微专题 反比例函数的图像与性质（专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

微专题 反比例函数的图像与性质 目录 题型一、用反比例函数描述数量关系 1 题型二、根据定义判断是否是反比例函数 4 题型三、根据反比例函数的定义求参数 5 题型四、求反比例函数值 7 题型五、由反比例函数值求自变量 9 题型六、判断（画）反比例函数图象 10 题型七、已知反比例函数的图 象，判断其解析式 14 题型八、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 17 题型九、已知双曲线分布的象限，求参数范围 20 题型十、判断反比例函数的增减性 22 题型十一、判断反比例函数图象所在象限 25 题型十二、已知反比例函数的增减性求参数 26 题型十三、比较反比例函数值或自变量的大小 28 题型十四、求反比例函数解析式 31 题型十五、已知比例系数求特殊图形的面积 36 题型十六、根据图形面积求比例系数（解析式） 41 题型十七、一次函数与反比例函数图象综合判断 46 题型十八、一次函数与反比例函数的交点问题 49 题型十九、一次函数与反比例函数的其他综合应用 54 题型一、用反比例函数描述数量关系 例1．下列选项中，两个变量m和n成反比例关系的是（   ） A．长为m，宽为n，周长为1的矩形 B．底面半径为m，高为n，体积为1的圆柱 C．对角线长分别为m、n，面积为1的菱形 D．长为m，宽和高均为n，体积为1的长方体 【变式1-1】已知，视力表上视力值和字母的宽度（mm）之间的关系是我们已经学过的一类函数模型，字母的宽度如图1所示，经整理，视力表上部分视力值和字母的宽度（mm）的对应数据如表所示： 位置 视力值 的值（mm） 第1行 0.1 70 第5行 0.25 28 第8行 0.5 14 第14行 2.0 3.5      (1)请你根据表格数据判断并求出视力值和字母的宽度（mm）之间的函数表达式，并说明理由； (2)经过测量，第4行和第7行两行首个字母E的宽度a（mm）的值分别是35mm和17.5mm，求第4行、第7行的视力值． 【变式1-2】如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为，设与墙垂直的边长为xm，与墙平行的边长为ym． (1)直接写出y与x的函数关系式为______； (2)现有两种方案或，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长． 题型二、根据定义判断是否是反比例函数 例2．下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列关系式中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，是的反比例函数的共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2-2】下列各式中，一定是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 题型三、根据反比例函数的定义求参数 例3．若点是反比例函数图象上一点，那么下列各点一定不在其图象上的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】若点与点都在反比例函数的图象上，则的值为_______． 【变式3-2】点和点是同一个反比例函数图象上的两点，则m的值为________． 题型四、求反比例函数值 例4．反比例函数 的图象有下述特征：图象与x轴没有公共点且与x轴无限接近．下列说明这一特征的理由中，正确的是（   ） A．自变量且的值可以无限接近 B．自变量且函数值可以无限接近 C．函数值且的值可以无限接近 D．函数值且函数值可以无限接近 【变式4-1】在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：如果，那么称点为点的“可控变点”．若点是反比例函数图象上点的“可控变点”，则点的坐标为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-2】已知反比例函数的图象经过点，判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由． 题型五、由反比例函数值求自变量 例5．反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】通常利用公式解决杠杆平衡问题，其中表示动力，表示动力臂，表示阻力，表示阻力臂.已知，，，则的值为______. 【变式5-2】平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且．若，求证：． 题型六、判断（画）反比例函数图象 例6．定义新运算例如：．则函数的图象大致是（   ）． A．B．C． D． 【变式6-1】（1）解方程：； （2）已知反比例函数（为常数，），若点在这个函数图象上，试判断点是否也在这个函数的图象上，并说明理由． 【变式6-2】已知反比例函数（k为常数，）的图像的一支如图所示，它与直线（a，b均为常数，）交于点． (1)在图中，补画该反比例函数图像的另一支，并求m的值； (2)观察图像，直接写出当时，自变量x的取值范围． 【变式6-3】已知反比例函数的图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)在图中画出它在第四象限的图像；并指出在这个象限内，y随x的增大怎样变化？ (3)判断点是否在这个函数的图像上，说明理由． 题型七、已知反比例函数的图 象，判断其解析式 例7．综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．列说法正确的是（    ） A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当液体密度时，浸在液体中的高度 C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D．当液体的密度时，浸在液体中的高度 【变式7-1】已知点、在反比例函数图像上，则___． 【变式7-2】如图，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为___________． 【变式7-3】如图为反比例函数的图象，请写出满足图象的一个的值______．    题型八、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 例8．关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象必经过点 B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于x轴成轴对称 D．当时，y的值随x的增大而减小 【变式8-1】反比例函数的图象如图所示，以下结论正确的是（　　） ①常数 ；②随的增大而减小；③若为轴上一点， 为反比例函数图象上一点，则；④若点 在图象上，则点也在图象上． A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①④ 【变式8-2】直线与双曲线交于、两点，则的值为（   ） A． B． C．3 D．6 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点，延长，与反比例函数的图象交于点，则点的坐标为______． 题型九、已知双曲线分布的象限，求参数范围 例9．反比例函数，在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，点为反比例函数（为常数，且）的图象上一点，过点向轴、轴作垂线，垂足分别为点，连接并延长交反比例函数的图象于点，则下列结论中错误的是（   ） A． B．在每个象限内，值随值的增大而增大 C．若点的坐标为，则点的坐标为 D． 【变式9-2】如图，点是反比例函数（）的图象上一点，轴交轴于点，若，则（   ）． A． B．3 C． D．6 【变式9-3】点和反比例函数图象的位置关系如图所示，则k的值可能为______（写出一个满足要求的）． 题型十、判断反比例函数的增减性 例10．对于反比例函数，下列结论： ①图像分布在第二，四象限； ②当时，y随x的增大而减小； ③图像经过点； ④若点，都在图像上，且，则， 其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【变式10-1】已知反比例函数的图像上有两点，如果，那么与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式10-2】定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象经过点 B．函数图象位于第一、三象限 C．当时， D．当时，y随x的增大而增大 【变式10-3】对于反比例函数，当且时，y的取值范围为______． 题型十一、判断反比例函数图象所在象限 例11．点在函数图像上，下列说法中正确的是（   ） A．它的图像分布在一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而增大 C．当时，y的值随x的增大而减小 D．它的图像过点 【变式11-1】已知点是反比例函数的图象上的两点，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是________． ①时，y的值随x的增大而减小    ②时，y的值随x的增大而增大 ③图象不经过第二象限    ④图象不经过第四象限 题型十二、已知反比例函数的增减性求参数 例12．已知点，在反比例函数的图象上，当时，，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式12-1】已知反比例函数，当时，随着的增大而减小． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围． 【变式12-2】已知反比例函数（k为常数，）． (1)若点在反比例函数的图象上，则k的值为________； (2)若在其图象的每一支上，y的值随x值的增大而增大，求k的取值范围． 题型十三、比较反比例函数值或自变量的大小 例13．在函数的图象上有三个点的坐标分别为，，，则函数值的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式13-1】若反比例函数的图象经过点，则下列说法①；② 函数图象经过点；③ 当时，随的增大而减小； ④ 当时，．中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式13-2】若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______________． 【变式13-3】已知反比例函数（k为常数，）图象经过一、三象限． (1)若反比例函数经过点． ①求反比例函数解析式； ②若点在这个函数图象上，求m的值． (2)若点和点都在反比例函数图象上，试比较a，b，c的大小关系． 题型十四、求反比例函数解析式 例14．直线与反比例函数的图象交于A，B两点，且，则k的值为___． 【变式14-1】如图，的顶点在坐标原点，点在轴上，，反比例函数的图象经过的中点，交于点，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点的坐标． 【变式14-2】如图，已知，是一次函数和反比例函数 的图象的两个交点． (1)求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式 的解集： (3)求的面积． 【变式14-3】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与坐标原点重合，其边长为2，点，点分别在轴，轴的正半轴上，函数的图象与交于点，函数（为常数，）的图象经过点，与交于点，与函数的图象在第三象限内交于点，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)由图象直接写出关于的不等式的解集． 题型十五、已知比例系数求特殊图形的面积 例15．如图，平面直角坐标系中，函数的图象经过两点A、B（A在左侧）．若A、B两点横、纵坐标都相差2，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式15-1】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过点A、B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D、C，那么四边形的面积是 _____． 【变式15-2】如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标为4，曲线上有一动，过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D，连接． (1)求k的值． (2)设与的重合部分的面积为S，求S关于m的函数解析式． (3)连接，当第（2）问中S的值为1时，求的面积． 【变式15-3】已知反比例函数与正比例函数相交于点A，点A的坐标是． (1)求此正比例函数解析式； (2)若正比例函数与反比例函数的图象在第一象限内相交于点B，过点A和点B分别做x轴的垂线，分别交x轴于点C和点D，和相交于点P，求梯形的面积； (3)连接，求的面积． 题型十六、根据图形面积求比例系数（解析式） 例16．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数，交边于点E，且．若四边形的面积为6，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．6 【变式16-1】如图，过反比例函数图象上的一点作轴的平行线交反比例函数于点．连接、．若，则的值为__________． 【变式16-2】如图，点为第一象限内一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点、，为的中点，函数的图像经过点且交于，已知四边形的面积为，则的值为_____．    【变式16-3】如图，在平面直角坐标系中，点、分别在函数（）、（，为常数）的图象上，轴，垂足为，，． (1)求的值； (2)当点在函数（）的图象上，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如果轴上有一点，使得是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 题型十七、一次函数与反比例函数图象综合判断 例17．已知函数中，在每个象限内，的值随的值增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图像是（ ）． A． B． C． D． 【变式17-1】在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式17-2】正比例函数与反比例函数的一个交点为 ，当正比例函数的图像在反比例函数图像的上方时，则 的取值范围是_____________ 【变式17-3】如图，直线的图像与双曲线交于、两点，且点的坐标为，过作轴，垂足为点. (1)求和的值； (2)连接，直接写出点的坐标，并求出的面积； (3)如果在双曲线上有一点，点在第一象限且满足，求点的坐标． 题型十八、一次函数与反比例函数的交点问题 例18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为_______． 【变式18-1】如图，一次函数与的图像相交于点P，那么_________． 【变式18-2】已知正比例函数过第一象限一点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为点，且的面积为，正比例函数与反比例函数交于、两点． (1)求正比例函数解析式； (2)求、两点坐标． 【变式18-3】如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标是4．双曲线上有一动点．过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D． (1)求k的值； (2)若，求点C坐标； (3)连接、，当与的重合部分的面积值为1时，求的面积． 题型十九、一次函数与反比例函数的其他综合应用 例19．已知：如图，反比例函数的图象与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)若点是直线上一点，且是直角三角形，求点的坐标． 【变式19-1】已知函数，与x成正比例，与x成反比例，且当时，；当时，． (1)求y关于x的函数关系式； (2)求当时的函数值． 【变式19-2】已知，并且与x成正比例，与成反比例．当时，；当时，，求：y关于x的函数解析式． 【变式19-3】已知：，并且与成正比例，与成反比例．当x=2时，y=5；当时， (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时的函数值． 【变式19-4】如图，在平面直角坐标系内，双曲线上有A，B两点，且与直线交于第一象限内的点A，点A的坐标为，点B的坐标为，过点B作y轴的平行线，交x轴于点C，交直线与点D． （1）求：点D的坐标； （2）求：的面积； （3）在x轴正半轴上是否存在点P，使是以OA为腰的等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出P的坐标． 题型二十、反比例函数与几何综合 例20．如图，点A，B在双曲线上，点C在双曲线上，若轴，轴，且，则的长为______． 【变式20-1】如图，点P在反比例函数的图象上，且横坐标为1，过点P作两条坐标轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点A、B，且A在第二象限，那么值为_________． 【变式20-2】如图，过轴正半轴上任意一点作轴的平行线，分别交反比例函数和的图象于点，．是轴上的一点，则的面积为_____． 【变式20-3】如图，已知直线与反比例函数的图像在第一象限交于点．若，直线与轴的夹角为． (1)求点的坐标； (2)求反比例函数的解析式； (3)若点是y轴上的一点，当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 【变式20-4】如图，在直角坐标平面内，正比例函数，过点A作轴，垂足为点B，． (1)求反比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点C，使点C到直线的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标，请说明理由； (3)已知点P在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 2 / 67 1 / 67 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 反比例函数的图像与性质 目录 题型一、用反比例函数描述数量关系 1 题型二、根据定义判断是否是反比例函数 4 题型三、根据反比例函数的定义求参数 5 题型四、求反比例函数值 7 题型五、由反比例函数值求自变量 9 题型六、判断（画）反比例函数图象 10 题型七、已知反比例函数的图 象，判断其解析式 14 题型八、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 17 题型九、已知双曲线分布的象限，求参数范围 20 题型十、判断反比例函数的增减性 22 题型十一、判断反比例函数图象所在象限 25 题型十二、已知反比例函数的增减性求参数 26 题型十三、比较反比例函数值或自变量的大小 28 题型十四、求反比例函数解析式 31 题型十五、已知比例系数求特殊图形的面积 36 题型十六、根据图形面积求比例系数（解析式） 41 题型十七、一次函数与反比例函数图象综合判断 46 题型十八、一次函数与反比例函数的交点问题 49 题型十九、一次函数与反比例函数的其他综合应用 54 题型一、用反比例函数描述数量关系 例1．下列选项中，两个变量m和n成反比例关系的是（   ） A．长为m，宽为n，周长为1的矩形 B．底面半径为m，高为n，体积为1的圆柱 C．对角线长分别为m、n，面积为1的菱形 D．长为m，宽和高均为n，体积为1的长方体 【答案】C 【分析】本题根据反比例关系的定义：若两个变量m、n的乘积为非零定值，则m与n成反比例关系，结合各选项的几何公式推导出m、n的关系式，即可判断． 【详解】解：选项A：∵矩形周长为1，∴，即，两个变量和为定值，不是乘积为定值，因此m与n不成反比例关系； 选项B：∵圆柱体积为1，圆柱体积公式为，∴，即，是与n乘积为定值，因此m与n不成反比例关系； 选项C：∵菱形面积为1，菱形面积等于对角线乘积的一半，∴，即，乘积为定值，因此m与n成反比例关系，符合题意； 选项D：∵长方体体积为1，长方体体积公式为长宽高，∴，即， 是m与乘积为定值，因此m与n不成反比例关系． 【变式1-1】已知，视力表上视力值和字母的宽度（mm）之间的关系是我们已经学过的一类函数模型，字母的宽度如图1所示，经整理，视力表上部分视力值和字母的宽度（mm）的对应数据如表所示： 位置 视力值 的值（mm） 第1行 0.1 70 第5行 0.25 28 第8行 0.5 14 第14行 2.0 3.5      (1)请你根据表格数据判断并求出视力值和字母的宽度（mm）之间的函数表达式，并说明理由； (2)经过测量，第4行和第7行两行首个字母E的宽度a（mm）的值分别是35mm和17.5mm，求第4行、第7行的视力值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据表格数据可知，视力值和随着宽度减小而增大，且视力值和宽度的积为定值，即可判定视力值和宽度成反比例函数关系，待定系数法求解即可； （2）将，，分别代入，求解即可． 【详解】（1）解：根据表格数据可知，视力值和随着宽度减小而增大，且视力值和宽度的积为定值，故视力值和宽度成反比例函数关系， 设视力值和宽度的函数解析式为：， 将点，代入求得， 故视力值和宽度的函数解析式为：． （2）解：∵第4行首个字母E的宽度a（mm）的值是35mm， 即，将代入，求得； ∵第7行首个字母E的宽度a（mm）的值是17.5mm， 即，将代入，求得； 故求第4行、第7行的视力值分别是，． 【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，熟练掌握求反比例函数解析式是解题的关键． 【变式1-2】如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为，设与墙垂直的边长为xm，与墙平行的边长为ym． (1)直接写出y与x的函数关系式为______； (2)现有两种方案或，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长． 【答案】(1) (2)22m 【分析】（1）)利用矩形的面积计算公式可得出xy= 60，变形后即可得出结论； （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出当x = 5和x = 6时的y值，结合墙长11m即可得出应选x = 6的设计方案，再将其代入2x + y中即可求出此栅栏的总长． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴y与x的函数关系式为：， 故答案为：； （2）解：当x= 5时，， ∵， ∴不符合题意，舍去； 当x=6时，， ∵， ∴符合题意，此栅栏总长为： ； 答：应选择x = 6的设计方案，此栅栏总长为22m． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y与x的函数关系式；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出x=5和x=6时的y值． 题型二、根据定义判断是否是反比例函数 例2．下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键；反比例函数的形式为，或，其中k为常数且，根据反比例函数的定义分别进行分析即可． 【详解】解：A、，是反比例函数，故此选项不符合题意； B、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； C、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； D、，为正比例函数，不是反比例函数，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式2-1】下列关系式中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，是的反比例函数的共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的形式（或，）是解题的关键．根据反比例函数的定义（形式为或，），逐一判断各关系式是否符合该定义． 【详解】解：∵ 反比例函数需满足或（）， ∴ ①是正比例函数，不符合； ②即，是正比例函数，不符合； ③符合形式，是反比例函数； ④是一次函数，不符合； ⑤是二次函数，不符合； ⑥中的指数为，不符合反比例函数定义； ⑦即，符合形式，是反比例函数； ∴ 是反比例函数的有③⑦，共2个． 故选：C． 【变式2-2】下列各式中，一定是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要反比例函数的定义，掌握形如（为常数且）或（）的函数是反比例函数成为解题的关键． 根据反比例函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，即，符合的形式，且，因此一定是反比例函数，符合题意； B．，属于正比例函数（），不是反比例函数，不符合题意； C．，若未明确，当时，，因此不一定是反比例函数，不符合题意； D．不满足的形式，因此不是反比例函数，不符合题意． 故选：A． 题型三、根据反比例函数的定义求参数 例3．若点是反比例函数图象上一点，那么下列各点一定不在其图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点坐标的特征，待定系数法，点是反比例函数图象上一点，则，故有反比例函数解析式为，然后逐项代入即可求解，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点， ∴， ∴反比例函数解析式为， 、当时，，此点在该反比例函数的图象上，不符合题意； 、当时，，此点在该反比例函数的图象上，不符合题意； 、当时，，此点不在该反比例函数的图象上，符合题意； 、当时，，此点在该反比例函数的图象上，不符合题意； 故选：． 【变式3-1】若点与点都在反比例函数的图象上，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质．根据反比例函数图象上点的坐标特征，点的横纵坐标之积等于比例系数，列出方程求解． 【详解】解：点与点都在反比例函数的图象上， ，且． ． （反比例函数中，故）， ，解得． 故答案为：． 【变式3-2】点和点是同一个反比例函数图象上的两点，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征，横纵坐标乘积相等，列出方程求解，即可解题． 【详解】解：点和点是同一个反比例函数图象上的两点， 则． 化简得， 解得． 故答案为：． 题型四、求反比例函数值 例4．反比例函数 的图象有下述特征：图象与x轴没有公共点且与x轴无限接近．下列说明这一特征的理由中，正确的是（   ） A．自变量且的值可以无限接近 B．自变量且函数值可以无限接近 C．函数值且的值可以无限接近 D．函数值且函数值可以无限接近 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据反比例函数的性质和题目条件，逐项分析判断即可 【详解】解：图象与轴没有公共点且与轴无限接近即函数值且函数值可以无限接近0， 故选：D． 【变式4-1】在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：如果，那么称点为点的“可控变点”．若点是反比例函数图象上点的“可控变点”，则点的坐标为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数上点的特征，解题关键是掌握新定义材料所讲内容，根据定义区分点P和点．分及两种情况求解． 【详解】解：点的“可控变点”所在函数解析式为：， ①当时，将代入得，， 解得， ∴， 把代入点所在解析式，得， ∴； ②当时，将代入得，， 解得． 把代入点所在解析式，得， ∴， 综上所述，点P的坐标为或． 故选：A 【变式4-2】已知反比例函数的图象经过点，判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】不在，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的图象与解析式，掌握好反比例函数图象上的点的特征是解题关键． 将点代入函数解析式，求出m后，计算当时，是否为1． 【详解】解：不在，理由如下： 将点代入中，得， 解得，则， 令，则， ∴点不在该反比例函数的图象上． 题型五、由反比例函数值求自变量 例5．反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了判断点是否反比例函数的图象上，把点逐一代入解析式即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为，则， 、当时，，图象一定经过点，符合题意； 、当时，，图象不经过点，不符合题意； 、当时，，图象不经过点，不符合题意； 、当时，，图象不经过点，不符合题意； 故选：． 【变式5-1】通常利用公式解决杠杆平衡问题，其中表示动力，表示动力臂，表示阻力，表示阻力臂.已知，，，则的值为______. 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是根据实际问题列出函数关系式． 根据公式，代入数据计算即可． 【详解】解： ， ， 解得：， 故答案为：． 【变式5-2】平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且．若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征，先根据，得出，再根据，，得出．然后把代入即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，是反比例函数图象上的点， ∴，， ∴． ∵， ∴． 题型六、判断（画）反比例函数图象 例6．定义新运算例如：．则函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义和反比例函数的图象，正确理解题意并结合反比例函数图象与系数的关系是解题关键． 按照题干给的新定义运算法则，对x的符号进行分类讨论，判断每种情况下，反比例函数的图象所在象限即可． 【详解】解：当时，，其图象在第一象限； 当时，，其图象在第二象限． 故选：B． 【变式6-1】（1）解方程：； （2）已知反比例函数（为常数，），若点在这个函数图象上，试判断点是否也在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1），；（2）不在，见解析 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，求反比例函数解析式，求反比例函数值，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足其解析式是解题的关键． （1）利用因式分解法即可求解； （2）利用待定系数法求得，可知反比例函数的解析式为，当时，，即可判断不在这个函数的图象上． 【详解】解：（1）移项，得， 因式分解，得， 解得，． （2）不在．理由如下： 把点代入得， 解得， 反比例函数的解析式为． 当时，， 点不在这个函数的图象上． 【变式6-2】已知反比例函数（k为常数，）的图像的一支如图所示，它与直线（a，b均为常数，）交于点． (1)在图中，补画该反比例函数图像的另一支，并求m的值； (2)观察图像，直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】(1)画图见解析， ； (2)或 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数与一次函数的交点问题； （1）根据反比例函数的图像关于原点对称即可画出另一支，将点代入中，得到反比例函数解析式，再代入，即可求得m的值； （2）画出一次函数的图像，根据图像即可解答． 【详解】（1）解：函数图像如下： 将点代入中，可得：， ∴， 将点代入中，可得：； （2）解：的图像与直线交于点，， 作图如下： 由图可得：当时自变量的取值范围：或． 【变式6-3】已知反比例函数的图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)在图中画出它在第四象限的图像；并指出在这个象限内，y随x的增大怎样变化？ (3)判断点是否在这个函数的图像上，说明理由． 【答案】(1) (2)见解析，第四象限内，y随x的增大而增大 (3)点不在这个函数的图像上，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，画反比例函数的图象，以及判断反比例函数的增减性，熟知用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． （1）直接把点代入，求出k的值即可； （2）用描点法画出函数图象，根据图象判断增减性即可； （3）把代入解析式，求出函数值即可判断． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：列表， x … 1 2 4 … y … … 函数图像如下： 在第四象限内，y随x的增大而增大； （3）解：将代入中，可得， ∴点不在这个函数的图像上． 题型七、已知反比例函数的图 象，判断其解析式 例7．综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．列说法正确的是（    ） A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当液体密度时，浸在液体中的高度 C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D．当液体的密度时，浸在液体中的高度 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象先求出函数解析式，再结合图象逐项判断即可得解． 【详解】解：设：浸在液体中的高度关于液体的密度的反比例函数解析式为， 将代入可得， 反比例函数解析式为， 根据反比例函数图象可得： 当液体密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误，不符合题意； 当液体密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误，不符合题意； 根据反比例函数图象可得，浸在液体中的高度随着液体密度变大而变小， 当浸在液体中的高度时，该液体的密度， 选项说法正确，符合题意； 根据反比例函数图象可得， 当液体的密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误 ，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，解题关键是结合反比例函数图象解题． 【变式7-1】已知点、在反比例函数图像上，则___． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，解题的关键是将点、代入反比例函数的解析式，列出方程并求解即可． 【详解】解：∵点、在反比例函数图像上， ∴，即； ，即， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式7-2】如图，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为___________． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 由点、在反比例函数的图象上，可设，，再由轴，表示出点、的坐标，再根据，得到，，再结合与的距离为5，即可求解． 【详解】解：点、在反比例函数的图象上， 设，， 又点、在反比例函数的图象上，轴， ，， 由题意得，，， ，， 与的距离为5， ， ， 解得：． 故答案为：6． 【变式7-3】如图为反比例函数的图象，请写出满足图象的一个的值______．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据图象可得比例系数的坐标在和之间，即可得，据此即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，比例系数的坐标在和之间， ∴，即， ∴满足图象的一个的值可以为， 故答案为：． 题型八、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 例8．关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象必经过点 B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于x轴成轴对称 D．当时，y的值随x的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是关键．本题利用反比例函数的图象与性质，逐一验证各选项即可． 【详解】解：对于A，将代入，得，所以A选项错误，不符合题意； 对于B，因为，所以函数图象的两个分支分布在第一、三象限，所以选项B错误，不符合题意； 对于C，反比例函数的两个分支关于原点中心对称，不关于x轴对称，所以选项C错误，不符合题意； 对于D，由于，当时，图象位于第三象限，y随x的增大而减小，所以选项D正确，符合题意． 故选：D． 【变式8-1】反比例函数的图象如图所示，以下结论正确的是（　　） ①常数 ；②随的增大而减小；③若为轴上一点， 为反比例函数图象上一点，则；④若点 在图象上，则点也在图象上． A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性，图象的中心对称性是解题的关键．根据反比例函数函数的图象和性质，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限内， ∴， 解得，故①正确； 由反比例函数的图象可知，在每一象限内y随x的增大而减小，故②错误； 设点A的坐标为，点B的坐标为， 则，故③错误； ∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴若在图象上，则也在图象上，故④正确． 综上，结论正确的是①④． 故选：D． 【变式8-2】直线与双曲线交于、两点，则的值为（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．由直线经过第一、三象限，且与双曲线交于A、B两点，可得A、B两点关于原点对称，即，再由反比例函数可得，，将原式化简再代入数据即可解答． 【详解】解：由题意得，直线经过第一、三象限，且与双曲线交于A、B两点，则A、B两点关于原点对称， ， 又，在双曲线上， ，， ． 故选：B． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点，延长，与反比例函数的图象交于点，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟知反比例函数图象的对称性是解答的关键． 先求得点B坐标，再根据反比例函数图象关于原点对称求解点P坐标即可． 【详解】解：∵的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点， ∴点B的横坐标为， 将代入中，得， ∴点B坐标为， ∵延长，与反比例函数的图象交于点， ∴点P与点B关于原点对称， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 题型九、已知双曲线分布的象限，求参数范围 例9．反比例函数，在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图像与性质，熟记反比例函数图像与性质，利用数形结合的思想是解决问题的关键． 由图象推出，再取时，推出的大小，即可解题． 【详解】解：由图知，在第四象限，在第三象限， ， 如图，当时，， ； 故选：B． 【变式9-1】如图，点为反比例函数（为常数，且）的图象上一点，过点向轴、轴作垂线，垂足分别为点，连接并延长交反比例函数的图象于点，则下列结论中错误的是（   ） A． B．在每个象限内，值随值的增大而增大 C．若点的坐标为，则点的坐标为 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质的综合应用．根据反比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】解：∵反比例函数图象的两个分支在第二、四象限， ∴，A正确； 由函数图象可知，在每个象限内，值随值的增大而增大，B正确； 根据反比例函数的对称性可知，若点的坐标为，则点的坐标为，C正确； 根据反比例函数k的几何意义可知，，D错误； 故选：D． 【变式9-2】如图，点是反比例函数（）的图象上一点，轴交轴于点，若，则（   ）． A． B．3 C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握好比例系数的几何意义是关键． 根据反比例函数的几何意义进行计算即可． 【详解】解：由反比例函数比例系数的几何意义可知，， ∴，即， ∵反比例函数的图象在第一象限， ∴， ∴． 故选：D． 【变式9-3】点和反比例函数图象的位置关系如图所示，则k的值可能为______（写出一个满足要求的）． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，直接利用反比例函数的图象上点的坐标特点得出的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：不在反比例函数图象上， 则， 即， 故答案为：（答案不唯一，满足即可） 题型十、判断反比例函数的增减性 例10．对于反比例函数，下列结论： ①图像分布在第二，四象限； ②当时，y随x的增大而减小； ③图像经过点； ④若点，都在图像上，且，则， 其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据反比例函数性质直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵， ∴图像分布在第一，三象限， 时，y随x增大而减小，故①错误，②正确， 当时，，故③正确， ∵， ∴，故④正确， 故选B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握各项性质． 【变式10-1】已知反比例函数的图像上有两点，如果，那么与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】∵中，， ∴在每一个象限，随的增大而减小， 当时，； 当时，， 当时，， ∴与的大小关系不能确定， 故选：． 【变式10-2】定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象经过点 B．函数图象位于第一、三象限 C．当时， D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质； 根据新运算定义得出函数表达式，再利用反比例函数的性质逐一分析选项即可． 【详解】解：∵定义新运算 ∴， 对于A选项：将代入，得，故函数图象不经过点，A错误； 对于B选项：∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，B错误； 对于C选项：当时，为负数，为正数，且从增大到时，从1增大到4，即，C错误； 对于D选项：∵， ∴当时，随的增大而增大，D正确； 故选：D． 【变式10-3】对于反比例函数，当且时，y的取值范围为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，先计算 时的函数值，再根据反比例函数 时，在每个象限内随增大而减小的性质，结合的取值范围确定的取值范围. 【详解】解：当时，， 由于反比例函数中， 因此在每个象限内，随增大而减小, 当 且时， 分两种情况讨论： ① 当时，; ②当时，， 的取值范围为或, 故答案为：或. 题型十一、判断反比例函数图象所在象限 例11．点在函数图像上，下列说法中正确的是（   ） A．它的图像分布在一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而增大 C．当时，y的值随x的增大而减小 D．它的图像过点 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，先根据已知点求出的值，再结合反比例函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵点在函数的图像上 ∴， 解得， 即函数解析式为， ∵， ∴它的图象分布在二、四象限，故A错误； 当时，的值随的增大而增大，故B正确； 当时，的值随的增大而增大，故C错误； 当时，，故它的图象不过点，故D错误． 故选：B． 【变式11-1】已知点是反比例函数的图象上的两点，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数比例系数k的符号判断图象所在象限，再结合点的横坐标的正负确定点所在象限，进而判断纵坐标的正负与大小关系． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为，且， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∵点是反比例函数的图象上的两点，且， ∴点A在第二象限，点B在第四象限， ∴， 故选：A． 【变式11-2】“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是________． ①时，y的值随x的增大而减小    ②时，y的值随x的增大而增大 ③图象不经过第二象限    ④图象不经过第四象限 【答案】① 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质．画出图象，根据题意得到，那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，据此判断即可． 【详解】解：如图， ，， 即， 那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小， 由图可知图象经过第二、三、四象限， 故①说法正确；②③④的说法错误； 故答案为：①． 题型十二、已知反比例函数的增减性求参数 例12．已知点，在反比例函数的图象上，当时，，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图像和性质，根据时，可知反比例函数在第三象限内随的增大而减小，由此得出比例系数，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上，且时，， ∴该反比例函数在第三象限内随的增大而减小， ， ， ． 故选：D． 【变式12-1】已知反比例函数，当时，随着的增大而减小． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质与定义，得出m的值是解题的关键． （1）根据反比例函数定义，以及反比例函数增减性列出等式与不等式求解，即可解题； （2）由（1）得到反比例函数解析式，结合解析式分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：反比例函数，且当时，随着的增大而减小， 且， 解得且， ； （2）解：由（1）知，即， 当时，，且当时，随着的增大而减小， 当时，或． 【变式12-2】已知反比例函数（k为常数，）． (1)若点在反比例函数的图象上，则k的值为________； (2)若在其图象的每一支上，y的值随x值的增大而增大，求k的取值范围． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把点代入关系式即可求出k的值； （2）由反比例函数的增减性可知，y随x的增大而增大，则，即可求出k的范围． 【详解】（1）解：把点代入得，， 解得． 故答案为：7． （2）解：反比例函数在其图象的每一支上，y的值随x值的增大而增大， ∴， 解得． 题型十三、比较反比例函数值或自变量的大小 例13．在函数的图象上有三个点的坐标分别为，，，则函数值的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质，利用时反比例函数的图像位置和增减性，即可比较三个函数值的大小． 【详解】解：∵ 反比例函数中 ， ∴ 函数图像位于第一、三象限，且在每个象限内 随 的增大而减小 ∵ ，，， ∴ ， 在第一象限， 在第三象限， ∴ ， 又∵ ， ∴ ∴ ． 【变式13-1】若反比例函数的图象经过点，则下列说法①；② 函数图象经过点；③ 当时，随的增大而减小； ④ 当时，．中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，待定系数法求出的值，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，以及反比例函数的增减性逐一进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∵， ∴函数图象经过点； ∵， ∴双曲线过一，三象限， ∴当时，随的增大而减小； ∴ 当时，； 综上：四个选项均正确； 故选D． 【变式13-2】若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：在反比例函数中， 函数图象的两支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小． ，， 点，位于第三象限， ，， ， ， 点位于第一象限， ， ． 【变式13-3】已知反比例函数（k为常数，）图象经过一、三象限． (1)若反比例函数经过点． ①求反比例函数解析式； ②若点在这个函数图象上，求m的值． (2)若点和点都在反比例函数图象上，试比较a，b，c的大小关系． 【答案】(1)①；②， (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求出反比例解析式即可； 将点代入（1）中的函数解析式中，求出m的值即可； （2）根据反比例函数的性质及点、的坐标可得点、在第一象限，据此列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：①反比例函数经过点， ， 解得， 反比例函数解析式， ②点在这个函数图象上， ，即， 解得：或， 因此，m的值为或； （2）反比例函数图象经过一、三象限， 在每一象限内随x的增大而减小， 点和点都在反比例函数图象上， ， 解得：， a，b，c的大小关系为：． 题型十四、求反比例函数解析式 例14．直线与反比例函数的图象交于A，B两点，且，则k的值为___． 【答案】2 【分析】因为直线与反比例函数图象的交点坐标满足两个函数的解析式，所以联立与的方程，可得到交点A、B的坐标表达式．因为A、B两点关于原点对称，所以可设其中一个点的坐标，利用两点间距离公式结合建立关于的方程．因为反比例函数中的正负会影响图象所在象限，但不影响两点间距离的计算，所以求解方程后结合函数性质确定的取值． 【详解】∵正比例函数与反比例函数的交点、关于原点中心对称，由， ∴原点到的距离． ∵在直线上， 设， 根据两点间距离公式： ， 解得． 又∵在反比例函数， ∴． 若，则由， 得． 由于而， 因此方程无实数解， 即直线与反比例函数无交点． 故k必须大于0， 因此仅符合要求． 【变式14-1】如图，的顶点在坐标原点，点在轴上，，反比例函数的图象经过的中点，交于点，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）设反比例函数的表达式为，将点代入中，求解即可； （2）过点作，垂足为，根据函数的表达式求解即可； 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， 将点代入中，得， 反比例函数的表达式． （2）解：如图，过点作，垂足为， 点为的中点，， 为的中点， ， 点的横坐标为，代入中得， 点的坐标为． 【变式14-2】如图，已知，是一次函数和反比例函数 的图象的两个交点． (1)求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式 的解集： (3)求的面积． 【答案】(1)； (2)或； (3) 【分析】（1）先根据点的坐标求出反比例函数解析式，再求出点的坐标，两个、两点的坐标代入一次函数解析式中，求出一次函数解析式； （2）根据图象求出不等式的解集； （3）先求一次函数与轴交点，从而可求得，利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：，是一次函数和反比例函数 的图象的两个交点， ， 反比例函数解析式为， ， ， 将，代入得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：由函数图象得，的解集为或； （3）解：一次函数的解析式为， 当时，， 解得， ， ， ． 【变式14-3】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与坐标原点重合，其边长为2，点，点分别在轴，轴的正半轴上，函数的图象与交于点，函数（为常数，）的图象经过点，与交于点，与函数的图象在第三象限内交于点，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)由图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)反比例函数的表达式为； (2) (3)不等式的解集为或． 【分析】（1）先得到点D的坐标，再求出k的值即可确定反比例函数解析式； （2）根据反比例函数图象的对称性可知：点D与点F关于原点O对称，求得点F的坐标为，据此计算即可求得的面积； （3）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为2， ∴点D的纵坐标为2， 将代入，得到， ∴点D的坐标为． ∵函数的图象经过点D， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：根据反比例函数图象的对称性可知：点D与点F关于原点O对称， ∴点F的坐标为， 把代入得，； ∴点E的坐标为； ∴， ∴的面积为：； （3）解：∵点D的坐标为，点F的坐标为， ∴当或时，函数的图象在函数的图象上方， 则不等式的解集为或． 题型十五、已知比例系数求特殊图形的面积 例15．如图，平面直角坐标系中，函数的图象经过两点A、B（A在左侧）．若A、B两点横、纵坐标都相差2，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键．过点A作轴于点C，轴于点D，与的延长线交于点E，则四边形是矩形，设点，其中，依题意得点，则，由此解出，进而得点，点，然后再分别求出，，，由此可得的面积． 【详解】解：过点A作轴于点C，轴于点D，与的延长线交于点E，如图所示： ， ∴四边形是矩形， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴设点A的坐标为，其中， 又∵A在点B左侧，且A、B两点横、纵坐标都相差2， ∴点B的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点， ∵反比例函数的图象经过点B， ， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴点，点， ， ∵四边形是矩形， ， ，， ， ， ， 故选：． 【变式15-1】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过点A、B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D、C，那么四边形的面积是 _____． 【答案】2 【分析】此题主要考查了反比例函数关系k的几何意义，得出矩形和矩形的面积是解题关键．根据反比例函数系数k的几何意义得出矩形的面积为：1，矩形的面积是3，则矩形的面积为：． 【详解】解：过点A作轴于点E， 点A在双曲线上，点B在双曲线上， 矩形的面积为：1，矩形的面积是3， 矩形的面积为：， 故答案为：2． 【变式15-2】如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标为4，曲线上有一动，过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D，连接． (1)求k的值． (2)设与的重合部分的面积为S，求S关于m的函数解析式． (3)连接，当第（2）问中S的值为1时，求的面积． 【答案】(1)8 (2) (3)6 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，反比例函数系数的几何意义，正确地求得的值是解题的关键． （1）首先将A点横坐标代入求出，然后代入求解即可； （2）点的坐标为，则，由即可建立函数解析式； （3）根据三角形的面积公式得到，求得，根据梯形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标是4 ∴将代入 ∴ ∴将代入，得， 的值为8； （2）解：如图，设与的重合部分的面积值为， 在直线上， 点的坐标为， ， ， （3）解：由题意得，， 解得或（舍去）， ， ， 点在函数的图象上， ， 梯形的面积， 由（1）知，， ， 梯形的面积， 梯形的面积． 【变式15-3】已知反比例函数与正比例函数相交于点A，点A的坐标是． (1)求此正比例函数解析式； (2)若正比例函数与反比例函数的图象在第一象限内相交于点B，过点A和点B分别做x轴的垂线，分别交x轴于点C和点D，和相交于点P，求梯形的面积； (3)连接，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出，再把代入正比例函数，即可求解； （2）先求出点，可得，，，再由，即可求解； （3）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数过点， ∴，即， 把代入正比例函数得：， 即正比例函数解析式为； （2）解：如图， 联立得：，解得：， ∵点B在一象限， ∴， ∵过点A和点B分别做x轴的垂线，分别交x轴于点C和点D， ∴，， 对于，当时，， ∴点， ∴，，， ∴； （3）解：∵点A和点B在反比例函数图象上，   ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中的几何图形的面积，反比例函数的图象和性质，把点坐标转化为平面直角坐标系中的线段长度，结合割补法和反比例函数的几何意义求几何图形的面积． 题型十六、根据图形面积求比例系数（解析式） 例16．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数，交边于点E，且．若四边形的面积为6，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】连接，由矩形的性质和已知条件得出的面积的面积四边形ODBE的面积，再求出的面积，即可得出k的值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ，的面积的面积， ∵D、E在反比例函数的图象上， 的面积的面积， 的面积的面积四边形ODBE的面积， ， 的面积的面积， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象与解析式的求法；熟练掌握矩形的性质和反比例函数解析式的求法是解决问题的关键． 【变式16-1】如图，过反比例函数图象上的一点作轴的平行线交反比例函数于点．连接、．若，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，令交轴于，由题意可，求出，即可得解． 【详解】解：如图：令交轴于， ∵点在反比例函数上，且轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式16-2】如图，点为第一象限内一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点、，为的中点，函数的图像经过点且交于，已知四边形的面积为，则的值为_____．    【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的系数的几何意义及矩形的性质与判定，连接，由四边形为矩形，可得，则，同理，再根据四边形的面积为即可求解， 解题的关键是正确理解系数的几何意义，运用数形结合的思想方法． 【详解】连接，    ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵为的中点, ∴， ∵在函数图象上， ∴， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式16-3】如图，在平面直角坐标系中，点、分别在函数（）、（，为常数）的图象上，轴，垂足为，，． (1)求的值； (2)当点在函数（）的图象上，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如果轴上有一点，使得是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质、勾股定理以及两点间的距离等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由 结合反比例函数k的几何意义可得，进一步即可求出结果； （2）由题意可得的纵坐标为，再利用待定系数法解答即可； （3）先求出的长，然后分三种情况：①若，可直接写出点N的坐标；②若，根据等腰三角形的性质解答；③若，根据两点间的距离解答． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ， ， ∴，解得， ∵， ∴； （2）∵，， ∴的纵坐标为 ∵在（）的图象上， ∴，解得： ∴ （3）∵， ∴ 是等腰三角形， ①当时，或 ②当时，则为对称轴，则， ③当时，设， ∴ 解得： ∴ 综上所述，或或或． 题型十七、一次函数与反比例函数图象综合判断 例17．已知函数中，在每个象限内，的值随的值增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图像是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质，首先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，再确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限，即可得到答案． 【详解】解：∵函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴， ∴双曲线在第二、四象限， ∴函数的图象经过第一、三象限， 故选：A． 【变式17-1】在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象，先根据一次函数经过的象限判断的符号，再根据反比例函数的图象经过的象限，判断出的符号，看是否一致，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，，，反比例函数图象经过第二、四象限，则，此选项错误，不符合题意； 、一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，，，反比例函数图象经过第二、四象限，则，此选项正确，符合题意； 、一次函数的图象经过第二、三、四象限，则，，，反比例函数图象经过第一、三象限，则，此选项错误，不符合题意； 、一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，，，反比例函数图象经过第二、四象限，则，此选项错误，不符合题意； 故选：． 【变式17-2】正比例函数与反比例函数的一个交点为 ，当正比例函数的图像在反比例函数图像的上方时，则 的取值范围是_____________ 【答案】或 【分析】先运用待定系数法先求出正比例函数与反比例函数解析式，再根据反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质列方程求出自变量x的取值范即可． 【详解】解：由正比例函数与反比例函数图象都经过点，即正比例函数为 反比例函数为 当正比例函数图象在反比例函数图象上方时，即＞，解得或． 故答案是或． 【点睛】主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，正确求出它们的解析式成为解答本题的关键． 【变式17-3】如图，直线的图像与双曲线交于、两点，且点的坐标为，过作轴，垂足为点. (1)求和的值； (2)连接，直接写出点的坐标，并求出的面积； (3)如果在双曲线上有一点，点在第一象限且满足，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)，B(−2,−4) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，以及三角形面积的计算． （1）将点代入直线和双曲线，即可得出m，n的值 （2）求出直线解析式和双曲线解析式，然后将其联立解方程组，得点B与C的坐标，再根据三角形的面积公式及坐标的意义求解． （3）设点，根据，求出x的值，即可求出点D的坐标． 【详解】（1）解：把点分别代入和， 解得，． （2）解：，， 直线的解析式为和双曲线的解析式为， ∴解方程组 解得，， 则点A坐标为，点B坐标为， ∵轴， ∴点C坐标为， ∴． （3）解：， 点在双曲线上，设点，， 解得，， 点的坐标为或． 题型十八、一次函数与反比例函数的交点问题 例18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为_______． 【答案】或 【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是正确理解函数图象和性质． 先求得n的值，然后观察函数图象即可求解． 【详解】解：由题意可得， 解得， ∴， 观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 【变式18-1】如图，一次函数与的图像相交于点P，那么_________． 【答案】5 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求反比例函数的解析式．由图象得出交点纵坐标是5是解题的关键． 由图象可得交点P的纵坐标为5，代入一次函数，求得点P坐标，再把点P坐标代入反比例函数求解即可． 【详解】解：对于一次函数， 当时，则， 解得：， ∴， 把代入，得， 故答案为：5． 【变式18-2】已知正比例函数过第一象限一点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为点，且的面积为，正比例函数与反比例函数交于、两点． (1)求正比例函数解析式； (2)求、两点坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，待定系数法求函数的解析式，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意求得，然后根据待定系数法即可求得正比例函数的解析式； （2）根据题意得到方程，解方程即可求得、两点的坐标． 【详解】（1）解：点的横坐标为，且的面积为， 如图所示： ， ， 点的纵坐标为， ， 正比例函数过第一象限一点， ， ， 正比例函数解析式为； （2）解：由（1）知，， 反比例函数解析式为， 正比例函数与反比例函数交于、两点， ， 解得：， ，． 【变式18-3】如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标是4．双曲线上有一动点．过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D． (1)求k的值； (2)若，求点C坐标； (3)连接、，当与的重合部分的面积值为1时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先将A点横坐标代入求出，然后代入求解即可； （2）首先求出，得到，然后得到点C的纵坐标为6，然后代入求解即可； （3）设与的重合部分的面积值为，设，根据三角形的面积公式得到，求得，根据梯形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）∵点A的横坐标是4 ∴将代入 ∴ ∴将代入，得， 的值为8； （2）∵ ∴ ∵，轴 ∴ ∴ ∵轴 ∴点C的纵坐标为6 ∴将代入得， 解得 ∴； （3）如图，连接，设与的重合部分的面积值为， 在直线上， 设点的坐标为， ， ， 解得或（舍去）， ， ， 点在函数的图象上， ， 梯形的面积， 由（1）知，， ， 梯形的面积， 梯形的面积． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，反比例函数系数的几何意义，正确地求得的值是解题的关键． 题型十九、一次函数与反比例函数的其他综合应用 例19．已知：如图，反比例函数的图象与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)若点是直线上一点，且是直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点D的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，正比例函数的图形和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）设点，根据点是的中点，可得到，再把点A的坐标代入，即可求解； （2）设点D的坐标为，可得，，，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：设点， ∵点是的中点，， ∴， 解得：， ∴点， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为； （2）设点D的坐标为， ∵点， ∴，， ， 由题意知，则分两种情况讨论： ①当是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴点D的坐标为； ②当是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∵当时，与重合，故舍去， ∴点D的坐标为． 综上所述：点D的坐标为或． 【变式19-1】已知函数，与x成正比例，与x成反比例，且当时，；当时，． (1)求y关于x的函数关系式； (2)求当时的函数值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，设，，则可得，由所给x与y的值，可得关于，的方程组，解方程组即可；　 （2）把代入所求函数解析式中即可求得函数值． 【详解】（1）∵与x成正比例， ∴设， ∵与x成反比例， ∴设， ∵， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， 解得， ∴； （2）当时，． 【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数，待定系数法法求函数解析式，求函数值等知识，关键是由题意正确设函数解析式，注意两个函数的比例系数不能设为相同的k． 【变式19-2】已知，并且与x成正比例，与成反比例．当时，；当时，，求：y关于x的函数解析式． 【答案】 【分析】设所求的函数解析式为，再将所给的点代入可求得，即可求函数解析式． 【详解】解：设所求的函数解析式为， 当时，；当时，，代入， ∴，解得． ∴函数解析式是：． 【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、正比例函数、反比例函数的定义等知识点，掌握用待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 【变式19-3】已知：，并且与成正比例，与成反比例．当x=2时，y=5；当时， (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时的函数值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正比例关系、反比例关系可设，再将两组的值代入求解即可得； （2）将代入函数解析式即可得． 【详解】（1）解：由题意可设， 则，解得， 则，即． （2）解：当时，． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键． 【变式19-4】如图，在平面直角坐标系内，双曲线上有A，B两点，且与直线交于第一象限内的点A，点A的坐标为，点B的坐标为，过点B作y轴的平行线，交x轴于点C，交直线与点D． （1）求：点D的坐标； （2）求：的面积； （3）在x轴正半轴上是否存在点P，使是以OA为腰的等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出P的坐标． 【答案】（1）点D坐标为；（2）；（3）存在，，． 【分析】（1）根据点的坐标求得直线解析式，进而根据点的坐标代入反比例函数即可求得点的横坐标，进而根据的横坐标和的横坐标相等，代入直线解析式即可求得点的坐标； （2）联结AB、OB，过A作．根据题意可得点C坐标为，，,，根据即可求得； （3）根据等腰三角形的定义分类讨论，①当时，②当时，即可求得的坐标 【详解】（1）解：∵直线与双曲线交于点， ∴． ∴直线OA函数解析式为． ∵点在双曲线上， ∴． ∵过点B的直线CD平行于y轴， ∴点C，点D的横坐标都是8．代入 ∴可得点D坐标为． （2）如图，联结AB、OB，过A作． 根据题意可得点C坐标为，，, ，，，，． （3）由是以OA为腰的等腰三角形， ①当时， 即 ②当时 , 综上所述的坐标为或 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，等腰三角形的性质，掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键． 题型二十、反比例函数与几何综合 例20．如图，点A，B在双曲线上，点C在双曲线上，若轴，轴，且，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，勾股定理，设，则，据此表示出，根据建立关于m的方程，求出m的值，进而得到的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：设，则， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式20-1】如图，点P在反比例函数的图象上，且横坐标为1，过点P作两条坐标轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点A、B，且A在第二象限，那么值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求出线段，关于k的代数式是解答本题的关键．根据条件得到，继而得到，，列出线段，关于k的代数式，代入求出比值即可． 【详解】解：当时，， ， 过点P作两条坐标轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点A、B，且A在第二象限， ， ，， ． 故答案为：． 【变式20-2】如图，过轴正半轴上任意一点作轴的平行线，分别交反比例函数和的图象于点，．是轴上的一点，则的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的特征，设，，则和的横坐标都为，求出点、的坐标，从而得出，再由计算即可得出答案． 【详解】解：设，，则和的横坐标都为， 将代入反比例函数中得：，故， 将代入反比例函数中得：，故， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式20-3】如图，已知直线与反比例函数的图像在第一象限交于点．若，直线与轴的夹角为． (1)求点的坐标； (2)求反比例函数的解析式； (3)若点是y轴上的一点，当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)反比例函数解析式为 (3)点P的坐标为或 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，直角三角形的性质，反比例函数的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）过点A作轴于E，由直角三角形的性质可求，即可求解； （2）利用待定系数法可求解； （3）分两种情况讨论，利用直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点A作轴于E， ∵， ∴， ∴，， ∴点； （2）解：∵反比例函数的图象过点A， ∴， ∴反比例函数解析式为； （3）解：如图， 当点在y轴上时，且， 又∵， ∴，， ∴点； 当点在y轴上，且， 又∵， ∴，， ∴， ∴点； 综上所述：点P的坐标为或． 【变式20-4】如图，在直角坐标平面内，正比例函数，过点A作轴，垂足为点B，． (1)求反比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点C，使点C到直线的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标，请说明理由； (3)已知点P在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）将代入得，可得，再将点A代入反比例函数的解析式为，即可得出答案； （2）根据点A的坐标，可知，过点C作于G，由题意得，分点C在上或的延长线上，分别根据含30°角的直角三角形的性质可得答案； （3）由，分三种情形，分别得出答案． 【详解】（1）解：， ∴点A的纵坐标为3， ∵正比例函数的图象经过点A， 把代入得， ∴， 设反比例函数的解析式为， 将点代入得， ∴反比例函数的解析式为：； （2）解：∵轴于点B，设点C的坐标为， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， 过点C作于G， 由题意得， 当点C在上时， 则平分， ， ， ， 当点C在延长线上时， 同理可得， 综上所述：点C的坐标为或； （3）解：当时，则点的坐标为或， 当时，由得，， ， 当时， ， 则平分， ， 综上所述：则点的坐标为或或或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，含角的直角三角形的性质，角平分线的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键． 2 / 67 1 / 67 学科网（北京）股份有限公司 $