8．6空间直线、平面的垂直（12大题型）（精练）-2025-2026学年高一下学期数学 人教A版必修第二册

8．6空间直线、平面的垂直 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：空间两直线垂直关系证明 2 题型二：异面直线夹角求解 4 题型三：直线与平面垂直的概念及定理辨析 6 题型四：线面垂直关系的判定方法 7 题型五：直线与平面所成角的计算 10 题型六：线面垂直性质定理实际应用 13 题型七：空间几何各类距离求解问题 15 题型八：平面与平面垂直的概念及定理辨析 17 题型九：面面垂直判定定理的解题应用 18 题型十：空间二面角的求解方法 21 题型十一：面面垂直性质定理的综合运用 25 题型十二：线面垂直与面面垂直综合解题应用 28 02 重难点拓展 33 题型一：空间两直线垂直关系证明 1．如图，在正方体中，为底面的中心.求证 【解析】如图所示：连接，是正方体. ∴四边形是平行四边形. ∴直线与所成的角即为直线与所成的角. 连接，易证.又为底面的中心， 为的中点 . 2．如图，已知在底面为菱形的直四棱柱中，，，若，求证：. 【解析】如图所示：连接.∵四边形为菱形，. 又为直角三角形 ∴四边形为正方形. 连接交于点O. （或其补角）为异面直线与所成的角. ∵四边形为正方形. 3．如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证： 【解析】图1中，在四边形中，，，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为菱形，所以，， 所以在图2中，，，又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又在四边形中，，， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以； 题型二：异面直线夹角求解 4．如图，在棱长均相等的正三棱柱中，为三棱柱的顶点，为所在棱的中点，设与所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图：连接，由为所在棱的中点，则， 故与所成的角的大小也为，即有, 设该正三棱柱棱长为，则， 则，故. 故选：C. 5．在棱长为2的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接MD，取其中点Q，连接， 由题意可得， ，且， 所以是直线AM和CN的夹角或补角，， 所以. 所以，即直线AM和CN夹角的正弦值为. 故选：A 6．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，将补全为如下图所示的长方体，且， 所以异面直线PC与BD所成角，即为所成角， 由，则， 所以， 所以异面直线PC与BD所成角的余弦值为. 故选：C 题型三：直线与平面垂直的概念及定理辨析 7．已知P为空间中一点，m，n，l为互不相同的直线，α，β，γ为互不相同的平面，则下列推理中正确的是（   ） A．， B．， C．，， D．，，， 【答案】C 【解析】对于A：由，，则，两个平面相交于一条直线，而不是一个点，故A错误； 对于B：由，，则可能有，或，故B错误； 对于C：由，，，则，故C正确；     对于D：由，，，，则可能有，或，或，故D错误． 故选：C 8．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A，由，可得可能平行，相交或异面，故A错误； 对于B，由可得或，故B错误； 对于C，由，可得，又，则有，故C正确； 对于D，当是平面内两条互相垂直的直线，且时，满足，，但，故D错误. 9．设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，，则 D．若，则 【答案】D 【解析】选项：若，则m可能平行于，也可能在内，A为假命题； 选项：若且，则；又，则，B为假命题； 选项：若、且，与可能相交或平行，C为假命题； 选项：若、且，根据线面平行的性质定理可得，D为真命题． 故选：. 题型四：线面垂直关系的判定方法 10．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积. 【解析】（1）因为底面为菱形，， 所以是等边三角形， 又因为是的中点，所以， 又因为，所以. 因为，为中点，所以， 又因为，所以， 又因为，平面， 所以平面. （2）经计算，，又， 所以，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以是四棱锥的高， 所以. 11．如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 【解析】（1）连接，交于，连接. 直三棱柱中，侧面为矩形，所以点为中点. 因为点是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）直三棱柱中，平面，因为平面，所以. 在中，，，，则，所以. 因为，平面，， 所以平面. （3）过点作. 在中，，即. 直三棱柱中，平面，因为，平面，所以，， 因为，平面，，所以平面， 则即为点到平面，也即平面的距离. 又， . 故三棱锥的体积为8. 12．在正六棱柱中，，，O为下底面ABCDEF的中心，M为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)证明：平面. 【解析】（1）连接，，，如图所示， 为底面正六边形的中心，是的中点； 是的中点，为的中位线，则； 平面，平面，平面. （2）连接，，，如图所示， 为底面正六边形的中心，； ,，，即; 六棱柱是正六棱柱，底面； 底面，； ，平面； 平面，； 底面是正六边形，，，； 底面，底面，； ，； ，，，，四边形为正方形； ，为正方形的对角线，； ，，平面，平面，且， 平面. 题型五：直线与平面所成角的计算 13．如图，在正三棱柱中，E，F分别是，的中点，点G在棱上，且满足. (1)证明：平面； (2)若，求与平面所成角的正切值. 【解析】（1）如图，取BC的中点K，连接FK交BE于点H，连接AH， 又F是的中点，所以H是BE的中点， 所以，且，所以， 又，所以， 又，且，所以，且， 所以四边形AGFH为平行四边形，则， 又平面ABE，平面ABE，所以平面. （2）取AB的中点M，过M作，且，连接CM，GN，EN， 又E是的中点，所以，且，所以，且， 所以四边形MNEC为平行四边形，则， 又，所以. 因为平面ABC，平面ABC，所以， 又，平面，所以平面， 所以平面，则是与平面所成的角， 其中， 在中，， 即EG与平面所成角的正切值为. 14．(本题若使用空间向量，相关步骤不得分)如图，已知正四面体的棱长为，为底面的外心，为中点. (1)连接，证明：平面. (2)设的中点为，求与平面夹角的正弦值. 【解析】（1）证明：如图，连接，由于为的外心，故有. 因为为中点，，所以，， ∵，平面∴平面， ∴.同理，. ∵，平面， ∴平面. （2）正四面体棱长​，等边中，中线， 为重心（等边三角形重心与外心重合），故. 由平面，​. 是中点，在中，，， 由中线长公式. 由体积法，​​， 故， 又​， 设到平面距离为，则，​ 设线面夹角为，由线面角定义，代入得. 即直线与平面夹角的正弦值为. 15．如图，在正三棱柱中，为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）在等边中，因为为的中点，可得. 在正三棱柱中，可得平面， 又平面，所以. 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）由（1）得平面，因平面，则. 又，则， ，所以，可得， 因平面，故平面. （3）由（2）得平面，所以为直线与平面所成的角. 又，所以 所以直线与平面所成角的正弦值为 题型六：线面垂直性质定理实际应用 16．在多面体中，已知，且平面与平面均垂直于平面为的中点． 证明：． 【解析】如图，分别取的中点，连接， 因为，故， 又平面平面，且平面平面，平面， 因此平面，同理可知，平面， 又，所以， 因此且，故四边形为平行四边形， 所以， 又因为，所以． 17．如图所示的四棱锥中，，为的中点． (1)求证：平面； (2)若在同一个球面上，证明：这个球的球心在平面上． 【解析】（1）在四棱锥中，取中点，连接，由为的中点， 得，由，得，则， 而，因此四边形为平行四边形，，又平面平面， 所以平面. （2）由平面，平面，得，则， 由，得，而， 则，，，又，则， 而在同一个球面上，且，因此点为球心， 所以球心在平面上. 18．如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，.求证：平面； 【解析】（1）因为平面，平面，所以， 又四边形为直角梯形，且，，， 则，且，则， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，，平面，所以平面. 题型七：空间几何各类距离求解问题 19．如图，棱长为4的正方体中，点C到平面的距离为________． 【答案】/ 【解析】设点C到平面的距离为， 因为， 所以， 因为正方体棱长为， 所以， 所以是等边三角形， 所以， 又因为， 代入体积公式得. 20．已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为______. 【答案】1 【解析】连接交于点E， 由四边形为正方形，得，且为中点， 由⊥底面，平面，得⊥， 而，平面，则平面， 因此AE的长即为点到平面的距离， 又正方体棱长为，则， 而平面，平面，则平面， 故直线到平面的距离，即点到平面的距离. 21．如图，等腰三角形中，，D为上一点，且，将沿翻折至平面平面，连接，则点D到平面的距离为_____. 【答案】 【解析】由已知，可得，所以．又， 所以，取的中点M，则，且． 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以．又因为，，平面， 所以平面，所以就是点D到平面的距离， 所以点D到平面的距离为. 题型八：平面与平面垂直的概念及定理辨析 22．设是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出四个命题： ①若m∥，m∥，则∥    ②若⊥，⊥，则⊥ ③若m⊥，m⊥，则∥    ④若m∥，n⊥，则m∥n 其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】对①，若m∥，m∥，则与平行或相交，①错误； 对②，若⊥，⊥，则与平行或相交，②错误； 对③，若m⊥，m⊥，则∥成立，③正确； 对④，若m∥，n⊥，则m⊥n，④错误； 故选：A. 23．设m，n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【解析】对于A项，当相交时，才成立，故A项错误； 对于B项，由，，得，而，则，故B项正确； 对于C项，若，，则，或，或，故C项错误； 对于D项，若，，则可以平行或异面，故D项错误． 故选：B 24．已知直四棱柱的底面ABCD是正方形，则下列结论不一定成立的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【解析】如下图所示，直四棱柱的底面ABCD是正方形，结合直棱柱的结构特征， 易知平面平面，平面平面，平面平面，故A，B，C成立； 当且仅当直四棱柱为正方体时，平面平面，D不一定成立. 故选：D 题型九：面面垂直判定定理的解题应用 25．在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，平面，若，E为的中点，M，N分别为的中点， (1)证明：平面； (2)若为线段上的动点，平面与平面是否垂直？ 如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 【解析】（1）方法一：连接，如图， 因为分别是的中点，所以 . 又平面平面， 所以 平面. 方法二：如图，取的中点为，连接，则 . 又平面平面， 所以 平面. 同理可证 平面， 因为平面， 所以平面 平面. 又平面，所以 平面. （2）平面与平面垂直. 证明如下：因为底面底面，所以. 由题意知为直角三角形且，所以. 又平面， 所以平面 又平面，所以. 因为为的中点，所以. 又平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 26．如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面ABCD是等腰梯形，是PD的中点. (1)求证：平面PAB； (2)若，求证：平面平面ABCD； 【解析】（1）在四棱锥中，取PA中点，连接EF、BF， 由是PD的中点，得， 又因为，所以， 所以四边形EFBC是平行四边形，所以，又平面平面PAB， 所以平面PAB. （2）在等腰梯形ABCD中，，过点作交AD于点， 由，得， 在中，由余弦定理得， 则，所以， 又，平面PBD， 因此平面，而平面ABCD， 所以平面平面ABCD. 27．如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若点，分别为，的中点，求证:平面平面. 【解析】（1）在菱形中，, 为的中点， 所以，又平面⊥平面，平面∩平面，平面，所以平面. （2）如图，连接 因为为正三角形, 为线段的中点， 所以，由（1）知，又，平面， 所以平面，因为平面，所以. （3）如图，连接，，， 在中，，在菱形中，， 而平面，平面，，平面， 平面，，所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 因为平面，，所以平面， 又平面， 所以平面平面，所以平面平面. 题型十：空间二面角的求解方法 28．如图，在平行四边形中，，点为的中点，将沿直线翻折成（点不在面内），点为的中点.在翻折过程中， (1)证明：直线平面； (2)若，求二面角的大小. 【解析】（1）证明：取中点为，连接, 因为点为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为在平行四边形中，点为的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面 又，平面 所以平面平面， 又平面， 所以直线平面 （2）取中点为，连接 因为，中点为 所以，是等边三角形， 所以，即为二面角的平面角. 在中，，由余弦定理有： ， 即，解得， 又在中，，在内，. 所以在中，，即为等边三角形， 所以，即二面角的大小为. 29．如图，在四棱锥中，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)若平面底面，求直线与底面所成角的正切值； (3)若，求锐二面角的余弦值． 【解析】（1）取的中点为，连接，则，且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为，且平面平面，所以平面. （2）由（1）知，所以直线与底面所成角即直线与底面所成角， 如图，过作于， 又平面底面，平面底面平面， 则底面， 所以即为直线与底面所成角. 取的中点，连接，因为，则． 因为为的中点，所以为的中点． 又， 则， 在中，， 所以， 即直线与底面所成角的正切值为 （3）如图，过作交于，连接， 因为，则即为平面和平面的夹角的平面角. 因为四边形为直角梯形，， 所以，又因为，，所以． 当时，在中，， 由余弦定理得， 在中，， 由余弦定理得． 所以锐二面角的余弦值为 30．如图，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，点是延长线上一点，且．求二面角的大小． 【解析】如图，过点作于，连接， 在正三棱柱中，平面，所以是在平面内的射影， 结合，可得，所以是二面角的平面角， 因为，所以是的中点，所以是的中位线， 所以，在中，， 所以，即二面角的大小为60°． 题型十一：面面垂直性质定理的综合运用 31．如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若点，分别为，的中点，求证:平面平面. 【解析】（1）在菱形中，, 为的中点， 所以，又平面⊥平面，平面∩平面，平面，所以平面. （2）如图，连接 因为为正三角形, 为线段的中点， 所以，由（1）知，又，平面， 所以平面，因为平面，所以. （3）如图，连接，，， 在中，，在菱形中，， 而平面，平面，，平面， 平面，，所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 因为平面，，所以平面， 又平面， 所以平面平面，所以平面平面. 32．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面，.    (1)求证：平面平面； (2)若为等边三角形，边长为2，与底面所成角为，求四棱锥的体积. 【解析】（1）如图： 取中点，连接，， 又平面平面，平面平面， ，又 又，平面平面. （2）取中点，连接，连接，同理可证， 则为与底面所成角的平面角. 为等边三角形，边长为2，， 在中，解得，在中，解得. 则. ， . 33．如图，在三棱锥中，，点E为BD中点，，平面平面BCD，点O在BD上，且，，，点P在AD上，且满足平面 (1)求证：平面BCD； (2)求的值； (3)若二面角的大小为，求四面体的体积. 【解析】（1）在三角形ABO中，，，， 因此，可得 由于平面平面BCD，AO在平面ABD内，平面平面， 因此平面BCD； （2） 连接PE，平面，平面ABD，平面平面， 因此因为，， 因此，，因此； （3）设四面体的体积为V， 由（2）得，则， 由于平面平面BCD，平面平面，，平面BCD， 因此平面ABD， 又平面BCD，平面BCD，则， 过O作于点F， ，FO，平面AFO，则平面AFO， 又平面AFO，因此， 因此即为二面角的平面角， 因为，，，则， 又，在中由勾股定理得，又， 由，得， 因此 题型十二：线面垂直与面面垂直综合解题应用 34．如图，在四棱柱中，平面平面，，且． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 【解析】（1）平面平面，平面平面，， 平面， 平面， . （2）连接，如下图所示， ，， ， ， 是等边三角形，可得，， ， ， 根据余弦定理可得，解得， ， ，即， ， 平面， 就是直线与平面所成角， ,， ， . 35．已知四棱锥，平面，，，，点为中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的正切值； (3)作出过三点的平面截四棱锥得到的截面，并求此截面的周长． 【解析】（1） 取中点，连接， 在中，且， 因为，且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2） 取中点，连交于，连接， 因为，且，则四边形为平行四边形， 所以，为中点， 在中，，因为平面，所以平面， 作交于，连接， 因为平面，所以， 因为且平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 又，，所以， （3） 延长于，连接于，则四边形即为截面 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 中，，，，点为中点，所以， 因为，所以点为的中点，所以中，为其重心， 所以，所以，， 中，，即， 又，故截面的周长为． 36．如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【解析】（1）如图，连接，与交于点F，连接BF， 因为四边形是正方形，， 所以，， 因为四边形是正方形，，所以. 因为，所以， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为在四棱台中，两底面均为正方形， 所以，所以， 所以， 所以， 又， 设点到平面的距离为h， 由等体积法得，即，解得， 所以点到平面的距离为. 1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，那么下列结论正确的是（   ） A．若，，且，则与为异面直线 B．若，，且，则 C．若，，且，则与为异面直线 D．若，，且，则 【答案】B 【解析】对于A，若，，且， 则与为异面直线或平行直线或相交直线，故A错误； 对于B，若，，且， 则，，故B正确； 对于C，若，，且，则与可能为相交直线，如下图所示： 所以若，，且，则与为异面直线为假命题，故C错误； 对于D，若，，且，则与可能相交，如下图所示： 也可能为异面直线， 所以若，，且，则为假命题，故D错误. 2．（25-26高一下·广东广州·期中）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【解析】A：因为，，所以，没有交点，因此，可以是平行直线也可以是异面直线，所以本选项说法不正确； B：因为，所以存在一个过直线的平面与平面相交， 设，所以有，因为，， 所以，所以，因此本选项说法正确； C：当，时，还存在的情况，所以本选项说法不正确； D：当时，若，也可以存在， 所以本选项说法不正确； 3．（25-26高一下·浙江宁波·期中）在三棱锥中，，，，点在平面上投影为，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A．84π B．88π C．92π D．96π 【答案】A 【解析】设的外接圆半径为，由题可知为等边三角形，由正弦定理，，则， 设外接球的球心为，半径为，的外接圆的圆心为， 由题可得平面，而平面， 过点作，交于点，连接， 则，易得矩形，则， 在直角三角形中，，解得， 所以三棱锥外接球的表面积为. 4．（2026·河北保定·二模）如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图， 过点作，垂足为， 因为是的中点，所以，又平面，平面， 所以， 平面，，所以平面， 所以， 又平面，，所以平面， 连接，则就是直线与平面所成的角. 设，则，， 由，则，得， 在中，. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 5．（25-26高一下·黑龙江大庆·期中）正方体的棱长为2，M是线段上的一个动点（含端点），则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 在正方形中，对角线平分直角，得， 将平面沿展开，与平面共面，此时，且， 当三点共线时最小，此时， 由余弦定理可得， 开方得：，即的最小值为. 6．（25-26高一下·河南·期中）若直三棱柱的所有顶点均在半径为的球O的球面上，且，，则（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】如图所示，作出的外接圆圆心，连接. 中，，由正弦定理可得，. 又，. . 7．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知点P为空间一定点，过P且与两异面直线a、b所成角都为70°的直线共有3条，则异面直线a、b所成角为（    ）度 A．40 B．40或70 C．40或140 D．90 【答案】A 【解析】分别将直线平移得到，使得经过点，如图所示， 设所成角的角平分线为，过点垂直于所在平面的直线为， 因为异面直线、所成角为，所以直线所成角为， 所以，当直线经过点且直线在直线所在平面内，垂直于直线时， 直线与直线所成角相等，为时，成角为，即； 当直线在直线平面内时，若直线绕着点旋转，此时直线与直线所成角相等， 且所成角从变化到，再从变化到，此时满足条件的直线有三条， 所以，解得. 所以过空间定点与、成角的直线共有3条时，. 8．（2026·四川成都·二模）在四棱锥中，底面为矩形，，且，记二面角为，直线与底面所成的角为，若，则的值的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 分别取、中点E、F，因为，则， 在矩形中，，，平面， 所以平面，则， 过点P在平面内作垂足为点O， 所以，，平面，则平面， 连接，所以直线与平面所成角为，于是． 设，则，，于是，，， 所以，则， 所以，解得或． 9．（多选题）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知一个圆锥的底面半径为1，高为2，则下列对该圆锥的表述正确的是（   ） A．侧面积为 B．过两条母线的截面面积的最大值为2 C．圆锥的内切球半径为 D．设是圆锥的底面圆直径，是底面圆周上一点，若，则与所成角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】对于A，设圆锥的母线长为，由题意可知， 所以圆锥的侧面积为，故A错误； 对于B，因为过两条母线的截面为等腰三角形， 且， 所以顶角为锐角，故过两条母线的截面面积的最大值为轴截面面积， 其面积为，故B正确； 对于C，设内切球球心为，半径为，过作， 则，，则与相似， 则，即，故C正确； 对于D，过点作交底面圆于，如图所示： 则即为与所成角或其补角， 因为，所以为等腰直角三角形， 所以为弧的中点，为弧的中点， 故， 所以， 所以则与所成角的余弦值为，故D正确. 10．（多选题）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方体的棱长为1，且M，N分别为，的中点，则下列说法正确的是（   ） A．平面 B．与所成角为45° C．三棱锥的体积为 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】对A选项，如图，连接，则为中点， 又为的中点，所以， 又平面平面， 平面，故A选项正确； 对B选项，由A可知，为与所成角或其补角， 由正方体性质可知，，故B选项正确； 对C选项，三棱锥的体积为 ，故C选项错误； 对D选项，设点到平面的距离为，则， ，，故D选项正确. 11．（多选题）（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，在长方体中，，，E是棱上的一点，点F在棱DD1上，若四点共面，则下列结论正确的是（   ） A．四边形为平行四边形 B． C．存在点E，使得平面 D．三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，同理可得，，所以四边形为平行四边形，故A正确； 由A选项可知，，则， 因为，所以，则，故B错误； 当点为线段的中点时，由B选项可知，点为线段的中点， 此时，则四边形为矩形，有， 因为平面，平面，所以平面，故C正确； ，故D正确. 12．（25-26高一下·河北衡水·期中）如图，在圆柱中，轴截面是正方形，C在圆O的圆周上，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 【答案】/0.7 【解析】如图，设圆O的半径为r，延长BA至点D，使， 连接，CD，AC，则，， 所以四边形是平行四边形， 所以，， 则或其补角为异面直线与所成的角， 因为，， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 13．（24-25高一下·河南信阳·月考）在中，，，，点为中点，连接，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为____________ ． 【答案】/ 【解析】取中点为，过点作交于，连接，， 在中，，，， 则，所以. 又点为中点，所以，即为等边三角形， 所以，，， 将沿折起，使点到达点的位置， 则为等边三角形，又为中点，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面. 又平面，所以. 又，，，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 所以即为二面角的平面角， 在中，，， 所以， 则. 故二面角的余弦值为. 14．（2026·河北邢台·二模）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，平面经过直线且平行于直线，则点到平面的距离为______. 【答案】 【解析】如图，取的中点，连接，，，则，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理. 又，所以，所以，确定一个平面，即为平面. 过作，垂足为点，因为平面，平面， 所以，又，平面, 所以平面，即. 在中， ，所以. 15．（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，在高为2的正三棱柱中，, 是棱的中点． (1)求该正三棱柱的表面积； (2)求三棱锥的体积； (3)设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值，此时的长度是多少． 【解析】（1）因正三棱柱的底面边长为2，高为2， 故其表面积为：； （2）因，是棱的中点，则， 又因平面平面，平面平面， 且平面，则平面. 则； （3）如图，将平面绕翻折到平面，使其与平面同在一个平面内， 设为棱的中点，连接，交于点，此时，三点共线， 故取得最小值为， 因，且，则∽，故. 16．（25-26高一下·广东深圳·期中）已知正四棱台两底面边长分别为10和20，高为12. (1)求此棱台的侧面面积； (2)若截去三棱锥，求截去的三棱锥和剩余的几何体的体积之比. 【解析】（1）在正四棱台中，， 取的中点，的中点，则为侧面底边上的高， 设分别是上、下底面的中心，，则四边形为直角梯形， 在直角梯形中，， 所以， 所以； （2）该正四棱台的体积为， ， 所以几何体的体积， 所以三棱锥和剩余的几何体的体积之比为. 17．（25-26高一下·浙江台州·期中）如图，圆柱轴截面是边长为的正方形，动点在底面圆周上． (1)求证：平面平面； (2)若点为弧的中点，求异面直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）如图，连接， 且，所以四边形为平行四边形，所以 平面平面，. 又为圆的直径 平面平面, 平面，又，平面，平面 ∴平面平面 （2）延长交圆于点，连接 易得，所以且，所以. 且，所以四边形是平行四边形，即且， 因此可得且，四边形是平行四边形，即. 所以或其补角即为异面直线与所成角. ∵点为弧的中点且为直径，且，可得. ，在中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 18．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 【解析】（1）在长方体中，可得， 因为且平面，所以平面， 所以点到平面的距离为. （2）在长方体中，可得， 因为且平面，所以平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面， 所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， 所以直线与平面的距离为. （3）在长方体中，可得平面平面， 因为，且，平面， 所以平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 8．6空间直线、平面的垂直 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：空间两直线垂直关系证明 2 题型二：异面直线夹角求解 3 题型三：直线与平面垂直的概念及定理辨析 4 题型四：线面垂直关系的判定方法 4 题型五：直线与平面所成角的计算 5 题型六：线面垂直性质定理实际应用 6 题型七：空间几何各类距离求解问题 7 题型八：平面与平面垂直的概念及定理辨析 8 题型九：面面垂直判定定理的解题应用 8 题型十：空间二面角的求解方法 10 题型十一：面面垂直性质定理的综合运用 11 题型十二：线面垂直与面面垂直综合解题应用 12 02 重难点拓展 14 题型一：空间两直线垂直关系证明 1．如图，在正方体中，为底面的中心.求证 2．如图，已知在底面为菱形的直四棱柱中，，，若，求证：. 3．如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证： 题型二：异面直线夹角求解 4．如图，在棱长均相等的正三棱柱中，为三棱柱的顶点，为所在棱的中点，设与所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 5．在棱长为2的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 6．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 题型三：直线与平面垂直的概念及定理辨析 7．已知P为空间中一点，m，n，l为互不相同的直线，α，β，γ为互不相同的平面，则下列推理中正确的是（   ） A．， B．， C．，， D．，，， 8．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，，则 D．若，则 题型四：线面垂直关系的判定方法 10．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积. 11．如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 12．在正六棱柱中，，，O为下底面ABCDEF的中心，M为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)证明：平面. 题型五：直线与平面所成角的计算 13．如图，在正三棱柱中，E，F分别是，的中点，点G在棱上，且满足. (1)证明：平面； (2)若，求与平面所成角的正切值. 14．(本题若使用空间向量，相关步骤不得分)如图，已知正四面体的棱长为，为底面的外心，为中点. (1)连接，证明：平面. (2)设的中点为，求与平面夹角的正弦值. 15．如图，在正三棱柱中，为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 题型六：线面垂直性质定理实际应用 16．在多面体中，已知，且平面与平面均垂直于平面为的中点． 证明：． 17．如图所示的四棱锥中，，为的中点． (1)求证：平面； (2)若在同一个球面上，证明：这个球的球心在平面上． 18．如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，.求证：平面； 题型七：空间几何各类距离求解问题 19．如图，棱长为4的正方体中，点C到平面的距离为________． 20．已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为______. 21．如图，等腰三角形中，，D为上一点，且，将沿翻折至平面平面，连接，则点D到平面的距离为_____. 题型八：平面与平面垂直的概念及定理辨析 22．设是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出四个命题： ①若m∥，m∥，则∥    ②若⊥，⊥，则⊥ ③若m⊥，m⊥，则∥    ④若m∥，n⊥，则m∥n 其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．设m，n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 24．已知直四棱柱的底面ABCD是正方形，则下列结论不一定成立的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 题型九：面面垂直判定定理的解题应用 25．在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，平面，若，E为的中点，M，N分别为的中点， (1)证明：平面； (2)若为线段上的动点，平面与平面是否垂直？ 如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 26．如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面ABCD是等腰梯形，是PD的中点. (1)求证：平面PAB； (2)若，求证：平面平面ABCD； 27．如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若点，分别为，的中点，求证:平面平面. 题型十：空间二面角的求解方法 28．如图，在平行四边形中，，点为的中点，将沿直线翻折成（点不在面内），点为的中点.在翻折过程中， (1)证明：直线平面； (2)若，求二面角的大小. 29．如图，在四棱锥中，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)若平面底面，求直线与底面所成角的正切值； (3)若，求锐二面角的余弦值． 30．如图，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，点是延长线上一点，且．求二面角的大小． 题型十一：面面垂直性质定理的综合运用 31．如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若点，分别为，的中点，求证:平面平面. 32．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面，.    (1)求证：平面平面； (2)若为等边三角形，边长为2，与底面所成角为，求四棱锥的体积. 33．如图，在三棱锥中，，点E为BD中点，，平面平面BCD，点O在BD上，且，，，点P在AD上，且满足平面 (1)求证：平面BCD； (2)求的值； (3)若二面角的大小为，求四面体的体积. 题型十二：线面垂直与面面垂直综合解题应用 34．如图，在四棱柱中，平面平面，，且． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 35．已知四棱锥，平面，，，，点为中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的正切值； (3)作出过三点的平面截四棱锥得到的截面，并求此截面的周长． 36．如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，那么下列结论正确的是（   ） A．若，，且，则与为异面直线 B．若，，且，则 C．若，，且，则与为异面直线 D．若，，且，则 2．（25-26高一下·广东广州·期中）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（25-26高一下·浙江宁波·期中）在三棱锥中，，，，点在平面上投影为，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A．84π B．88π C．92π D．96π 4．（2026·河北保定·二模）如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·黑龙江大庆·期中）正方体的棱长为2，M是线段上的一个动点（含端点），则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·河南·期中）若直三棱柱的所有顶点均在半径为的球O的球面上，且，，则（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 7．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知点P为空间一定点，过P且与两异面直线a、b所成角都为70°的直线共有3条，则异面直线a、b所成角为（    ）度 A．40 B．40或70 C．40或140 D．90 8．（2026·四川成都·二模）在四棱锥中，底面为矩形，，且，记二面角为，直线与底面所成的角为，若，则的值的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（多选题）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知一个圆锥的底面半径为1，高为2，则下列对该圆锥的表述正确的是（   ） A．侧面积为 B．过两条母线的截面面积的最大值为2 C．圆锥的内切球半径为 D．设是圆锥的底面圆直径，是底面圆周上一点，若，则与所成角的余弦值为 10．（多选题）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方体的棱长为1，且M，N分别为，的中点，则下列说法正确的是（   ） A．平面 B．与所成角为45° C．三棱锥的体积为 D．点到平面的距离为 11．（多选题）（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，在长方体中，，，E是棱上的一点，点F在棱DD1上，若四点共面，则下列结论正确的是（   ） A．四边形为平行四边形 B． C．存在点E，使得平面 D．三棱锥的体积为定值 12．（25-26高一下·河北衡水·期中）如图，在圆柱中，轴截面是正方形，C在圆O的圆周上，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 13．（24-25高一下·河南信阳·月考）在中，，，，点为中点，连接，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为____________ ． 14．（2026·河北邢台·二模）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，平面经过直线且平行于直线，则点到平面的距离为______. 15．（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，在高为2的正三棱柱中，, 是棱的中点． (1)求该正三棱柱的表面积； (2)求三棱锥的体积； (3)设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值，此时的长度是多少． 16．（25-26高一下·广东深圳·期中）已知正四棱台两底面边长分别为10和20，高为12. (1)求此棱台的侧面面积； (2)若截去三棱锥，求截去的三棱锥和剩余的几何体的体积之比. 17．（25-26高一下·浙江台州·期中）如图，圆柱轴截面是边长为的正方形，动点在底面圆周上． (1)求证：平面平面； (2)若点为弧的中点，求异面直线与所成角的余弦值． 18．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $