2025-2026学年高二下学期期末备考数学专题训练----专题05随机变量及其分布

**基本信息** 以概率公式与分布模型为核心，通过分层题型构建“概念理解-公式应用-实际建模”的完整训练体系，强化数据分析与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概率基础|单选1-3、填空12|条件概率、全概率公式、独立事件判定|从事件关系到概率计算，构建概率公理体系| |分布列与数字特征|单选4-7、多选9、填空13|超几何/二项分布识别、期望方差公式|离散型随机变量定义→分布列性质→数字特征推导| |综合应用|解答题15-19|贝叶斯公式、正态分布区间概率、实际问题建模|从数学模型到现实情境，培养数据建模与分析能力|

2026年高二下学期期末备考专题训练----专题05随机变量及其分布 一、单选题 1．若事件A，B满足，，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知随机变量的分布列为： 1 2 3 则（    ） A． B． C． D． 3．已知甲箱中有3个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 4．已知离散型随机变量的期望，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 5．小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（   ） A．4天 B．8天 C．10天 D．16天 6．若随机变量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 7．端午节吃粽子是一大习俗，粽子，又叫角黍、筒粽.某礼盒中有6盒粽子，其中3盒是豆沙粽，3盒是鲜肉粽，从中任取2盒粽子，记取到的鲜肉粽有盒，则的方差为（   ） A． B． C． D． 8．工厂制造某种机器零件的尺寸，任取10000个零件时，尺寸在内的个数约为（   ）（附：若，则，，） A．2718 B．1359 C．430 D．215 二、多选题 9．（多选）若离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列说法错误的是（    ） 0 1 A．常数的值为或 B．常数的值为 C． D． 10．某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”、“乙队”、“丙队”、“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（   ） A．甲队的积分可能为分 B．甲队积分为分的概率为 C．四支球队的积分总和可能为分 D．甲队胜场且乙队负场的概率为 11．下列命题正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，，，则 三、填空题 12．某手机销售店只销售甲、乙两个品牌的手机，其中甲品牌的销售量占本店手机销售量的，优质率为，乙品牌的优质率为. 从该店中随机买一部手机，则“买到的是优质品”的概率为____________. 13．已知随机变量服从两点分布，．若，则__________． 14．有一个摸球游戏，规则如下：在盒子里放入大小、质地完全相同的4个红球和3个白球．不放回地依次随机取出，每次取出1个球，直到剩下只有一种颜色的球时游戏结束，则游戏结束时取球次数至多为5次的概率为___________． 四、解答题 15．某系列盲盒中有隐藏款、稀有款、普通款三种玩偶，从中随机抽取一盒，每盒必为其中一款.已知抽到隐藏款、稀有款、普通款的概率分别为、、，若抽到隐藏款、稀有款、普通款，则消费者给出好评的概率依次为、、. (1)求随机抽取一盒盲盒，消费者给出好评的概率； (2)若消费者未给出好评，求其抽到普通款的概率. 16．盲盒，作为一种以随机体验为核心的商业模型，已经成为一种新型的消费现象，其核心价值在于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求．商家为了在电商平台对某款盲盒进行促销，对商品进行了升级，新款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，旧款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，商家会以3∶2的比例对新、旧款盲盒进行随机发货． (1)求消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”的概率； (2)小张在电商平台上购买了3个该款盲盒，设盲盒中出现“隐藏款”的个数为X，求随机变量X的数学期望和方差； (3)现有一箱装有4个“常规款”和2个“隐藏款”的盲盒，若每次从中随机取出一个盲盒拆开，取出后不放回，直到能区分出全部6个盲盒分别是“常规款”还是“隐藏款”时为止，记取出盲盒的个数为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望． 17．某科研机构为完成国家级课题，从4个实验室抽调10名研究员组成项目组.各实验室参与人数如下： 实验室 人工智能实验室 生物医学实验室 量子计算实验室 环境工程实验室 人数 3 2 2 3 (1)从这10名研究员中随机抽取两人合作实验，求两人来自同一实验室的概率； (2)课题完成后需选派3人撰写结题报告，设被选中的生物医学实验室研究员的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望. 18．某奶茶店推出一款新奶茶——抹茶奶绿．已知从该店在售的奶茶中随机购买1杯，买到抹茶奶绿的概率是． (1)若顾客甲从该店在售的奶茶中随机购买3杯奶茶，求顾客甲购买的奶茶中恰好有2杯是抹茶奶绿的概率； (2)若顾客乙从该奶茶店已经做好的10杯奶茶（其中抹茶奶绿有3杯）中随机购买4杯，记顾客乙购买的奶茶中抹茶奶绿的数量为，求的分布列与数学期望． 19．信息安全是互联网时代最重要的安全之一，我国自主研发的量子通信保密传输系统，依靠量子密钥分发实现信息安全传输，该系统采用量子信道和经典信道协同工作，某量子通信保密传输系统在单次密钥分发过程中，量子信道成功密钥生成的概率为，经典信道完成信息匹配的概率为，且两个信道工作相互独立．只有当量子信道密钥生成成功，且经典信道信息匹配成功，则本次有效密钥分发成功，否则本次有效密钥分发失败． (1)求该系统单次有效密钥分发成功的概率； (2)若该系统独立进行次密钥分发，记为有效分发成功的次数，求的数学期望； (3)科研人员对该系统连续传输的密钥准确率进行检测，发现密钥准确率（单位：）服从正态分布．若准确率不低于为“最优传输”，估算次密钥分发中，可用于“最优传输”的次数． 附：若，则，，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年高二下学期期末备考专题训练----专题05随机变量及其分布》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C B A C B B ABC BCD 题号 11 答案 BCD 1．A 【分析】利用条件概率和并事件的概率公式求解. 【详解】，代入，得到， 又因为， 所以. 2．C 【详解】由题意，得，解得， 所以. 3．C 【分析】由题意，条件概率及全概率公式可得答案. 【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件， 根据题意可得， ， 所以 . 4．B 【详解】因为，则. 5．A 【详解】记为事件“小明戴帽子”，记为事件“小明戴墨镜”， ，， ， 所以，，（天）. 6．C 【详解】因为随机变量满足，且， 所以，整理得到，所以， 即，解得，则，所以. 7．B 【详解】由题意知服从超几何分布，的取值为， 所以，，， 所以， . 8．B 【详解】由，得，则 ， 所以任取10000个零件时，尺寸在内的个数约为． 9．ABC 【分析】根据分布列的性质求解. 【详解】由题意知，解得或， 当时，，所以舍去， 故，AB错误， 计算可得，C错误，D正确， 故选:ABC． 10．BCD 【分析】利用题目分析可判断A；分析可知若甲队积分为分，则甲队赢场负场，或甲队平场，利用独立事件和互斥事件的概率公式可判断B；分析可知每场比赛两队的积分之和为分或分，结合可判断C；对甲乙对战的情况进行分类讨论，结合独立事件和互斥事件的概率公式可判断D. 【详解】对于A选项，由题意可知，甲队需要比赛场，若甲队的积分为分，则甲队至少要赢场， 若甲队赢场，则甲队的积分为分；若甲队赢场平场，则甲队的积分为分； 若甲队赢场负场，则甲队的积分为分.综上所述，甲队的积分不可能为分，A错； 对于B选项，若甲队积分为分，则甲队赢场负场，或甲队平场， 所以，甲队积分为分的概率为，B对； 对于C选项，对于每一场，若一场比赛能决胜负，则两队的积分之和为分， 若一场比赛为平局，则两队的积分之和为分，所以每场比赛两队的积分之和为分或分， 由题意可知，四支队伍比赛的总场数为，由于， 故若场比赛只有场是平局，有场能决胜负，此时四支球队的积分总和为分，C对； 对于D选项，甲队胜场且乙队负场包含以下几种情况： ①甲乙对战时是平局，则甲胜丙、甲胜丁、乙负丙、乙负丁，此时概率为， ②若甲胜乙，则甲与丙、丁的对战中，恰有一场甲胜，乙与丙、丁的对战中，恰有一场乙负， 此时的概率为； ③若乙胜甲，则甲胜丙，甲胜丁且乙负丙，乙负丁， 此时的概率为. 综上所述，甲队胜场且乙队负场的概率为，D对. 11．BCD 【分析】利用条件概率定义、全概率公式与事件独立性性质，通过举反例判断A错误；利用全概率公式中与均不大于的放缩证明B正确；由条件概率与事件独立的定义，从推出独立，进而得，判断C正确；通过对立事件概率求出，，再代入全概率公式求解验证D正确． 【详解】对于A，， 若互斥，则，此时， 当，，A错误； 对于B，， 因为，， 所以，B正确； 对于C，若，则相互独立，所以， 所以，C正确； 对于D，因为，， 所以，， 由全概率公式， 得，解得，D正确； 12． 【分析】本题主要考查全概率公式的应用，根据各品牌手机的销售占比和优质率， 分别求出甲乙两种品牌的优质品概率，概率相加即可解决问题. 【详解】解：由甲品牌的销售量占比为，则乙品牌的销售量占比为， 所以（买到优质品）. 13．0.44 【分析】根据两点分布的性质判断. 【详解】由题意可得． 故答案为： 14． 【分析】记为游戏结束时取球次数，随机变量的可能取值有、、、，先计算出随机变量的概率，再由间接法求游戏结束时取球次数至多为5次的概率. 【详解】的可能取值有、、、， 由间接法求取球次数至多为5次的概率 当时，有两种情况： ①最后盒子里剩余的是白球，则第六次摸出的是红球，前五次有三次摸出的是红球，有两次摸出的是白球； ②最后盒子里剩余的是红球，则第六次摸出的是白球，前五次有两次摸出的是白球，有三次摸出的是红球， 所以， . 15．(1) (2) 【分析】（1）利用全概率公式，把三种款的概率与对应好评概率相乘再相加，即可得到结果； （2）先算出未给出好评的概率，再结合抽到普通款且未给出好评的概率，利用贝叶斯公式即可求得. 【详解】（1）设事件表示“抽到隐藏款”，表示“抽到稀有款”，表示“抽到普通款”， 事件表示“消费者给出好评”，事件表示“消费者未给出好评”. 根据题意，，两两互斥，且. 由题意得，，，，，. 由全概率公式，得， 所以消费者给出好评的概率为. （2）由（1）知，因此. 根据题意，得. 因为，，两两互斥，且， 由贝叶斯公式，得， 所以，若消费者未给出好评，其抽到普通款的概率为. 16．(1) (2)； (3) Y 2 3 4 5 P ； 【分析】（1）根据全概率公式即可求解； （2）判断随机变量，根据二项分布的期望；方差公式即可求解； （3）确定随机变量Y的可能取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列，求得期望. 【详解】（1）设事件A为：买到新款盲盒，事件B为：买到旧款盲盒，事件C为：盲盒中出现“隐藏款”， 则， 则； （2）每个盲盒是否开出隐藏款相互独立，每个盲盒开出隐藏款的概率为​， 因此随机变量， 根据二项分布的期望、方差公式： 得，； （3）当拆出全部2个隐藏款或全部4个常规款时，即可确定所有盲盒类型，停止抽取， 因此Y的可能取值为2，3，4，5， 隐藏款的位置共有种等可能情况， 计算概率得：（前2个均为隐藏款）, （第二个隐藏在第3位，前2位有1个隐藏）, （第二个隐藏在第4位，或前4个均为常规款）， （剩余所有情况）， Y的分布列为： Y 2 3 4 5 P 数学期望：. 17．(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用古典概型概率公式与组合数公式，计算随机选取两人来自同一实验室的概率； （2）确定随机变量X的所有可能取值，求出对应概率，进而得出分布列与数学期望． 【详解】（1）根据题意，从这10名研究员中随机抽取两人，有种选法， 其中两人来自同一实验室的有种，则要求概率． （2）根据题意，X可取的值为0、1、2， 则， , , 故X的分布列为： X 0 1 2 P 则． 18．(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）用二项分布的概率公式计算即可； （2）用超几何分布公式算出各个取值的概率，列出分布列，进而可求期望. 【详解】（1）由题意可得顾客甲购买的奶茶中恰好有2杯是抹茶奶绿的概率． （2）由题意可知的所有可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 故． 19．(1) (2) (3)次密钥分发中，“最优传输”的次数约为 【分析】（1）根据两个信道工作相互独立，利用独立事件同时发生的概率乘法公式，将量子信道成功概率与经典信道匹配概率相乘，即可得到单次有效密钥分发成功的概率； （2）单次有效密钥分发成功的概率固定，次独立重复试验中成功次数服从二项分布，直接套用二项分布数学期望公式计算即可； （3）先由正态分布参数算出均值与标准差，将 “准确率不低于” 转化为正态分布中的概率，利用正态分布的对称性和，求出对应概率后乘以总次数，估算出“最优传输”的次数． 【详解】（1）设 “量子信道成功密钥生成”为事件，“经典信道完成信息匹配” 为事件， 由题意得，，且与相互独立， 所以该系统单次有效密钥分发成功的概率； （2）由题意得，，所以； （3）由题意得，，则，， 因为“最优传输”要求，即， 所以， ， 所以次密钥分发中，“最优传输”的次数约为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $