专题8.7 空间直线、平面的垂直重难点题型讲义（2个知识点+15大题型+3大拓展训练+自我检测） -2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题8.7 空间直线、平面的垂直重难点题型专训 （2个知识点+15大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 证明异面直线垂直 题型二 求异面直线所成的角 题型三 由异面直线所成的角求其他量 题型四 证明线面垂直 题型五 线面垂直证明线线平行 题型六 线面垂直证明线线垂直 题型七 线面垂直证明面面平行 题型八 求点面距离 题型九 求面面距离 题型十 求线面角 题型十一 由线面角的大小求值 题型十二 证明面面垂直 题型十三 面面垂直证线面垂直 题型十四 求二面角 题型十五 由二面角大小求线段长度或距离 拓展训练一 线线垂直相关问题 拓展训练二 线面垂直相关问题 拓展训练三 面面垂直相关问题 知识点一： 直线与平面垂直 1、文字语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 2、符号语言：l⊥α 3、有关概念：直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足 4、图形语言： 5、画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 6、空间距离 ①点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离 ②直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. ③两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 【注意】过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 直线与平面垂直的判定定理 1、文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2、符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 3、图形语言： 4、作用：证明线面垂直 直线与平面垂直的性质定理 1、文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行. 2、符号语言：⇒a∥b 3、图形语言： 4、作用：①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线 5、推论： （1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． （2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. （3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/ （4）垂直于同一条直线的两个平行平行. 【即时训练】 1．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，证明平面及平面，求出点到平面的距离即可. 【详解】连接交于点E，    由四边形为正方形，得，且为中点， 由⊥底面，平面，得⊥， 而，平面，则平面， 因此AE的长即为点到平面的距离， 又正方体棱长为，则， 而平面，平面，则平面， 故直线到平面的距离，即点到平面的距离. 故选：C 2．（25-26高二上·上海·期中）已知是三角形所在平面外一点，且，则点在平面上的射影是三角形的___________心. 【答案】外心 【分析】由平面和，利用勾股定理，求得，即可求解. 【详解】如图所示，由点是点在平面的射影，所以平面， 可得，,， 因为，所以， 所以为的外心. 故答案为：外心.    知识点二： 平面与平面垂直 1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 2、图形语言： 3、符号语言：α⊥β. 平面与平面垂直的判定定理 1、文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 2、图形语言： 3、符号语言： 平面与平面垂直的性质定理 1、文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线， 那么这条直线与另一个平面垂直 2、图形语言： 3、符号语言： 4、作用：①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线 5、平面与平面垂直的其他性质 （1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即 （2）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即； （3）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即； （4）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即； （5）三个凉凉垂直的平面的交线也两两垂直，即 【即时训练】 1．（2025高一下·全国·专题练习）在空间四边形中，，那么必有（    ） A．平面⊥平面 B．平面⊥平面 C．平面⊥平面 D．平面⊥平面 【答案】C 【分析】由面面垂直的判定定理判断． 【详解】在空间四边形中，, 又由,且面，平面，平面， 所以平面， 又因为平面, 所以平面⊥平面， 故选：C. 2．（24-25高二上·上海·期末）已知正方体，点为线段上的点，则满足平面的点的个数为______. 【答案】1 【分析】根据面面垂直的性质定理及在一个平面内过一点作已知直线的垂线的唯一性可得结果. 【详解】在正方体中，面，所以平面面， 且平面面，连接，交于P，则有, 即，由面面垂直的性质定理有平面， 又在平面内过点作直线的垂线有且仅有一条， 故垂足点P有且仅有一个， 故答案为：1.     【经典例题一 证明异面直线垂直】 【例1】（24-25高二上·上海·月考）若空间中四条两两不同的直线，满足   则下面结论一定正确的是（  ） A． B． C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定 【答案】D 【分析】将满足题意的直线放入长方体模型判断即可. 【详解】如图所示，取，，， 当取时，，当取时，，排除ABC. 故选：D. 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 【答案】证明见解析 【分析】通过平移后再解三角形即可获得证明. 【详解】证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH． 因为E是AB的中点，且AD=2， 所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，FH=1． 所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角． 因为EF=，所以EH2+FH2=EF2， 所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边， 所以∠EHF=90°，即AD与BC所成的角是90°， 所以AD⊥BC． 1．（24-25高三上·江西·期中）如图，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E, F分别是点A在P B, P C上的射影，给出下列结论： ①；②；③；④.正确命题的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】试题分析：∵是圆的直径，∴，又面圆，故，且，∴面，所以，又，且，∴面，故，，故①③正确, 又，且,所以面，从而，故②正确， 若，则可证面，又面，则面∥面，与面面矛盾，所以不正确，故选C. 考点：1、线面垂直的判定；2、线面垂直的性质. 2．（24-25高三上·浙江·月考）给出下列命题，其中正确的命题为 A．若直线和共面，直线和共面，则和共面； B．直线与平面不垂直，则与平面内的所有直线都不垂直； C．直线与平面不平行，则与平面内的所有直线都不平行； D．异面直线，不垂直，则过的任何平面与都不垂直. 【答案】D 【详解】试题分析：A：直线共面不具有传递性，故A错误；B：根据线面垂直的判定可知B错误；C：若直线，满足直线与平面不平行，但平面内存在无数条直线与已知直线平行，故C错误；D：假设存在过的平面与垂直，则可知，∴假设不成立，故D正确，故选D． 考点：空间中点、线、面的位置关系及其判定． 3．（25-26高一·全国·课后作业）如图，正方体的棱长为1，过点作平面的垂线，垂足为点，有下面三个结论：①点是的中心；②垂直于平面；③直线与直线所成的角是90°.其中正确结论的序号是_______. 【答案】①②③ 【分析】对于①，先利用线面垂直的性质，结合已知条件，得到，进而可判断①； 对于②，由已知条件，根据面面平行的判定定理，得到平面平面，再由垂直于平面，即可判断②； 对于③，连接，根据线面垂直的判定定理，得到平面，即可得出，从而可判断③ 【详解】对于①，因为平面，， 所以， 所以，所以是的外心； 又因为是等边三角形，所以点是△的中心.故①正确； 对于②，因为，， 所以，且，所以四边形是平行四边形，所以. 又因为平面，平面，所以平面. 同理可证平面. 又因为，所以平面平面； 又因为垂直于平面，所以垂直于平面.故②正确； 对于③，连接. 因为四边形是正方形，所以. 因为平面，平面，所以. 又因为，所以平面. 又因为平面，所以， 所以直线与所成的角是90°. 故答案为①②③ 4．（24-25高一下·全国·课后作业）在直三棱柱中，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】找到异面直线的夹角，利用直三棱柱的性质求出夹角度数，再证明线线垂直即可. 【详解】如图，连接，设，，， 由直三棱柱性质得，， 因为，所以由勾股定理得， 因为三棱柱是直三棱柱，所以， 由勾股定理得，， 故，则，即． 由直三棱柱性质得，故就是直线与所成的角， 所以得证． 【经典例题二 求异面直线所成的角】 【例1】（2025高二下·吉林·学业考试）如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据异面直线所成角的定义，结合正方体线线关系即可求解. 【详解】如图，连接    在正方体中，因为 所以四边形为平行四边形，所以 又在正方形中，，所以 则异面直线与所成角的大小为. 故选：D 【例2】（25-26高二上·上海·月考）如图，在四面体中，，，､分别为､的中点 (1)求证：直线和为异面直线. (2)求直线和所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据异面直线的定义判断证明； （2）取中点，连接、，根据已知及异面直线所成角的定义找到其平面角，进而确定其大小. 【详解】（1）由平面，故平面，而平面，， 又平面，故平面，故直线和为异面直线； （2）取中点，连接、，由于、分别为、的中点， 所以，且， 故直线和所成角，即或其补角， 因为，故，因为，故，故， 所以直线和所成角为. 1．（2026·辽宁大连·一模）在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出异面直线与所成角，利用余弦定理求得所成角的余弦值. 【详解】由于，所以， 设分别是的中点，连接，则， 所以异面直线BE与AD所成角为（或其补角）， 在中，， 所以， 所以异面直线BE与AD所成角的余弦值为. 2．（多选）（24-25高一下·山东日照·月考）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列结论正确的是（    ）    A．与平行 B． C． D．直线中，任意两条都是异面直线 【答案】BCD 【分析】还原成正方体之后根据正方体性质分析线线位置关系. 【详解】根据展开图还原正方体,如图所示：与不平行，所以A错误； 正方形中有，所以B正确； 正方体中易得，所以是等边三角形，所以，所以C正确； 由图可得，，三条直线中任意两条既不相交也不平行，所以任意两条都是异面直线，所以D正确. 故选：BCD      3．（25-26高二上·北京西城·期末）如图所示，在直三棱柱中，，.则异面直线，所成角的大小是______. 【答案】 【分析】根据异面直线所成角的定义求解即可. 【详解】如图，连接， 直三棱柱中，， 所以异面直线与所成角为， 因为，，易得， 所以为等边三角形，所以， 故答案为： 4．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，三棱锥中，平面，，，是的中点． (1)求证：与是异面直线； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】第（1）问用反证法，假设两条直线共面，通过推理得出与已知条件矛盾，从而证明它们异面； 第（2）问通过作辅助线将异面直线所成角转化为相交直线所成角，再在三角形中利用余弦定理求出角的余弦值. 【详解】（1）证明 假设与共面，设平面为， 因为，，，所以平面即为平面，所以平面， 这与平面矛盾， 所以与是异面直线． （2）取的中点，连接，，则，所以（或其补角）就是异面直线与所成的角． 因为，，平面， 所以，，，， 故异面直线与所成角的余弦值为． 【经典例题三 由异面直线所成的角求其他量】 【例1】（24-25高二下·湖南·期末）在长方体中，与所成的角为，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】连接，由，可得是异面直线与所成的角，再利用长方体的性质、直角三角形的边角关系即可得出. 【详解】如图所示，连接，由图知为锐角，   是异面直线与所成的角，即， 在中，， 在中，有，即. 故选：D. 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）在四面体A-BCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，求EF的长度． 【答案】或 【分析】先平移后再解三角形即可. 【详解】如图，取BC中点O，连接OE，OF． ∴OE∥AC，OF∥BD，∴OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角．    而AC，BD所成的角为60°， ∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°． 当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝； 当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，连接OM，则OM⊥EF，EF＝2EM＝． 1．（2025高三·全国·专题练习）已知平行四边形，，BC=1，，E是线段CD上一动点.将沿AE所在的直线进行翻转，在翻转过程中，下列结论不正确的是（ ） A．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 B．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 C．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 【答案】A 【分析】由旋转对应角相等，以及极限思想可知，要想只需要证明.设由正弦定理求出.由，得到的取值范围. 【详解】设翻折前的记为，，，则在翻折过程中，存在某个位置使得直线与垂直，只需保证， ，由极限位置知，只需保证即可． 在中，，，，则， 由正弦定理知，，则，其中； 因为为线段上的一动点，则， 故选：A． 2．（多选）（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用异面直线所成角的定义和余弦定理求解可得. 【详解】取的中点为，连接，，如图：    在中，，且，在中，，且， 因为异面直线与所成角的大小为，所以直线PM，PN的夹角为，则或， 当时，由余弦定理得，，得. 当时，由余弦定理得，，得. 综上所述，或. 故选：CD 3．（24-25高二上·上海黄浦·月考）若两异面直线a，b所成的角为70°，过空间内一点P作于直线a，b所成角均为70°的直线l，则所作直线l的条数为______. 【答案】4 【分析】利用异面直线所成的角的概念进行分类讨论即可求解. 【详解】在空间取一点，经过点分别作，设直线确定平面，如图，    当直线满足它的射影在所成角的平分线上时，与所成的角等于与所成的角， 因为直线，所成的角为，得所成锐角等于， 当射影在所成锐角的平分线上时，与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 当的射影在所成钝角的平分线上时，与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 综上所述，过空间任意一点可作与，所成的角都是的直线有4条. 故答案为：4 4．（25-26高一·全国·课后作业）在四棱柱中，侧面都是矩形，底面是菱形且，，若异面直线和所成的角为，试求. 【答案】 【分析】连接、，分析可知异面直线和所成的角为，设，计算出三边边长，利用勾股定理可得出关于的等式，即可求得的长. 【详解】解：连接、， 在四棱柱中，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 所以，异面直线和所成的角为， 因为四边形、均为矩形，则，， 在菱形中，，， 由余弦定理可得， 设，则， 因为，由勾股定理可得，即，解得. 【经典例题四 证明线面垂直】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，为的中点，记过三点的平面为．过点作平面的垂线，垂足为，垂线与侧面相交于点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先作出平面，根据垂直关系找到，求出长度可得答案. 【详解】取的中点的中点，连接与相交于点，连接，由正方形的性质知四边形为矩形，矩形所在平面即平面． 由可知，得， 又由，可得， 由题意知平面，且平面，故平面． 正方形的边长为2， 有，，则， 故选：D．    【例2】（25-26高三·全国·二轮复习）如图为正四棱台与正四棱锥拼接而成的几何体. 证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】记与的交点为O，与的交点为，由正四棱台和正四棱锥结构性质结合线面垂直的性质定理求证和，再根据线面垂直的判定定理即可得证. 【详解】证明：记与的交点为O，与的交点为， 则由正四棱台和正四棱锥结构性质可得平面，平面，且， 又，所以三点共线， 又因为平面，则，即， 又由正四棱台结构性质可知，所以， 因为，平面，平面， 故平面. 1．（25-26高二上·贵州遵义·月考）在棱长为1的正方体中，点D到平面的距离为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】明确点到平面的距离，利用正方体的线面关系求距离. 【详解】如图：    连接交AC于点，则为BD中点， 因为为正方体，所以平面，又平面，所以； 又底面为正方形，所以. 因为，平面, 所以平面. 故点到平面的距离为． 故选：A． 2．（多选）（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图所示，在正方体中，给出以下判断，其中正确的有（    ） A．平面 B．平面 C．与是异面直线 D．平面 【答案】ACD 【分析】由线面垂直的判定定理和线面平行的概念及异面直线的定义逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A，因为为正方体，所以平面，所以A正确； 对于选项B，因为平面， 所以与平面也有交点，所以B错误； 对于选项C，因为与相交，所以与异面，所以C正确； 对于选项D，因为平面，平面， 所以且， 所以平面，平面，所以， 同理，所以平面，所以D正确. 故选：ACD． 3．（24-25高一下·山东菏泽·月考）如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，FN．若，且，则线段MN的长等于_____________． 【答案】 【分析】连接，利用线线垂直可证得平面，进而可证，利用勾股定理可求得. 【详解】连接，因为，所以， 又四边形是正方形，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 又，， 在中，可得， 在中，可得，所以. 故答案为：. 4．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面，且，，，，. 证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】延长，交于点，连接，证得，，再证得，得到，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得平面. 【详解】延长，交于点，连接， 因为平面，且平面， 所以且，即，， 因为为等边三角形，所以， 又因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 又因为，且平面， 所以平面，即平面. 【经典例题五 线面垂直证明线线平行】 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知直线平面于点O，，，，，且．若平面，垂足为C，平面，垂足为D，，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据平面，平面得，结合相似三角形的性质即可求解. 【详解】如图，因为平面，平面，所以． 连接OD，所以． 因为，所以． 因为，所以． 故选：A． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，是等边三角形，直线平面ABC，直线平面ABC，且，F是线段EB的中点．求证：平面ABC． 【答案】证明见解析 【分析】取AB的中点M，先证四边形是平行四边形，则，再利用线面垂直的性质、线面平行的判定推理得证． 【详解】取AB的中点M，连接FM和CM， 在中，F是EB的中点，M是AB的中点，则且， 由平面，而平面，得， 所以，，因此四边形是平行四边形，， 而平面，平面，所以平面． 1．（25-26高一·全国·课后作业）已知直线l∩平面α＝点O，A∈l，B∈l，A∉α，B∉α，且OA＝AB．若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD＝（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由线面垂直的性质得出AC∥BD，结合三角形相似得出BD. 【详解】因为AC⊥平面α，BD⊥平面α，所以AC∥BD．连接OD， 所以．因为OA＝AB，所以．因为AC＝1，所以BD＝2． 故选：A． 2．（多选）（24-25高一下·全国·随堂练习）（多选）直线和在正方体的两个不同平面内，则可以使成立的条件是（    ） A．和垂直于正方体的同一个面 B．和与正方体的同一个面平行 C．和平行于同一条棱 D．和与正方体的同一条棱垂直 【答案】AC 【分析】根据空间中的直线与直线，直线与平面的位置关系即可根据选项逐一求解. 【详解】对于A，根据垂直于同一平面的两直线平行，可知A正确， 对于B，与同一平面平行的两直线可能平行，可能相交，可能异面，故B错误， 对于C，根据平行的传递性可知：平移于同一条的棱的两直线平行，故C正确， 对于D，与同一条直线垂直的两直线可能平行，可能相交，可能异面，故D错误， 故选：AC 3．（24-25高一下·北京·期末）已知a，b是平面外的两条不同直线．给出下列六个论断：①；②；③；④；⑤；⑥．选其中的两个论断作为条件，余下的其中一个论断作为结论，写出一个正确的命题：______． 【答案】，则（答案不唯一，符合题意均可） 【分析】取③④作条件，⑥作结论，根据线面垂直的性质即可得解. 【详解】以③④作条件，⑥作结论，即若，则. 因为， 所以． 故答案为：，则.（答案不唯一，符合题意均可） 4．（24-25高三·全国·一轮复习）如图，在圆台中，为轴截面，为下底面圆周上一点，为下底面圆内一点，垂直下底面圆于点.求证：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】根据面面平行的判定定理证明即可得出结论. 【详解】 由于垂直下底面圆， 故， 平面，平面， 所以平面， 又，所以， 平面，平面， 所以平面 平面， 所以平面平面 【经典例题六 线面垂直证明线线垂直】 【例1】（2025·四川绵阳·模拟预测）若l，m是两条不同的直线，平行于平面，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】首先利用长方体判断不满足充分性，再根据线面垂直的性质判断必要性，即可得到答案. 【详解】充分性：如图所示，在长方体中，满足：，， 此时不垂直平面，故不满足充分性. 必要性：可推出，满足必要性. 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B 【例2】（2026高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为等腰直角三角形，，D为中点．求证：； 【答案】证明见解析 【分析】用线面垂直证明线线垂直即可. 【详解】证明：设的中点为，连接，连接，则， 又因为为等腰直角三角形，， ，又是正三角形， ， 又因为平面，则面，面， . 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知垂直平行四边形所在平面，若，则平行四边形一定是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 【答案】D 【分析】根据线面垂直性质定理及判定定理判断即可. 【详解】如图所示，因为平面，所以． 因为，且， 所以平面，所以． 所以平行四边形为菱形． 故选：D． 2．（多选）（24-25高一下·云南丽江·月考）在正三棱柱中，为中点，则下列命题错误的是（   ） A． B．平面 C．平面 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，B和D，利用正三棱柱的性质，逐一分析判断，即可求解，对于C，利用线面平行的判定定理，即可求解. 【详解】对于A，由题知，若，又，面， 所以面，又面，则，与相矛盾，所以与不垂直，故A符合题意， 对于选项B，若平面，又面，则， 又，则，显然与不垂直，所以与平面不垂直，故B符合题意， 对于选项C，因为，又面，面，所以平面，故C不合题意， 对于选项D，因为，若，则，显然不正确，故D符合题意，    故选：ABD. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足________时，. 【答案】 【分析】欲使成立，即得到平面，已知，再增加即可得到. 【详解】当底面四边形的两对角线垂直时，可得到. 证明如下：如图，连接. ∵在直四棱柱中， 平面，平面， . 若，又， 则平面. 又平面， . 在直四棱柱中，且， 则四边形是平行四边形， 所以，故. 故答案为： 4．（25-26高二上·上海·期中）如图，在长方体 中， 是上底面 内的一点(不在边界). (1)在平面 内，过 作直线 ，使得 . 保留作图. (2)对在（1）中所作出的直线 ，请说明 的理由. 【答案】(1)作图见解析 (2)理由见解析 【分析】（1）根据异面直线垂直的定义作图. （2）根据长方体的性质，利用线面垂直的判定定理和定义证明. 【详解】（1）过点作， 因为长方体中，， 因为，所以，即. 那么直线即是直线，如图所示. （2）因为长方体中，平面，平面,所以. 又因为，平面,， 所以平面, 又因为平面, 所以，即. 【经典例题七 线面垂直证明面面平行】 【例1】（24-25高二上·浙江杭州·月考）平面，互相平行的一个充分条件是（    ） A．，都垂直于同一平面 B．某一直线与，所成角相等 C．，都平行于同一直线 D．，都垂直于同一直线 【答案】D 【分析】根据面面平行的判定定理及线面垂直的性质逐一分析判断即可. 【详解】对于A，若，都垂直于同一平面，则平面，相交或平行，故A错误； 对于B，若某一直线与，所成角相等，则平面，相交或平行，故B错误； 对于C，若，都平行于同一直线，则则平面，相交或平行，故C错误； 对于D，，都垂直于同一直线，则平面，互相平行，故D正确. 故选：D. 【例2】（24-25高三上·四川成都·月考）如图，长方体中，，，，，分别是，上的点，且，过直线的平面与，分别交于点，. （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是正方形，求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 且平面平面，所以, 因为在矩形中，，所以, 又因为平面，所以平面, 由平面，所以， 同理可证， 又因为，平面，所以，所以四边形是矩形. （2）因为四边形是正方形，所以， 过点作于点，则， 所以，所以， 所以. 1．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，是两个不同平面，，是两条不同直线，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】由题意作长方体，根据长方体的几何性质，利用线面位置关系以及反例，可得答案. 【详解】由题意作长方体，    对于A，当直线分别为，平面为平面时，显然，但，故A错误； 对于B，当平面分别为平面平面，直线为，显然，但，故B错误； 对于C，当平面分别为平面平面，直线为，显然，但，故C错误； 对于D，由线面垂直的性质，可得D的正确. 故选：D. 2．（多选）（24-25高一下·重庆·期末）已知m，n是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ）． A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】BC 【分析】利用线面平行、垂直的性质推理判断ABC；举例说明判断D. 【详解】对于A，由，，得或，A错误； 对于B，由，，得，而，则，B正确； 对于C，由，得存在过直线的平面，则，由，得，因此，C正确； 对于D，在正方体中，令平面、平面分别为， 直线为，直线为，满足，而，D错误. 故选：BC 3．（24-25高三上·河南开封·月考）已知，是两条直线，、、是三个不同的平面，给出下列命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，且，，则； ④若，为异面直线，且，，，，则． 其中正确命题的序号是______． 【答案】②④ 【分析】作出一个正方体，进而根据各个面的位置关系并结合条件可以判断①； 根据线面垂直的性质定理可以判断②； 根据面面平行的判定定理可以判断③④. 【详解】如图1，记平面为平面，平面，平面，显然，，但.所以①错误； 垂直于同一条直线的两个平面平行.所以②正确； 一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行.所以③错误； 如图2，因为，过m作平面，使得，所以，易知，所以，又异面，则相交，设交点为M，又，，所以.所以④正确. 故答案为：②④. 4．（24-25高二上·上海闵行·月考）已知四面体的所有棱长为2，E，F分别为棱BC，AD的中点.则 (1)求证直线EF与直线AB是异面直线； (2)求EF和AB所成的角. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】(1)利用异面直线的定义进行证明，既不平行也不相交即可得证 (2)取BD的中点O，连接OF，OE，将异面直线EF和AB所成的角转化为OF与EF的夹角，在中求出即可 【详解】（1）证明：取BD的中点O，连接OF，OE，又E，F分别为棱BC，AD的中点， OF为中位线，即，由，推出不平行， 平面中，平面中，平面，又平面， 所以与没有交点，综合得出与既不平行也不相交，所以直线EF与直线AB 是异面直线，从而得证. （2），则EF和AB所成的角可转化为与AB所成的角即为，由四面体 的所有棱长为2，所以四面体为正四面体，过点做平面的投影，点也是底面 正三角形的中心连接并延长交与点， ，又平面，，由，平面， .，，可得.由题意得，则， ，即EF和AB所成的角为 【经典例题八 求点面距离】 【例1】（25-26高二上·贵州遵义·月考）在棱长为2的正方体中，点到平面的距离是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等体积法转化为点到平面的距离求解即可. 【详解】如图， 连接，因为平分， 所以点与点到平面的距离相等， 设点到平面的距离为， 因为， 所以， 即，解得， 故选：D. 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知为外一点，，，两两垂直，，求点到平面的距离． 【答案】． 【分析】根据点到平面距离的定义，结合全等三角形的判定定理、勾股定理、三角形外心的定义进行求解即可. 【详解】如图所示，过作平面于点， 连接，，， ，， ， ， ，为的外心． 又，，两两垂直，， 为正三角形，． ∴点到平面的距离为． 1．（25-26高二上·广东汕头·期中）已知正方体的棱长为4，则点C到平面的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等体积法，由求解. 【详解】， ， 则，设点C到平面的距离为h， 则， 又因为， 所以， 故选：A 2．（24-25高二下·浙江·开学考试）在直三棱柱中，，，P是棱的中点，则C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合三棱锥得体积，直接使用等体积法得到答案. 【详解】由条件可得是等腰直角三角形，且， 故， 所以, , 设P到直线的距离为h， 则由, 可知, 设所求距离为d， 因， 则， 解得：. 故选：D. 3．（2026高一·全国·专题练习）已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为______. 【答案】1 【详解】连接交于点E， 由四边形为正方形，得，且为中点， 由⊥底面，平面，得⊥， 而，平面，则平面， 因此AE的长即为点到平面的距离， 又正方体棱长为，则， 而平面，平面，则平面， 故直线到平面的距离，即点到平面的距离. 4．（25-26高二上·上海·期中）四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.    (1)证明：平面； (2)设，，求到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取AC中点为O，连接，通过证明可完成证明； （2）如图做，垂足为F，由题可证平面，据此可得到平面的距离 【详解】（1）取AC中点为O，连接，，由底面为矩形， 则分别为的中点，，又平面，平面， 则平面； （2）如图做，垂足为F， 又平面，平面，则， 又平面，则平面. 则到平面的距离为， 则.    【经典例题九 求面面距离】 【例1】（25-26高一·全国·课后作业）若∥，且，AB、CD在内的射影长分别为9和5，则AB、CD的长分别为(　　) A．16和12 B．15和13 C．17和11 D．18和10 【答案】B 【分析】首先设，则，结合平行平面距离的定义由条件列方程求解. 【详解】如图， 作，垂足分别为M、N， 设，则， 因为∥，则， 则，解得， 所以AB、CD的长分别为15、. 故选：B. 【例2】（25-26高二·上海·课堂例题）如图，已知正方体的棱长为，求：    (1)点到直线的距离； (2)点到平面的距离； (3)到平面的距离； (4)平面到平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）证明，根据距离的定义可得为所求，解三角形求结论； （2）由点面距离定义可得为所求，由此可得结论； （3）根据直线与平面的距离的定义可得为所求，由此可得结论； （4）根据平面与平面距离定义可得为所求，由此可得结论； 【详解】（1）由正方体性质可得，平面，平面， 所以，垂足为， 所以点到直线的距离为，又 所以点到直线的距离为；    （2）由正方体性质可得平面，垂足为， 所以点到平面的距离为，又， 所以点到平面的距离为， （3）由正方体性质可得，平面平面， 又平面，所以平面， 所以到平面的距离等于点到平面的距离， 又平面，垂足为， 所以点到平面的距离为，又， 故到平面的距离为， （4）由正方体性质可得平面平面， 所以平面到平面的距离等于点到平面的距离， 因为平面，垂足为， 所以点到平面的距离为，又， 所以平面到平面距离为. 1．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】证明平面，平面，等体积法求点到平面的距离和点到平面的距离，可得平面到平面的距离. 【详解】连接，正方体中，平面，平面，则， 正方形中，有， 平面，，所以平面， 平面，则有， 同理有，平面，， 所以平面，同理有平面， 正方体棱长为，则，， 设点到平面的距离为，由，    有，解得， 即点到平面的距离为2，同理点到平面的距离为2， ， 则平面到平面的距离为. 故选：B. 2．（多选）（25-26高二上·贵州贵阳·月考）在棱长为1的正方体中，下列说法正确的有（    ） A．点到平面的距离等于1； B．直线到平面的距离等于1； C．平面到平面的距离等于1. D．点到平面的距离等于1 【答案】ABC 【分析】分别由平面、平面和平面、平面平面即可分析求解判断ABC；设点到平面的距离等于d，由即可求解判断D. 【详解】由正方体结构性质可知平面，所以点到平面的距离等于1，A正确； 由正方体结构性质可知，在平面外，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离等于点C到平面的距离， 又由正方体结构性质可知平面，所以直线到平面的距离为，B正确； 由正方体结构性质可知平面平面，平面且平面， 所以平面到平面的距离等于，C正确； 设点到平面的距离等于d，由题意可得， 所以，又， 所以由得，D错误. 故选：ABC 3．（25-26高一·全国·课后作业）在长方体中，，，，则直线BC到面的距离为________；直线到面的距离为________；面与面的距离为________. 【答案】 5 4 3 【解析】直线BC到面的距离为,直线到面的距离为,面到面的距离为可解. 【详解】如图 直线BC到面的距离为； 直线到面的距离为； 面到面的距离为. 故答案为：5；   4；   3. 【点睛】本题考查线面距离和面面距离，属于基础题. 4．（24-25高二上·上海黄浦·月考）如图，正方体中，. （1）求证：平面平面； （2）求两平面与之间的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）根据正方体的性质，通过证明线面平行证明面面平行即可； （2）作出两平行平面的公垂线段，再计算公垂线段的长即可得出结论. 【详解】(1)正方体中，且不在平面内， 所以平面 同理可得，平面 又 平面平面 ； （2）如图，设，连接， ， 平面，， 又正方体中，平面， ，又， 平面，根据（1），平面平面 平面， 图中线段EF为两平面的公垂线段，线段EF的长即为两平面间的距离， 平行四边形中，分别是的中点， 是线段的三等分点， ， 两平面与之间的距离为. 【经典例题十 求线面角】 【例1】（25-26高三上·北京·月考）已知正三棱柱的所有棱长均为2，且点在上运动，则直线与平面所成角的最大正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作于，根据已知易得底面，且为等边三角形，再由线面角的定义找到直线与平面所成角的平面角，进而分析其最大对应的正弦值即可. 【详解】过作于，根据正三棱柱的结构特征知底面，且为等边三角形. 所以直线与平面所成角是，而， 显然，要使最大，只需最大，即最小， 在中，故，此时最大， 所以，此时. 故选：B 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图.已知正方体. (1)求与底面所成的角； (2)设正方体的棱长为a，求与底面所成的角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由底面结合线面角定义即可求解； （2）由底面得到是与底面所成的角即可计算求解. 【详解】（1）因为底面，所以是与底面所成的角. 因为侧面是正方形，所以. 即与底面所成的角为. （2）如图，连接，则. 因为底面， 所以是与底面所成的角，同时. 在中，，，， 所以，即与底面所成角余弦值为. 1．（25-26高一下·全国·课后作业）已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，取中点，连接， 由题知，又为中点，所以. 又因为侧棱垂直于上下底面，平面，所以， 又因为，且平面，所以平面. 则为与侧面所成的角， 令各棱长为1，则． 2．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正四面体的性质求解即可. 【详解】在正四面体中，不妨取棱长为1，设为底面的中心，为的中点，连接， 则平面，所以就是侧棱与底面所成角， 又，所以， 故正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值为. 故选：A. 3．（25-26高二上·上海·月考）已知等腰直角三角形的一条直角边在平面上，斜边与平面所成的角为，则另一条直角边与平面所成角的大小为______． 【答案】/ 【分析】等腰直角三角形，，且直角边在平面内，若是在平面内的投影，可得，进而得到另一条直角边与平面所成角为，根据已知求其大小. 【详解】如下图，等腰直角三角形，，且直角边在平面内，    若是在平面内的投影，则，，故， 所以另一条直角边与平面所成角为， 由题设，，则，而， 所以，则. 故答案为： 4．（25-26高二上·上海·期中）如图所示，在直三棱柱中，，若，    (1)设的中点，求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直； （2）由（1）易知即为求直线与平面所成的角，结合勾股定理及直角三角形性质可得解. 【详解】（1）取的中点，连接，，    由已知为直三棱柱，即平面， 且平面，则， 由，则且，，平面， 平面； （2）由（1）知平面，连结， 即为与平面所成的角， 在中， 由，得，， ， 所以，所以， 即与平面所成的角为. 【经典例题十一 由线面角的大小求值】 【例1】（24-25高二下·广西桂林·期中）三棱锥P﹣ABC的高为PH，若三条侧棱与底面所成的角相等，则H为△ABC的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【分析】顶点在底面上的射影，以及侧棱与底面的夹角，构成的三个三角形是全等三角形，推出垂足到三个顶点距离相等，可得结果. 【详解】解：三棱锥P﹣ABC的高为PH， 因为三条侧棱与底面所成的角相等， 所以△PHA，△PHB，△PHC都是直角三角形 ∵PH是公共边，∠PAH=∠PBH=∠PCH ∴△PHA≌△PHB≌△PHC ∴HA=HB=HC 故H是△ABC外心 故选：B. 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆的圆心，底面圆半径为10，C是SB的中点，，AC与底面所成角的大小为45°，求的面积． 【答案】 【分析】根据平面垂线的性质，可以判断点在底面的射影K是OB的中点，再根据结合线面角定义，可以判断出，在中，利用余弦定理求出、再根据勾股定理求出圆锥母线的长和边上的高长，最后利用三角形面积公式进行求解可. 【详解】因为SO垂直于底面，C是SB的中点， 所以C在底面的射影K是OB的中点， 因为CK垂直于底面， 所以∠CAK为AC与底面所成角，即， 于是在中，， 又在中，，，． 由余弦定理，得． ∴，因此， 由勾股定理可知：． 在中，边上的高长为， ∴的面积为 1．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，，且斜线段在平面内的射影互相垂直，则的长为（    ） A．6cm B． C． D．8cm 【答案】D 【分析】根据给定条件，作出几何图形，结合线面角的定义求出在平面内的射影长，再利用直角梯形的性质求解. 【详解】令于，于， 则，， 依题意，， 因此， 在直角梯形中，. 故选：D.    2．（25-26高三上·陕西·月考）已知正三棱锥的底面的边长为6，直线与底面所成角的余弦值为，则正三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作平面，因为三棱锥为正三棱锥，所以是正三角形的中心，由，求出,即可由体积公式求解. 【详解】 如图所示，作平面，因为三棱锥为正三棱锥， 所以是正三角形的中心，连接， 正三棱锥的底面的边长为6，所以， 因为直线与底面所成角的余弦值为，即， 所以， 故, 故选：B 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，则该正四棱锥的高是______    【答案】 【分析】作出辅助线，得到⊥平面，故，先得到，求出，得到答案. 【详解】连接，相交于点，连接， 则⊥平面，故， 因为，所以，， 故，故， 正四棱锥的高为.    故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知四面体的所有棱长都相等，分别是棱上的点，满足．若与平面所成的角为，求的值．    【答案】 【分析】 在上取点，使得，然后作出与平面所成的角，根据已知列方程求解即可. 【详解】设四面体的所有棱长的棱长为1， 因为，所以． 在上取点，使得，则， 故． 如图，过点A作平面于点，连接CO． 过点作于点，则平面， 所以为与平面所成的角，即， 所以为等腰直角三角形．    又正三棱锥性质可知，为正三角形的中心， 所以，所以， 所以； 在中，由余弦定理得． 在中，，即， 解得． 【经典例题十二 证明面面垂直】 【例1】（24-25高一下·湖南·期末）已知是一条直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合面面垂直的判定判断得解. 【详解】由，得在平面内有一条直线与平行， 又，所以，所以； 由，得或. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 【例2】（25-26高二下·黑龙江佳木斯·开学考试）如图，正四棱台的高为3，且 (1)求证：平面平面； (2)求与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设交于，连接并交于，连接，则根据线面垂直的性质定理得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）取OC中点，连接，先证四边形为平行四边形，结合，利用线面垂直的性质得平面，根据线面角的定义得即为所求，最后在中求解即可. 【详解】（1）设交于，连接并交于，连接， 由正四棱台的性质可知平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）取OC中点，连接，则， 所以四边形为平行四边形，所以，而平面， 故平面，所以为与平面所成角， ，， ， 所以，即与平面所成角的余弦值为. 1．（24-25高三上·北京丰台·期末）如图，在三棱锥中，与都是边长为2的等边三角形，且，则点P到平面ABC的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，取中点，连接，由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得平面平面，则点P到平面ABC的距离为点P到直线的距离，即可得到结果. 【详解】 取中点，连接， 因为与都是边长为2的等边三角形， 所以，， 且，平面， 所以平面，且平面，所以平面平面， 所以点P到平面ABC的距离为点P到直线的距离， 过点做，所以点P到直线的距离即为， 又，且，所以为等边三角形， 所以， 即点P到平面ABC的距离为. 故选：C 2．（多选）（2025高三·全国·专题练习）在棱长均为2的正三棱柱中，D是棱AC的中点，则（   ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 【答案】BD 【分析】根据正三棱柱的性质以及相关判定定理，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】在正三棱柱中，，又，故与不平行，A错误； 由题得，，， 所以，所以，B正确； 因为平面，平面，， 且在平面与平面的交线上，与不垂直， 所以平面与平面不垂直，C错误； 因为是正三角形，是的中点，所以， 又，且，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，D正确． 故选：BD. 3．（24-25高一下·北京丰台·期末）如图，在正方形中，E，F分别为边的中点，将，，分别沿折起；使三点重合于点G，则在四面体中，与平面垂直的一个平面为______. 【答案】平面（或平面） 【分析】根据正方形性质可得相应线线垂直，从而根据线面、面面垂直的判定定理即可得到结论. 【详解】在正方形ABCD中，， 故在四面体中，， 平面，故平面， 而平面，故平面平面， 同理平面平面， 故答案为：平面（或平面） 4．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，四棱锥中，，，．求证：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】通过计算，证明，得出平面，从而得出平面平面. 【详解】因为在四棱锥中，， 所以四边形为等腰梯形，，因为，所以，所以， 则由余弦定理得， 在中，，于是， 因此，又，即， 而平面， 则平面，又平面，所以平面平面． 【经典例题十三 面面垂直证线面垂直】 【例1】（24-25高一下·甘肃白银·期末）设P为多面体Ω的一个顶点，定义多面体Ω在顶点P处的离散曲率为，其中（，且）为多面体Ω的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面，平面为多面体Ω的所有以P为公共点的面.如图，在三棱柱中，侧面是矩形，底面是正三角形，且平面平面，则点B处的离散曲率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得平面，然后根据离散曲率的定义计算即可. 【详解】因为侧面是矩形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，故. 所以点处的离散曲率为. 故选：C. 【例2】（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，，是的中点，点在侧棱上，，求证：直线平面； 【答案】证明见解析 【分析】由题意可得是等边三角形，从而可得，,再由面面垂直的性质定理即可得证. 【详解】因底面是边长为2的菱形，且， 则是等边三角形， 又因是的中点， 则， 因，则， 因平面平面， 平面平面，平面， 故直线平面． 1．（25-26高三上·江苏南通·月考）若将正方形沿对角线折成直二面角后，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折起以后平行关系发生变化可判断AB错误，利用线面垂直判定定理可证明平面，可得D正确，假设C选项中成立，可得出，这与矛盾，因此假设不成立，即C错误. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示： 易知在正方形中，折起后满足， 又因为折成的是直二面角，即， 因为平面平面，所以平面， 又平面，所以， 对于A，若，则，显然这与矛盾，即A错误； 同理可得B错误； 对于D，又因为平面， 所以平面， 又因为平面，所以，因此D正确； 对于C，假设成立， 又因为，且平面， 所以平面， 又平面，所以， 此时在中，，则可知为斜边，因此， 又因为折叠前后长度不变，这与矛盾，因此假设不成立，即C错误. 故选：D 2．（多选）（24-25高一下·全国·随堂练习）设m，n，l是三条不同的直线，是两个不同的平面．下列命题中正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，则存在直线，使 【答案】CD 【分析】A,B,C,D四个选项已知条件都是面面垂直，因此利用面面垂直的性质定理判断即可. 【详解】对于A，可能为平行、垂直、异面直线，故A错误; 对于B，缺少了条件，故B错误; 对于C，选项具备了面面垂直的性质定理的全部条件，故C正确; 对于D，当且直线m与两平面的交线垂直时，一 定有,故D正确. 故选：CD. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在三棱锥内，侧面底面，且，，，，则______________，______________． 【答案】 【分析】利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，利用线面垂直的定义得到线线垂直，利用勾股定理求出长度，从而得解. 【详解】∵侧面底面，交线为，（即），侧面， 平面，又平面， ， ， ． 故答案为：；. 4．（25-26高三·北京·二轮复习）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用面面垂直的性质可得出平面，可得出，利用并结合线面垂直的判定定理可得出平面，结合线面垂直的性质可证得结论成立. 【详解】取的中点，连接，如图所示： 因为，所以， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 由，，、平面，所以平面， 又平面，所以. 【经典例题十四 求二面角】 【例1】（2025高三上·江苏·学业考试）在正方体中，二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二面角的定义可得结果. 【详解】如下图所示： 在正方体中，平面， 因为、平面，所以，， 易知为等腰直角三角形，且， 由二面角的定义可知，二面角的平面角为， 故选：B. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）二面角的大小为，点分别在平面内，点，在棱上的投影分别为点，已知，求的大小． 【答案】60° 【分析】由二面角的定义即可求解. 【详解】如图，，平移到，使得， 则四边形为矩形， 所以为二面角的平面角， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又，所以， 所以， 又，所以，    所以. 1．（25-26高二上·江西上饶·期末）若一个正三角形在平面上的投影为等腰直角三角形，则该正三角形所在平面与平面的夹角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，根据投影的概念，结合线面垂直的性质，结合面面角的平面角概念，可得答案. 【详解】由题意可作图如下：    其中，，平面，， 取的中点为，易知，， 设，则， 在中，；在等边中，. 因为平面，平面，所以， 在中，，. 易知为正三角形所在平面与平面的夹角的平面角. 故选：B 2．（多选）（24-25高一下·河南周口·月考）如图，在棱长为1的正方体中，已知是线段上的两个动点，且，则（    ） A．的面积为定值 B． C．点到直线的距离为定值 D．二面角的大小为 【答案】ABC 【分析】根据到的距离为定值即可求解A，根据可得即可求解B,根据到直线的距离等于到的距离即可求解C，根据面面垂直即可求解D. 【详解】对于A，因为在中，高为到的距离，即的长度，为定值，底边为的长度，也为定值，所以的面积为定值，故A正确； 对于B，因为在上，，所以，即，故B正确； 对于C，到直线的距离等于到的距离，由于为边长为的等边三角形， 故到的距离为，因此到直线的距离为定值，故C正确； 对于D，易知在该正方体中，平面，又平面，所以平面平面，即平面平面， 故二面角的大小为，故D错误． 故选：ABC． 3．（25-26高二上·上海·月考）中，，平面，，，则二面角的大小为________． 【答案】 【分析】利用线面垂直的性质与判定结合二面角的定义计算即可. 【详解】因为，所以， 又平面，平面，所以， 因为平面， 所以平面， 易知平面，所以， 所以二面角的一个平面角为， 在直角三角形中，，则. 故答案为： 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）所在平面外有一点S，已知，与底面所成角为，二面角的大小为，且，求二面角的大小． 【答案】． 【分析】通过作平面于点O，连接并延长交于点D，连接．确定线面角和二面角的平面角，即可求解. 【详解】如图，作平面于点O，连接并延长交于点D，连接． 则是与平面所成的角， ． 平面，平面， ． 又，，平面，平面， 平面． ，平面，，． 是二面角的平面角，即． ，． 又，，平面，平面， 平面． 又平面，∴平面平面， ∴二面角的大小为． 【经典例题十五 由二面角大小求线段长度或距离】 【例1】（24-25高二上·湖北·开学考试）在三棱锥中，三个侧面与底面所成的角均相等，顶点在内的射影为，则是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】C 【分析】根据三垂线定理可得平面的夹角，结合题意得，即可根据锐角三解函数得，由内心的性质即可求解. 【详解】若三个侧面与底面所成的角相等，则分别作三个侧面三角形的斜高， 由三垂线定理，得，，， 则、、分别是三侧面与底面所成角的平面角， ， ，，， ， 是的内心． 故选：C． 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）在直二面角的棱上任取一点P，从这点出发在两个面内各作一条射线，与棱成角，若为锐角，求此锐角的大小． 【答案】 【分析】在两条射线上各取一点，使得，分别在二面角的两个面内过作二面角的棱的垂线，由为锐角得垂足重合于一点设为O，连接，求出即可得解. 【详解】在两条射线上各取一点，使得， 分别在二面角的两个面内过作二面角的棱的垂线， 则由为锐角可知垂足重合于一点设为O， 如图，连接，则由题意可知，， 故， 所以是正三角形， 所以. 1．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）如图，矩形中，，，为边的中点.将沿直线翻折至位置，使得二面角的大小为，则（   ）      A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据空间中，点线面的位置关系，以及二面角的性质，求出各线段的长度，进而求出结果. 【详解】    如图所示，作中点，连接，    如图所示，作出矩形的平面图形，过点作垂直于于， 由题意可得，所以，且， 所以，则， 因为二面角的大小为， 可知面面，因为，所以面，所以, 由勾股定理可知. 故选：A. 2．(多选)（24-25高二上·辽宁·开学考试）在中，，，是有一个角是30°的直角三角形，若二面角是直二面角，则DC的长可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分类讨论的大小，然后根据几何关系求DC的长即可. 【详解】    如图①，当且时， 二面角是直二面角，故平面平面, 且平面平面,平面， 故平面ABC，所以， 因为，所以，故C正确； 同理可得，当且时，平面ABC，所以， 因为，所以，故D正确； 当且时，如图②， 过点D作，垂足为E，连接CE， 因为平面平面,且平面平面,平面， 故平面ABC,所以，此时, ,， 所以,故A正确； 当且时，同理可得， ，. 故选：ACD． 3．（25-26高二上·四川南充·月考）如图，已知二面角平面角的大小为，其棱l上有A，B两点，AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都与AB垂直.已知，，则______. 【答案】 【分析】以、为邻边作平行四边形，连接，计算出、的长，证明出，利用勾股定理可求得的长. 【详解】如下图所示，以、为邻边作平行四边形，连接， 因为，，则， 又因为，，， 故二面角的平面角为， 因为四边形为平行四边形，则，， 因为，故为等边三角形，则， ，则，， ，平面， 故平面， 因为平面，则， 故. 故答案为： 4．（24-25高一下·河北·月考）如图，在四棱柱中，，平面．    (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，由勾股定理证明线线平行，从而证明线面平行. （2）根据空间中点线面的位置关系，做出二面角的平面角，设出边长，由勾股定理和三角函数值，求出等式方程，解出边长. 【详解】（1）因为平面，而平面，所以， 又平面，所以平面， 而平面，所以． 因为，所以，故， 又平面，平面，所以平面． （2）如图所示，过点作于，再过点作于，连接，    因为平面，平面，所以平面平面， 而平面平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以， 又，所以平面． 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，代入得， 又，而，所以，得， 故，解得，即． 【拓展训练一 线线垂直相关问题】 【例1】（24-25高一下·江苏南京·期末）如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则过点B作与异面直线与所成的角都是的直线条数（    ）    A．有无数条 B．有两条 C．有三条 D．有一条 【答案】C 【分析】将平移到，平移到，则过点作与异面直线与所成的角都是的直线，一条在平面内，两条在平面外. 【详解】将平移到，平移到，    所以点作与异面直线与所成的角都是的直线， 即过点作与异面直线与所成的角都是的直线， 因为异面直线与所成的角为， 所以的角平分线平分角为或， 若的角平分线平分角为，则角平分线与异面直线与所成的角都是， 此时将过点的直线平移使其经过点，故有一条， 若的角平分线平分角为， 即角平分线与异面直线与所成的角都是， 则将过点的直线绕点向上转动到与平面垂直的过程中，存在两条与异面直线与所成的角都是的直线， 此时将过点的直线平移使其经过点，故有两条， 综上，过点作与异面直线与所成的角都是的直线条数有三条. 故选：C 【例2】（24-25高二上·上海浦东新·月考）如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别是的中点. (1)求证：与是异面直线； (2)求证：与相交； (3)若，且与所成角为，求异面直线与所成角大小. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)或. 【分析】（1）根据异面直线的定义判断证明即可； （2）根据已知得为平行四边形，与为的两条对角线，即可证； （3）根据已知得与所成角为或其补角，且为等腰三角形，讨论确定对应异面直线与所成角大小. 【详解】（1）由题设平面，平面，，平面， 所以平面，故与是异面直线； （2）分别是的中点，分别是的中点， 所以，，故为平行四边形， 所以与为的两条对角线，故与相交； （3）由题设知，且， 由（2）知：，，则与所成角，即或其补角， 又，则，故为等腰三角形， 当时，则与的夹角为，即异面直线与所成角为； 当时，则与的夹角为，即异面直线与所成角为； 综上，异面直线与所成角为或. 1．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知点P为空间一定点，过P且与两异面直线a、b所成角都为70°的直线共有3条，则异面直线a、b所成角为（    ）度 A．40 B．40或70 C．40或140 D．90 【答案】A 【分析】根据条件先将直线平移得到，使得经过点，再根据直线所成的角以及直线所在平面的垂线分析与直线所成角均为的直线的情况即可得答案. 【详解】分别将直线平移得到，使得经过点，如图所示， 设所成角的角平分线为，过点垂直于所在平面的直线为， 因为异面直线、所成角为，所以直线所成角为， 所以，当直线经过点且直线在直线所在平面内，垂直于直线时， 直线与直线所成角相等，为时，成角为，即； 当直线在直线平面内时，若直线绕着点旋转，此时直线与直线所成角相等， 且所成角从变化到，再从变化到，此时满足条件的直线有三条， 所以，解得. 所以过空间定点与、成角的直线共有3条时，. 2．（多选）（24-25高一下·广东广州·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（    ）    A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．直线与所成的角为 D．四边形的面积为 【答案】BCD 【分析】提出假设证明得出矛盾可判断A错误，根据异面直线性质可得B正确，作出异面直线的平面角可得C正确，由正方体棱长计算利用梯形面积公式计算可得D正确. 【详解】对于A，取的中点为，连接，如下图所示：    由正方体性质可知， 若直线与是平行直线，则可得，显然这与相交于点矛盾，故错误； 对于B，易知平面，平面，直线，平面，可得直线与是异面直线，故B正确； 对于C，连接，如下图：    可得为直线与所成的角，而， 可得直线与所成的角为.故C正确. 对于D，连接，易知，，所以为等腰梯形， 因为棱长为2，可得， 即等腰梯形的高为，因此，即D正确. 故选：BCD. 3．（2025·内蒙古包头·一模）在正方体中，为棱的中点，有下列四个结论：①；②；③；④.其中正确的结论序号是_______（写出所有正确结论的序号） 【答案】④ 【分析】在正方体中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，求出向量，，，，的坐标，计算①②③④各组对应的向量数量积，即可判断出结果. 【详解】在正方体中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，则，，，，，，又为棱的中点，所以， 因此，，，，， 所以，，，， 所以①不成立；②不成立；③不成立；④成立. 故答案为④ 4．（25-26高二·全国·课后作业）在空间四边形ABCD中，，点M､N分别为BD､AC的中点. (1)若直线AB与MN所成角为60°，求直线AB与CD所成角的大小； (2)若直线AB与CD所成角为，求直线AB与MN所成角的大小. 【答案】(1)60° (2)或 【分析】根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作出平行直线，从而找到异面直线所成角（或补角）即可求解. 【详解】（1）如图，取AD的中点为P，连接PM､PN. 因为点M､N分别为BD､AC的中点，所以，，且，， 所以，为直线AB与CD所成的角（或补角），为直线AB与MN所成的角（或补角）. 又，所以，即为等腰三角形. 直线AB与MN所成角为60°，即，则. 所以，直线AB与CD所成的角为60°. （2）（2）若直线AB与CD所成的角为，则或. 若，则，即直线AB与MN所成角为； 若，则，即直线AB与MN所成角为. 综上所述，直线AB与MN所成的角为或. 【拓展训练二 线面垂直相关问题】 【例1】（25-26高二上·上海·期末）在正方体中，分别为棱的中点，为底面的中心，则直线与直线（    ） A．异面且垂直 B．不异面且垂直 C．异面且不垂直 D．不异面且不垂直 【答案】A 【分析】先通过投影证明垂直于平面POC，再有平面POC与平面POM共面，从而得到EF垂直于平面POM内的MP，最后结合两直线不共面，得出MP与EF异面且垂直的结论. 【详解】设在底面的投影为， 易得平面，因为平面，所以， 因为分别为的中点，且为底面中心，所以， 因为平面，平面，，所以平面， 易得平面与都在平面内，所以平面， 因为平面，所以，因为直线与直线不共面， 所以直线与直线异面且垂直. 【例2】（2026高二上·北京·学业考试）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形. (1)求证：平面； (2)在直线上是否存在点，使得？说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)当点与点重合时，，理由见解析 【分析】（1）由题意得，由线面平行的判定即可求证平面； （2）由题意可得平面，由线面垂直的性质可得，所以当点与点重合时，得证. 【详解】（1）因为底面为正方形，所以. 又平面平面， 所以平面. （2）在直线上存在点，使得，证明如下： 因为底面为正方形，所以， 因为平面，所以， 又平面，平面，，所以平面. 因为平面，所以. 所以当点与点重合时，. 1．（2026·广东湛江·二模）已知长方体中，，，是的中点，点在线段上运动（含端点），则点到平面的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点，过点作的垂线，垂足为，则， 又,平面，所以平面， 平面，故， 又，故平面， 所以点到平面的距离即为点到直线的距离即， 故当点与重合时，所求距离有最大值， ， 又， 解得，所以点到平面的距离的最大值为. 2．（多选）（24-25高一下·全国·随堂练习）（多选）下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用线线、线面平行、垂直关系推理判断即得. 【详解】对于A，，则，A正确； 对于B，，则或，B错误； 对于C，，则存在过直线与平面相交的平面，令交线为，于是， 由，得，因此，C正确； 对于D，，则，D正确. 故选：ACD 3．（25-26高二上·江西南昌·期中）在直三棱柱中，，，，则点到直线的距离是__________. 【答案】 【分析】连接，即可证明平面，从而得到，再求出，即可得解. 【详解】连接，因为三棱柱为直三棱柱， 所以平面，平面，所以，又， ，平面，所以平面， 又平面，所以， 又，，所以， 即点到直线的距离为. 故答案为： 4．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，点是棱的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得. 【详解】取的中点，连接， 在中，因为点是棱的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以， 因为，所以， 由底面为菱形，且，可得为等边三角形， 因为是的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. 【拓展训练三 面面垂直相关问题】 【例1】（2025·陕西安康·模拟预测）在四棱锥中，为等边三角形，四边形为矩形，且，平面平面，则直线AC与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】取为的中点，先证明平面，得为所求线面角，由边长间的关系求正弦值. 【详解】平面平面，又平面平面， 平面，，则平面， 又平面，故平面平面， 取的中点，连接，如图所示， 平面平面，平面平面， 为等边三角形，则，故平面， 则直线AC与平面所成角即为， 令，则，，， 故. 故选：A 【例2】（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【详解】利用面面垂直的性质定理得平面，再根据，即可证明答案． 因为底面为正方形， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又因为是线段的中点，是线段的中点， 所以， 所以平面． 1．（25-26高二上·山东淄博·期末）在正三棱柱中，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接、、、，即可证明、，从而得到为平面与平面的夹角，利用锐角三角函数计算可得. 【详解】取的中点，连接、、、， 在正三棱柱中，，所以， 又平面，平面，所以，，， 不妨令，则，所以， 所以为平面与平面的夹角， 又， 所以，所以平面与平面夹角的余弦值为. 故选：A 2．（多选）（2025高一下·全国·专题练习）如图，四边形中，，，，将沿折起，使平面平面，构成几何体，则在几何体中，下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】AD 【分析】利用直线、平面垂直的有关判定和性质定理判断即可. 【详解】, ,又平面⊥平面， 且平面平面，平面， 又面，， ，且平面， 平面，又平面， 平面平面, 故选：AD. 3．（2025高二·全国·专题练习）矩形中，，，沿将此矩形折成一个二面角，折后与平面所成的角为60°，则折得的二面角的大小为_________． 【答案】90° 【分析】根据线面角得出垂足在上，再结合面面垂直的判定定理即可得出二面角. 【详解】如图，因为沿将此矩形折成一个二面角，作平面于点O，连接，则， 在直角三角形中，，则得，故点在上， 因为平面，平面，所以平面平面， ∴当与平面所成的角为60°时，二面角的大小为． 故答案为：. 4．（25-26高二上·贵州毕节·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，点是BC边的中点，连接. (1)求证：平面； (2)求平面ABD与平面ADE夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质先推知平面，从而，结合题干可得证明； （2）根据二面角的定义用几何法作出来，然后求解. 【详解】（1）由题知，平面平面， 又平面平面，平面，又， 根据面面垂直的性质定理，平面， 又平面，则， 又，平面，， 根据线面垂直的判定定理，平面 （2） 分别取中点，连接， 由中位线性质可知，，又，则； 由于平面，平面，则， 又，且点是边的中点， 则分别为直角三角形斜边上的中线， 则， 又，则， 则是平面与平面夹角. 又， 可求得，， 由中位线可知，则，则， 故二面角的正弦值为 1．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】连接，易证，只需解三角形，求出的余弦值即可得解. 【详解】 如图，正方体中，为线段的中点，连接，， 因为，，所以四边形是平行四边形，， 异面直线与所成角，即直线与所成角，为或其补角， 设正方体的棱长为2，则，， 在中，， ，即是直角三角形，， 即异面直线与所成角的余弦值为. 2．（2026·天津红桥·一模）已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（    ） A．若平行于同一直线，则 B．若垂直于同一直线，则 C．若不平行，则在内不存在与平行的直线 D．若不平行，则与不可能垂直于同一平面 【答案】D 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若平行于同一直线，则或与相交，所以A不正确； 对于B，若与垂直于同一直线，则与平行或相交或异面，所以B不正确； 对于C，若不平行，设，在平面内作直线， 因为，所以，即在内存在与平行的直线，所以C不正确； 对于D，若，可得，所以不平行，则与不可能垂直于同一平面，所以D正确. 3．（25-26高二上·安徽淮南·期末）已知长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件结合线面角的定义求，再利用等体积法求点到平面的距离. 【详解】连接交于，连接， 、 因为平面，所以与平面所成角为， 所以，则， 可得， 由长方体中，，得：平面， 所以， 在中，边长 ，， 得 ， 则 ， 设点 到平面 的距离为 ， 则体积 ， 由，得， 解得： . 故选：A 4．（24-25高一下·全国·课后作业）已知、、为三条不同的直线，、为两个不同的平面，下列四个命题： ①，，且； ②，； ③，，； ④，．其中不正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】利用线面平行的性质结合空间线线位置关系可判断①；利用线面垂直的性质可判断②③；利用空间线面位置关系可判断④. 【详解】对于①，若且，则， 因为，过直线作平面，使得，则， 因为，，所以，故，①对； 对于②，若，，则或，②错； 对于③，若，，则，因为，则，③对； 对于④，若，，则或，④错. 故选：B. 5．（2026高一下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列判断正确的个数（  ） ①平面平面 ②直线与平面所成角是 ③平面平面 ④二面角余弦值为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据面面垂直的性质及线面垂直的性质定理，可证平面，结合图象，分析证明，即可判断①的正误；根据平面结合线面角的定义，分析求解，即可判断②的正误；根据面面垂直的判定定理，可判断③的正误；分析可得为二面角的平面角，设，求出各个长度，结合三角函数定义，即可判断④的正误. 【详解】对于①：因为，，所以， 又，，所以， 则，即， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 若平面平面，则平面或平面， 由图象得平面于点C，则平面不垂直平面，故①错误； 对于②：在四边形中，由①得平面， 则为直线与平面所成角，且为，故②正确； 对于③：因为平面，平面， 所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故③正确； 对于④：由③得，平面，则为二面角的平面角， 设，则， 因为，所以，所以，故④正确. 故选：C. 6．（多选）（24-25高一下·吉林·期中）m，n为空间两条不重合直线，为空间平面，下列命题不正确的是（    ） A．，，则 B．m，n与所成角均为30°，则 C．，，，则直线m，n到的距离相等 D．，，则m，n可以是异面直线 【答案】ABC 【分析】根据直线、平面的位置关系、等角定理，结合图形，通过举反例进行判断. 【详解】对于A，，，则或，故A错误； 对于B，如图，若m，n与所成角均为30°，则可能相交、平行或异面，故B错误； 对于C，如图，若，，，直线m，n到的距离不一定相等，故C错误； 对于D，，，则m，n可以平行、相交、或异面，故D正确. 故选：ABC. 7．（多选）（25-26高一·全国·暑假作业）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】利用线面平行的性质、线面垂直的性质推理判断ABC；举例说明判断D作答. 【详解】对于A，，则存在过直线的平面，使得，于是得， 而，即有，因此，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，C正确； 对于D，当，，且时，满足，显然没有，D错误. 故选：ABC 8．（多选）（25-26高三上·云南昆明·月考）在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（　　） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 【答案】BCD 【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，若，则或相交，所以A错误； 对于B中，若，则或，又因为，则，所以B正确； 对于C中，因为，在平面内存在直线，使得， 又因为，所以，因为，所以， 又因为，所以，所以C正确； 对于D中，如图所示，因为，且，，所以， 又因为，且，，所以，所以， 因为，所以， 又因为，所以，所以，所以D正确. 故选：BCD.    9．（多选）（24-25高三下·安徽安庆·月考）平面垂直于平面，且，下列命题正确的是（    ） A．平面内一定存在直线平行于平面 B．平面内已知直线必垂直于平面内无数条直线 C．平面内任一条直线必垂直于平面 D．过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面 【答案】AB 【分析】根据面面垂直、线面垂直、以及线线垂直的判定和性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：因为面，则平面内只要是平行于的直线，都平行于平面，故A正确； 对B：在平面内作直线的垂线，则面，则垂直于平面的任意直线； 故平面内已知直线必垂直于直线，以及与平行的无数条直线，故B正确； 对C：平面内垂直于两平面交线的直线才垂直于平面，故C错误； 对D：过平面内，且在交线外的一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面，故D错误； 故选：AB. 10．（多选）（24-25高一下·吉林长春·期末）在空间中，下面叙述正确的是（   ） A．若两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补 B．若两个角的两条边分别对应垂直，则这两个角相等或互补 C．若两个二面角的两个半平面分别对应平行，则这两个二面角相等或互补 D．若两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补 【答案】AC 【分析】由等角定理及二面角的定义即可判断，BD选项举反例即可. 【详解】由等角定理可知：若两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补，故A正确； 对于B，在正方体，的两边分别是和，的两边分别是和，，，满足两个角的两条边分别对应垂直，但是和既不相等也不互补，故B错误； 根据二面角的定义可知：若两个二面角的两个半平面分别对应平行，则这两个二面角相等或互补，故C正确； 对与D，在正方体，平面平面，平面平面， 二面角与二面角的两个半平面就是分别对应垂直的， 但是这两个二面角既不相等，也不互补，故D错误. 故选：AC 11．（24-25高二上·上海·期中）在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为________. 【答案】 【分析】根据中位线可证得四边形为平行四边形，求可得四边形边长和内角的大小，进而可得四边形的面积． 【详解】设的中点分别为，连接,,,， 由题意可得，，且， 所以四边形为平行四边形， 因为异面直线与所成的角为， 所以直线与所成的角等于， 所以． 故答案为：． 12．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，设平面，，，垂足分别是，，，则与的位置关系是__________． 【答案】垂直 【分析】利用线面垂直的性质及判定推理判断. 【详解】由，，得，则直线与确定一个平面， 由，，得，又，，平面， 因此平面，又平面，所以. 故答案为：垂直 13．（24-25高二上·上海·期中）在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为____________. 【答案】 【分析】先证明线面平行，得到直线到平面的距离等于点到平面的距离，证明线面垂直，得到即为点到平面的距离，求出答案. 【详解】因为，平面，平面， 所以平面， 直线到平面的距离等于点到平面的距离， 连接，与相交于点，则⊥， 又⊥平面，平面， 所以⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 故即为点到平面的距离， 因为正方体的棱长为2， 所以， 故直线到平面的距离. 故答案为： 14．（24-25高二上·上海·期中）如果三棱锥的侧棱与底面所成角都相等，顶点在底面的射影在内，那么是的_____心. 【答案】外 【分析】设侧棱与底面所成角为，则，故，从而判断即可. 【详解】三棱锥的侧棱与底面所成角都相等，设夹角为， 顶点在底面的射影在内， 所以， 所以，故是的外心. 故答案为：外 15．（2025高二上·北京·学业考试）我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体ABCDEF是一个刍甍，其中四边形ABCD为矩形，其中AB = 8，AD =，△ADE与△BCF都是等边三角形，且二面角与相等，则EF长度的取值范围为________．    【答案】 【分析】利用二面角的定义，结合题意分析即可求解. 【详解】△ADE与△BCF都是等边三角形，且边长为，所以高为， 当二面角与相等且趋于0时，趋于； 当二面角与相等且趋于时，趋于. 所以EF长度的取值范围为. 故答案为：. 16．（25-26高一下·全国·课后作业）已知三棱锥中，，且直线与成角，点分别是，的中点，求直线和所成的角. 【答案】或 【分析】取的中点，连接，，可得（或其补角）为与所成的角，利用几何性质求解即可. 【详解】如图，取的中点，连接，， 因为点，分别是，的中点，所以，且；，且， 所以（或其补角）为与所成的角.所以（或其补角）为与所成的角. 因为直线与成角， 所以或. 又因为，所以， ①若，则是等边三角形，所以，即与所成的角为. ②若，则易知是等腰三角形.所以，即与所成的角为. 综上可知：与所成角为或. 17．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面 （1）证明：平面平面； （2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）； 【分析】（1）四边形为菱形，则，由证得，从而有平面，从而证得平面平面； （2）设，则即为与平面所成角，从而求得，，，，；延长，作于F点，则即为二面角的平面角，，从而求得余弦值. 【详解】（1）由题知，四边形为菱形，则， 又平面平面，且AC为交线，， 则平面，又平面， 则，又， 则平面，又平面， 则平面平面； （2）设，由（1）知，平面， 则即为与平面所成角，， 由，结合（1）中结论有，， 则，，三角形为正三角形，在菱形中， ，，， 由（1）知，平面，则， 延长，作于F点，则， 平面，从而 则即为二面角的平面角， 则，则 即二面角的余弦值为 18．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由平面，得到，再结合，即可求证； （2）过点A作于点D，通过证明平面，得到即为点A到平面的距离，进而可求解. 【详解】（1）证明：平面，平面， ． 是圆O的直径，C为圆上一点，． 又，且平面 平面． （2）如图所示，过点A作于点D， 平面，平面， ， 又平面 平面． 即为点A到平面的距离． ∴依题意知为与平面所成角， 即，，， 可得． ， 即点A到平面的距离为． 19．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，四边形是菱形，平面平面，，且，为的中点． 证明：； 【答案】证明见解析 【分析】根据中位线的性质以及题中条件可证明四边形是平行四边形，进而得，利用面面垂直的性质即可求证. 【详解】连接，交于点，连接． 因为四边形是菱形，则，， 因为为的中点，则， 又，且，故得， 故四边形是平行四边形，则． 又平面平面，平面平面， ，平面， 则平面，又平面， 则，故． 20．（25-26高三上·江苏常州·期末）如图，在四棱锥中，平面，是的中点．    (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）取中点，连接，可得是二面角的大小的平面角，从而求得线段的长. 【详解】（1）    取中点，连结，三角形中，为中点， 所以，又因为， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面平面， 所以平面. （2）取中点，连接，， ，，所以四边形为矩形， 所以，， 所以，又因为，则， 所以，即. 因为平面平面， 所以， 所以是二面角的大小的平面角，则. 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.7 空间直线、平面的垂直重难点题型专训 （2个知识点+15大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 证明异面直线垂直 题型二 求异面直线所成的角 题型三 由异面直线所成的角求其他量 题型四 证明线面垂直 题型五 线面垂直证明线线平行 题型六 线面垂直证明线线垂直 题型七 线面垂直证明面面平行 题型八 求点面距离 题型九 求面面距离 题型十 求线面角 题型十一 由线面角的大小求值 题型十二 证明面面垂直 题型十三 面面垂直证线面垂直 题型十四 求二面角 题型十五 由二面角大小求线段长度或距离 拓展训练一 线线垂直相关问题 拓展训练二 线面垂直相关问题 拓展训练三 面面垂直相关问题 知识点一： 直线与平面垂直 1、文字语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 2、符号语言：l⊥α 3、有关概念：直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足 4、图形语言： 5、画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 6、空间距离 ①点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离 ②直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. ③两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 【注意】过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 直线与平面垂直的判定定理 1、文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2、符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 3、图形语言： 4、作用：证明线面垂直 直线与平面垂直的性质定理 1、文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行. 2、符号语言：⇒a∥b 3、图形语言： 4、作用：①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线 5、推论： （1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． （2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. （3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/ （4）垂直于同一条直线的两个平行平行. 【即时训练】 1．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为（   ） A．2 B． C．1 D． 2．（25-26高二上·上海·期中）已知是三角形所在平面外一点，且，则点在平面上的射影是三角形的___________心. 知识点二： 平面与平面垂直 1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 2、图形语言： 3、符号语言：α⊥β. 平面与平面垂直的判定定理 1、文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 2、图形语言： 3、符号语言： 平面与平面垂直的性质定理 1、文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线， 那么这条直线与另一个平面垂直 2、图形语言： 3、符号语言： 4、作用：①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线 5、平面与平面垂直的其他性质 （1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即 （2）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即； （3）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即； （4）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即； （5）三个凉凉垂直的平面的交线也两两垂直，即 【即时训练】 1．（2025高一下·全国·专题练习）在空间四边形中，，那么必有（    ） A．平面⊥平面 B．平面⊥平面 C．平面⊥平面 D．平面⊥平面 2．（24-25高二上·上海·期末）已知正方体，点为线段上的点，则满足平面的点的个数为______. 【经典例题一 证明异面直线垂直】 【例1】（24-25高二上·上海·月考）若空间中四条两两不同的直线，满足   则下面结论一定正确的是（  ） A． B． C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 1．（24-25高三上·江西·期中）如图，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E, F分别是点A在P B, P C上的射影，给出下列结论： ①；②；③；④.正确命题的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高三上·浙江·月考）给出下列命题，其中正确的命题为 A．若直线和共面，直线和共面，则和共面； B．直线与平面不垂直，则与平面内的所有直线都不垂直； C．直线与平面不平行，则与平面内的所有直线都不平行； D．异面直线，不垂直，则过的任何平面与都不垂直. 3．（25-26高一·全国·课后作业）如图，正方体的棱长为1，过点作平面的垂线，垂足为点，有下面三个结论：①点是的中心；②垂直于平面；③直线与直线所成的角是90°.其中正确结论的序号是_______. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）在直三棱柱中，，求证：． 【经典例题二 求异面直线所成的角】 【例1】（2025高二下·吉林·学业考试）如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【例2】（25-26高二上·上海·月考）如图，在四面体中，，，､分别为､的中点 (1)求证：直线和为异面直线. (2)求直线和所成角的大小. 1．（2026·辽宁大连·一模）在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·山东日照·月考）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列结论正确的是（    ）    A．与平行 B． C． D．直线中，任意两条都是异面直线 3．（25-26高二上·北京西城·期末）如图所示，在直三棱柱中，，.则异面直线，所成角的大小是______. 4．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，三棱锥中，平面，，，是的中点． (1)求证：与是异面直线； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【经典例题三 由异面直线所成的角求其他量】 【例1】（24-25高二下·湖南·期末）在长方体中，与所成的角为，则（    ） A． B．3 C． D． 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）在四面体A-BCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，求EF的长度． 1．（2025高三·全国·专题练习）已知平行四边形，，BC=1，，E是线段CD上一动点.将沿AE所在的直线进行翻转，在翻转过程中，下列结论不正确的是（ ） A．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 B．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 C．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 2．（多选）（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海黄浦·月考）若两异面直线a，b所成的角为70°，过空间内一点P作于直线a，b所成角均为70°的直线l，则所作直线l的条数为______. 4．（25-26高一·全国·课后作业）在四棱柱中，侧面都是矩形，底面是菱形且，，若异面直线和所成的角为，试求. 【经典例题四 证明线面垂直】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，为的中点，记过三点的平面为．过点作平面的垂线，垂足为，垂线与侧面相交于点，则（    ）    A． B． C． D． 【例2】（25-26高三·全国·二轮复习）如图为正四棱台与正四棱锥拼接而成的几何体. 证明：平面. 1．（25-26高二上·贵州遵义·月考）在棱长为1的正方体中，点D到平面的距离为（   ） A． B．1 C． D． 2．（多选）（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图所示，在正方体中，给出以下判断，其中正确的有（    ） A．平面 B．平面 C．与是异面直线 D．平面 3．（24-25高一下·山东菏泽·月考）如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，FN．若，且，则线段MN的长等于_____________． 4．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面，且，，，，. 证明：平面. 【经典例题五 线面垂直证明线线平行】 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知直线平面于点O，，，，，且．若平面，垂足为C，平面，垂足为D，，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，是等边三角形，直线平面ABC，直线平面ABC，且，F是线段EB的中点．求证：平面ABC． 1．（25-26高一·全国·课后作业）已知直线l∩平面α＝点O，A∈l，B∈l，A∉α，B∉α，且OA＝AB．若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD＝（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（多选）（24-25高一下·全国·随堂练习）（多选）直线和在正方体的两个不同平面内，则可以使成立的条件是（    ） A．和垂直于正方体的同一个面 B．和与正方体的同一个面平行 C．和平行于同一条棱 D．和与正方体的同一条棱垂直 3．（24-25高一下·北京·期末）已知a，b是平面外的两条不同直线．给出下列六个论断：①；②；③；④；⑤；⑥．选其中的两个论断作为条件，余下的其中一个论断作为结论，写出一个正确的命题：______． 4．（24-25高三·全国·一轮复习）如图，在圆台中，为轴截面，为下底面圆周上一点，为下底面圆内一点，垂直下底面圆于点.求证：平面平面； 【经典例题六 线面垂直证明线线垂直】 【例1】（2025·四川绵阳·模拟预测）若l，m是两条不同的直线，平行于平面，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（2026高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为等腰直角三角形，，D为中点．求证：； 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知垂直平行四边形所在平面，若，则平行四边形一定是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 2．（多选）（24-25高一下·云南丽江·月考）在正三棱柱中，为中点，则下列命题错误的是（   ） A． B．平面 C．平面 D． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足________时，. 4．（25-26高二上·上海·期中）如图，在长方体 中， 是上底面 内的一点(不在边界). (1)在平面 内，过 作直线 ，使得 . 保留作图. (2)对在（1）中所作出的直线 ，请说明 的理由. 【经典例题七 线面垂直证明面面平行】 【例1】（24-25高二上·浙江杭州·月考）平面，互相平行的一个充分条件是（    ） A．，都垂直于同一平面 B．某一直线与，所成角相等 C．，都平行于同一直线 D．，都垂直于同一直线 【例2】（24-25高三上·四川成都·月考）如图，长方体中，，，，，分别是，上的点，且，过直线的平面与，分别交于点，. （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是正方形，求四棱锥的体积. 1．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，是两个不同平面，，是两条不同直线，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．（多选）（24-25高一下·重庆·期末）已知m，n是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ）． A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 3．（24-25高三上·河南开封·月考）已知，是两条直线，、、是三个不同的平面，给出下列命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，且，，则； ④若，为异面直线，且，，，，则． 其中正确命题的序号是______． 4．（24-25高二上·上海闵行·月考）已知四面体的所有棱长为2，E，F分别为棱BC，AD的中点.则 (1)求证直线EF与直线AB是异面直线； (2)求EF和AB所成的角. 【经典例题八 求点面距离】 【例1】（25-26高二上·贵州遵义·月考）在棱长为2的正方体中，点到平面的距离是（   ） A．1 B． C． D． 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知为外一点，，，两两垂直，，求点到平面的距离． 1．（25-26高二上·广东汕头·期中）已知正方体的棱长为4，则点C到平面的距离等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·浙江·开学考试）在直三棱柱中，，，P是棱的中点，则C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（2026高一·全国·专题练习）已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为______. 4．（25-26高二上·上海·期中）四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.    (1)证明：平面； (2)设，，求到平面的距离. 【经典例题九 求面面距离】 【例1】（25-26高一·全国·课后作业）若∥，且，AB、CD在内的射影长分别为9和5，则AB、CD的长分别为(　　) A．16和12 B．15和13 C．17和11 D．18和10 【例2】（25-26高二·上海·课堂例题）如图，已知正方体的棱长为，求：    (1)点到直线的距离； (2)点到平面的距离； (3)到平面的距离； (4)平面到平面的距离． 1．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（多选）（25-26高二上·贵州贵阳·月考）在棱长为1的正方体中，下列说法正确的有（    ） A．点到平面的距离等于1； B．直线到平面的距离等于1； C．平面到平面的距离等于1. D．点到平面的距离等于1 3．（25-26高一·全国·课后作业）在长方体中，，，，则直线BC到面的距离为________；直线到面的距离为________；面与面的距离为________. 4．（24-25高二上·上海黄浦·月考）如图，正方体中，. （1）求证：平面平面； （2）求两平面与之间的距离. 【经典例题十 求线面角】 【例1】（25-26高三上·北京·月考）已知正三棱柱的所有棱长均为2，且点在上运动，则直线与平面所成角的最大正弦值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图.已知正方体. (1)求与底面所成的角； (2)设正方体的棱长为a，求与底面所成的角的余弦值. 1．（25-26高一下·全国·课后作业）已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海·月考）已知等腰直角三角形的一条直角边在平面上，斜边与平面所成的角为，则另一条直角边与平面所成角的大小为______． 4．（25-26高二上·上海·期中）如图所示，在直三棱柱中，，若，    (1)设的中点，求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的大小. 【经典例题十一 由线面角的大小求值】 【例1】（24-25高二下·广西桂林·期中）三棱锥P﹣ABC的高为PH，若三条侧棱与底面所成的角相等，则H为△ABC的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆的圆心，底面圆半径为10，C是SB的中点，，AC与底面所成角的大小为45°，求的面积． 1．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，，且斜线段在平面内的射影互相垂直，则的长为（    ） A．6cm B． C． D．8cm 2．（25-26高三上·陕西·月考）已知正三棱锥的底面的边长为6，直线与底面所成角的余弦值为，则正三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，则该正四棱锥的高是______    4．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知四面体的所有棱长都相等，分别是棱上的点，满足．若与平面所成的角为，求的值．    【经典例题十二 证明面面垂直】 【例1】（24-25高一下·湖南·期末）已知是一条直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（25-26高二下·黑龙江佳木斯·开学考试）如图，正四棱台的高为3，且 (1)求证：平面平面； (2)求与平面所成角的余弦值． 1．（24-25高三上·北京丰台·期末）如图，在三棱锥中，与都是边长为2的等边三角形，且，则点P到平面ABC的距离为（   ） A．1 B． C． D． 2．（多选）（2025高三·全国·专题练习）在棱长均为2的正三棱柱中，D是棱AC的中点，则（   ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 3．（24-25高一下·北京丰台·期末）如图，在正方形中，E，F分别为边的中点，将，，分别沿折起；使三点重合于点G，则在四面体中，与平面垂直的一个平面为______. 4．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，四棱锥中，，，．求证：平面平面； 【经典例题十三 面面垂直证线面垂直】 【例1】（24-25高一下·甘肃白银·期末）设P为多面体Ω的一个顶点，定义多面体Ω在顶点P处的离散曲率为，其中（，且）为多面体Ω的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面，平面为多面体Ω的所有以P为公共点的面.如图，在三棱柱中，侧面是矩形，底面是正三角形，且平面平面，则点B处的离散曲率为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，，是的中点，点在侧棱上，，求证：直线平面； 1．（25-26高三上·江苏南通·月考）若将正方形沿对角线折成直二面角后，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·全国·随堂练习）设m，n，l是三条不同的直线，是两个不同的平面．下列命题中正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，则存在直线，使 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在三棱锥内，侧面底面，且，，，，则______________，______________． 4．（25-26高三·北京·二轮复习）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.求证：. 【经典例题十四 求二面角】 【例1】（2025高三上·江苏·学业考试）在正方体中，二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）二面角的大小为，点分别在平面内，点，在棱上的投影分别为点，已知，求的大小． 1．（25-26高二上·江西上饶·期末）若一个正三角形在平面上的投影为等腰直角三角形，则该正三角形所在平面与平面的夹角的正切值为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·河南周口·月考）如图，在棱长为1的正方体中，已知是线段上的两个动点，且，则（    ） A．的面积为定值 B． C．点到直线的距离为定值 D．二面角的大小为 3．（25-26高二上·上海·月考）中，，平面，，，则二面角的大小为________． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）所在平面外有一点S，已知，与底面所成角为，二面角的大小为，且，求二面角的大小． 【经典例题十五 由二面角大小求线段长度或距离】 【例1】（24-25高二上·湖北·开学考试）在三棱锥中，三个侧面与底面所成的角均相等，顶点在内的射影为，则是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）在直二面角的棱上任取一点P，从这点出发在两个面内各作一条射线，与棱成角，若为锐角，求此锐角的大小． 1．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）如图，矩形中，，，为边的中点.将沿直线翻折至位置，使得二面角的大小为，则（   ）      A． B． C．4 D．8 2．(多选)（24-25高二上·辽宁·开学考试）在中，，，是有一个角是30°的直角三角形，若二面角是直二面角，则DC的长可以是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·四川南充·月考）如图，已知二面角平面角的大小为，其棱l上有A，B两点，AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都与AB垂直.已知，，则______. 4．（24-25高一下·河北·月考）如图，在四棱柱中，，平面．    (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 【拓展训练一 线线垂直相关问题】 【例1】（24-25高一下·江苏南京·期末）如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则过点B作与异面直线与所成的角都是的直线条数（    ）    A．有无数条 B．有两条 C．有三条 D．有一条 【例2】（24-25高二上·上海浦东新·月考）如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别是的中点. (1)求证：与是异面直线； (2)求证：与相交； (3)若，且与所成角为，求异面直线与所成角大小. 1．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知点P为空间一定点，过P且与两异面直线a、b所成角都为70°的直线共有3条，则异面直线a、b所成角为（    ）度 A．40 B．40或70 C．40或140 D．90 2．（多选）（24-25高一下·广东广州·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（    ）    A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．直线与所成的角为 D．四边形的面积为 3．（2025·内蒙古包头·一模）在正方体中，为棱的中点，有下列四个结论：①；②；③；④.其中正确的结论序号是_______（写出所有正确结论的序号） 4．（25-26高二·全国·课后作业）在空间四边形ABCD中，，点M､N分别为BD､AC的中点. (1)若直线AB与MN所成角为60°，求直线AB与CD所成角的大小； (2)若直线AB与CD所成角为，求直线AB与MN所成角的大小. 【拓展训练二 线面垂直相关问题】 【例1】（25-26高二上·上海·期末）在正方体中，分别为棱的中点，为底面的中心，则直线与直线（    ） A．异面且垂直 B．不异面且垂直 C．异面且不垂直 D．不异面且不垂直 【例2】（2026高二上·北京·学业考试）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形. (1)求证：平面； (2)在直线上是否存在点，使得？说明理由. 1．（2026·广东湛江·二模）已知长方体中，，，是的中点，点在线段上运动（含端点），则点到平面的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·全国·随堂练习）（多选）下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江西南昌·期中）在直三棱柱中，，，，则点到直线的距离是__________. 4．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，点是棱的中点．求证：． 【拓展训练三 面面垂直相关问题】 【例1】（2025·陕西安康·模拟预测）在四棱锥中，为等边三角形，四边形为矩形，且，平面平面，则直线AC与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 【例2】（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点．求证：平面． 1．（25-26高二上·山东淄博·期末）在正三棱柱中，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2025高一下·全国·专题练习）如图，四边形中，，，，将沿折起，使平面平面，构成几何体，则在几何体中，下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 3．（2025高二·全国·专题练习）矩形中，，，沿将此矩形折成一个二面角，折后与平面所成的角为60°，则折得的二面角的大小为_________． 4．（25-26高二上·贵州毕节·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，点是BC边的中点，连接. (1)求证：平面； (2)求平面ABD与平面ADE夹角的正弦值. 1．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 2．（2026·天津红桥·一模）已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（    ） A．若平行于同一直线，则 B．若垂直于同一直线，则 C．若不平行，则在内不存在与平行的直线 D．若不平行，则与不可能垂直于同一平面 3．（25-26高二上·安徽淮南·期末）已知长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）已知、、为三条不同的直线，、为两个不同的平面，下列四个命题： ①，，且； ②，； ③，，； ④，．其中不正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（2026高一下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列判断正确的个数（  ） ①平面平面 ②直线与平面所成角是 ③平面平面 ④二面角余弦值为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（多选）（24-25高一下·吉林·期中）m，n为空间两条不重合直线，为空间平面，下列命题不正确的是（    ） A．，，则 B．m，n与所成角均为30°，则 C．，，，则直线m，n到的距离相等 D．，，则m，n可以是异面直线 7．（多选）（25-26高一·全国·暑假作业）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（多选）（25-26高三上·云南昆明·月考）在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（　　） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 9．（多选）（24-25高三下·安徽安庆·月考）平面垂直于平面，且，下列命题正确的是（    ） A．平面内一定存在直线平行于平面 B．平面内已知直线必垂直于平面内无数条直线 C．平面内任一条直线必垂直于平面 D．过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面 10．（多选）（24-25高一下·吉林长春·期末）在空间中，下面叙述正确的是（   ） A．若两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补 B．若两个角的两条边分别对应垂直，则这两个角相等或互补 C．若两个二面角的两个半平面分别对应平行，则这两个二面角相等或互补 D．若两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补 11．（24-25高二上·上海·期中）在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为________. 12．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，设平面，，，垂足分别是，，，则与的位置关系是__________． 13．（24-25高二上·上海·期中）在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为____________. 14．（24-25高二上·上海·期中）如果三棱锥的侧棱与底面所成角都相等，顶点在底面的射影在内，那么是的_____心. 15．（2025高二上·北京·学业考试）我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体ABCDEF是一个刍甍，其中四边形ABCD为矩形，其中AB = 8，AD =，△ADE与△BCF都是等边三角形，且二面角与相等，则EF长度的取值范围为________．    16．（25-26高一下·全国·课后作业）已知三棱锥中，，且直线与成角，点分别是，的中点，求直线和所成的角. 17．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面 （1）证明：平面平面； （2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 18．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求点A到平面的距离． 19．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，四边形是菱形，平面平面，，且，为的中点． 证明：； 20．（25-26高三上·江苏常州·期末）如图，在四棱锥中，平面，是的中点．    (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $