精品解析：东北三省四市教研联合体2025届高三下学期高考模拟考试（二）数学试卷

2025年东北三省四市教研联合体高考模拟考试（二） 数 学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案．非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由补集的定义即可求解. 【详解】因为全集，集合， 由补集的运算可得或， 对应区间为. 故选：B. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 其否定为：，. 故选：C 3. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求函数的定义域，再求函数在定义域上的增区间即可. 【详解】解：由已知得，解得或，函数的定义域为， 因为总为增函数，要求函数的单调递增区间， 由同增异减可得即求函数在上的增区间 由二次函数的性质可得在上的增区间为， 故函数的单调递增区间是. 故选：A. 4. 设是两个单位向量，若在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求出，再利用向量的夹角公式求解作答. 【详解】依题意，是两个单位向量，则在上的投影向量为， 于是，即，解得， 所以. 故选：C 5. 2024年8月20日国产第一款3A游戏《黑神话：悟空》上线，首日销量超450万份，总销售额超过15亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城西北角的佛宫寺内，如图1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥，如图2，已知正六棱锥的高为h，其侧面与底面夹角为，则六棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据侧面与底面夹角求出底面边长，即可求出底面积，再由锥体的体积公式计算可得. 【详解】 如图取的中点，连接、，因为为正六棱锥， 所以，， 所以为侧面与底面的夹角，所以， 又底面，底面，所以， 所以，又底面为正六边形，所以为等边三角形， 所以，则， 所以， 所以， 所以六棱锥的体积为. 故选：C 6. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由余弦的和差角公式代入计算，可得，然后结合正弦定理代入计算，即可得到外接圆的半径，从而得到结果. 【详解】由， 得，所以． 又因为，结合正弦定理（其中为的外接圆的半径）， 所以，解得， 则的外接圆的面积为． 故选：B 7. 第9届亚冬会即将在冰城哈尔滨召开，为了办好这一届盛会，组委会决定进行赛会志愿者招募．现有4名志愿者，通过培训后，拟安排在冰壶、短道速滑、高山滑雪三个项目进行志愿者服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，在甲被安排到冰壶项目的条件下，乙被安排到短道速滑项目的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用条件概率的公式直接求解即可. 【详解】记“甲被安排到冰壶项目”为事件A，记“乙被安排到短道速滑项目”为事件B， 甲被安排到冰壶项目分为两类，甲一人被安排到冰壶项目的种数为，两人被安排到冰壶项目的种数为， 所以， 甲被安排到冰壶项目且乙被安排到短道速滑项目的种数为， 所以， 所以. 故选：D. 8. 已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M为双曲线E右支上一点，点N在x轴上，满足，若，则双曲线E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得以、为邻边的平行四边形为菱形，即可得到，再由双曲线的定义求出、，最后利用余弦定理求出、的关系，即可求出离心率. 【详解】因为， 所以以、为邻边的平行四边形的以点为起点的对角线对应的向量与共线， 又，为的角平分线， 以、为邻边的平行四边形为菱形，， 由双曲线定义知：，，， 在中， 由余弦定理， 即，即， 双曲线的离心率. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】直接由三角函数定义、诱导公式验算即可. 【详解】由题意， 从而. 故选：AD. 10. 新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分．从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据． 月份代码x 1 2 3 4 5 碳酸锂价格y 0.5 0.8 1 1.2 1.5 若y关于x的回归直线方程为，则下列说法中正确的有（ ） A. y与x的样本相关系数 B. C. 回归直线方程经过点 D. 由回归直线方程可预测6月份的碳酸锂价格约为1.72 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据样本相关系数和回归直线方程的计算公式，逐项计算可得正确答案. 【详解】由题意可得， ，， ， ， 则与的样本相关系数，故A错误； 由关于的回归直线方程为且回归直线恒过样本点的中心， 则有，解得，故B正确，C正确； 由回归直线方程可预测6月份的碳酸锂价格约为，故D正确. 故选：BCD. 11. Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmoid函数的导函数，则（    ） A. B. Sigmoid函数是单调减函数 C. 函数的最大值是 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，求出导函数，代入验证可以判断A；利用导数研究函数的单调性，进而可以判断B；利用基本不等式，可以判断C；易知函数关于点对称,进而可以求D. 【详解】由函数得. 对于A，，故A正确； 对于B， ，，则Sigmoid函数是增函数，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D，因为＋＋1， 所以，D正确． 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：求解函数的最值，导数法是一种很重要的方法，但在某些问题中，用导数可能很繁琐，可变形函数借助均值不等式、配方法等求解. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分，其中14题第一个空2分，第二个空3分． 12. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由两角和差的正弦、余弦结合弦切互化可得，故可求的值. 【详解】因为， 故， 由题设，故， 故即， 故答案为： 13. 已知曲线在处的切线与曲线相切，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出在处的切线方程，设切点为，即可得到方程组，解得即可. 【详解】由，则，则，又当时， 所以曲线在处的切线为； 对于，可得，设切点为， 则，解得. 故答案为：. 14. 在棱长为1的正方体中，Q为正方形内一动点（含边界），①若，则点Q的轨迹长度为______；②若P为棱CD的中点，则的最小值为______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质得到，从而得到，则点的轨迹是以为圆心，半径为的四分之一圆，即可求出轨迹长；延长到点，使得，即点关于平面对称的点为点，连接与平面交于点，此时使得取得最小值，再由勾股定理计算可得. 【详解】因为平面，平面，所以， 因为，所以， 即点的轨迹是以为圆心，半径为的四分之一圆， 所以其轨迹长为； 如图，延长到点，使得，则点关于平面对称的点为点， 连接与平面交于点，此时使得取得最小值， 且最小值为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，矩形中，，，E为BC的中点，将沿翻折至，平面平面． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 连接，由， ，得， 由，，得， 所以， 所以，即， 由平面平面，平面，平面平面， 所以平面， 又平面，所以， 又平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，即可证明，再由面面垂直的性质得到平面，从而得到，结合，即可得证； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，取， 设直线与平面所成角为， 则 直线与平面所成角的正弦值为． 16. 研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表： 性别 健康状况 合计 不感冒 感冒 男 12 18 30 女 6 24 30 合计 18 42 60 （1）在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列和期望； （2）依据小概率值的独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论还一样吗？请解释原因． 附录：，其中． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）分布列： 1 2 3 4 （2）提出统计假设：岁人群的体质健康与性别无关. 根据列联表中的数据，经计算得到， 因为，假设成立， 所以依据小概率值的独立性检验，不能据此推断岁人群的体质健康与性别有关. 如果把所有数据都扩大10倍后， ，， 所以依据小概率值的独立性检验，能据此推断岁人群的体质健康与性别有关. 与之前的结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化. 【解析】 【分析】（1）利用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性 人，随机变量的所有取值为，求出对应概率，即可列出分布列，求出期望； （2）根据列联表中的数据， 经计算得到，再和参考数据表中对应的数据比较，即可得到结论. 【小问1详解】 样本中不感冒的男性有人，女性有 人，比例为， 按照性别采用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性 人， 所以随机变量的所有取值为. 则 ， ， ， ， 所以的分布列为 1 2 3 4 所以. 【小问2详解】 略 17. 已知函数． （1）当时，求在区间上的零点个数； （2）当，时，求证：． 【答案】（1）1 （2）证明：当，时，，求导得， 令，则， 由（1）知在上单调递增，从而在上单调递减， 又在上单调递减， 所以在上单调递减， 注意到， 从而存在唯一的，使得， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 而， 所以当时，， 从而存在唯一的，使得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 综上所述，在上单调递增，在上单调递减， ， 所以当，时，. 【解析】 【分析】（1）直接求导得函数在上单调递增，结合零点存在定理即可求解； （2）求导后令，继续求导得的单调性，进一步结合零点存在定理得它的符号变化，从而可得的单调性，由此即可得解. 【小问1详解】 当时，，求导得， 当时，且这三者不同时为0，从而在上恒成立， 从而在上严格单调递增， 注意到， 从而在区间上的零点个数为1； 【小问2详解】 略 18. 已知正项数列的前项和为，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足．求数列的前项和为； （3）设数列的前项和为，，且，若时，，求数列首项的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令可求得的值，令，由可得，两式作差推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式； （2）求得，利用裂项相消法可求得； （3）根据已知条件求出，，，分、，求出的表达式，根据可得出关于的不等式组，由此可求得的取值范围. 【小问1详解】 由已知条件可知，对任意的，. 当时，，解得； 当时，由可得， 上述两式作差得，即， 即， 由已知条件可知，所以， 所以，数列是等差数列，且首项为，公差也为，因此，. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以，. 【小问3详解】 因为，所以①， ②，③， ②①可得，②③可得， 又， 当时，， 当时，， 又因为，当时，， 当时，， 当时，， 对任意的，则恒成立，故. 19. 已知椭圆C：的两个焦点为和，，，为椭圆上不同三点，且，周长为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线平分线段，记中点为，当为何值时，的面积最大？ （3）设直线PO与椭圆C的另一交点为T，直线PT，MQ，PM，TQ的斜率分别为，，，，若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先可得，再由周长为求出，即可求出； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，表示出，再求出点的轨迹，由直线与其有公共点，得到，再换元求出面积的最大值，从而得解； （3）设，直线：，直线：，联立方程，消元、列出韦达定理，再由斜率公式计算可得. 【小问1详解】 依题意，又周长为，即， 所以，则， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 设直线的方程为，由， 整理得， 则，， 所以， 又点到直线的距离， 所以 ， 因为点为的中点，设，则， 所以，所以，即点的轨迹为， 由，消去整理得， 所以，则， 令，则， 所以， 所以当时的面积取最大值， 此时，则，即为的中点，即； 【小问3详解】 设，直线：， 由，整理得，则，； 设直线：， 由，整理得， 所以，； 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年东北三省四市教研联合体高考模拟考试（二） 数 学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案．非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 4. 设是两个单位向量，若在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 5. 2024年8月20日国产第一款3A游戏《黑神话：悟空》上线，首日销量超450万份，总销售额超过15亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城西北角的佛宫寺内，如图1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥，如图2，已知正六棱锥的高为h，其侧面与底面夹角为，则六棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 第9届亚冬会即将在冰城哈尔滨召开，为了办好这一届盛会，组委会决定进行赛会志愿者招募．现有4名志愿者，通过培训后，拟安排在冰壶、短道速滑、高山滑雪三个项目进行志愿者服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，在甲被安排到冰壶项目的条件下，乙被安排到短道速滑项目的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M为双曲线E右支上一点，点N在x轴上，满足，若，则双曲线E的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 10. 新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分．从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据． 月份代码x 1 2 3 4 5 碳酸锂价格y 0.5 0.8 1 1.2 1.5 若y关于x的回归直线方程为，则下列说法中正确的有（ ） A. y与x的样本相关系数 B. C. 回归直线方程经过点 D. 由回归直线方程可预测6月份的碳酸锂价格约为1.72 11. Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmoid函数的导函数，则（    ） A. B. Sigmoid函数是单调减函数 C. 函数的最大值是 D. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分，其中14题第一个空2分，第二个空3分． 12. 已知，，则______． 13. 已知曲线在处的切线与曲线相切，则______． 14. 在棱长为1的正方体中，Q为正方形内一动点（含边界），①若，则点Q的轨迹长度为______；②若P为棱CD的中点，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，矩形中，，，E为BC的中点，将沿翻折至，平面平面． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16. 研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表： 性别 健康状况 合计 不感冒 感冒 男 12 18 30 女 6 24 30 合计 18 42 60 （1）在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列和期望； （2）依据小概率值的独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论还一样吗？请解释原因． 附录：，其中． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17. 已知函数． （1）当时，求在区间上的零点个数； （2）当，时，求证：． 18. 已知正项数列的前项和为，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足．求数列的前项和为； （3）设数列的前项和为，，且，若时，，求数列首项的取值范围． 19. 已知椭圆C：的两个焦点为和，，，为椭圆上不同三点，且，周长为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线平分线段，记中点为，当为何值时，的面积最大？ （3）设直线PO与椭圆C的另一交点为T，直线PT，MQ，PM，TQ的斜率分别为，，，，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $