8．6空间直线、平面的垂直（思维导图+12大知识点+12大题型）（讲义）-2025-2026学年高一下学期数学 人教A版必修第二册

本讲义聚焦高中数学“空间直线、平面的垂直”核心知识点，系统梳理从异面直线所成角、线线垂直定义，到线面垂直的定义、判定与性质，线面角、距离，再到二面角、面面垂直的定义、判定与性质，最终形成垂直关系综合转化的学习支架。 该资料以思维导图构建知识网络，12个题型含典例与变式，强调判定定理和性质定理的推理应用，培养空间观念与推理能力。课中辅助教师系统授课，课后学生可通过方法技巧总结与变式练习查漏补缺，提升用数学语言表达空间关系的能力。

8．6空间直线、平面的垂直 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：异面直线所成的角 4 知识点二：直线与直线垂直的定义 4 知识点三：直线与平面垂直的定义与判定 4 知识点四：直线与平面所成的角 5 知识点五：直线与平面垂直的性质 6 知识点六：距离 6 知识点七：二面角 6 知识点八：平面与平面垂直的定义与判定 7 知识点九：平面与平面垂直的性质 8 知识点十：垂直关系的综合转化 8 知识点十一：求点线、点面、线面距离的方法 8 知识点十二：作二面角的三种常用方法 9 04 题型归纳，举一反三 10 题型一：空间两直线垂直关系证明 10 题型二：异面直线夹角求解 11 题型三：直线与平面垂直的概念及定理辨析 13 题型四：线面垂直关系的判定方法 14 题型五：直线与平面所成角的计算 16 题型六：线面垂直性质定理实际应用 18 题型七：空间几何各类距离求解问题 20 题型八：平面与平面垂直的概念及定理辨析 21 题型九：面面垂直判定定理的解题应用 22 题型十：空间二面角的求解方法 24 题型十一：面面垂直性质定理的综合运用 27 题型十二：线面垂直与面面垂直综合解题应用 29 知识点一：异面直线所成的角 （1）定义：已知两条异面直线，，经过空间任一点作直线，，则与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）． （2）异面直线所成的角的取值范围：． （3）如果两条异面直线，所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作． 知识点二：直线与直线垂直的定义 两条直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直． 知识点诠释： 空间中两直线垂直可能是相交垂直，也可能是异面垂直，即两条直线互相垂直时可能没有垂足． 知识点三：直线与平面垂直的定义与判定 1、直线和平面垂直的定义 如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作．直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离． 知识点诠释： （1）定义中的“任何直线”与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直． （2）直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式． （3）如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直，简述之，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法．画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示．符号语言描述：． （4）在平面几何中，我们有命题：经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，在本节中，也有类似的命题． 命题1：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直． 命题2：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直． 2、直线和平面垂直的判定定理 文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 图形语言： 符号语言： 特征：线线垂直线面垂直 知识点诠释： （1）判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视． （2）要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要． 相关的重要结论 ①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条． ②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直． ③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直． 知识点四：直线与平面所成的角 （1）如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． （2）一条直线垂直于平面，称它们所成的角是直角；一条直线在平面内或一条直线和平面平行，称它们所成的角是的角，于是，直线与平面所成的角的范围是． 知识点五：直线与平面垂直的性质 1、基本性质 文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线． 符号语言： 图形语言： 2、性质定理 文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． 符号语言： 图形语言： 知识点六：距离 （1）直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离． （2）平面与平面的距离：两个平面平行时，其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离． 知识点七：二面角 （1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面．图中的二面角可记作：二面角或或． （2）二面角的平面角：如图，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直与直线的射线，，则射线和构成的叫做二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫做直二面角． 知识点八：平面与平面垂直的定义与判定 1、平面与平面垂直定义 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直． 表示方法：平面与垂直，记作． 画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如图： 2、平面与平面垂直的判定定理 文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 符号语言： 图形语言： 特征：线面垂直面面垂直 知识点诠释： 平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”．因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题．以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可． 知识点九：平面与平面垂直的性质 1、性质定理 文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 符号语言： 图形语言： 知识点诠释： 面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法． 2、平面与平面垂直性质定理的推论 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内． 知识点十：垂直关系的综合转化 线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示： 知识点十一：求点线、点面、线面距离的方法 （1）若是平面外一点，是平面内的一条直线，过作平面的垂线，为垂足，过作，连接，则以．则线段的长即为点到直线的距离（如图所示）． （2）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离． （3）求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解． ②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解． ③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解． 知识点十二：作二面角的三种常用方法 （1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则为二面角的平面角． （2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，为二面角的平面角． （3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点向另一个平面作垂线，垂足为，由点向二面角的棱作垂线，垂足为，连接，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角． 题型一：空间两直线垂直关系证明 【典例1-1】在直三棱柱中，，求证：． 【典例1-2】如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 【方法技巧与总结】（证明两直线垂直的常用方法） （1）利用平面几何的结论，如矩形，等腰三角形的三线合一，勾股定理； （2）定义法：即证明两条直线夹角是； （3）利用一些事实：两条平行直线，若其中一条直线垂直另一条直线，则其平行线也垂直此直线． 【变式1-1】如图，已知正方体. （1）求与所成角的大小； （2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：. 【变式1-2】空间四边形中，的中点分别为，且，，，求证：. 【变式1-3】如图，在正方体中，分别是棱的中点，求证：. 题型二：异面直线夹角求解 【典例2-1】如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】已知在正方体中，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】（求异面直线所成角的一般步骤） 求异面直线所成角的一般步骤： （1）找（或作出）异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线． （2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． （3）结论——设（2）所求角大小为．若，则即为所求；若，则即为所求 【变式2-1】在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 【变式2-2】如图所示，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 题型三：直线与平面垂直的概念及定理辨析 【典例3-1】设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ） A．若，，，则 B．若，，， 则 C．若，，，则 D．若，，，则 【典例3-2】如图，在正方体中，下列判断正确的是（   ） A．直线平面 B．直线直线 C．直线平面 D．直线与直线是异面直线 【方法技巧与总结】（判定定理理解的注意事项） 线面垂直的判定定理中，直线垂直于平面内的两条相交直线，“相交”两字必不可少，否则，就是换成无数条直线，这条直线也不一定与平面垂直． 【变式3-1】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 【变式3-2】在长方体中，，．给出下列四个结论： ①；②；③平面；④平面． 其中正确的结论是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【变式3-3】已知平面和不重合的两条直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型四：线面垂直关系的判定方法 【典例4-1】如图，在正四棱柱中，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：平面． 【典例4-2】如图，在中，．将沿AD翻折至．求证：平面； 【方法技巧与总结】（应用判定定理的注意事项） 利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的关键是在这个平面内找到两条相交直线，证明它们都和这条直线垂直． 【变式4-1】如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求点A到平面的距离． 【变式4-2】如图，已知空间四边形的边，，作于点，作于点．求证：平面． 【变式4-3】如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，.求证：平面POC； 题型五：直线与平面所成角的计算 【典例5-1】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的余弦值． 【典例5-2】如图，正三棱柱中，，是的中点， (1)求证：∥平面； (2)求直线和平面所成的角. 【方法技巧与总结】（求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤） （1）确定斜线与平面的交点（斜足）； （2）通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角； （3）求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形． 【变式5-1】如图，三棱柱中，侧面均为菱形，，为AB的中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【变式5-2】已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 【变式5-3】如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 题型六：线面垂直性质定理实际应用 【典例6-1】如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，． (1)证明：． (2)证明：平面． 【典例6-2】在三棱锥中，为等边三角形，平面ABC，将三角形PAC绕PA逆时针旋转至PAD位置（如图），且二面角的大小为90°．证明：A，B，C，D四点共面，且； 【方法技巧与总结】（证明两条直线平行的常见方法） （1）公理4：平行于同一条直线的两条直线平行； （2）线面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行； （3）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行； （4）线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行． 【变式6-1】如图，是等边三角形，直线平面ABC，直线平面ABC，且，F是线段EB的中点．求证：平面ABC． 【变式6-2】如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【变式6-3】如图，在四棱锥－中，底面是矩形，平面，，是的中点，，分别在，上，且，．证明：． 题型七：空间几何各类距离求解问题 【典例7-1】如图，在直三棱柱中，，，则点到平面的距离为________________. 【典例7-2】已知线段，在平面内，，，且，，，与的距离为___________． 【方法技巧与总结】（空间中距离的转化） （1）利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离． （2）利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点（等分点），转化为另一点到平面的距离． （3）通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展（分割），以方便求底面积和高． 【变式7-1】在长方体中，为的中点，则直线与平面的距离为___________． 【变式7-2】已知等边的边长为1，平面，且，则点到平面的距离为______． 【变式7-3】在四棱锥中，平面，，，与平面所成角为，底面为直角梯形，，则点到平面的距离为_______. 题型八：平面与平面垂直的概念及定理辨析 【典例8-1】设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【典例8-2】已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，， 则 C．若，， 则 D．若，， 则 【方法技巧与总结】 排除法 【变式8-1】设为两个平面，为两条直线，则下列结论中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【变式8-2】设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（    ） ①若，，则，为异面直线 ②若，，则 ③若，，，则 ④若，，，则 ⑤若，，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-3】如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点、重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（    ）．    A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面平面 题型九：面面垂直判定定理的解题应用 【典例9-1】如图，在正方体中，E，F分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求证：平面平面. 【典例9-2】如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．证明：平面平面 【方法技巧与总结】（判定两个平面垂直的常用方法） （1）定义法：即说明两个平面所成的二面角是直二面角； （2）判定定理法：其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”； （3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面． 【变式9-1】在中，，，，，分别是，上的点，满足，且.将沿折起到的位置，使，如图所示.求证：平面平面. 【变式9-2】如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，为的中点．证明：平面平面； 【变式9-3】如图所示，在空间四边形中，，，，，分别是，，的中点．求证：平面平面． 题型十：空间二面角的求解方法 【典例10-1】如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.过点作于，作于，连. (1)证明：； (2)求平面与底面所成角的余弦值. 【典例10-2】如图，三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，，是延长线上一点，且． (1)求证：直线平面； (2)求二面角的大小； (3)求三棱锥的体积． 【方法技巧与总结】（作二面角的三种常用方法） （1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则为二面角的平面角． （2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，为二面角的平面角． （3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点向另一个平面作垂线，垂足为，由点向二面角的棱作垂线，垂足为，连接，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角． 【变式10-1】如图所示，在三棱锥中，平面，． (1)求证：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值． 【变式10-2】矩形中，，P为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，求解以下问题： (1)在上是否存在点使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； (2)求二面角的余弦值． 【变式10-3】如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为AC的中点，将沿BD翻折至，使得平面与平面CBD垂直． (1)证明：； (2)求点D到平面的距离； (3)求平面与平面DBC的夹角的余弦值． 题型十一：面面垂直性质定理的综合运用 【典例11-1】如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，是线段上的一点，且平面．求证： (1)平面平面； (2)是线段的中点； (3)平面． 【典例11-2】如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，平面平面，且，点分别是棱的中点.求证：平面； 【方法技巧与总结】（性质定理应用的注意事项） 利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：（1）两个平面垂直；（2）直线必须在其中一个平面内；（3）直线必须垂直于它们的交线． 【变式11-1】如图所示，在四棱锥中，平面，是的中点．在底面内且． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若平面平面，求证：． 【变式11-2】如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是等边三角形，平面平面，点是的中点.    (1)证明：直线平面； (2)若直线与平面的夹角的正切值为， （i）求四棱锥的体积； （ii）求三棱锥的外接球的半径. 【变式11-3】如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.求证：. 题型十二：线面垂直与面面垂直综合解题应用 【典例12-1】如图，斜三棱柱的底面是边长为2的正三角形，且． (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【典例12-2】已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 【方法技巧与总结】（空间垂直关系的注意事项） 直线、平面之间的平行、垂直关系是重点考查的位置关系，当已知线面、面面垂直或平行时考虑用性质定理转化，要证线面、面面垂直或平行时要用判定定理进行论证． 【变式12-1】（1）如图，长方体，，，，过作长方体的截面使它成为正方形. ①求三棱锥的体积；          ②求 . （2）如图所示，已知多面体，两两互相垂直，平面平面，平面平面，，，求该多面体的体积. （3）结合本题，总结求空间几何体的体积有哪些方法？ 【变式12-2】如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，. (1)求四棱锥的表面积； (2)四棱锥的所有顶点都在球O的球面上，求球O的体积. 【变式12-3】如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别为，的中点，与交于点，，为上一点，． (1)证明：； (2)求证：平面平面； (3)若，求与平面所成角的正弦值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 8．6空间直线、平面的垂直 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：异面直线所成的角 4 知识点二：直线与直线垂直的定义 4 知识点三：直线与平面垂直的定义与判定 4 知识点四：直线与平面所成的角 5 知识点五：直线与平面垂直的性质 6 知识点六：距离 6 知识点七：二面角 6 知识点八：平面与平面垂直的定义与判定 7 知识点九：平面与平面垂直的性质 8 知识点十：垂直关系的综合转化 8 知识点十一：求点线、点面、线面距离的方法 8 知识点十二：作二面角的三种常用方法 9 04 题型归纳，举一反三 10 题型一：空间两直线垂直关系证明 10 题型二：异面直线夹角求解 13 题型三：直线与平面垂直的概念及定理辨析 17 题型四：线面垂直关系的判定方法 20 题型五：直线与平面所成角的计算 24 题型六：线面垂直性质定理实际应用 31 题型七：空间几何各类距离求解问题 34 题型八：平面与平面垂直的概念及定理辨析 39 题型九：面面垂直判定定理的解题应用 41 题型十：空间二面角的求解方法 45 题型十一：面面垂直性质定理的综合运用 51 题型十二：线面垂直与面面垂直综合解题应用 56 知识点一：异面直线所成的角 （1）定义：已知两条异面直线，，经过空间任一点作直线，，则与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）． （2）异面直线所成的角的取值范围：． （3）如果两条异面直线，所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作． 知识点二：直线与直线垂直的定义 两条直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直． 知识点诠释： 空间中两直线垂直可能是相交垂直，也可能是异面垂直，即两条直线互相垂直时可能没有垂足． 知识点三：直线与平面垂直的定义与判定 1、直线和平面垂直的定义 如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作．直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离． 知识点诠释： （1）定义中的“任何直线”与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直． （2）直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式． （3）如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直，简述之，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法．画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示．符号语言描述：． （4）在平面几何中，我们有命题：经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，在本节中，也有类似的命题． 命题1：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直． 命题2：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直． 2、直线和平面垂直的判定定理 文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 图形语言： 符号语言： 特征：线线垂直线面垂直 知识点诠释： （1）判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视． （2）要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要． 相关的重要结论 ①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条． ②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直． ③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直． 知识点四：直线与平面所成的角 （1）如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． （2）一条直线垂直于平面，称它们所成的角是直角；一条直线在平面内或一条直线和平面平行，称它们所成的角是的角，于是，直线与平面所成的角的范围是． 知识点五：直线与平面垂直的性质 1、基本性质 文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线． 符号语言： 图形语言： 2、性质定理 文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． 符号语言： 图形语言： 知识点六：距离 （1）直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离． （2）平面与平面的距离：两个平面平行时，其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离． 知识点七：二面角 （1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面．图中的二面角可记作：二面角或或． （2）二面角的平面角：如图，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直与直线的射线，，则射线和构成的叫做二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫做直二面角． 知识点八：平面与平面垂直的定义与判定 1、平面与平面垂直定义 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直． 表示方法：平面与垂直，记作． 画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如图： 2、平面与平面垂直的判定定理 文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 符号语言： 图形语言： 特征：线面垂直面面垂直 知识点诠释： 平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”．因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题．以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可． 知识点九：平面与平面垂直的性质 1、性质定理 文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 符号语言： 图形语言： 知识点诠释： 面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法． 2、平面与平面垂直性质定理的推论 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内． 知识点十：垂直关系的综合转化 线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示： 知识点十一：求点线、点面、线面距离的方法 （1）若是平面外一点，是平面内的一条直线，过作平面的垂线，为垂足，过作，连接，则以．则线段的长即为点到直线的距离（如图所示）． （2）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离． （3）求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解． ②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解． ③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解． 知识点十二：作二面角的三种常用方法 （1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则为二面角的平面角． （2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，为二面角的平面角． （3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点向另一个平面作垂线，垂足为，由点向二面角的棱作垂线，垂足为，连接，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角． 题型一：空间两直线垂直关系证明 【典例1-1】在直三棱柱中，，求证：． 【解析】如图，连接，设，，， 由直三棱柱性质得，， 因为，所以由勾股定理得， 因为三棱柱是直三棱柱，所以， 由勾股定理得，， 故，则，即． 由直三棱柱性质得，故就是直线与所成的角， 所以得证． 【典例1-2】如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 【解析】（1）如图所示，连接，   为正方体， ， 平面为平行四边形， . 为正方形， ， . （2）由面，面，且面面， 又与不平行，与是异面直线. 【方法技巧与总结】（证明两直线垂直的常用方法） （1）利用平面几何的结论，如矩形，等腰三角形的三线合一，勾股定理； （2）定义法：即证明两条直线夹角是； （3）利用一些事实：两条平行直线，若其中一条直线垂直另一条直线，则其平行线也垂直此直线． 【变式1-1】如图，已知正方体. （1）求与所成角的大小； （2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：. 【解析】（1）如图，连接，由几何体是正方体，知四边形为平行四边形，所以， 从而与所成的角为与所成的角， 由，可知. 故与所成的角为. （2）如图，连接，易知四边形为平行四边形，所以， 因为为的中位线， 所以. 又， 所以， 所以. 【变式1-2】空间四边形中，的中点分别为，且，，，求证：. 【解析】如图，因为分别为的中点， 所以，， 所以为和所成的角. 又，，， 所以，所以， 即和所成的角为90°所以. 【变式1-3】如图，在正方体中，分别是棱的中点，求证：. 【解析】如图所示：过点M作交于，连接 则为异面直线与所成的角或其补角. 设正方体棱长为a，计算得到，，， 所以，所以，即. 题型二：异面直线夹角求解 【典例2-1】如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取的中点，连接 因为分别为的中点， 所以,且,所以四边形为平行四边形， 则,所以异面直线与所成角为（或其补角）, 不妨假设正方体的边长为, 则,,, , 所以在中，由余弦定理可得：, 所以异面直线与所成角的余弦值为 【典例2-2】已知在正方体中，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以即为直线与所成的角， 设正方体的棱长为， 则，， 在中，， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 【方法技巧与总结】（求异面直线所成角的一般步骤） 求异面直线所成角的一般步骤： （1）找（或作出）异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线． （2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． （3）结论——设（2）所求角大小为．若，则即为所求；若，则即为所求 【变式2-1】在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【解析】 如图，正方体中，为线段的中点，连接，， 因为，，所以四边形是平行四边形，， 异面直线与所成角，即直线与所成角，为或其补角， 设正方体的棱长为2，则，， 在中，， ，即是直角三角形，， 即异面直线与所成角的余弦值为. 【变式2-2】如图所示，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在正方体中，连接，则， 异面直线与所成的角等于所成的角，而， 所以所求角的大小为. 【变式2-3】在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】延长到点，使，连接, 因为 且 ​，所以四边形是平行四边形，因此 ​ 所以，（或其补角）就是异面直线 与所成的角, 在中，，，所以是等边三角形，, 直三棱柱中，，则：​ , 在中， 由余弦定理： , 所以 ​ 在 中， 由余弦定理： 题型三：直线与平面垂直的概念及定理辨析 【典例3-1】设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ） A．若，，，则 B．若，，， 则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【解析】对于A，若，，，则，故A正确； 对于B，若，，所以，因为，所以，故B正确； 对于C，若，，，则平行、相交或异面，故C错误； 对于D，若，则，又，，则，故D正确. 故选：C. 【典例3-2】如图，在正方体中，下列判断正确的是（   ） A．直线平面 B．直线直线 C．直线平面 D．直线与直线是异面直线 【答案】D 【解析】平面即平面，显然直线与平面相交，故A错误； 假设平面，即平面， 因为平面，所以， 在正方体中显然与不垂直，所以假设不成立，故C错误； 由正方体性质可知，而直线与直线相交， 所以直线与直线不平行，故B错误； 因为直线与直线不同在任何一个平面内，根据异面直线的定义可得直线与直线为异面直线，故D正确. 故选：D 【方法技巧与总结】（判定定理理解的注意事项） 线面垂直的判定定理中，直线垂直于平面内的两条相交直线，“相交”两字必不可少，否则，就是换成无数条直线，这条直线也不一定与平面垂直． 【变式3-1】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 【答案】B 【解析】对于A中， 若，，则或，所以A不正确； 对于B中，若，，由垂直同一平面的两直线平行，可得，所以B正确； 对于C中，由，设，若且，此时，所以C不正确； 对于D中，若，仅当与相交时，才能得到，否则也有可能相交，所以D错误. 故选：B. 【变式3-2】在长方体中，，．给出下列四个结论： ①；②；③平面；④平面． 其中正确的结论是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【解析】在长方体中，，， 所以底面是长方形，故不成立， 因为平面，由线面垂直的性质可知与平面不垂直， 因为平面，平面，所以， 因为，所以不成立，故①错误； 因为， 在长方体中，有， 因为平面，平面，所以， 因为，所以四边形是正方形， 所以，故②正确； 因为，所以， 因为是正方形，所以， 因为，且平面， 所以平面，故③正确； 因为是长方形，所以不成立， 由线面垂直的性质可知，平面不垂直，故④错误； 所以正确的结论是②③. 故选：B 【变式3-3】已知平面和不重合的两条直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对A：若，则或，或或与相交，错误； 对B：若，则或，错误； 对C：若，则或，错误； 对D：若，则，正确. 故选：D 题型四：线面垂直关系的判定方法 【典例4-1】如图，在正四棱柱中，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：平面． 【解析】（1）证明：设，连接， 在正四棱柱中，四边形为正方形， ，又是的中点，， ，又平面，平面， 平面. （2）在正四棱柱中，平面， 又平面，， 在正方形中，， 又，平面，平面， 平面. 【典例4-2】如图，在中，．将沿AD翻折至．求证：平面； 【解析】，∴，， 由余弦定理得， 故， ，即，翻折后， 又平面， 所以平面. 【方法技巧与总结】（应用判定定理的注意事项） 利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的关键是在这个平面内找到两条相交直线，证明它们都和这条直线垂直． 【变式4-1】如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求点A到平面的距离． 【解析】（1）证明：平面，平面， ． 是圆O的直径，C为圆上一点，． 又，且平面 平面． （2）如图所示，过点A作于点D， 平面，平面， ， 又平面 平面． 即为点A到平面的距离． ∴依题意知为与平面所成角， 即，，， 可得． ， 即点A到平面的距离为． 【变式4-2】如图，已知空间四边形的边，，作于点，作于点．求证：平面． 【解析】连接，取的中点，连接，，如图所示， 因为，为的中点，所以， 同理，，为的中点，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，且，平面平面， 所以平面． 【变式4-3】如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，.求证：平面POC； 【解析】连接，延长交于点，由为底面圆的直径，得， 由，得，， 又，则平分，， 又，则为正三角形，是其中心， 于是是中点，， 而平面，平面，则， 又,且,平面，所以平面. 题型五：直线与平面所成角的计算 【典例5-1】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的余弦值． 【解析】（1）连接，因为底面为平行四边形， 为中点，故与相交于， 因为为的中点，则， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为，， 由余弦定理得， 即，解得， 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，且交于， 所以平面. （3）取的中点，连接，则， 因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成角， 其中，故， 因为，， 由勾股定理得，故， 由勾股定理得，所以， 即直线与平面所成角的余弦值为． 【典例5-2】如图，正三棱柱中，，是的中点， (1)求证：∥平面； (2)求直线和平面所成的角. 【解析】（1）连接交于点，连接， 因为分别为和的中点，所以， 因为平面，平面， 所以∥平面； （2）因为三棱柱是正三棱柱，所以侧面， 侧面，所以， 为正三角形，因为是的中点，所以， 又，侧面，从而侧面， 所以即为直线和平面所成的角， 设，在直角三角形中，， ， 在中，，所以， 所以. 所以直线和平面所成的角为. 【方法技巧与总结】（求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤） （1）确定斜线与平面的交点（斜足）； （2）通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角； （3）求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形． 【变式5-1】如图，三棱柱中，侧面均为菱形，，为AB的中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【解析】（1），与交于点，连接， 四边形是平行四边形，为的中点， 为的中点，得，又平面，平面， 故平面． （2）由，，且为，的中点， 得，，， 又，为平面内两条相交直线， 得平面，故即为直线与平面所成的角； 由，，，得四边形为菱形， 又，故四边形为正方形，， 则为等腰直角三角形，且，故， 因此直线与平面所成角为． 【变式5-2】已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 【解析】（1）∵点在底面上的射影是与的交点， 平面， 平面，， 四边形为菱形，， ，平面， 平面． （2）由题意可得,与都是边长为2的等边三角形， ，， ， ，， 设点到平面的距离为， 由得， 即，解得， 故点到平面的距离为． （3）设直线与平面所成的角为， 平面， 到平面的距离即为到平面的距离， 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使最小，此时， 由题意可知：，， 平面，且， ，， 在中，由余弦定理可得： ， ， 由面积相等， 即，解得：， ，， 即点在线段上靠近点的4等份点处，此时，． 【变式5-3】如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 【解析】（1）取的中点，连接、，则，且. 因为，，所以且. 所以四边形为平行四边形. 所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为底面为梯形，，，， 所以，， ， 又垂直于面，为棱的中点， 所以到平面的距离为，所以， 因为垂直于面，平面，所以，， 所以，， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，所以， 设直线与面所成的角为，则， 直线与面所成的角的正弦值为. 题型六：线面垂直性质定理实际应用 【典例6-1】如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，． (1)证明：． (2)证明：平面． 【解析】（1）在等边中，因为为的中点，可得. 在正三棱柱中，可得平面，且平面，所以 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）由（1）得平面，因平面，则. 又，则， ，则由，可得， 因平面，故平面. 【典例6-2】在三棱锥中，为等边三角形，平面ABC，将三角形PAC绕PA逆时针旋转至PAD位置（如图），且二面角的大小为90°．证明：A，B，C，D四点共面，且； 【解析】证明：平面，且平面，平面， ，，平面ACD，又， 平面，假设四点不共面， 平面，平面， 平面平面，与平面平面矛盾，故四点共面； 又，所以为二面角的平面角， ，即，又，且平面PAB， 平面，又平面， . 【方法技巧与总结】（证明两条直线平行的常见方法） （1）公理4：平行于同一条直线的两条直线平行； （2）线面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行； （3）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行； （4）线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行． 【变式6-1】如图，是等边三角形，直线平面ABC，直线平面ABC，且，F是线段EB的中点．求证：平面ABC． 【解析】取AB的中点M，连接FM和CM， 在中，F是EB的中点，M是AB的中点，则且， 由平面，而平面，得， 所以，，因此四边形是平行四边形，， 而平面，平面，所以平面． 【变式6-2】如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【解析】（1）在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，所以， 因为，，平面，平面． 所以平面． （2）因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 同理可证， 又，平面，平面． 所以平面． 又平面，所以． 【变式6-3】如图，在四棱锥－中，底面是矩形，平面，，是的中点，，分别在，上，且，．证明：． 【解析】∵平面，平面，∴， 又，∴， ∵，是的中点，∴， 又，，平面，∴平面， ∵，，∴， 又，，，平面， ∴平面，∴． 题型七：空间几何各类距离求解问题 【典例7-1】如图，在直三棱柱中，，，则点到平面的距离为________________. 【答案】 【解析】连接. 因为为直三棱柱，所以平面，. 又平面，所以， 所以，. 因为平面，平面，，所以平面， 所以. 因为，平面，所以平面， 又平面，所以，所以. 设点到平面的距离为，则，即，所以. 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 【典例7-2】已知线段，在平面内，，，且，，，与的距离为___________． 【答案】/ 【解析】由题设，可得如下示意图，，则，， 又，且且平面，则平面， 所以三棱锥可以补全为如下长方体，如下图示， 由，平面，平面，则平面， 对于异面直线， 平面， 所以与的距离，即到平面的距离，即到平面的距离， 过作，又平面，平面，则， 由，平面，故平面， 所以到平面的距离， 由等面积法有，可得. 故答案为： 【方法技巧与总结】（空间中距离的转化） （1）利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离． （2）利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点（等分点），转化为另一点到平面的距离． （3）通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展（分割），以方便求底面积和高． 【变式7-1】在长方体中，为的中点，则直线与平面的距离为___________． 【答案】/ 【解析】 如图， 易知为的中位线，故平面，平面，所以平面， 所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， ， 在中，所以， 即， 设点到平面的距离为， 则根据， 解得， 所以直线与平面的距离为， 故答案为： 【变式7-2】已知等边的边长为1，平面，且，则点到平面的距离为______． 【答案】/ 【解析】如图，因为平面，所以为三棱锥的高， 则， 由平面，平面，得， 在直角中，，同理， 则等腰的底边上的高为， 则， 设点到平面的距离为，则， 得． 故答案为：. 【变式7-3】在四棱锥中，平面，，，与平面所成角为，底面为直角梯形，，则点到平面的距离为_______. 【答案】/ 【解析】在平面中过作，垂足为， 因为平面，所以为与平面所成角，则， 又平面，所以，， 又，所以，，， 因为，则， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以为点到平面的距离，即所求为. 故答案为：. 题型八：平面与平面垂直的概念及定理辨析 【典例8-1】设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A，若，，则与可能会相交或平行，故A错误； 对于B，若，则可能会平行、相交或异面，故B错误； 对于C，若，且，根据线面垂直的性质可知，故C正确； 对于D，若，则与可能会相交或平行，故D错误. 【典例8-2】已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，， 则 C．若，， 则 D．若，， 则 【答案】D 【解析】对A，若，，可能相交、平行、异面，故A错误； 对B，若，，则或， 故B错误； 对C，若，，可能直线与平面斜交，也可能在平面内，故C错误； 对D，若，根据线面平行的性质，可知内必有一直线与平行，由知，内这一直线与垂直， 由面面垂直的判定定理知，故D正确. 故选：D 【方法技巧与总结】 排除法 【变式8-1】设为两个平面，为两条直线，则下列结论中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】C 【解析】对于A：当直线在平面内时，即，此时也可能满足，但根据定义，直线在平面内，线面不平行，故A错误； 对于B：当时，若，则，此时，不成立，故B错误； 对于C：由，经过直线的平面如果与平面有交线，由线面平行的性质定理知且，又，所以，而，所以，故C正确； 对于D：在正方体中，设平面为平面，平面为平面，则两平面的交线为.设直线为，则，但不与垂直，也不与垂直，故D错误. 故选：C. 【变式8-2】设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（    ） ①若，，则，为异面直线 ②若，，则 ③若，，，则 ④若，，，则 ⑤若，，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】对于①，由，得平面中存在直线与直线n平行，所以，有可能平行，所以①错误； 对于②，由平面平行的性质可判断②正确； 对于③，若，，则，因为，所以，所以③正确； 对于④，若，，所以，又，所以，所以④错误； 对于⑤，若，，则，又，所以，所以⑤正确. 故正确的个数是3. 故选：C. 【变式8-3】如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点、重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（    ）．    A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面平面 【答案】C 【解析】对于A选项，因为为圆的直径，为圆周上不与点、重合的点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面，A对； 对于B选项，因为平面，平面，所以平面平面，B对； 对于C选项，因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 因为过点作平面的垂线有且只有一条，故与平面不垂直， C错； 对于D选项，因为平面，平面，所以平面平面，D对. 故选：C. 题型九：面面垂直判定定理的解题应用 【典例9-1】如图，在正方体中，E，F分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求证：平面平面. 【解析】（1）如图，连接交于点，连接， 因为是正方形，所以是的中点，又是的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）因为分别是的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面. 又平面，且平面，， 所以平面平面. （3）因为平面，平面，所以， 又，平面，， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 【典例9-2】如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．证明：平面平面 【解析】如图， 取AB中点O，连接PO，CO. 因为，，所以， 即，且，. 又因为四边形是菱形，， 所以，. 因为，所以，即， 因为平面，平面ABCD，， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 【方法技巧与总结】（判定两个平面垂直的常用方法） （1）定义法：即说明两个平面所成的二面角是直二面角； （2）判定定理法：其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”； （3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面． 【变式9-1】在中，，，，，分别是，上的点，满足，且.将沿折起到的位置，使，如图所示.求证：平面平面. 【解析】在中，由，得，而，则， 将沿折起到的位置，始终有， 又平面，则平面， 又平面，则， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 【变式9-2】如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，为的中点．证明：平面平面； 【解析】四边形为平行四边形，可得，又， 所以为等边三角形，记为中点，所以. 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，， 四边形为平行四边形，， 所以为等腰三角形，所以，， 因为，所以. 又，平面， 所以平面． 平面，所以平面平面. 【变式9-3】如图所示，在空间四边形中，，，，，分别是，，的中点．求证：平面平面． 【解析】连接，．，，分别是，，的中点，且， ，且， ∴四边形为菱形，， 又，，， 又，．又，，平面， 平面，又平面， ∴平面平面． 题型十：空间二面角的求解方法 【典例10-1】如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.过点作于，作于，连. (1)证明：； (2)求平面与底面所成角的余弦值. 【解析】（1）已知底面，底面，所以， 又，平面， 故平面. 又平面，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，平面, 平面， 又平面，， （2）如图，设点在底面的投影分别是， 由题意知分别在上， 由（1）知平面，平面，则， 由于，故是的中点，则是的中点， 在中，，， ， ， 故， 由于，， 则，故， 在中，，， ， 记平面与底面所成角为，. 【典例10-2】如图，三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，，是延长线上一点，且． (1)求证：直线平面； (2)求二面角的大小； (3)求三棱锥的体积． 【解析】（1）因为，且， 所以四边形是平行四边形，可得． 又平面平面，所以直线平面. （2）过作于，连接， 因为平面，所以是在平面内的射影， 结合，可得， 所以是二面角的平面角． 因为，所以是的中点， 得到是三角形的中位线，所以． 在中，， 所以，即二面角的大小为. （3）过作于，因为平面， 平面，所以平面平面， 因为，平面平面， 所以平面，即为点到平面的距离． 因为正三角形中，， 故三棱锥的体积． 【方法技巧与总结】（作二面角的三种常用方法） （1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则为二面角的平面角． （2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，为二面角的平面角． （3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点向另一个平面作垂线，垂足为，由点向二面角的棱作垂线，垂足为，连接，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角． 【变式10-1】如图所示，在三棱锥中，平面，． (1)求证：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值． 【解析】（1）证明：平面，平面， ，又且． 平面．又平面平面平面． （2）由（1）知为二面角的平面角． 在Rt中，，，． 即二面角的正弦值为． 【变式10-2】矩形中，，P为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，求解以下问题： (1)在上是否存在点使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； (2)求二面角的余弦值． 【解析】（1）存在．如图所示： 连接，，设交于点F， ，且， ． 取的三等分点，使，连接，，，则． 又平面，平面， 平面． 故存在满足条件的点，且是线段上靠近点的三等分点． （2）在矩形中，，， ，． 又平面平面，平面，平面平面 平面， 平面，， ． 在中，，， 又，平面，平面，平面平面， 为二面角的平面角， 在中，， ∴二面角的余弦值为． 【变式10-3】如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为AC的中点，将沿BD翻折至，使得平面与平面CBD垂直． (1)证明：； (2)求点D到平面的距离； (3)求平面与平面DBC的夹角的余弦值． 【解析】（1）依题意，，而平面， 则平面，又平面， 所以. （2）由（1）知，，而平面平面，平面平面， 平面，则平面，又平面，则， 过作于，连接，由平面， 得平面，而平面，于是平面平面， 过在平面内作于，而平面平面，因此平面， 长即为点D到平面的距离，，， ，在中，，则， 所以点D到平面的距离. （3）由（2）得，则是平面与平面DBC的夹角， ， 所以平面与平面DBC的夹角的余弦值为. 题型十一：面面垂直性质定理的综合运用 【典例11-1】如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，是线段上的一点，且平面．求证： (1)平面平面； (2)是线段的中点； (3)平面． 【解析】（1）因为为正方形，则， 且平面，平面，可得平面， 又因为为平行四边形，则， 且平面，平面，可得平面， 且，平面，所以平面平面. （2）设，连接， 因为平面，平面，平面平面，则， 平行四边形中，， 又因为，则为平行四边形，则， 且为中点，则， 即，所以是线段的中点. （3）因为为正方形，则，， 且平面平面，平面平面，平面， 则平面，由平面可得， 又因为平面平面，平面平面，平面， 则平面，由平面可得， 且，平面，所以平面. 【典例11-2】如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，平面平面，且，点分别是棱的中点.求证：平面； 【解析】在矩形中，，且是的中点， ，故， 又，则，即， 如图，记，连接， 因是矩形，故是的中点，又，所以， 又平面平面，平面平面平面，故平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面. 【方法技巧与总结】（性质定理应用的注意事项） 利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：（1）两个平面垂直；（2）直线必须在其中一个平面内；（3）直线必须垂直于它们的交线． 【变式11-1】如图所示，在四棱锥中，平面，是的中点．在底面内且． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若平面平面，求证：． 【解析】（1）因为平面，平面，且平面平面， 所以． （2）取中点，连接， 因为分别为中点，所以且， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面． （3）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面， 所以． 【变式11-2】如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是等边三角形，平面平面，点是的中点.    (1)证明：直线平面； (2)若直线与平面的夹角的正切值为， （i）求四棱锥的体积； （ii）求三棱锥的外接球的半径. 【解析】（1）证明：设中点为，则由是等边三角形知 由四边形为矩形得， 又平面平面，平面平面，平面 所以平面， 又平面，所以 又，平面 所以平面. 由点是的中点，得， 所以四点共面， 所以直线平面 （2）（i）设中点为， 所以，又因为， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 过点作平面，因为平面平面， 所以点在上. 所以是直线与平面所成的角， 因为是等边三角形，， 所以在中，，， 因为直线与平面的夹角的正切值为 所以在中，，所以. 因为四边形为矩形， 所以在中，，即，解得， 所以 因此四棱锥的体积是. （ii）由（1）知直线平面中点为， 所以，点与点关于平面对称， 所以，三棱锥的外接球与三棱锥的外接球关于平面对称， 接下来求三棱锥的外接球半径. 设中点为中点为中点为， 三棱锥的外接球球心为，半径长为. 则平面， ， 即， 解得，因此. 所以三棱锥的外接球的半径为 【变式11-3】如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.求证：. 【解析】取的中点，连接，如图所示： 因为，所以， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面. 又平面，所以， 由，，、平面，所以平面， 又平面，所以. 题型十二：线面垂直与面面垂直综合解题应用 【典例12-1】如图，斜三棱柱的底面是边长为2的正三角形，且． (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）因为棱柱的底面是边长为2的正三角形，且， 所以三棱锥是正三棱锥， 因此顶点在底面的射影是正三角形的中心， 如图： 设点为边的中点，连接， 显然在上，且，平面， 因为平面， 所以，又因为平面， 所以平面，而平面， 所以，又因为， 所以； （2）因为棱柱的底面是边长为2的正三角形，且， 所以，在中，过作，垂足为，连接， 由全等三角形的性质可知，所以就是二面角的平面角， ， 所以， 因为， 同理可得， 由余弦定理可得， 所以二面角的余弦值； （3）由上可知是正三角形的中心，所以， 由勾股定理可得， 由三棱柱的性质可知平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 因为，所以，即是直角三角形， 设点到平面的距离为， 所以， 在中，，则， 在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【典例12-2】已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 【解析】（1）∵点在底面上的射影是与的交点， 平面， 平面，， 四边形为菱形，， ，平面， 平面． （2）由题意可得,与都是边长为2的等边三角形， ，， ， ，， 设点到平面的距离为， 由得， 即，解得， 故点到平面的距离为． （3）设直线与平面所成的角为， 平面， 到平面的距离即为到平面的距离， 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使最小，此时， 由题意可知：，， 平面，且， ，， 在中，由余弦定理可得： ， ， 由面积相等， 即，解得：， ，， 即点在线段上靠近点的4等份点处，此时，． 【方法技巧与总结】（空间垂直关系的注意事项） 直线、平面之间的平行、垂直关系是重点考查的位置关系，当已知线面、面面垂直或平行时考虑用性质定理转化，要证线面、面面垂直或平行时要用判定定理进行论证． 【变式12-1】（1）如图，长方体，，，，过作长方体的截面使它成为正方形. ①求三棱锥的体积；          ②求 . （2）如图所示，已知多面体，两两互相垂直，平面平面，平面平面，，，求该多面体的体积. （3）结合本题，总结求空间几何体的体积有哪些方法？ 【解析】（1）①由题可得： ②因为， 在长方体中平面， 所以三棱锥的高为， 所以 . （2）法一（分割法）： 因为几何体有两对相对面互相平行，两两互相垂直，所以可推出. 如图所示，过点作于，连接， 即把多面体分割成一个直三棱柱和一个斜三棱柱. 由题知，，. 故所求几何体的体积为. 法二（补形法）： 因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积为该正方体体积的一半. 又正方体的体积，故所求几何体的体积为. （3）分割法；补形法；等体积转换法. 【变式12-2】如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，. (1)求四棱锥的表面积； (2)四棱锥的所有顶点都在球O的球面上，求球O的体积. 【解析】（1）因为底面，底面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面PAD，所以，且， 同理，且， 所以四棱锥的表面积 . （2）如图，取的中点O，连接，，，， 由（1）知，，根据直角三角形的性质知. 因为底面，底面，所以， 所以，则， 所以球O的半径， 所以球O的体积. 【变式12-3】如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别为，的中点，与交于点，，为上一点，． (1)证明：； (2)求证：平面平面； (3)若，求与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）已知底面是矩形，底面，，分别为，的中点， 则， 在和中，，则三个内角均对应相等，故， 相似比为， ，即， 已知，则， 由平行线分线段成比例定理可得， 又分别为的中点， ，． （2）在矩形中，， ，则， ，则， ， ，即， 底面，底面，故， ，且平面， 平面， 又平面， 平面平面． （3） 平面，即平面， 即为与平面所成的角， 由（2）知，， 已知，，， ， 在中，． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $