第五节　三角函数的图象与性质课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“三角函数的图象与性质”专题，依据高考评价体系梳理了五点法作图、定义域值域、周期性奇偶性、单调性对称性等核心考点，通过近五年高考真题及模拟题分析，明确单调性判断（占比30%）、值域求解（占比25%）、对称性应用（占比20%）等高频考点分布，归纳选择、填空、解答题等常考题型，构建完整备考体系。 课件亮点在于“真题溯源+方法建模+素养提升”的复习策略，如结合2022新高考Ⅰ卷对称中心问题，运用“整体代换法”求解单调区间，培养学生数学思维中的推理能力与运算能力。特设“易错警示”（如正切函数定义域误解）和“学霸笔记”（换元法求值域技巧），通过跟踪训练强化答题规范，教师可据此精准把握学情，助力学生高效突破考点，提升高考得分率。

第五节　三角函数的图象与性质 1 知识清单 1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是(0，0)，，________，________，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是(0，1)，，________，________，(2π，1)． (π，0) (，－1) (π，－1) (，0) 返回导航 2 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R ________ 值域 ________ ________ R 周期性 ________ ________ ________ 奇偶性 ________ ________ ________ {x} [－1，1] [－1，1] 2π 2π π 奇函数 偶函数 奇函数 返回导航 3 递增 区间 ________ ________ ________ 递减 区间 ________ ________ 无 对称 中心 ________ ________ 对称轴 方程 ________ ________ 无 [－＋2kπ，＋2kπ] [－π＋2kπ，2kπ] (－＋kπ，＋kπ) [＋2kπ，＋2kπ] [2kπ，π＋2kπ] (kπ，0) (kπ＋，0) x＝kπ＋ x＝kπ 返回导航 4 【常用结论】 1．对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 返回导航 5 2．若f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A，ω≠0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)． (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)． 3．对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(，kπ＋)(k∈Z)上单调递增． 返回导航 6 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝sin x在第一象限是增函数．(　　) (2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　　) (3)已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　) (4)y＝sin |x|是偶函数．(　　) × × × √ 返回导航 7 2．(多选)(人教A版必修一P200T4改编)函数y＝1＋cos x，x∈的图象与直线y＝t(t为常数)的交点的个数可能有(　　) A．0个　　B．1个 C．2个　　D．3个 答案：ABC 解析：画出函数f(x)的图象，如图所示，当t＜0或t≥2时，没有交点；当t＝0或≤t＜2时，有1个交点；当0＜t＜时，有2个交点．故选ABC. 返回导航 8 3．(人教A版必修一P207T5改编)函数y＝3sin ，x∈[0，π]的单调递减区间为________． [] 解析：由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，当k＝0时，≤x≤，故此时函数的单调递减区间为[]. 返回导航 9 4．(人教A版必修一P213练习T3改编)函数y＝tan 3x的定义域为___________________． {xk∈Z} 解析：令3x≠＋kπ，k∈Z，解得x≠，k∈Z. 故函数的定义域为{x，k∈Z}． 返回导航 10 02.考教衔接·活用教材 返回导航 11 命题点一　三角函数的定义域、值域(或最值) 例1 (1)在[0，2π]内，函数f(x)＝＋ln 的定义域是(　　) A． B． C． D． 答案：C　 返回导航 12 解析：由题意得解得所以≤x<，即在[0，2π]内，函数f(x)的定义域为[)．故选C. 返回导航 13 (2)已知函数f(x)＝2cos ，则函数f(x)在 A． B． C． D． 答案：B　 解析：因为x∈，所以－2x∈，则cos (－2x)∈，所以f(x)＝2cos (－2x)∈[－，2].故选B. 返回导航 14 (3)函数y＝sin x＋cos x－4sin x cos x的最大值与最小值的和是________． 解析：因为(sin x＋cos x)2＝1＋2sin x cos x，所以y＝sin x＋cos x－2[(sin x＋cos x)2－1].令t＝sin x＋cos x＝sin (x＋)，可知t∈[－]，则y＝－2t2＋t＋2，t∈[－].二次函数的图象开口向下，对称轴为t＝，当t＝时，ymax＝－2×()2＋＋2＝；当t＝－时，ymin＝－2×(－)2－＋2＝－2－，即最大值与最小值的和是. 返回导航 15 学霸笔记：(1)求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式，常借助三角函数图象来求解． (2)求三角函数的值域(最值)的常见题型及求解策略： ①形如y＝a sin⁡x＋b cos⁡x＋c的三角函数化为y＝A sin⁡(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)； ②形如≠化为关于t的二次函数求值域(最值)． 返回导航 16 　跟踪训练　(1)函数y＝的定义域为_______________________． {x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z} 解析：要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0，利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示， 在[0，2π]上，满足sin x＝cos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为{x≤x≤2kπ＋，k∈Z}． 返回导航 17 (2)函数f(x)＝cos 2x＋2sin x的值域是______． 解析：函数f(x)＝cos 2x＋2sin x的定义域为R，则f(x)＝1－2sin2x＋2sinx＝－2(sin x－)2＋，而－1≤sin x≤1，因此当sin x＝时，f(x)max＝；当sin x＝－1时，f(x)min＝－3，所以函数f(x)＝cos 2x＋2sin x的值域是. 返回导航 18 命题点二　三角函数的奇偶性、周期性与对称性例2 (1)(链接·2025年全国Ⅰ卷)已知点(a，0)(a>0)是函数y＝的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　) A． B． C． D． 答案：B　 返回导航 19 解析：由题意得，2tan (a－)＝0，则a－＝(k∈Z)，故a＝(k∈Z)． 又a>0，则k＝0时，amin＝.故选B. 返回导航 20 (2)(链接·2022年新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝若<T<π，且y＝f(x)的图象关于点＝(　　) A．1 B． C． D．3 答案：A 返回导航 21 解析：因为＜T＜π，所以＜＜π.又因为ω＞0，所以2＜ω＜3.因为y＝f(x)的图象关于点(，2)中心对称，所以b＝2，ω＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝－k，k∈Z.令2＜k＜3，解得＜k＜.又因为k∈Z，所以k＝4，所以ω＝.所以f(x)＝sin (x＋)＋2，所以f()＝sin ()＋2＝1.故选A. 返回导航 22 学霸笔记：(1)奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin⁡ωx或y＝A tan⁡ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx的形式． 若f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A，ω≠0)，则 ①f(x)为偶函数的充要条件是φ＝ ②f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)． (2)周期性：函数y＝A sin⁡(ωx＋φ)与y＝A cos⁡(ωx＋φ)的最小正周期T＝y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝ 返回导航 23 (3)对称性：①对于可化为f(x)＝A sin⁡(ωx＋φ) (或f(x)＝A cos⁡(ωx＋φ) )形式的函数，如果求f(x)图象的对称轴，只需令ωx＋φ＝(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)图象的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)或令（ωx＋φ＝＋（k∈Z）） ②对于可化为f(x)＝A tan⁡(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)图象的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝(k∈Z)，求x即可． 返回导航 24 　跟踪训练　(1)(2026·镇江模拟)若函数f(x)＝，φ∈R为奇函数，则下列能满足条件的φ取值为(　　) A． B． C． D． 答案：C　 解析：由题设φ＋＝kπ＋，k∈Z，则φ＝kπ＋，k∈Z，显然k＝0时φ＝，而φ＝－，－均不可能．故选C. 返回导航 25 (2)(多选)已知函数f(x)＝3sin ，则(　　) A．函数f(x)的最小正周期为π B．函数f(x)的图象关于点对称 C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 D．函数f为奇函数 答案：ACD 返回导航 26 解析：对于A，最小正周期T＝＝π，A正确；对于B，令x＝，解得f()＝3sin ＝≠0，所以函数f(x)的图象并不关于点(，0)对称，B错误；对于C，令x＝，解得f()＝3sin ()＝－3，此时函数f(x)取得最小值，故函数f(x)的图象关于直线x＝对称，C正确；对于D，f(x－)＝3sin [2(x－)＋]＝3sin 2x，设h(x)＝3sin 2x，x∈R，定义域关于原点对称，设任意x∈R，则－x∈R，则h(－x)＝3sin (－2x)＝－3sin 2x＝－h(x)，故h(x)是奇函数，即函数f(x－)为奇函数，D正确．故选ACD. 返回导航 27 命题点三　三角函数的单调性 例3 (1)已知a＝cos，则(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b 答案：D　 返回导航 28 解析：由a＝cos (－)＝cos ，b＝cos ＝cos (π＋)＝－cos <0，c＝sin ＝cos ()＝cos ，又0<<<，因为y＝cos x在(0，)上单调递减，所以cos >cos >0，即c>a>0>b，所以c>a>b.故选D. 返回导航 29 (2)函数y＝2sin ，x∈[－π，0]的单调递减区间为____________________． 和 返回导航 30 解析：由题意知y＝2sin (－2x＋)＝－2sin (2x－)，所以函数y＝－2sin (2x－)的单调递减区间就是y＝2sin (2x－)的单调递增区间．已知y＝sin x的单调递增区间为，k∈Z，得－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，当k＝0时，单调递增区间为；当k＝－1时，单调递增区间为. 返回导航 31 所以y＝2sin (2x－)在[－π，0]上的单调递增区间为和，即y＝2sin (－2x＋)在[－π，0]上的单调递减区间为和. 返回导航 32 学霸笔记：(1)利用三角函数的单调性比较大小，需将待比较的角转化到同一个单调区间． 的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解，但如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． 返回导航 33 　跟踪训练　 c＝则实数a，b，c的大小关系是(　　) A．a<c<b B．c<a<b C．a>c>b D．a>b>c 答案：B　 解析：因为b＝(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)＝sin 60°，c＝(sin 45°cos 31°－cos 45°sin 31°)＝sin 14°.因为sin 14°<sin 59°<sin 60°，所以c<a<b.故选B. 返回导航 34 (2)(2026·平顶山模拟)关于函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　) A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 答案：A 返回导航 35 解析：由2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，则函数f(x)＝cos (2x＋)的单调递减区间为，k∈Z，由－π＋2kπ≤2x＋≤2kπ，k∈Z，可得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，则函数f(x)＝cos (2x＋)的单调递增区间为，k∈Z，f(x)在(－，－)上单调递增，在(－)上单调递减，故A正确，BCD错误．故选A. 返回导航 36 03.课时作业26 返回导航 37 1．(2026·郑州一模)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)两个相邻的最值点，则ω＝(　　) A．2 B． C．1 D． 答案：A 解析：由x1＝是函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)两个相邻的最值点，∴，∴T＝π，即ω＝＝2.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 38 2．(2026·安徽多校联考)若函数y＝tan x的图象与直线x＝a没有交点，则|a|的最小值为(　　) A．0 B． C．π D．2π 答案：B 解析：由正切函数的定义域为可知.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 39 3．(2026·泉州模拟)已知f(x)的定义域为[0，1]，则f(cos x)的定义域为(　　) A． B．{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z} C．{x|2kπ－π≤x≤2kπ，k∈Z} D． 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 40 解析：因为f(x)的定义域为[0，1]，所以0≤cos x≤1，解得.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 41 4．已知a＝sin ，b＝sin ，c＝，则(　　) A．c>a>b B．b>a>c C．a>b>c D．c>b>a 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 42 解析：a＝sin ＝sin ＝sin ，b＝＝－sin ＝sin ，c＝sin ＝sin ＝sin ＝－sin ＝sin ，而sin >sin >，故b>a>c.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 43 5．(2026·永州模拟)函数y＝|cos x|的一个单调递减区间是(　　) A． B． C． D． 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 44 解析：函数y＝|cos x|＝k∈Z，其图象如图所示， 由图知函数y＝|cosx |在上单调递减．故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 45 6．(2026·南昌模拟)已知函数f(x)＝sin x－cos x，则下列选项中是f(x)的一个单调递增区间的是(　　) A． B． C． D． 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 46 解析：f(x)＝sin x－cos x＝sin ，令－＋2kπ≤x－＋2kπ，k∈Z，则－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，则f(x)的单调递增区间为，k∈Z，当k＝0时，f(x)的一个单调递增区间是，故B正确；当k＝－1时，f(x)的一个单调递增区间是，当k＝1时，f(x)的一个单调递增区间是，故ACD错误．故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 47 7．已知函数f(x)＝cos (x＋θ)，θ∈(－π，π)，若函数f(x)在x＝处取得最小值，则θ＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：D 解析：∵函数f(x)在x处取得最小值，∴＋θ＝π＋2kπ⇒θ＝(－π，π)，∴θ 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 48 8．函数f(x)＝sin (2x－＋φ)(0<φ<π)是R上的偶函数，则φ＝(　　) A．0 B． C． D． 答案：D 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 49 解析：f(x)＝sin(0<φ<π)是R上的偶函数，即关于x＝0对称，则f(0)＝±1，则sin ＝±1，则(k∈Z)，解得φ＝kπ＋(k∈Z).0<φ<π，则φ故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 50 9．(2026·随州模拟)下列函数中，以4π为周期的函数有(　　) A．y＝tan B．y＝sin C．y＝|sin x| D．y＝|cos x| 答案：ACD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 51 解析：对于A，因为y＝tan，所以最小正周期为T＝＝4π，故A正确；对于B，因为y＝sin，所以函数的最小正周期为T＝＝8π，故B错误；对于C，因为y＝|sin x|，所以函数的最小正周期为T＝＝π，所以4π也是函数y＝|sin x|的周期，故C正确；对于D，因为y＝|cos x|，所以函数的最小正周期为＝π，所以4π也是函数y＝|cos x|的周期，故D正确．故选ACD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 52 10．(2026·齐齐哈尔二模)A，B是函数f(x)＝tan (2x－)与直线y＝2的两个交点，则下列说法正确的是(　　) A．|AB|min＝ B．f(x)的定义域为 C．f(x)的对称中心为(，0)，k∈Z D．f(x)在区间上单调递增 答案：AC 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 53 解析：f(x)＝tan的最小正周期T＝，"则" |AB|min＝，k∈Z，得x≠k∈Z，所以f(x)的定义域为，故B错误；由2x－，k∈Z，解得x＝，k∈Z，所以f(x)的对称中心为，k∈Z，故C正确；当x＝时，2x－＝-，当x＝时，2x－，从而f(x)无意义，因此区间不可能是f(x)的单调递增区间，故D错误．故选AC. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 54 11．函数y＝sin2x＋2cosx，x∈(0，)的值域是________. (1，2) 解析：因为x∈，所以cos x∈，y＝sin2x＋2cosx＝－cos2x＋2cosx＋1＝－(cos x－1)2＋2∈(1，2)，所以函数y＝sin2x＋2cosx，x∈的值域是 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 55 12．已知f(x)＝sin (3x＋)－a cos 3x的一条对称轴为直线x＝，则a＝________． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 56 解析：由于一条对称轴为x＝，则f(0)＝，又得，即a＝，此时f(x)＝sin cos 3x＝sin 3x，f，即x＝是函数的一条对称轴，经检验a＝符合题意． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 57 13．(13分)(2026·梅州模拟)已知函数f(x)＝sin2x＋sinx cos x. (1)求f(x)的最小正周期和对称轴方程； 解析：f(x)＝sin2x＋ ＝ 令2x－ 所以f(x)的最小正周期T＝π，对称轴方程为x＝ 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 58 (2)求f(x)在区间上的最大值，并求出此时对应的x的值． 解析：x∈ 当2x－ 所以f(x)在区间 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 59 14．(15分)(2026·梅州模拟)已知函数f(x)＝2sin x cos x＋2cos2x－1(x∈R). (1)求f的值； 解析：∵f(x)＝ ＝2 ∴f 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 60 (2)求函数f(x)的单调递减区间； 解析：由(1)可知f(x)＝2sin 令2kπ＋ 解得kπ＋ ∴函数f(x)的单调递减区间为 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 61 (3)若f(x0)＝，x0∈，求cos2x0的值． 解析：∵f(x0)＝2sin ∵x0∈∴cos ∴cos ∴cos2x0＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 62 15．(5分)若函数f(x)＝sin (2x＋φ)(0≤φ<2π)的图象关于直线x＝对称，且f(x)在上单调递增，则φ＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 63 解析：由于f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f＝sin ＝±1，＋φ＝kπ＋，φ＝kπ－，k∈Z.因为0≤φ<2π，所以φ＝或φ＝.若φ＝，则2x＋∈，所以f(x)＝sin 在上单调递减，不符合题意；若φ＝，则2x＋∈，所以f(x)＝sin 在上单调递增，符合题意．故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 64 16.(5分)(2026·长沙二模)若函数f(x)＝5sin (x＋θ)＋12cos (x＋θ)为奇函数，则tan θ＝________． － 解析：由辅助角公式，得f(x)＝13sin (x＋θ＋φ)，其中tan φ＝.又因为f(x)为奇函数，则有f(0)＝0，即sin (θ＋φ)＝0，故θ＋φ＝kπ(k∈Z)，于是θ＝－φ＋kπ，故tan θ＝tan (－φ＋kπ)＝－tan φ＝－. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 65 $