18.3 第2课时 反比例函数的图象和性质(10大题型提分练)-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂(沪教版)

18.3 第2课时 反比例函数的图象和性质 知识点一 反比例函数的性质 反比例函数 k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的两支都无限接近于轴和轴，不会与轴和轴相交 性质 图像的两支分别位于第一、三象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐减小 图像的两支分别位于第二、四象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 知识点二 比例系数k的几何意义 1.与两坐标轴围成的矩形的面积 如图，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线PM，PN，分别交轴、轴于点M，N，所得矩形PMON的面积 因为，所以所以，即过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 2.与坐标轴围成的三角形的面积 如图，过双曲线上任意一点E作EF垂直于轴，交轴于点F，联结EO，则＝，即过双曲线上任意一点坐标轴的垂线，则以这一点、原点和垂足为顶点的三角形的面积为. 题型一、已知反比例函数的图象，判断其解析式 解题技巧提炼 反比例函数图象离坐标轴越远，k的绝对值越大． 1．在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，解题的关键是掌握反比例函数图象离坐标轴越远，k的绝对值越大． 根据点A和点C的坐标，得出k的取值范围，即可解答． 【详解】解：∵该反比例函数位于第一象限的图象低于点， ∴， ∵该反比例函数位于第三象限的图象低于点， ∴， ∴， ∴k的值可能是3， 故选：C． 2．如图所示，该函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象．熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键，由图象可知，反比例函数，然后对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由图象可知，反比例函数， A中不是反比例函数，故不符合要求； B中是反比例函数，但不经过第二、第四象限，故不符合要求； C中是反比例函数，经过第二、第四象限，故符合要求； D中不是反比例函数，故不符合要求； 故选：C． 3．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，点不在该反比例函数的图象上，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数上的点的特征．根据点的坐标求出横纵坐标的乘积，进而得到值的取值范围，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知：，， ∴，即：， ∴的值可以为； 故选C． 4．反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为 ．（用“<”连接） 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图像与性质，由图可知图像在第三象限，；，图像在第四象限，、；再取，如图所示，即可比较，的大小，熟记反比例函数图像与性质，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，图像在第三象限，；，图像在第四象限，、； 取，如图所示： ； 综上所述，， 故答案为：． 题型二、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 解题技巧提炼 反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 5．已知函数与的图像的一个交点坐标是（1，2），则它们的图像的另一个交点的坐标是 ． 【答案】（-1，-2） 【详解】∵函数与的图像都是中心对称图形， ∴函数与的图像的一个交点坐标是（1，2）关于原点对称的点是（-1，-2）， ∴它们的图像的另一个交点的坐标是（-1，-2）． 故答案是：（-1，-2）． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．关于原点对称的两个点的横、纵坐标分别互为相反数． 6．在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，知点A与B关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴B点的坐标为． 故答案为：． 7．在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，，则下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则、关于原点对称 D．若，，则 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数的性质是解题的关键．据此进行判断即可． 【详解】解：A．∵，即与异号， ∴点，在第一、三象限或第二、四象限， ∴，原说法正确，故此选项符合题意； B．∵， ∴，或，， ∴，则或，则， ∴反比例函数的图像在第一、三象限， ∴，原说法错误，故此选项符合题意； C．∵， ∴， ∴， ∴， ∴、关于原点对称，原说法正确，故此选项不符合题意； D．若，则反比例函数的图像在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 8．如图，直线与双曲线交于两点，过点作轴，垂足为点，连接，若，则的值为（   ）      A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】根据题意可得，则，进而根据的几何意义，即可求解． 【详解】解：∵直线与双曲线交于两点， ∴关于原点对称，则， ∴， ∴， 反比例函数图象在二、四象限， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，中心对称，的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 题型三、已知双曲线分布的象限，求参数范围 解题技巧提炼 反比例函数：当时，图象位于第一、三象限；当时，图象位于第二、四象限． 9．若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数：当时，图象位于第一、三象限；当时，图象位于第二、四象限． 【详解】解：由题意得， 解得． 故答案为：. 10．若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知双曲线分布的象限，求参数范围．对于反比例函数，当时，图象经过一、三象限；当时，图象经过二、四象限；据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴ 故答案为： 11．（22-23八年级上·上海静安·期末）已知反比例函数的图像在第二、四象限，那么的取值范围是 . 【答案】/ 【分析】根据反比例函数图象的性质得出，解不等式即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图像在第二、四象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，在中，当时，函数的图象在一、三象限，当时，反比例函数的图象在二、四象限，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 题型四、判断反比例函数的增减性 解题技巧提炼 图像的两支分别位于第一、三象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐减小； 图像的两支分别位于第二、四象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大. 12．（22-23八年级上·上海长宁·期末）在函数的图象上有三点，，，已知，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，判断出反比例函数在每个象限的增减性，进而可得到答案． 【详解】解：∵， ∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， 又∵， ∴． 故选：A． 13．（23-24八年级上·上海闵行·期末）已知反比例函数的图像上有两点，如果，那么与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】∵中，， ∴在每一个象限，随的增大而减小， 当时，； 当时，， 当时，， ∴与的大小关系不能确定， 故选：． 14．（21-22八年级上·上海奉贤·期末）反比例函数的图像与正比例函数的图像没有交点，若点，，在这个反比例函数的图像上，则下列结论中正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】先判断k的正负，然后根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】∵反比例函数的图像与正比例函数的图像没有交点， ∴， ∴在二四象限内反比例函数y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数和正比例函数的图形与性质，判断出是解答本题的关键． 15．若点在反比例函数的图象上，且，则下列各式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断反比例函数所在象限，再根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：反比例函数为，函数图象在第二、四象限，在每个象限内，随着的增大而增大， 又，，，． 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，属于基本题型，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键． 题型五、已知反比例函数的增减性求参数 解题技巧提炼 反比例概念题,紧抓两条件 16．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如果点、点都在函数的图象上，且，那么m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据题意可得在每个象限内y随x增大而增大，据此可得，则． 【详解】解：∵点、点都在函数的图象上，且， ∴在每个象限内y随x增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）如果反比例函数的图像，在的范围内，随们增大而减小，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，对于反比例函数，当时，其函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，当时，其函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图像，在的范围内，随们增大而减小， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如果反比例函数在时，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质．根据时，y的值随x的值的增大而增大，得到，求解即可．掌握反比例函数的增减性，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 19．反比例函数，当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】若反比例函数，当时，y随着x的增大而减小，即反比例系数，从而求得k的范围． 【详解】解：∵反比例函数，当时，y随着x的增大而减小， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】正确理解反比例函数的性质，能把函数的增减性与比例系数的符号相结合解题，是最基本的要求． 20．已知函数的图象在每个象限内，的值随的值增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象在每个象限内的增减性判断出系数的正负． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内，的值随的值增大而减小， ∴，即． 故答案是：． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的增减性． 21．如果反比例函数y=的图象在每个象限内y随x的增大而减小，那么k的取值范围是 【答案】k＞ 【详解】试题分析：先根据反比例函数的性质得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 试题解析：∵反比例函数y=的图象在每个象限内y随x的增大而减小， ∴2k-1＞0， 解得k＞ 考点：反比例函数的性质． 题型六、反比例函数k与三角形、长方形的面积关系 解题技巧提炼 k的几何意义 22．（23-24八年级上·上海杨浦·期末）如图，点在反比例函数第一象限的图象上，垂直轴，垂足为，设的面积是，那么与之间的数量关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数的几何意义，根据题意得出，再结合反比例函数的图象在第一象限，得出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：点在反比例函数第一象限的图象上，垂直轴， ， ， 反比例函数的图象在第一象限， ， ， 故选：C． 23．如图，A、C是函数的图象上任意两点，过点A作y轴的垂线，垂足为B，过点C作y轴的垂线，垂足为D．记的面积为，的面积为，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．由A、C两点的位置确定 【答案】C 【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=k|． 【详解】由题意得：S1=S2=|k|=． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想． 24．如图所示，在直角平面坐标系中，点为反比例函数上不同的三点，连接，过点作轴于点，过点分别作垂直轴于点，与相交于点，记、、四边形的面积分别为、、，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数系数的几何意义得到，即可得到结论． 【详解】解：∵点为反比例函数上不同的三点， 轴， 垂直轴于点， ∴， ∵， ∴，（故B正确、故A.C错误） ∵ ∴，即D错误. 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的性质，正确的识别图形是解题的关键． 25．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，点A是函数在第一象限内的图像上一点，过点A作轴于点B，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，根据反比例函数的比例系数k的几何意义，得到的面积为即可求解． 【详解】解：∵点A是函数在第一象限内的图像上一点，轴于点B， ∴的面积为， 故答案为：． 26．如图，点在反比例函数（）的图象上，它们的横坐标依次为1、2、3、4，过这四点分别作轴、轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为，则 ． 【答案】 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征确定，再利用平移把阴影部分转化为一个矩形的面积，然后利用两矩形的面积差求解． 【详解】解：根据题意得： 当时，，则， 当时，，则， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这个一点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围城的矩形的面积是定值，也考查了反比例函数图象上点的坐标特征． 27．（21-22九年级上·上海闵行·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，射线与反比例函数的图像交于点，过点作轴的垂线交双曲线于点，过点作轴的垂线交双曲线于点，联结，那么的值是 【答案】1 【分析】求出的直线解析式，联立，求出，，过点作交于点，交于点，则，，分别求出，，，，即可求，，再求即可． 【详解】解：设的解析式为， ， ， ， 联立， 解得， ，， 过点作交于点，交于点， ，， ，，，， ， ， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象及性质． 28．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点， A是反比例函数图象上的一点，AB垂直y轴，垂足为点B，那么的面积为 ． 【答案】2 【分析】设点A的坐标是，然后根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：设点A的坐标是， ∵AB垂直y轴，∴， ∴的面积=． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，属于基础题型，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是关键． 29．如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别交反比例函数和在第一象限的图象于点过点作轴于点交的图象于点连结．若是等腰三角形，则的值是 ． 【答案】或 【分析】根据题意，先求出点A、B的坐标，然后得到点C的坐标，由等腰三角形的性质，进行分类讨论，即可求出k的值. 【详解】解：根据题意，有则， 解得： 同理可得： 为等腰三角形， 当时， 即 整理得 解得或（舍去）； 当时， 即 整理得， 解得或（舍）. 故答案为：或. 【点睛】本题利用反比例函数与一次函数交点特征将点坐标用含 的式子表示出来，对等腰三角形的腰进行分类讨论.属于常考题型 题型七、根据图形面积求比例系数（解析式） 解题技巧提炼 1.与两坐标轴围成的矩形的面积 如图，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线PM，PN，分别交轴、轴于点M，N，所得矩形PMON的面积 因为，所以所以，即过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 2.与坐标轴围成的三角形的面积 如图，过双曲线上任意一点E作EF垂直于轴，交轴于点F，联结EO，则＝，即过双曲线上任意一点坐标轴的垂线，则以这一点、原点和垂足为顶点的三角形的面积为. 30．（23-24八年级上·上海虹口·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数，交边于点E，且．若四边形的面积为6，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】连接，由矩形的性质和已知条件得出的面积的面积四边形ODBE的面积，再求出的面积，即可得出k的值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ，的面积的面积， ∵D、E在反比例函数的图象上， 的面积的面积， 的面积的面积四边形ODBE的面积， ， 的面积的面积， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象与解析式的求法；熟练掌握矩形的性质和反比例函数解析式的求法是解决问题的关键． 31．（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，函数和的部分图像与直线分别交于、两点，如果的面积是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，记交轴于点，根据求出，再由求出，即可解题． 【详解】解：记交轴于点，如图所示： 由知，, 的面积是， , ， ， 故选：B． 32．（23-24八年级上·上海·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像交矩形的边于点，交边于点，且．若四边形的面积为，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象与解析式的求法，连接，由矩形的性质和已知条件得出，再求出的面积，即可得出k的值，熟练掌握矩形的性质和反比例函数解析式的求法是解决问题的关键． 【详解】连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵、在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵， ∴，由， ∴， 故选：． 33．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，反比例函数，点M是它在第二象限内的图象上一点，垂直x轴于点P，如果的面积为1，那么k的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先根据的面积为1可求出的值，再根据即可得出k的值，故可得出反比例函数解析式．本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 【详解】解：∵点M是反比例函数的图象上一点，垂直x轴于点P，的面积为1，， ∴， ∵反比例函数图象经过第二象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为；． 故选：D 34．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如图，点为第一象限内一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点、，为的中点，函数的图像经过点且交于，已知四边形的面积为，则的值为 ．    【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的系数的几何意义及矩形的性质与判定，连接，由四边形为矩形，可得，则，同理，再根据四边形的面积为即可求解， 解题的关键是正确理解系数的几何意义，运用数形结合的思想方法． 【详解】连接，    ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵为的中点, ∴， ∵在函数图象上， ∴， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 35．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图，已知正比例函数图像经过点和点． (1)求正比例函数的解析式及m的值； (2)过点A作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点B（点B在点A下方），若的面积为10，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)正比例函数解析式为， (2) 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，反比例函数比例系数的几何意义，求正比例自变量的值： （1）先利用待定系数法求出正比例函数解析式，进而求出m的值即可； （2）延长交x轴于C，设反比例函数解析式为，先证明轴，则，再求出，则，可得，则反比例函数解析式为． 【详解】（1）解：设正比例函数解析式为， 把代入中得：，解得， ∴正比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； （2）解：延长交x轴于C，设反比例函数解析式为， ∵轴， ∴轴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴， ∵点B在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为． 题型八、反比例函数图象和性质综合 解题技巧提炼 巧借图象比较两函数的函数值大小 在已知两函数图象交点的题目中，比较两函数的函数值大小，可直接利用图象判断；在同一平面直角坐标系中，图象在上方的函数的函数值大，图象在下方的函数的函数值小. 36．（23-24八年级上·上海·期末）如图，直线与函数的图象相交于点，与轴交于点，且，点是线段上一点． (1)求的值； (2)若与的面积比为，求点的坐标； (3)将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在函数的图像上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把代入，可求出的值； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，由与的面积比为可推出，由点的坐标可求出，从而求出点的纵坐标，根据题意求出直线的解析式，由于点在直线上，进而求出点坐标； 过点作轴于，设，则，将其坐标代入到得到关于的方程内解方程即可求出结果． 【详解】（1）在函数的图象上， ， （2）如图1，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， 点的坐标为， ， ， ， 设直线的解析式为， 点在直线上， 直线的解析式为， 把代入中，， ， （3）如图2，过点作轴于， 直线的解析式为， 设， 点落在函数的图象上， ， 或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，反比例函数的性质，旋转的性质等，能够熟练运用一次函数和反比例函数的性质是解本题的关键． 37．（21-22八年级上·上海黄浦·期末）如图，反比例函数图象经过点，点B在反比例函数的图象上，横坐标为2，过点B作轴，垂足为C． (1)求反比例函数解析式及B点坐标； (2)连接，若将沿翻折，得到，求四边形的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）设反比例函数解析式的解析式为，把点，代入求得，于是得到反比例函数解析式为；根据点在反比例函数的图象上，横坐标为2，于是得到点坐标为，； （2）过作轴于，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式的解析式为， 反比例函数图象经过点，， ， 反比例函数解析式为； 点在反比例函数的图象上，横坐标为2， ， 点坐标为，； （2）过作轴于， 过点作轴，垂足为， ， 反比例函数图象经过点，， ， ， 将沿翻折，得到， ， 四边形的面积． 38．已知在平面直角坐标系中，点在第一象限内，，且，反比例函数的图像经过点A．        (1)当点B的坐标为时（如图1），求这个反比例函数的解析式； (2)当点B也在反比例函数的图像上，且在点A的右侧时（如图2），用m、n的代数式表示点B的坐标；并求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过A作，根据三角形为等腰直角三角形，得到，确定出A坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式； （2）过A作轴，过B作，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且，利用得出三角形与三角形全等，由确定三角形的对应边相等得到进而表示出及的长，即可表示出B坐标；由A与B都在反比例图象上，得到A与B横纵坐标乘积相等，列出关系式，变形后即可求解． 【详解】（1）解：过A作，交x轴于点C， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 将代入反比例解析式， 并解得：， 则反比例解析式为； （2）解：过A作轴，过B作， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ∴ 则； ∵由A与B都在反比例图象上，得到， 整理得： 即 这里 ∵， ∴， ∵在第一象限， ∴ 则． 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，以及一元二次方程的解法，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键． 39．（21-22八年级上·上海崇明·期末）如图，点P的坐标是，过点P作x轴的平行线交y轴于点A，交双曲线于点N，作交双曲线于点M，连接AM．已知PN=4． (1)求k的值； (2)求的面积． 【答案】(1)-14 (2)4 【分析】（1）由题意可得出，．再根据PN=4，可求出AN =7，即得出N的坐标，最后将N的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值； （2）由题意可得出，代入所求出的反比例函数解析式，即得出M的纵坐标，从而可求出PM的长，最后由三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）由题意可知，． ∵PN=4， ∴AN=AP+PN=3+4=7， ∴， ∴N(7，-2)． 将N(7，-2)代入，得： 解得：． （2）由题意可知． 由（1）可知反比例函数解析式为：， 将代入得： ∴， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形，求反比例函数的解析式，反比例函数与几何的综合．利用数形结合的思想是解题关键． 题型九、实际问题与反比例函数 解题技巧提炼 多种类型的实际问题，“分段”来分析 在很多实际问题中，变量之间的函数图象往往是由多段不同类型的函数图象拼组而成的.此时，整体分析题意会较为混乱，就需要对给出的图象进行合理分割，把图象按照函数类型分段处理，逐段求出函数表达式，再根据题意解答, 40．（23-24八年级上·上海宝山·期末）越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为t小时，平均速度为v千米/小时（骑行速度不超过40千米/小时）．根据以往的骑行经验，v、t的一些对应值如下表： v（千米/小时） 15 20 25 30 t（小时） 2 1 (1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； (2)如果这位骑行爱好者上午8：30从家出发，能否在上午9：10之前到达上海蟠龙天地？请说明理由； (3)若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围． 【答案】(1) (2)不能，理由详见解析 (3) 【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式． （1）由表中数据可得，从而得出结论； （2）把代入（1）中解析式，求出v，从而得出结论； （3）根据和t的取值范围得出结论． 【详解】（1）解：根据表中数据可知，， ， 平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； （2）骑行者在上午9：10之前不能到达上海蟠龙天地，理由： 从上午8：30到上午9：10，骑行者用时40分钟，即小时， 当时，（千米/时）， 骑行速度不超过40千米/小时， 骑行者在上午9：10之前不能到达上海蟠龙天地； （3）， 当时，， 解得， 平均速度v的取值范围为． 41．科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．    (1)求h关于的函数解析式． (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度． 【答案】(1)． (2)该液体的密度为． 【分析】（1）由题意可得，设，把，代入解析式，求解即可； （2）把代入（1）中的解析式，求解即可． 【详解】（1）解：设h关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得． ∴h关于的函数解析式为． （2）解：把代入，得． 解得：． 答：该液体的密度为． 【点睛】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活利用反比例函数的性质进行求解． 42．（22-23八年级上·上海宝山·期末）办公区域的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升，水温到时停止加热，此后水温开始下降．水温（）与开机通电时间成反比例关系．若水温在时接通电源，一段时间内，水温y与通电时间x之间的函数关系如图所示． (1)水温从加热到，需要 ； (2)求水温下降过程中，y与x的函数关系式，并写出定义域； (3)如果上午8点接通电源，那么8：20之前，不低于的时间有多少？ 【答案】(1)4 (2) (3)2分钟 【分析】（1）根据开机加热时水温每分钟上升即可求出水温从加热到所需时间； （2）根据反比例函数过点可求出解析式； （3）分别计算出水温达到前和达到后再降到所需时间即可． 【详解】（1）解：开机加热时水温每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：4； （2）由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ， 当时，， 水温下降过程中，与的函数关系式是； （3）当时，设，将代入函数解析式，可得： ，解得：， ∴当时，， 当时，，解得， 当时，，解得， 水温不低于的时间为（分钟）， 答：不低于的时间有2分钟． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的应用，读懂函数图像，获取信息是解决本题的关键． 43．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求该函数的表达式； (2)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，应用反比例函数解决实际问题，理解气压和气球体积的关系是解题的关键． （1）设反比例函数关系式，再将点A的坐标代入即可得出答案； （2）将代入关系式，求出解，再判断即可． 【详解】（1）设， 将代入，得，解得， ∴所求函数的表达式为； （2）∵， ∴在第一象限内，p随V的增大而减小． 当时，． ∴为了安全起见，气体的体积应不小于． 44．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高y（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：）的反比例函数，当时，，请你解答下列问题． (1)求y关于x的函数表达式． (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】(1) (2)小孔到蜡烛的距离为 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．熟练掌握反比例函数的图象和性质，待定系数法求解析式，是解决问题的关键． （1）设．把，代入，求得k的值，即得； （2）把代入，求得x值即可． 【详解】（1）根据题意，设． 把，代入， 得， ∴y关于x的函数表达式为． （2）把代入， 得． 故小孔到蜡烛的距离为． 45．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度（）是面条的粗细（横截面积）（）的反比例函数，其图象如图所示． (1)写出与的函数关系式； (2)求当面条粗时，面条的总长度是多少米？ (3)若面条的总长度要求不大于，那面条的粗细应有什么限制？ 【答案】(1) (2)面条的总长度是米 (3)面条的粗细应不小于 【分析】本题考查反比例函数解实际应用题，涉及待定系数法确定函数解析式、已知自自变量求函数值、解不等式等知识，读懂题意，求出反比例函数解析式，掌握反比例函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由题意，设与的函数关系式，将代入即可得到答案； （2）由（1）中与的函数关系式，将代入表达式求解即可得到答案； （3）由（1）中与的函数关系式，列不等式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，设与的函数关系式， 由图可知，反比例函数图象过，将代入得， 与的函数关系式为； （2）解：由（1）知与的函数关系式为， 当时，， 当面条粗时，面条的总长度是米； （3）解：由（1）知与的函数关系式为， 当面条的总长度要求不大于时，，解得， 若面条的总长度要求不大于，那面条的粗细应不小于． 46．综合与实践：探索某款冷柜的日耗电量． 素材1：图1是某款冷柜，耗电功率为0.15千瓦．当内部温度为时，冷柜运行，当温度下降到时，停止运行，温度上升，到时，冷柜再次运行，如此循环． 素材2：冷柜内部温度与时间的关系如图2所示． 当时，是的一次函数；当时，是的反比例函数． 链接：冷柜每天耗电量（度）耗电功率（千瓦）每天运行时间（小时）． 任务1：求时，关于的函数表达式． 任务2：求该冷柜一天的耗电量． 【答案】任务1：；任务2：每天耗电量为度 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式． 任务1：设时，关于的函数表达式为，将点代入，利用待定系数法求解即可； 任务2：结合任务1，可解得冷柜每20分钟为一个循环，然后根据“冷柜每天耗电量（度）耗电功率（千瓦）每天运行时间（小时）”求解即可． 【详解】任务1：设时，关于的函数表达式为， 将点代入，可得 ， ∴时，关于的函数表达式为； 任务2：当时，可有，解得， ∵冷柜每20分钟为一个循环， ∴每天共有循环个数：（个）， ∴冷柜每天运行的时间为分钟， ∴每天耗电量为：（度）． 47．码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间与装载速度成反比例．已知当时，． (1)求与之间的函数表达式； (2)要在内装完货物，装载速度至少应为多少（精确到）？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是根据实际意义列出函数关系式． （1）设与之间的函数表达式为，把时，，代入表达式，即可求解． （2）利用函数关系式，当时，求出，在根据反比例函数的性质，随的增大而减小，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可设与之间的函数表达式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∴与之间的函数表达式为． （2）当时，将代入中， 解得， 根据反比例函数的性质，随的增大而减小， ∴要在内装完货物，那么装载货物的速度至少为． 题型十、反比例函数与几何面积 解题技巧提炼 解题技巧提炼 铅垂法大全 （1）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD． （2）取AC作水平宽，过点B作BD⊥x轴交直线AC于点D，BD即对应的铅垂高， （3）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD． （4）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD． （5）取AC作水平宽，过点B作铅垂高BD． （6）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD． 48．（21-22八年级上·上海奉贤·期末）如图，将一个长方形放置在平面直角坐标系中，，，点是的中点，反比例函数图像过点且和相交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)直线的解析式：；反比例函数的解析式： (2)12 【分析】（1）先求出点B和点E的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）根据求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴ 设直线的解析式：，把代入，得 ， ∴， ∴， 设反比例函数的解析式：，把代入，得 ， ∴， ∴； （2）设代入，得， ∴， ，， =--=． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，待定系数法求函数解析式，以及割补法求图形的面积，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． 49．（23-24八年级上·上海崇明·期中）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象经过点，点为轴正半轴上一点，过点作， 交反比例函数的图象于点交正比例函数的图象于点，    (1)求a、k的值 (2)连接，求的面积 (3)P为射线上一点，若的面积为9，求点P的坐标 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的图形性质，解题的关键是利用函数的解析式求出点坐标． （1）先根据反比例函数的图象求出a，在根据点B的坐标求出k的值即可； （2）过点B作，垂足为E，先根据正比例函数的图象求出点C的坐标 ，再根据点C和点A的横坐标相等和点A在反比例函数的图象上求出点A的坐标，即可求出和的长度，即可求出三角形的面积； （3）过点P作，垂足为F，根据三角形的面积求出的值，根据两种情况展开讨论，结合正比例函数的图象就可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴； （2）解：过点B作，垂足为E，    设点，， ∵正比例函数为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，, ∴； （3）解；如下图所示，过点P作，垂足为F，设, ∵，    ∴， ∴， 当P在C点上方时， ∴的横坐标为， ∴， ∴， 当P在C点下方时， ∴的横坐标为， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 50．（23-24八年级上·上海虹口·期末）如图，在直角坐标平面内，正比例函数，过点A作轴，垂足为点B，． (1)求反比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点C，使点C到直线的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标，请说明理由； (3)已知点P在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）将代入得，可得，再将点A代入反比例函数的解析式为，即可得出答案； （2）根据点A的坐标，可知，过点C作于G，由题意得，分点C在上或的延长线上，分别根据含30°角的直角三角形的性质可得答案； （3）由，分三种情形，分别得出答案． 【详解】（1）解：， ∴点A的纵坐标为3， ∵正比例函数的图象经过点A， 把代入得， ∴， 设反比例函数的解析式为， 将点代入得， ∴反比例函数的解析式为：； （2）解：∵轴于点B，设点C的坐标为， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， 过点C作于G， 由题意得， 当点C在上时， 则平分， ， ， ， 当点C在延长线上时， 同理可得， 综上所述：点C的坐标为或； （3）解：当时，则点的坐标为或， 当时，由得，， ， 当时， ， 则平分， ， 综上所述：则点的坐标为或或或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，含角的直角三角形的性质，角平分线的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键． 51．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形的边均平行于坐标轴，A点的坐标为．    (1)如图1，如果正方形的顶点B在直线上，求点A的坐标． (2)如图2，若双曲线 与此正方形的边有交点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据坐标与图形性质得到点B坐标为，代入求得a值即可； （2）根据题意求得点C坐标为，将点A、C坐标代入求得a值，再根据图象可得a得取值范围． 【详解】（1）解：∵A点的坐标为， ∴由题意，得点B坐标为， 将代入中，得， 解得， ∴点A的坐标为； （2）∵A点的坐标为， ∴由题意，得点C坐标为， 当点C在双曲线上时，则 解得， 当点A在双曲线上时，则， 解得， 由图可知，若双曲线 与此正方形的边有交点，则a的取值范围为． 【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形，利用数形结合思想正确得到点B、C的坐标表示是解答的关键． 52．如图，直线y＝ax（a＞0）与双曲线交于A，B两点，且点A的坐标为（4，2），点B的坐标为（n，﹣2）． (1)求a，n的值； (2)若双曲线的上点C的纵坐标为8，求△AOC的面积． 【答案】(1)， (2)15 【分析】（1）先将点代入直线的解析式可得的值，再根据求出反比例函数的解析式，然后将点代入反比例函数的解析式即可得的值； （2）先求出点的坐标，再过点作轴的垂线交直线于点，根据直线的解析式求出点的坐标，然后根据的面积等于与的面积之和即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：，解得， 将点代入得：， 则反比例函数的解析式为， 将点代入得：； （2）解：对于函数， 当时，，即， 如图，过点作轴的垂线交直线于点， 则点的横坐标为1， 由（1）可知，直线的解析式为， 当时，，即， ， ，的边上的高为1，的边上的高为， 则的面积为． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键． 53．（21-22八年级上·上海·期末）如图, 在平面直角坐标系中， 是等边三角形． (1)在 轴正半轴取一点 ，使得 是一个等腰直角三角形， 与 交 于 ，已知 ，求 ； (2)若等边 的边长为 6 , 点 在边 上, 点 在边 上, 且 .反比例函数 的图像恰好经过点 和点 , 求反比例函 数解析式.(此题无须写括号理由) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点M作MH⊥OB于点H，得△MOB是等腰直角三角形，根据勾股定理可求出MH=3，再根据直角三角形的性质可求出MO的值； （2）过作轴交轴于点， 过作轴交轴于点，设，通过解直角三角形COF和DBG得，，求出a的值，再运用待定系数法求解即可 【详解】（1）如图，过作轴交轴于点，设 因为， 是一个等腰直角三角形 所以， ． 所以直角也是等腰直角三角形， 即 由 得：． 又 是等边三角形，所以 因此：， 所以 在中，， 即：，解得：， (舍) 所以． （2）过作轴交轴于点， 过作轴交轴于点 设 因为 是等边三角形，所以， 所以， 所以 ， ， 因为， 所以， 因此，所以 在中，， 在中，， 因此， 因为点 和点 在上 则：  解得： ， 所以反比例函数解析式为． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质以及运用待定系数法求反比例函数关系式，用a表示出点C和点D的坐标是解答本题的关键． 54．如图，已知直线OA与反比例函数的图像在第一象限交于点A．若，直线OA与x轴的夹角为60°． （1）求点A的坐标； （2）求反比例函数的解析式； （3）若点P是坐标轴上的一点，当是直角三角形时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）  （2）  （3）或或或 【分析】（1）作AD⊥x轴于点D，根据30°角所对的直角边是斜边的一半得出OD=，再根据勾股定理得出AD，即可得A的坐标； （2）把点A的坐标代入反比例函数即可得出答案； （3）分点P在x轴上和y轴上两种情况，再分别分∠OPA=90°或∠OAP=90°两种情况考虑即可． 【详解】解：（1）作AD⊥x轴于点D，则， ∵，∴， ∴OD=， ∴， ∴点A的坐标为； （2）∵点A在的图像上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； （3）点P在x轴上时， ①∠OPA=90°时，点P与点D重合，OP=OD=2， ∴点P坐标为(2，0)； ②∠OAP=90°时，设P（x，0）， ∵， ∴， ∴x=8， ∴点P坐标为(8，0)； 点P在y轴上时， ①∠OPA=90°时，OP=AD=， ∴点P坐标为(0，)， ②∠OAP=90°时，设P（0，y）， ∵， ∴， ∴， ∴点P坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式．难度适中． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.3 第2课时 反比例函数的图象和性质 知识点一 反比例函数的性质 反比例函数 k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的两支都无限接近于轴和轴，不会与轴和轴相交 性质 图像的两支分别位于第一、三象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐减小 图像的两支分别位于第二、四象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 知识点二 比例系数k的几何意义 1.与两坐标轴围成的矩形的面积 如图，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线PM，PN，分别交轴、轴于点M，N，所得矩形PMON的面积 因为，所以所以，即过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 2.与坐标轴围成的三角形的面积 如图，过双曲线上任意一点E作EF垂直于轴，交轴于点F，联结EO，则＝，即过双曲线上任意一点坐标轴的垂线，则以这一点、原点和垂足为顶点的三角形的面积为. 题型一、已知反比例函数的图象，判断其解析式 解题技巧提炼 反比例函数图象离坐标轴越远，k的绝对值越大． 1．在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图所示，该函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，点不在该反比例函数的图象上，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 4．反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为 ．（用“<”连接） 题型二、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 解题技巧提炼 反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 5．已知函数与的图像的一个交点坐标是（1，2），则它们的图像的另一个交点的坐标是 ． 6．在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 7．在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，，则下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则、关于原点对称 D．若，，则 8．如图，直线与双曲线交于两点，过点作轴，垂足为点，连接，若，则的值为（   ）      A． B．4 C． D．8 题型三、已知双曲线分布的象限，求参数范围 解题技巧提炼 反比例函数：当时，图象位于第一、三象限；当时，图象位于第二、四象限． 9．若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是 ． 10．若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是 ． 11．（22-23八年级上·上海静安·期末）已知反比例函数的图像在第二、四象限，那么的取值范围是 . 题型四、判断反比例函数的增减性 解题技巧提炼 图像的两支分别位于第一、三象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐减小； 图像的两支分别位于第二、四象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大. 12．（22-23八年级上·上海长宁·期末）在函数的图象上有三点，，，已知，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24八年级上·上海闵行·期末）已知反比例函数的图像上有两点，如果，那么与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 14．（21-22八年级上·上海奉贤·期末）反比例函数的图像与正比例函数的图像没有交点，若点，，在这个反比例函数的图像上，则下列结论中正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 15．若点在反比例函数的图象上，且，则下列各式正确的是（  ） A． B． C． D． 题型五、已知反比例函数的增减性求参数 解题技巧提炼 反比例概念题,紧抓两条件 16．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如果点、点都在函数的图象上，且，那么m的取值范围是 ． 17．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）如果反比例函数的图像，在的范围内，随们增大而减小，那么的取值范围是 ． 18．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如果反比例函数在时，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是 ． 19．反比例函数，当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 20．已知函数的图象在每个象限内，的值随的值增大而减小，则的取值范围是 ． 21．如果反比例函数y=的图象在每个象限内y随x的增大而减小，那么k的取值范围是 题型六、反比例函数k与三角形、长方形的面积关系 解题技巧提炼 k的几何意义 22．（23-24八年级上·上海杨浦·期末）如图，点在反比例函数第一象限的图象上，垂直轴，垂足为，设的面积是，那么与之间的数量关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 23．如图，A、C是函数的图象上任意两点，过点A作y轴的垂线，垂足为B，过点C作y轴的垂线，垂足为D．记的面积为，的面积为，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．由A、C两点的位置确定 24．如图所示，在直角平面坐标系中，点为反比例函数上不同的三点，连接，过点作轴于点，过点分别作垂直轴于点，与相交于点，记、、四边形的面积分别为、、，则（　　） A． B． C． D． 25．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，点A是函数在第一象限内的图像上一点，过点A作轴于点B，则的面积为 ． 26．如图，点在反比例函数（）的图象上，它们的横坐标依次为1、2、3、4，过这四点分别作轴、轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为，则 ． 27．（21-22九年级上·上海闵行·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，射线与反比例函数的图像交于点，过点作轴的垂线交双曲线于点，过点作轴的垂线交双曲线于点，联结，那么的值是 28．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点， A是反比例函数图象上的一点，AB垂直y轴，垂足为点B，那么的面积为 ． 29．如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别交反比例函数和在第一象限的图象于点过点作轴于点交的图象于点连结．若是等腰三角形，则的值是 ． 题型七、根据图形面积求比例系数（解析式） 解题技巧提炼 1.与两坐标轴围成的矩形的面积 如图，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线PM，PN，分别交轴、轴于点M，N，所得矩形PMON的面积 因为，所以所以，即过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 2.与坐标轴围成的三角形的面积 如图，过双曲线上任意一点E作EF垂直于轴，交轴于点F，联结EO，则＝，即过双曲线上任意一点坐标轴的垂线，则以这一点、原点和垂足为顶点的三角形的面积为. 30．（23-24八年级上·上海虹口·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数，交边于点E，且．若四边形的面积为6，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．6 31．（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，函数和的部分图像与直线分别交于、两点，如果的面积是，则的值为（   ） A． B． C． D． 32．（23-24八年级上·上海·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像交矩形的边于点，交边于点，且．若四边形的面积为，则值为（    ） A． B． C． D． 33．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，反比例函数，点M是它在第二象限内的图象上一点，垂直x轴于点P，如果的面积为1，那么k的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 34．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如图，点为第一象限内一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点、，为的中点，函数的图像经过点且交于，已知四边形的面积为，则的值为 ．    35．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图，已知正比例函数图像经过点和点． (1)求正比例函数的解析式及m的值； (2)过点A作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点B（点B在点A下方），若的面积为10，求反比例函数的解析式． 题型八、反比例函数图象和性质综合 解题技巧提炼 巧借图象比较两函数的函数值大小 在已知两函数图象交点的题目中，比较两函数的函数值大小，可直接利用图象判断；在同一平面直角坐标系中，图象在上方的函数的函数值大，图象在下方的函数的函数值小. 36．（23-24八年级上·上海·期末）如图，直线与函数的图象相交于点，与轴交于点，且，点是线段上一点． (1)求的值； (2)若与的面积比为，求点的坐标； (3)将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在函数的图像上，求点的坐标． 37．（21-22八年级上·上海黄浦·期末）如图，反比例函数图象经过点，点B在反比例函数的图象上，横坐标为2，过点B作轴，垂足为C． (1)求反比例函数解析式及B点坐标； (2)连接，若将沿翻折，得到，求四边形的面积． 38．已知在平面直角坐标系中，点在第一象限内，，且，反比例函数的图像经过点A．        (1)当点B的坐标为时（如图1），求这个反比例函数的解析式； (2)当点B也在反比例函数的图像上，且在点A的右侧时（如图2），用m、n的代数式表示点B的坐标；并求的值． 39．（21-22八年级上·上海崇明·期末）如图，点P的坐标是，过点P作x轴的平行线交y轴于点A，交双曲线于点N，作交双曲线于点M，连接AM．已知PN=4． (1)求k的值； (2)求的面积． 题型九、实际问题与反比例函数 解题技巧提炼 多种类型的实际问题，“分段”来分析 在很多实际问题中，变量之间的函数图象往往是由多段不同类型的函数图象拼组而成的.此时，整体分析题意会较为混乱，就需要对给出的图象进行合理分割，把图象按照函数类型分段处理，逐段求出函数表达式，再根据题意解答, 40．（23-24八年级上·上海宝山·期末）越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为t小时，平均速度为v千米/小时（骑行速度不超过40千米/小时）．根据以往的骑行经验，v、t的一些对应值如下表： v（千米/小时） 15 20 25 30 t（小时） 2 1 (1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； (2)如果这位骑行爱好者上午8：30从家出发，能否在上午9：10之前到达上海蟠龙天地？请说明理由； (3)若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围． 41．科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．    (1)求h关于的函数解析式． (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度． 42．（22-23八年级上·上海宝山·期末）办公区域的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升，水温到时停止加热，此后水温开始下降．水温（）与开机通电时间成反比例关系．若水温在时接通电源，一段时间内，水温y与通电时间x之间的函数关系如图所示． (1)水温从加热到，需要 ； (2)求水温下降过程中，y与x的函数关系式，并写出定义域； (3)如果上午8点接通电源，那么8：20之前，不低于的时间有多少？ 43．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求该函数的表达式； (2)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到） 44．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高y（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：）的反比例函数，当时，，请你解答下列问题． (1)求y关于x的函数表达式． (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 45．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度（）是面条的粗细（横截面积）（）的反比例函数，其图象如图所示． (1)写出与的函数关系式； (2)求当面条粗时，面条的总长度是多少米？ (3)若面条的总长度要求不大于，那面条的粗细应有什么限制？ 46．综合与实践：探索某款冷柜的日耗电量． 素材1：图1是某款冷柜，耗电功率为0.15千瓦．当内部温度为时，冷柜运行，当温度下降到时，停止运行，温度上升，到时，冷柜再次运行，如此循环． 素材2：冷柜内部温度与时间的关系如图2所示． 当时，是的一次函数；当时，是的反比例函数． 链接：冷柜每天耗电量（度）耗电功率（千瓦）每天运行时间（小时）． 任务1：求时，关于的函数表达式． 任务2：求该冷柜一天的耗电量． 47．码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间与装载速度成反比例．已知当时，． (1)求与之间的函数表达式； (2)要在内装完货物，装载速度至少应为多少（精确到）？ 题型十、反比例函数与几何面积 解题技巧提炼 解题技巧提炼 铅垂法大全 （1）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD． （2）取AC作水平宽，过点B作BD⊥x轴交直线AC于点D，BD即对应的铅垂高， （3）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD． （4）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD． （5）取AC作水平宽，过点B作铅垂高BD． （6）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD． 48．（21-22八年级上·上海奉贤·期末）如图，将一个长方形放置在平面直角坐标系中，，，点是的中点，反比例函数图像过点且和相交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)求四边形的面积． 49．（23-24八年级上·上海崇明·期中）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象经过点，点为轴正半轴上一点，过点作， 交反比例函数的图象于点交正比例函数的图象于点，    (1)求a、k的值 (2)连接，求的面积 (3)P为射线上一点，若的面积为9，求点P的坐标 50．（23-24八年级上·上海虹口·期末）如图，在直角坐标平面内，正比例函数，过点A作轴，垂足为点B，． (1)求反比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点C，使点C到直线的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标，请说明理由； (3)已知点P在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 51．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形的边均平行于坐标轴，A点的坐标为．    (1)如图1，如果正方形的顶点B在直线上，求点A的坐标． (2)如图2，若双曲线 与此正方形的边有交点，求a的取值范围． 52．如图，直线y＝ax（a＞0）与双曲线交于A，B两点，且点A的坐标为（4，2），点B的坐标为（n，﹣2）． (1)求a，n的值； (2)若双曲线的上点C的纵坐标为8，求△AOC的面积． 53．（21-22八年级上·上海·期末）如图, 在平面直角坐标系中， 是等边三角形． (1)在 轴正半轴取一点 ，使得 是一个等腰直角三角形， 与 交 于 ，已知 ，求 ； (2)若等边 的边长为 6 , 点 在边 上, 点 在边 上, 且 .反比例函数 的图像恰好经过点 和点 , 求反比例函 数解析式.(此题无须写括号理由) 54．如图，已知直线OA与反比例函数的图像在第一象限交于点A．若，直线OA与x轴的夹角为60°． （1）求点A的坐标； （2）求反比例函数的解析式； （3）若点P是坐标轴上的一点，当是直角三角形时，直接写出点P的坐标． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 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