黑龙江哈尔滨市2026届高考第二次模拟考试数学试题

2026年哈尔滨市高考第二次模拟考试 数学 本试卷共19题，共150分，共4页．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔记清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 哈尔滨市某月连续10天的AQI（空气质量指数）分别为29，32，34，36，39，50，47，66，48，78，则这组数据的第75百分位数为（ ） A. 33 B. 34 C. 49 D. 50 3. 已知抛物线上一点，则焦点到准线的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 4. 已知复数 满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，，当 时，，则曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ） A. 2寸 B. 3寸 C. 4寸 D. 5寸 7. 已知半径为2的圆O，如图所示，AB为圆的一条直径，C为线段AB上异于端点A、B的任意一点，过C作与线段AB垂直的弦交圆于D、E两点，连接AD和BD，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知点、点，动点B满足，点C满足，记的面积为S，则S的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知正项等差数列的前项和为， ，公差为，若，则（ ） A. 或 B. C. D. 11. 已知椭圆C： 的左、右焦点分别为、，左顶点为A，下顶点为B，点为曲线C上第一象限内一动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则下列结论正确的是（） A. 坐标原点O到直线AB的距离为 B. 若，则的取值范围为 C. 的面积最大值为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列的各项都是正数，，则______． 13. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则 ______． 14. 设函数，如果存在函数（、 为常数），使得对函数定义域内任意都有成立，那么称为函数的一个“线性上界函数”，若函数是函数的一个“线性上界函数”，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 作为哈尔滨的地标性建筑，圣·索菲亚教堂以其典雅庄重的拜占庭风格与浓郁的历史气息，成为游客争相打卡的热门景点，某游客在圣·索菲亚教堂地面上观测点C处发现两栋建筑物A、B，测得A在C的北偏东 的方向上，B在C的北偏东的方向上，从C处向正东方向行走后到达D处，测得A在D的北偏西 的方向上，B在D的北偏东 的方向上． （1）求观测点C与建筑物A之间的距离； （2）为提升游客游览体验，打造舒适的休憩空间，圣·索菲亚教堂景区计划在由观测点C、建筑物A与B三点围成的三角形空地上修建绿色休息区域，试求该三角形休息区域的占地面积． 16. 已知菱形中， ，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和． （1）求证：； （2）当时，在线段 上是否存在点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为?若存在，求出点位置；若不存在，请说明理由． 17. 已知函数． （1）若函数在处的切线与直线 垂直，求函数的单调区间； （2）若 ，都有恒成立，求实数a的取值范围． 18. 2026年，人工智能领域最核心的演进趋势，是从“生成式AI”（GenerativeAI）向“决策式AI”（Decision-makingAI）的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某企业采用决策式AI对电子元件进行智能质量检测．工程师随机抽取若干元件进行人工全面检测，确定每个元件的真实合格情况，并给每个元件进行评分（满分100分），按，，，，，分成6组，绘制成（如下图）频率分布直方图： 规定：评分不低于60分为实际合格，低于60分为实际不合格，以样本频率估计总体概率．与此同时进行AI检测试验，AI设备存在误判情况，试验结果显示： 若对于实际合格的电子元件，将其判定为不合格的概率为； 若对于实际不合格的电子元件，将其判为不合格的概率为． （1）估计这批元件人工检测评分的平均数（同一组数据用区间中点值代替）； （2）该企业将AI智能质量检测投入使用． ①任取一个元件进行AI检测试验，求这个元件被AI判定为不合格的概率； ②从该批已经被AI检测过的元件中随机抽取3件，记被抽取的这3个元件中被AI判定为不合格的件数为X，求X的分布列； （3）企业规定：若AI判为合格，则直接出厂；若AI判为不合格，则一律进行人工复检，复检可100%识别是否合格．已知：每个实际合格元件出厂获利100元；每个实际不合格元件出厂将造成损失200元；每个元件需要人工复检其成本为10元，复检后实际合格元件正常出厂，不合格元件报废处理（为便于计算，元件成本忽略不计）．若该企业按此流程运行，试估计每件该类元件收益的期望． 19. 双曲线绕虚轴旋转一圈形成的空间曲面叫做单叶双曲面．由于双曲面可以由一条斜线通过连续旋转构成，容易建造，因此发电站的冷却塔、广州塔等一些高耸建筑通常采用单叶双曲面型结构，如图所示．空间直角坐标系中，，动点在直线MN上，则．令参数，，则u，v所在的平面直角坐标系中动点在某双曲线C上． （1）求动点满足的双曲线C方程； （2）双曲线C的弦AB与弦DE均过右焦点F且互相垂直，弦AB中点为，弦DE中点为，、分别在第二、第三象限时，证明：与的面积比为定值； （3）在（2）的条件下，设到： 和： 的距离为、，到： 和： 的距离为、，比较和的大小关系． 2026年哈尔滨市高考第二次模拟考试 数学 本试卷共19题，共150分，共4页．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔记清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）在菱形中， ，​，故​，为中点，， 由余弦定理得： ， 故， 即 ，得 ，， 翻折后，仍成立， 又，平面， 故 平面​， 又平面，因此. （2）存在，为 中点 【17题答案】 【答案】（1） 的单调递减区间为，单调递增区间为. （2） 【18题答案】 【答案】（1）71.5分 （2）① ② （3）67.5元 【19题答案】 【答案】（1） （2）证明：双曲线中 ，右焦点 ， 设直线斜率为，则方程为 ，代入 ， 整理得：  ，  由韦达定理得中点 坐标： ​ ， 因为 ，所以斜率为，同理得中点 坐标： ​ ， 由​在第二象限、​在第三象限得 ，解得. 和​共边​，面积比等于原点和到直线的距离比， 直线​的方程为：整理得： ， 则，，因此： . 面积比为定值. （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $