得an＝ . 高中总复习·数学 目 录 练后悟通 由数列的前几项归纳通项公式时应注意的4个特征 （1）分式中分子、分母的特征； （2）相邻项的变化特征； （3）拆项后的特征：把数列的项拆分成变化的部分和不变的部分； （4）各项的符号特征. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 由an与Sn的关系求通项公式 目 录 已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ （1）〔一题多解〕已知Sn是数列 的前n项和，且满足a1＝1，an ＋1＝2Sn，则a2 027＝（　D　） A. 2×32 024 B. 32 024 C. 32 025 D. 2×32 025 D 高中总复习·数学 目 录 解析：法一　数列{an}中，由an＋1＝2Sn，得Sn＋1－Sn＝2Sn，即Sn＋1＝ 3Sn，而S1＝a1＝1，∴数列{Sn}是首项为1，公比为3的等比数列，Sn＝3n －1，∴a2 027＝S2 027－S2 026＝32 026－32 025＝2×32 025.故选D. 法二　∵an＋1＝2Sn，∴an＝2Sn－1（n≥2），∴an＋1－an＝2（Sn－Sn－ 1）＝2an（n≥2），∴ ＝3（n≥2），∴ ＝ × ×…× ＝3n －2（n≥2），而a2＝2S1＝2a1＝2，∴an＝a2·3n－2＝2×3n－2，∴a2 027＝ 2×32 025. 高中总复习·数学 目 录 （2）已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an ＝ ⁠. ​ 解析：当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2；∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝ 2n　①，故a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1）an－1＝2n－1（n≥2）　②，由① －②得nan＝2n－2n－1＝2n－1（n≥2），∴an＝ （n≥2）.显然当n＝ 1时不满足上式.∴an＝ 高中总复习·数学 目 录 规律方法 1.Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再 求解； 方向2：利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再 求解. 高中总复习·数学 目 录 2.已知Sn求an的基本步骤 （1）先利用a1＝S1求出a1； （2）用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1 （n≥2）便可求出当n≥2时an的表达式； （3）对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，若符 合，则可以把数列的通项公式合写；若不符合，则应该分n＝1与n≥2两 段来写. 高中总复习·数学 目 录 练1 （1）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝1，Sn＝ ，则 数列{an}的通项公式an＝ ⁠； 解析：∵a1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ ，即 ＝ ＝…＝ ＝1，∴an＝n. n　 高中总复习·数学 目 录 （2）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝n2＋2，则{an}的通项公式 为 ⁠. 解析：因为Sn＝n2＋2，当n＝1时，a1＝S1＝12＋2＝3；当n≥2时，Sn－1 ＝（n－1）2＋2＝n2－2n＋1＋2＝n2－2n＋3，所以an＝Sn－Sn－1＝（n2 ＋2）－（n2－2n＋3）＝2n－1，当n＝1时，a1＝3不满足上式，所以an ＝ an＝ 高中总复习·数学 目 录 03 PART 提能点 由数列的递推关系求通项公式 目 录 递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来 表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. （1）已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝ ⁠； 解析：∵an＋1＝2nan，∴ ＝2n，当n≥2时，an＝ · ·…· ·a1＝2n－1·2n－2·…·2·2＝ ，当n＝1时，a1＝2显然成立. ​ 高中总复习·数学 目 录 （2）若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n，则数列{an}的通项公式为an ＝ ⁠. 解析：由an＋1＝an＋2n，得an＋1－an＝2n，所以当n≥2时，an＝（an－ an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1 ＝ ＝2n－1，而a1＝1满足上式，所以an＝2n－1. 2n－1 高中总复习·数学 目 录 规律方法 1.形如an＋1－an＝f（n）的数列，利用累加法，即利用公式an＝（an－ an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1（n≥2），即可求数列 {an}的通项公式. 2.形如 ＝f（n）的数列，利用累乘法，即利用an＝ a1· · ·…· （n≥2），即可求数列{an}的通项公式. 高中总复习·数学 目 录 练2 〔一题多解〕（2022·新高考Ⅰ卷17题节选）记Sn为数列{an}的前n项 和，已知a1＝1， 是公差为 的等差数列.求{an}的通项公式. 解：法一　因为a1＝1，所以 ＝1， 又 是公差为 的等差数列，所以 ＝1＋（n－1）× ＝ . 因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1， 所以 ＝ （n≥2），所以 ＝ （n≥2）， 整理得 ＝ （n≥2）， 高中总复习·数学 目 录 所以 × ×…× × ＝ × ×…× × ＝ （n≥2）， 所以Sn＝ （n≥2），又S1＝1也满足上式， 所以Sn＝ （n∈N*），则Sn－1＝ （n≥2）， 所以an＝ －＝ （n≥2）， 又a1＝1也满足上式，所以an＝ （n∈N*）. 高中总复习·数学 目 录 法二　因为a1＝1，所以 ＝1， 又 是公差为 的等差数列， 所以 ＝1＋（n－1）× ＝ ， 所以Sn＝ an. 因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ an－ an－1， 所以 an－1＝ an（n≥2）， 高中总复习·数学 目 录 所以 ＝ （n≥2）， 所以 × ×…× × ＝ × × ×…× × ＝ （n≥2）， 所以an＝ （n≥2）， 又a1＝1也满足上式， 所以an＝ （n∈N*）. 高中总复习·数学 目 录 斐波那契数列 教材母题：〔人A选修二P10阅读与思考〕1202年，一位意大利数学家斐 波那契（Leonardo Fibonacci）写了一本书，叫《算盘书》.这本书中提出 了一个关于兔子繁殖的问题，斐波那契在解答过程中发现了数字的自然 增长模式——即大名鼎鼎的斐波那契数列，又称“兔子数列”“黄金分 割数列”.其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，其中从第三 个数起，每一个数都等于它前面两个数的和. 高中总复习·数学 目 录 细研教材：数列{an}满足：a1＝1，a2＝1，且an＝an－2＋an－1（n≥3）. （1）斐波那契数列的递推公式 （2）斐波那契数列的通项公式an＝ ［（ ）n－（ ）n］. 高中总复习·数学 目 录 （1）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1， 1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F1＝F2＝1，Fn＝Fn－1＋Fn－2 （n≥3，n∈N*），此数列在现代物理、化学等领域都有着广泛的应用.若 此数列被2整除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2 026项的 和为（　D　） A. 674 B. 675 C. 1 348 D. 1 351 解析：由题意可得a1＝1，a2＝1，a3＝0，a4＝1，a5＝1，a6＝0，a7＝1， a8＝1，a9＝0，…，从而可得数列{an}是以3为周期的数列，所以数列{an} 的前2 026项的和为675（a1＋a2＋a3）＋a1＝675×2＋1＝1 351. D 高中总复习·数学 目 录 （2）〔一题多解〕（2024·新高考Ⅰ卷8题）已知函数f（x）的定义域为 R，f（x）＞f（x－1）＋f（x－2），且当x＜3时，f（x）＝x，则下 列结论中一定正确的是（　B　） A. f（10）＞100 B. f（20）＞1 000 C. f（10）＜1 000 D. f（20）＜10 000 B 解析：法一（常规解法）　由题意可取x＝1得f（1）＝1，取x＝2得f （2）＝2，取x＝3得f（3）＞f（2）＋f（1）＝3，同理依次可得f（4） ＞f（3）＋f（2）＞5，f（5）＞f（4）＋f（3）＞8，f（6）＞f（5）＋ f（4）＞13，f（7）＞f（6）＋f（5）＞21，f（8）＞f（7）＋f（6）＞ 34，f（9）＞f（8）＋f（7）＞55，f（10）＞f（9）＋f（8）＞89，f 高中总复习·数学 目 录 （11）＞f（10）＋f（9）＞144，f（12）＞f（11）＋f（10）＞233，f （13）＞f（12）＋f（11）＞377，f（14）＞f（13）＋f（12）＞610，f （15）＞f（14）＋f（13）＞987，f（16）＞f（15）＋f（14）＞1 597，…，f（20）＞1 000.故选B. 法二（斐波那契数列解法）　由题意可知f1＝1，f2＝2，所以f3＞f2＋f1＝ 3，依题意可得fn＞an＋1，由斐波那契数列递推公式可得a11＝89，a12＝ 144，故f10＞89，但仅根据现有推导不能确定f10与100、1 000的准确大小关 系，A、C错误.写出斐波那契数列的第10到17项依次为：55，89，144， 233，377，610，987，1 597，显然f20＞1 000，B正确，但根据条件f20可以 无限大，D错误；故选B. 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：90分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝n2－1，则a3＝（　　） A. －5 B. 5 C. 7 D. 8 解析：　因为Sn＝n2－1，所以a3＝S3－S2＝（32－1）－（22－1）＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 高中总复习·数学 目 录 2. （2026·甘肃金昌期末）数列－4，7，－10，13，…的一个通项公式为 （　　） A. an＝（－1）n（3n＋4） B. an＝（－1）n（3n＋1） C. an＝（－1）n＋1（3n＋4） D. an＝（－1）n＋1（3n＋1） 解析：　由符号来看，奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式中应该含有（－1）n，4，7，10，13满足3n＋1，所以数列－4，7，－10，13，…的一个通项公式可以为an＝（－1）n（3n＋1）.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. 已知数列{an}满足a1＝1， ＝an＋3n，则a6＝（　　） A. 30 B. 31 C. 45 D. 46 解析：　由已知得an＋1－an＝3n，∴a2－a1＝3，a3－a2＝6，…，a6－ a5＝15，上述等式左右分别相加可得a6－a1＝3＋6＋9＋12＋15＝45，∴a6 ＝1＋45＝46.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. 已知数列{an}满足an＋1＝（－1）nan，且a1＝1，则a18＋a19＝（　　） A. －2 B. 0 C. 1 D. 2 解析：由已知得 ＝（－1）n， ＝（－1）1， ＝（－1）2，…， ＝（－1）17，∴ ＝（－1）1＋2＋…＋17＝（－1）153＝－1，∴a18＝－1， ＝1，∴a19＝－1，∴a18＋a19＝－2.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. 对于函数y＝f（x），部分x与y的对应关系如表，数列{xn}满足：x1 ＝1，且对于任意n∈N*，点（xn，xn＋1）都在函数y＝f（x）的图象上， 则x1＋x2＋…＋x2 024＝（　　） x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 3 7 5 9 6 1 8 2 4 A. 7 569 B. 7 576 C. 7 584 D. 7 590 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：由题意，数列{xn}满足x1＝1，且点（xn，xn＋1）都在函数y＝f（x）的图象上，可得x2＝f（x1）＝f（1）＝3，x3＝f（x2）＝f（3）＝5，x4＝f（x3）＝f（5）＝6，x5＝f（x4）＝f（6）＝1，…，则数列{xn}是周期为4的周期数列，即数列{xn}满足x4k－3＝1，x4k－2＝3，x4k－1＝5，x4k＝6，k∈N*，则x1＋x2＋…＋x2 024＝506×（1＋3＋5＋6）＝7 590.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕若数列{an}的前4项分别为2，0，2，0，则这个数列的通项公 式可能是（　　） A. an＝1＋（－1）n＋1 B. an＝1－ cos nπ C. an＝2 sin 2 D. an＝1＋（－1）n－1＋（n－1）（n－2） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：对于A，当n＝1，2，3，4时，an＝1＋（－1）n＋1分别对应的是2，0，2，0，A正确；对于B，当n＝1，2，3，4时，an＝1－ cos nπ分别对应的是2，0，2，0，B正确；对于C，当n＝1，2，3，4时，an＝2 sin 2 分别对应的是2，0，2，0，C正确；对于D，a1＝1＋（－1）0＝2， a2＝1＋（－1）＝0，a3＝1＋（－1）2＋2×1＝4，a4＝1＋（－1）3＋3×2 ＝6，D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. （2026·浙江温州适应考）已知数列{an}满足an＝ 若a4∈[2，3]，则a1的取值范围为 ⁠. 解析：设a4＝m，则m∈[2，3]，得a3＝m－1，a2＝2（m－1）＝2m－ 2，所以a1＝2m－3∈[1，3]. [1，3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. （2026·广东深圳期末改编）已知数列{an}满足a1＋3a2＋…＋3n－1an ＝n·3n，则a2 027＝ ⁠. 解析：n≥2时，a1＋3a2＋…＋3n－2an－1＝（n－1）·3n－1，与原式相减 得3n－1an＝n·3n－（n－1）·3n－1＝（2n＋1）·3n－1，则an＝2n＋ 1，经检验，n＝1时也成立，故an＝2n＋1，即a2 027＝4 055. 4 055 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. 已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2（Sn＋1）＝n＋1，则数列{an} 的通项公式为 ⁠. 解析：由log2（Sn＋1）＝n＋1，得Sn＋1＝ ，当n＝1时，a1＝S1＝ 3；当n≥2时，an＝Sn－ ＝2n，显然当n＝1时，不满足上式.所以数 列{an}的通项公式为an＝ an＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. （13分）设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1， ＝an＋1－ n2－n － ，n∈N*. （1）求a2的值； 解：依题意，有2S1＝a2－ －1－ . 又因为S1＝a1＝1，所以a2＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）求数列{an}的通项公式. 解：由题意2Sn＝nan＋1－ n3－n2－ n，　① 所以当n≥2时， 2Sn－1＝（n－1）an－ （n－1）3－（n－1）2－ （n－1），　② ①－②得2an＝nan＋1－（n－1）an－ （3n2－3n＋1）－（2n－1）－ ，整理得（n＋1）an－nan＋1＝－n（n＋1），即 － ＝1. 又因为 － ＝1，所以数列{ }是首项为 ＝1，公差为1的等差数列， 所以 ＝1＋（n－1）×1＝n，所以an＝n2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. 〔创新考法〕数列{Fn}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为 斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家斐波那契 以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开 始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列{Fn}的前n项和为Sn，则下列 结论正确的是（　　） A. S2 024＝F2 026＋2 B. F2 026＝S2 024＋1 C. S2 025＝F2 026＋2 D. S2 025＝F2 026－1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：　根据题意，F1＝1，F2＝F1，F3＝F2＋F1，F4＝F3＋F2，…， F2 025＝F2 024＋F2 023，F2 026＝F2 025＋F2 024，则F3－F2＝F1，F4－F3＝ F2，…，F2 025－F2 024＝F2 023，F2 026－F2 025＝F2 024，将上述各式两边相加 得，F2 026－F2＝S2 024，所以F2 026＝S2 024＋1，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，（n－2）Sn＋1＋2an ＋1＝nSn，n∈N*，下列说法正确的是（　　） A. a2＝4 B. { }为常数列 C. a7＝15 D. Sn＝n2＋n √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：因为（n－2）Sn＋1＋2an＋1＝nSn，所以（n－2）Sn＋1＋2（Sn＋1－Sn）＝nSn，整理得nSn＋1＝（n＋2）Sn，故 ＝ ，所以{ }是常数列，所以 ＝ ＝1，即Sn＝n（n＋1），当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n（n＋1）－（n－1）n＝2n，经检验，n＝1时满足，故an＝2n，n∈N*.由an＝2n，可知a2＝4，a7＝14， ＝2，所以{ }为常数列.综上，知A、B、D正确，C错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学 问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的 形状对数进行分类.如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角 形数，其中第1个五角形数记作a1＝1，第2个五角形数记作a2＝5，第3个五 角形数记作a3＝12，第4个五角形数记作a4＝22，…，若按此规律继续下 去，则a5＝ ，若an＝145，则n＝ ⁠. 35 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：由题意知，第1个五角形数记作a1＝1＝3×1－2，第2个五角形数记 作a2＝5＝a1＋3×2－2，第3个五角形数记作a3＝12＝a2＋3×3－2，第4个 五角形数记作a4＝22＝a3＋3×4－2，第5个五角形数记作a5＝a4＋3×5－2 ＝35，……，第n个五角形数记作an＝an－1＋3×n－2，即an－an－1＝3n －2，则an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝1＋ 3·（2＋3＋…＋n）－2（n－1）＝1＋3× －2（n－1）＝ ＋1，由an＝145，即 ＋1＝145，解得n＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）已知数列{an}满足a1＝a，an＋1＝1＋ .我们知道当a取不同 的值时，得到不同的数列，如当a＝1时，得到无穷数列：1，2， ， ，…；当a＝－ 时，得到有穷数列：－ ，－1，0. （1）求当a为何值时a4＝0； 解：a1＝a，an＋1＝1＋ ，a2＝ ，a3＝1＋ ＝ ，a4＝1＋ ＝ ，故当a＝－ 时，a4＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）若 ＜an＜2（n≥4），求a的取值范围. 解：要使 ＜an＜2，即 ＜1＋ ＜2，所以1＜an－1＜2. 要使 ＜an＜2，当且仅当它的前一项an－1满足1＜an－1＜2. 因为（ ，2）⫋（1，2），只需当a4∈（ ，2），都有an∈（ ，2） （n≥5）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 由a4＝ ，得 ＜ ＜2，解不等式组 得 故a的取值范围为a＞0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $