8.6.3 平面与平面垂直（讲义）（3大知识点+4大题型）-【名校生】2023-2024学年高一数学知识讲与练（2019人教A版·必修第二册）

8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.3 直线与直线的垂直 知识点1：二面角 2 知识点2：平面与平面垂直的定义 2 01：平面与平面垂直的判定 3 02：求二面角的大小 6 知识点3：平面与平面垂直的性质定理 11 03：平面与平面垂直的性质定理及其应用 11 04：垂直关系的综合应用 15 【基础练·强化巩固】 21 【拓展练·培优拔高】 28 课堂目标 关键词 1. 理解二面角、二面角的平面角的概念 2. 理解两个平面垂直的定义. 3. 理解平面与平面垂直的判定定理 4. 能运用定理证明一些平面与平面垂直的问题 5. 理解平面与平面垂直的性质定理,并能够证明 6. 能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题. ① 二面角、二面角的平面角 ② 两个平面垂直、平面与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的性质定理 知识点1：二面角 1．定义：从一条直线出发的__________所组成的图形叫做二面角，如图，_________叫做二面角的棱，___________叫做二面角的面． 2．记法：棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角________.在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q时，可记作二面角____________.当棱记作l时，可记作二面角____________或___________. 3．二面角的平面角 (1)定义：在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，如图所示，以点O为垂足，在___________分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做________________. (2)直二面角：平面角是______的二面角．二面角的平面角α的取值范围是___________. 知识点2：平面与平面垂直的定义 1．定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是_________，就说这两个平面互相垂直． 2．画法： 记作：_________.要点三　平面与平面垂直的判定定理 1．文字语言：如果一个平面过另一个平面的___________，那么这两个平面垂直． 2．图形语言：如图所示． 3．符号语言：_______________. 01：平面与平面垂直的判定 【点拨】证明平面与平面垂直的方法 (1) 利用定义，即证明二面角的平面角为直角； (2) 利用平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即把证明面面垂直转化为证明线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直． 【典例1】（23-24高三上·北京昌平·期末）如图，在五面体中，四边形是边长为2的正方形，平面平面，. (1)求证：平面； (2)求证：平面⊥平面； (3)在线段上是否存在点，使得平面?说明理由． 【变式1-1】（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示，在矩形中，已知，是的中点，沿将折起至的位置，使.求证：平面平面. 【变式1-2】（2024高一下·全国·专题练习）已知平面五边形如图1所示，其中，是正三角形．现将四边形沿翻折，使得，得到的图形如图2所示．求证：平面平面． 02：求二面角的大小 【点拨】求二面角的方法 求二面角大小的步骤为一作、二证、三计算．作二面角的平面角的方法有： (1)定义法，在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线； (2)垂面法，过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角即为二面角的平面角； (3)垂线法，利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法． 【典例2】（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知菱形边长为2，，沿对角线将折起到的位置，当时，二面角的大小为 ，此时三棱锥的外接球的半径为 【变式2-1】（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）三棱锥中，平面ABC，，，，，则二面角的大小为 . 【变式2-2】（23-24高一下·浙江金华·期中）如图，在三棱锥中，，D为的中点，平面，垂足O落在线段上. (1)证明：； (2)已知，，，且直线与平面所成角的正弦值为. ①求此三棱锥的体积； ②求二面角的大小. 知识点3：平面与平面垂直的性质定理 1．文字语言：两个平面垂直，如果__ _有一直线垂直于这两个平面的__________，那么这条直线与另一个平面垂直． 2．图形语言： 3．符号语言：　⇒a⊥β. 4．作用：(1)判定直线与平面垂直； (2)由平面外一点作平面的垂线时，确定垂足的位置． 5．平面与平面垂直的其他性质 (1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即α⊥β，A∈α，A∈b，b⊥β⇒b⊂α. (2)如果