精品解析：黑龙江哈尔滨市2026届高考第二次模拟考试数学试题

2026年哈尔滨市高考第二次模拟考试 数学 本试卷共19题，共150分，共4页．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔记清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】由全称命题的否定是特称命题可知：命题“，”的否定为，. 2. 哈尔滨市某月连续10天的AQI（空气质量指数）分别为29，32，34，36，39，50，47，66，48，78，则这组数据的第75百分位数为（ ） A. 33 B. 34 C. 49 D. 50 【答案】D 【解析】 【详解】数据从小到大重新排列为29，32，34，36，39，47，48，50，66，78， 因为，由百分位数的定义可知：这组数据的第75百分位数是第8个数据50. 3. 已知抛物线上一点，则焦点到准线的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】由抛物线过点，得，解得， 所以抛物线的焦点到准线的距离为2. 4. 已知复数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为复数满足，则z对应的点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 表示的几何意义为圆上点到原点的距离，到原点的距离为， 则，即的取值范围为. 5. 已知函数的定义域为，，当 时，，则曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求出曲线在点处的切线的斜率，再利用对称性求得答案. 【详解】由函数的定义域为，，得函数的图象关于直线 对称， 因此曲线在点处的切线与曲线在点处切线关于直线 对称， 其斜率互为相反数，当 时，，求导得，则， 所以曲线在点处的切线的斜率为 . 6. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ） A. 2寸 B. 3寸 C. 4寸 D. 5寸 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先求积水深9寸的水面半径，求出盆中水的体积，根据平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积即可求解. 【详解】由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸． 因为积水深9寸，所以水面半径为寸， 所以盆中水的体积为（立方寸）． 所以平地降雨量等于（寸）， 故选：B. 7. 已知半径为2的圆O，如图所示，AB为圆的一条直径，C为线段AB上异于端点A、B的任意一点，过C作与线段AB垂直的弦交圆于D、E两点，连接AD和BD，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据射影定理和基本不等式即可求解. 【详解】因为圆的半径为2，所以，由射影定理可知， 所以， 当且仅当，结合，即，时等号成立， 因此的最小值为. 8. 在平面直角坐标系中，已知点、点，动点B满足，点C满足，记的面积为S，则S的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出点的轨迹方程和直线的方程，然后根据向量的坐标运算求出点的坐标，的面积为，问题即转化为点到直线距离的最大值，最后利用圆的参数方程以及辅助角公式即可求解. 【详解】设，已知，，因此的轨迹为圆： ， ， 即， 直线的斜率 ，所以直线的方程为 ，即， 点到直线的距离，， 设，， 则 ，， 其中最大值为​，因此： . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据指数幂运算和对数的计算公式逐一判断即可. 【详解】，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D正确. 10. 已知正项等差数列的前 项和为， ，公差为，若，则（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意得出关于的等式，再结合 可求得的值，可判断A选项；由可判断B选项；求出的表达式，利用裂项求和法可判断C选项；求出的表达式，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为正项等差数列的前 项和为， ，公差为，若， ， ， ， 由，则，整理可得， 即，解得或 ， 根据题意可知，解得，故 ，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，， 所以， 所以，C对； 对于D选项，，则，D对. 11. 已知椭圆C： 的左、右焦点分别为、，左顶点为A，下顶点为B，点为曲线C上第一象限内一动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则下列结论正确的是（） A. 坐标原点O到直线AB的距离为 B. 若，则的取值范围为 C. 的面积最大值为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离公式可判断A；利用向量数量积的坐标公式结合点在椭圆上可判断B；利用椭圆的参数方程求出点到直线距离的最大值可判断C；计算出的坐标进而可得和，结合点在椭圆上即可求解. 【详解】椭圆，得，坐标， 第一象限椭圆上，满足，即. 对于A：直线过，方程为，即， 原点到的距离，A正确； 对于B：，代入​​， 得：即，不是，B错误； 对于C：，到直线的距离​，则， 由参数方程，得，，最大值为， 因此：，C正确； 对于D：直线方程：，令得，则， 直线方程：，令得，则， ，代入， 得，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列的各项都是正数，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据等比数列的下标和性质以及对数的计算公式即可求解. 【详解】由等比数列的性质可知. 13. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用切化弦思想及逆用和角的余弦公式求解. 【详解】在中，由，得， 整理得， 而，则，又是锐角，所以. 14. 设函数，如果存在函数（、为常数），使得对函数定义域内任意 都有成立，那么称为函数的一个“线性上界函数”，若函数是函数的一个“线性上界函数”，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知对任意的，，参变量分离得，求出函数在上的最大值，结合得出实数的取值范围. 【详解】由题意可知，对任意的，，即， 参变量分离可得， 令，其中，则， 所以函数在上单调递增，故当时，，即， 所以当时，， 构造函数，其中，则， 所以函数在上单调递减，即， 由不等式的性质可得，即，当且仅当时，等号成立， 故函数在上的最大值为，所以， 即实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 作为哈尔滨的地标性建筑，圣·索菲亚教堂以其典雅庄重的拜占庭风格与浓郁的历史气息，成为游客争相打卡的热门景点，某游客在圣·索菲亚教堂地面上观测点C处发现两栋建筑物A、B，测得A在C的北偏东的方向上，B在C的北偏东的方向上，从C处向正东方向行走后到达D处，测得A在D的北偏西 的方向上，B在D的北偏东 的方向上． （1）求观测点C与建筑物A之间的距离； （2）为提升游客游览体验，打造舒适的休憩空间，圣·索菲亚教堂景区计划在由观测点C、建筑物A与B三点围成的三角形空地上修建绿色休息区域，试求该三角形休息区域的占地面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据方向角求出的三个角，然后根据正弦定理即可求解 . （2）首先根据方向角求出的三个角，然后根据正弦定理求出，最后根据面积公式即可求解. 【小问1详解】 在中，根据方向角可得： ，， 因此， 已知，由正弦定理：， 代入得：. 【小问2详解】 根据方向角得：，， 因此 由正弦定理：， 代入得：， 又，因此 的面积：  . 16. 已知菱形 中， ，， 为边 的中点，将沿翻折成（点位于平面 上方），连接和． （1）求证：； （2）当时，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为?若存在，求出点位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）在菱形 中， ，​，故​， 为 中点，， 由余弦定理得： ， 故， 即，得 ，， 翻折后，仍成立， 又，平面， 故 平面​， 又平面，因此. （2）存在，为中点 【解析】 【分析】（1）首先根据余弦定理计算出，进而利用勾股定理证明，然后根据线面垂直的判定定理证明 平面​，最后根据线面垂直的性质即可证明. （2）以 为原点，为 轴，为 轴， 为轴建立空间直角坐标系，首先根据，求出点的坐标，然后根据在线段上，设，得，最后根据线面角的向量公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 存在，为的中点，过程如下： 以 为原点，为 轴，为 轴， 为轴建立空间直角坐标系， 得各点坐标： ，，，， 设，由得， 由​，得， 代入，解得，故， 在线段上，设，得，则， 平面中，，设平面的一个法向量为， 由得，取 得，， 设直线与平面夹角为，则， 代入计算： ，化简得，解得（ 舍去，超出范围）. 因此存在点，为的中点满足条件. 【点睛】 17. 已知函数． （1）若函数在处的切线与直线 垂直，求函数的单调区间； （2）若 ，都有恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） 的单调递减区间为，单调递增区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用导数的几何意义以及垂直关系求出，然后根据导数的正负即可求解； （2）令，不等式转化为：对任意 ，恒成立，构造函数，利用导数求出其最小值，使其最小值大于等于0即可求解. 【小问1详解】  ，直线 斜率为1，切线与 垂直，故切线斜率， 代入得： ，解得 ，符合. 此时， 当 时，，故， 单调递减； 当 时，，故， 单调递增. 结论： 的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 原不等式整理得： 令（ 时可取遍所有实数）， 不等式转化为：对任意 ，恒成立. 设，则，令得， 当时，， 单调递减； 当时，， 单调递增. 所以 ， 要求恒成立，即，结合得，解得. 故实数的取值范围为. 18. 2026年，人工智能领域最核心的演进趋势，是从“生成式AI”（GenerativeAI）向“决策式AI”（Decision-makingAI）的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某企业采用决策式AI对电子元件进行智能质量检测．工程师随机抽取若干元件进行人工全面检测，确定每个元件的真实合格情况，并给每个元件进行评分（满分100分），按，，，，，分成6组，绘制成（如下图）频率分布直方图： 规定：评分不低于60分为实际合格，低于60分为实际不合格，以样本频率估计总体概率．与此同时进行AI检测试验，AI设备存在误判情况，试验结果显示： 若对于实际合格的电子元件，将其判定为不合格的概率为； 若对于实际不合格的电子元件，将其判为不合格的概率为． （1）估计这批元件人工检测评分的平均数（同一组数据用区间中点值代替）； （2）该企业将AI智能质量检测投入使用． ①任取一个元件进行AI检测试验，求这个元件被AI判定为不合格的概率； ②从该批已经被AI检测过的元件中随机抽取3件，记被抽取的这3个元件中被AI判定为不合格的件数为X，求X的分布列； （3）企业规定：若AI判为合格，则直接出厂；若AI判为不合格，则一律进行人工复检，复检可100%识别是否合格．已知：每个实际合格元件出厂获利100元；每个实际不合格元件出厂将造成损失200元；每个元件需要人工复检其成本为10元，复检后实际合格元件正常出厂，不合格元件报废处理（为便于计算，元件成本忽略不计）．若该企业按此流程运行，试估计每件该类元件收益的期望． 【答案】（1）71.5分 （2）① ② （3）67.5元【解析】 【分析】（1）先确定每组中点值，再结合频率分布直方图的频率/组距计算每组频率，最后代入公式计算平均数； （2）①先根据频率分布直方图计算实际合格和实际不合格的概率，再利用互斥事件概率加法公式和条件概率公式计算总概率； ②因为X服从二项分布，所以先确定二项分布的参数 和，再根据二项分布的概率公式计算X取不同值时的概率，进而得到分布列. （3）先分析每种情况的收益和对应的概率，再根据离散型随机变量期望公式计算收益的期望，其中需要结合前面求出的实际合格、不合格的概率，以及AI判定的相关概率来确定各情况的概率. 【小问1详解】 平均数分 . 【小问2详解】 设事件：元件实际合格，事件：元件被AI判定为不合格， 由题意得： ，，，， ① 由全概率公式：. ②由题意，，计算概率得：  ，​， ， ， 分布列为： 【小问3详解】设每件元件收益为，分四种情况计算期望： 实际合格，AI判合格：，概率； 实际合格，AI判不合格：，概率； 实际不合格，AI判合格：，概率； 实际不合格，AI判不合格：，概率. 期望元 . 19. 双曲线绕虚轴旋转一圈形成的空间曲面叫做单叶双曲面．由于双曲面可以由一条斜线通过连续旋转构成，容易建造，因此发电站的冷却塔、广州塔等一些高耸建筑通常采用单叶双曲面型结构，如图所示．空间直角坐标系中，，动点在直线MN上，则．令参数，，则u，v所在的平面直角坐标系中动点在某双曲线C上． （1）求动点满足的双曲线C方程； （2）双曲线C的弦AB与弦DE均过右焦点F且互相垂直，弦AB中点为，弦DE中点为，、分别在第二、第三象限时，证明：与的面积比为定值； （3）在（2）的条件下，设到： 和： 的距离为、，到： 和： 的距离为、，比较和的大小关系． 【答案】（1） （2）证明：双曲线中 ，右焦点 ， 设直线斜率为，则方程为 ，代入 ， 整理得：  ，  由韦达定理得中点 坐标： ​ ， 因为 ，所以斜率为，同理得中点 坐标： ​ ， 由​在第二象限、​在第三象限得 ，解得. 和​共边​，面积比等于原点 和到直线的距离比， 直线​的方程为：整理得： ， 则，，因此： . 面积比为定值. （3） 【解析】 【分析】（1）根据求出点的坐标，然后消去参数 即可得出双曲线的方程； （2）因为 ，所以可设直线的斜率为，则直线的斜率为，分别联立直线与双曲线方程，利用韦达定理求出​、​的坐标，利用三角形面积公式，将面积比转化为坐标相关的比值，化简后证明其为定值； （3）利用点到直线的距离公式代入、​的坐标求出、​、​、，分别计算和的表达式，再比较二者的大小. 【小问1详解】 已知 ， ，直线 的方向向量为 ， 直线 的方向向量为 ， 因为，所以 ， ， 解得 ， ，，即 ， 由，整理得：   ， 即双曲线的方程为 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由点到直线距离公式：​，，，​， 代入坐标化简得： ​ ， 因此：  ， . 故 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年哈尔滨市高考第二次模拟考试 数学 本试卷共19题，共150分，共4页．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔记清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 哈尔滨市某月连续10天的AQI（空气质量指数）分别为29，32，34，36，39，50，47，66，48，78，则这组数据的第75百分位数为（ ） A. 33 B. 34 C. 49 D. 50 3. 已知抛物线上一点，则焦点到准线的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 4. 已知复数 满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，，当 时，，则曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ） A. 2寸 B. 3寸 C. 4寸 D. 5寸 7. 已知半径为2的圆O，如图所示，AB为圆的一条直径，C为线段AB上异于端点A、B的任意一点，过C作与线段AB垂直的弦交圆于D、E两点，连接AD和BD，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知点、点，动点B满足，点C满足，记的面积为S，则S的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知正项等差数列的前项和为， ，公差为，若，则（ ） A. 或 B. C. D. 11. 已知椭圆C： 的左、右焦点分别为、，左顶点为A，下顶点为B，点为曲线C上第一象限内一动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则下列结论正确的是（） A. 坐标原点O到直线AB的距离为 B. 若，则的取值范围为 C. 的面积最大值为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列的各项都是正数，，则______． 13. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则 ______． 14. 设函数，如果存在函数（、为常数），使得对函数定义域内任意都有成立，那么称为函数的一个“线性上界函数”，若函数是函数的一个“线性上界函数”，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 作为哈尔滨的地标性建筑，圣·索菲亚教堂以其典雅庄重的拜占庭风格与浓郁的历史气息，成为游客争相打卡的热门景点，某游客在圣·索菲亚教堂地面上观测点C处发现两栋建筑物A、B，测得A在C的北偏东 的方向上，B在C的北偏东的方向上，从C处向正东方向行走后到达D处，测得A在D的北偏西 的方向上，B在D的北偏东 的方向上． （1）求观测点C与建筑物A之间的距离； （2）为提升游客游览体验，打造舒适的休憩空间，圣·索菲亚教堂景区计划在由观测点C、建筑物A与B三点围成的三角形空地上修建绿色休息区域，试求该三角形休息区域的占地面积． 16. 已知菱形中， ，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和． （1）求证：； （2）当时，在线段 上是否存在点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为?若存在，求出点位置；若不存在，请说明理由． 17. 已知函数． （1）若函数在处的切线与直线 垂直，求函数的单调区间； （2）若 ，都有恒成立，求实数a的取值范围． 18. 2026年，人工智能领域最核心的演进趋势，是从“生成式AI”（GenerativeAI）向“决策式AI”（Decision-makingAI）的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某企业采用决策式AI对电子元件进行智能质量检测．工程师随机抽取若干元件进行人工全面检测，确定每个元件的真实合格情况，并给每个元件进行评分（满分100分），按，，，，，分成6组，绘制成（如下图）频率分布直方图： 规定：评分不低于60分为实际合格，低于60分为实际不合格，以样本频率估计总体概率．与此同时进行AI检测试验，AI设备存在误判情况，试验结果显示： 若对于实际合格的电子元件，将其判定为不合格的概率为； 若对于实际不合格的电子元件，将其判为不合格的概率为． （1）估计这批元件人工检测评分的平均数（同一组数据用区间中点值代替）； （2）该企业将AI智能质量检测投入使用． ①任取一个元件进行AI检测试验，求这个元件被AI判定为不合格的概率； ②从该批已经被AI检测过的元件中随机抽取3件，记被抽取的这3个元件中被AI判定为不合格的件数为X，求X的分布列； （3）企业规定：若AI判为合格，则直接出厂；若AI判为不合格，则一律进行人工复检，复检可100%识别是否合格．已知：每个实际合格元件出厂获利100元；每个实际不合格元件出厂将造成损失200元；每个元件需要人工复检其成本为10元，复检后实际合格元件正常出厂，不合格元件报废处理（为便于计算，元件成本忽略不计）．若该企业按此流程运行，试估计每件该类元件收益的期望． 19. 双曲线绕虚轴旋转一圈形成的空间曲面叫做单叶双曲面．由于双曲面可以由一条斜线通过连续旋转构成，容易建造，因此发电站的冷却塔、广州塔等一些高耸建筑通常采用单叶双曲面型结构，如图所示．空间直角坐标系中，，动点在直线MN上，则．令参数，，则u，v所在的平面直角坐标系中动点在某双曲线C上． （1）求动点满足的双曲线C方程； （2）双曲线C的弦AB与弦DE均过右焦点F且互相垂直，弦AB中点为，弦DE中点为，、分别在第二、第三象限时，证明：与的面积比为定值； （3）在（2）的条件下，设到： 和： 的距离为、，到： 和： 的距离为、，比较和的大小关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $